20.2.3 二次根式的有理化-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（华东师大版）

指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 指南针·课堂优化·九年级上册·数学同步参考答案 第20章二次根式 2=号a-<0原式=+日-a=9 第2课时二次根式的除法 基础导学 20.1认识二次根式 【例3】原式=2x-1-|1-2.x=2x-1-(2x-1)=0. 【变式训练4】C【例4】-3a【变式训练5】A a 1.b >≥0，b>02.算术平方根的商√= 第1课时二次根式的概念 课后演练 基础导学 把二次根式被开方数中的分母化去3.分母 1.B2.D3.C4.C5.26.-0.01x-3 典例探究 3.(1)a(2Wa 7.3002a2 典例探究 号8179.10(2)1010.-5 【例1】(1)原式=2；(2)原式=26. 【例1】(1)、(3)、(4)、(6)、(7)是二次根式，而(8)、(9)只有当11.n=一14或-7或-2或512.4c 【变式训练1】(1)3(2)180(3)-2(4)6√15 x≤0和b=0时才是二次根式.【变式训练1】C 13.(1)√7+4W5=2十√5(2)√5-2W6=√3-√2 【例2】 x-2=1 9 【变式训练2】a≤3 【2】z<3:(21<<4:(3z>是： 20.2二次根式的乘除 【3】(号；(28)器 第1课时二次根式的乘法 (4)无实数x使√-x-1有意义. 【变式训练3】（①）号5.(2)E.(3)是a 基础导学 【变式训练2】D 1.√ab被开方数相乘，根指数不变a≥0b≥0√abc 【例3】x=16【变式训练3】二 【例4)】最简二次根式为(2)Vm+m;(6) 4 【例4】7【变式训练4】15 2.va. 【变式训练4】B 课后演练 典例探究 【5】(号压 2)-号压32a 1.D2.B3.B4.A5.x≥-16.x>37.1<c<5 【例1】(1)3；(2)30；(3)30；(4)-20aba;(5)x2+xy; 课后演练 81Dz≤是 (2)-1≤x≤1 (62+6. 【变式训练1】2W万【变式训练2】2 :1.D2.B3.D4.-15.3756.9√6cm 【例2】B【变式训练3】C (3)x=0W-合<x≤} 1.号 (2)-8x 8.(1)3aV6a(2)27 【例3】10/2；(2)2ab√2；(3)10a2c√2ac;(4)63. 9.375 10.16m/s11.6 9.2b-a+1=010.x>≥0且x≠611.012.a=91 【变式训练4】a√-b【例4】3√2>23 第2课时二次根式的性质 课后演练 2√（传）=√景. 基础导学 1.D2.B3.A4.C5.(1)26(2)26.-√14 验证V(信)-√Xx6=V县， (1)a (2)al a-a -√-x7.458.(1)2(2)-12√2(3)-45 n+1 典例探究 9.(1)90W2(2)4√35(3)-5ab√2b 2W(H+)=+√ 【例1】(1)号，(2)28，(3)-6.【变式训练】≥3号 10.(1)53>3W5(2)3-65<3-5√611.B12.6 验证√（十）-√牙 n+2-n-1 (n+1)(n+2) 【例2】(1)5，(2)0；3)元-3.14，(4-3x(5)a-3 1以.这个直角三角形的面积是雪或写 /n十1 Vn(n+D(n+2xix(n+2) 【变式训练2】(1)≤3(2)√2(3)3 14Va十。之=a√a为征意自然数且a≥2， 第3课时 二次根式的有理化 【空武训练】原式-}+√(a--+a,验证+。品-√-√=V√ 基础导学 1.二次根式3.分母 33 :典例探究 【例1】(1)22 (29巨31 【变式训练1】( -2(2a 【例2】(1)一 ，(@而，86a+: ④=m-,()5-1,(61+5. 【变式训练2】A 【例3】(1)4十√3；(2)√95. 【变式训练3】原式=分，解得a=-1,6一3，原式=一 3 课后演练 1.B2.A3.B4.B5.(1)>(2)<63+17.2 8学 (2)5469.(1W5-2(2W2-1 10.311.812.3+2213.(1)Wm-√/n-1(2)9 20.3二次根式的加减 第1课时 二次根式的加减 基础导学 1.最简二次根式被开方数 2.最简二次根式同类二次根式根号前系数根号 被开方数 典例探究 【例1】C【例2】D【变式训练1】B【变式训练2】B 【9B】15/万23v反89+9E 【变式训练3) y2+9 【变式训练4】()了5-25(2Wa+36-号√a 课后演练 1.B2.D3.D4.B5.(1)0(2)2W36.47.4 8①-25(2)6-E9c10.10 34第3课时二次根式的有理化 基础 导 学 1.有理化因式：两个含有二次根式的代数 式相乘，如果他们的积不含 ,那么 这两个代数式就互为有理化因式.如：因为 (W2-√3)×(W2+√3)=-1，所以(W2-√3)与 (√2+√3)互为有理化因式 2.寻找有理化因式的根据：wa×Wa=a(a≥ 0);(a+b)(a-b)=a2-b2 3.分母有理化：把 中的根号化去 的过程称为分母有理化.如二=1×3-3 √5√5X√3 3 ★点拨：分母有理化就是为分母寻找一个 有理化因式，将分子分母都乘上该有理化因式， 就可将分母的根号化去 典例探究 考点1) 二次根式乘除混合运算 【例1】计算：(1)√12÷√27×18； ②12·层， 8,÷2×层 13 第20章二次根式 规律与方法：二次根式的乘除混合运算，先 把除以一个数变为乘以这个数的倒数，将乘除法 统一成乘法，再利用乘法交换律、结合律约分 计算。 【变式训练1】计算： 3V2号×(8)÷层： (2)a2ab·b 9b 考点2利用分母有理化进行二次根式的除法 【例2】计算：1)42，(2)30 3√7 √75 (3)2a;4)m-n(m>0,m>0): Va+b m+√n (5)2(6)。2 √5+1 93√2-25 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS)》 【变式训练3】 先化简，再求值： 规律与方法：二次根式的除法就是把它写成 分式形式后，据分式的基本性质先把分子、分母 a2+方a产云”其中a,6满足 a2-b2 中“公因式”部分约去，再找准分母的有理化因 a+1+|b-√3|=0. 式，分子、分母都乘以该因式，化简即成，上例(4) 用约分的方法化去分母中的根号值得借鉴， 【变式训练2】化简时，甲的做法是 m-n=(Wm十n)(√m-m)=√m-√m, vm+√n √m+√n 乙的做法是m-n .=（m-n)(√m-√n) √m十√n(√m十√n)(√m-√n) m-)(Wm一n)=√m-√m,你认为做法正确 mn 的是 () 课 后 演练 A.甲 B.乙 C.甲、乙都正确 D.甲、乙都不正确 【基础过关】 考」 点3)求与二次根式有关的代数式的值 1.下列等式不成立的是 【例3】求值：(1)已知x= 2 ,求x2-x √5-1 A.6√2×√5=6√6 B.√⑧÷√2=4 +1的值； c后-9 D.√⑧-√2=√2 自追，求 (2)已知x=B+2 √3+√2 2.已知a=√2+1，b= 21则u与6的关系是 √x2-3xy十y2的值. () A.a=b B.ab=-1 C.a=-b D.ab=1 3.计算√9 54 的结果为 12 A得 B.3 C.3 D.33 6 3 4 4.下列各数中，与2一√3的积为有理数的是 ( ) A.√3 B.2+√5 C.2-√3 D.-2+√3 规律与方法：求与二次根式有关的代数式的 2 1 值，先化简已知式，再结合求值式配方或因式分 5.比较大小：(1) 5-3 2-√5 解后可轻易求出代数式的值。 (2)√J15-√14 √14-√13. 14· 6.一2分母有理化后的值是 √3-11 7.当-时，1 8.计算： ①)3W1语÷×(-2125)： (2)-是a6÷2.(-号ab） 9.将以下各式的分母有理化： (1)1 V3+√21 (2) 3 6+√51 【能力提升】 10.已知实数a,b互为倒数，其中a=2+ √a-b+5的值为一， 第20章二次根式 11.如图，数轴上的点M表示实数√m,且√m与 √2的积为有理数，则整数m的值为 12.已知a-反-1，求-1++a-2a+2 a2-a a2-a a 的值. 【创新探究】 13.阅读下列解题过程. √5-√4 5-4_ √5+√4 (5+√4)(W5-√4) 5-4 √5-√4 =√5-2； √6-√5 =6-5 √6+5 (√6+√5)(6-√5) 6-5 √6-5. (1)观察上面的解题过程，请直接写出 1 的结果为 Vn+vn-1 (2)利用上面所提出的解法化简： 1 1 1+√2√2+3√3+√4 √98+√99 1 w√99+√100 5,则 。15·