专题04 一元一次不等式（组）（5年汇编）（浙江专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 整合2022-2026年浙江中考真题及模拟题，聚焦一元一次不等式（组）两大核心考点，覆盖解法、性质及实际应用，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空/解答|21道真题+模拟题|一元一次不等式解法、数轴表示、性质辨析、实际建模（如储蓄、电路）|5年浙江中考真题汇编，2022-2023地市集中考查，2024-2026省级命题稳定，结合生活情境与综合计算|

专题04 一元一次不等式（组） 5年真题1年模拟 考点分类 浙江考情（2022-2026） 命题规律 考点01一元一次不等式的性质、解法及应用 2026·浙江·中考 2023·浙江嘉兴·中考 2023·浙江嘉兴·中考 2022·浙江杭州·中考 2023·浙江台州·中考 2023·浙江嘉兴·中考 2022·浙江嘉兴·中考 2022·浙江绍兴·中考 2022·浙江金华·中考 2022·浙江丽水·中考 2022·浙江丽水·中考 2022·浙江舟山·中考 2022·浙江温州·中考 2022-2026年浙江中考在本考点共收录13道真题，考查频率较高。题型包括直接解一元一次不等式、在数轴上表示解集、不等式性质辨析以及根据实际情境列不等式。2022-2023年各地市卷考查较为集中，常与实数运算、因式分解组成综合计算题，也通过储蓄、电路等生活情境考查不等式建模。2026年省级命题仍以直接求解集的基础题形式出现，说明该考点定位稳定。易错点主要包括移项符号变化、两边乘除负数时改变不等号方向以及端点是否取等。复习时应兼顾规范求解、数轴表示和实际语言向不等关系的转化。 考点02 一元一次不等式组的解法及应用 2025·浙江·中考 2024·浙江·中考 2023·浙江宁波·中考 2023·浙江温州·中考 2023·浙江湖州·中考 2023·浙江嘉兴·中考 2022·浙江衢州·中考 2022·浙江宁波·中考 2022-2025年浙江中考在本考点共收录8道真题，2026年未直接考查。题目主要考查分别求出两个一元一次不等式的解集，再确定公共部分，并常要求在数轴上表示。2023年各地市卷题量较多，2024、2025年省级命题连续考查，说明该内容仍是稳定的基础考点。现有真题主要集中于直接求解，参数型、整数解和实际应用题覆盖不足。复习时除掌握“同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解”等结果外，还应从数轴交集的本质理解不等式组解集，并加强含参数和整数解问题。 考点01 一元一次不等式的性质、解法及应用 1．（2026·浙江·中考真题）一元一次不等式的解集是___________． 2．（2023·浙江·中考真题）（1）分解因式：． （2）解不等式：． 3．（2023·浙江·中考真题）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2022·浙江杭州·中考真题）已知a，b，c，d是实数，若，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·浙江台州·中考真题）不等式的解集在数轴上表示为（ ）． A．   B．   C．   D．   6．（2023·浙江·中考真题）小霞原有存款元，小明原有存款元．从这个月开始，小霞每月存元零花钱，小明每月存元零花钱，设经过个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为（ ） A． B． C． D． 7．（2022·浙江嘉兴·中考真题）不等式3x＋1＜2x的解在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（2022·浙江绍兴·中考真题）关于的不等式的解是______． 9．（2022·浙江金华·中考真题）解不等式：． 10．（2022·浙江丽水·中考真题）已知电灯电路两端的电压U为，通过灯泡的电流强度的最大限度不得超过．设选用灯泡的电阻为，下列说法正确的是（ ） A．R至少 B．R至多 C．R至少 D．R至多 11．（2022·浙江丽水·中考真题）不等式3x>2x+4的解集是_____________. 12．（2022·浙江舟山·中考真题）（1）计算：． （2）解不等式：． 9．（2022·浙江温州·中考真题）（1）计算：． （2）解不等式，并把解集表示在数轴上． 考点02 一元一次不等式组的解法及应用 1．（2025·浙江·中考真题）不等式组的解集是________． 2．（2024·浙江·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A． B． C． D． 3．（2023·浙江宁波·中考真题）不等式组的解在数轴上表示正确的是(   ) A． B． C．   D．   4．（2023·浙江温州·中考真题）不等式组的解是___________． 5．（2023·浙江湖州·中考真题）解一元一次不等式组 6．（2023·浙江·中考真题）解一元一次不等式组：． 7．（2022·浙江衢州·中考真题）不等式组的解集是（ ） A． B．无解 C． D． 8．（2022·浙江宁波·中考真题）计算 (1)计算：． (2)解不等式组： 一、单选题 1．（2026·浙江温州·三模）已知点在直线上，点在直线上，下列说法正确的是（ ） A．不存在一个k的值，使两条直线平行 B．无论k为何值，当时， C．若，且，则 D．若，且，则 2．（2026·浙江台州·一模）一条鱼的销售方式有两种：①整鱼销售；②分割成鱼头和鱼身两部分销售（不计分割损耗）．已知整鱼、鱼头部分、鱼身部分的单价分别为24元/千克、36元/千克、16元/千克．若分割销售的总额不少于整鱼销售额，则分割时鱼头部分的质量占整鱼质量的百分比至少为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·浙江温州·三模）如图，函数（为常数，自变量取全体实数）的图像交轴于点，交轴正半轴于点，且点在的左侧，以下结论正确的是（ ） A．点的坐标为 B． C． D． 4．（2026·浙江台州·二模）已知函数（，为常数）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（） A． B． C． D． 5．（2026·浙江杭州·二模）已知点在直线：上，点在直线：上．下列结论正确的是（    ） A．若时，，则 B．若时，，则 C．若时，，则 D．若时，，则 6．（2026·浙江杭州·一模）已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点，若对于，，都有，则a的取值范围是（   ） A．或 B． C． D．或 7．（2026·浙江舟山·二模）定义：对于一个四位数，若满足，则称该四位数为“阶特征数”．例如，满足，则为“阶特征数”．依据以上定义，下列说法中错误的是（ ） A． B．记“阶特征数”的最大值为，最小值为，则 C．若能被整除，则也只能等于 D．个数最多的“阶特征数”是“阶特征数”或“阶特征数” 二、填空题 8．（2026·浙江杭州·一模）已知，在平面直角坐标系中，、是函数图象上的两点，且满足，若，则的取值范围是______． 9．（2026·浙江绍兴·二模）数学家曾提出快速估算两个正分数的平均数的方法，即：已知，，，都是正整数，如果，那么．例如：，那么．若，且为整数，则________． 10．（2026·浙江绍兴·二模）已知二次函数，一次函数，当自变量取相同值时，我们把的值称为这两个函数的“绝美值”．若仅存在一个整数，使得这两个函数的“绝美值”不超过，则的取值范围为________． 三、解答题 11．（2026·浙江丽水·一模）【阅读理解】 对于两个函数，当自变量任取一个值时，它们所对应的函数值之和为2，我们称这两个函数互为“关联函数”．例如：与互为“关联函数”． 【初步探究】 (1)如图，函数经过点，求该函数的“关联函数”表达式； 【深入思考】 (2)在（1）条件下，函数图象的一段向上平移个单位长度后，与它的“关联函数”的图象有交点．求的最小值． 12．（2026·浙江金华·二模）如图，已知一次函数与的图象交于点，且点的横坐标为． (1)求与的关系式． (2)当时，都有，求的取值范围． 13．（2026·浙江金华·三模）某生产商打算生产上市一款新产品，上市前做了一系列调查研究．新产品上市的第一个月，商品的需求量与供货量关于产品上市的天数（，且为整数）的函数图象如图所示，关于的函数关系式为：． (1)求关于的函数关系式； (2)当供货量超过需求量的时，生产销售该产品面临亏本的风险，则哪几天该产品面临亏本风险？ 14．（2026·浙江金华·三模）问题呈现：已知实数、满足：，，求的取值范围． 解：由两边同乘以得， 的取值范围为：． 类比学习： (1)若实数、满足：，，求的取值范围； (2)若实数、满足：，，求的最大值． 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04一元一次不等式（组） 5年真题1年模拟 五年真题分类园 考点01一元一次不等式的性质、解法及应用 1.x>1 2. 【详解】解：(1)a2+2a=aa+2 (2)2x-1>x+1 去括号，得2x-2>x+1, 移项合并，得x>3. 3.D 4.A 5.B 6.A 7.B 8.x>1 9 【详解】解：2(3x-2)>x+1, 6x-4>x+1, 6x-x>4+1, 5x>5,∴.x>1. 10.A 11.x>4 12. 1/6 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)原式=2-1=1. (2)移项得：x-4x<-1-8, 合并同类项得：-3x<-9, 系数化为得：x>3. 9. 【详解】(1)原式=3+9+1-1 99 =12. (2)9x-2≤7x+3, 移项，得9x-7x≤3+2. 合并同类项，得2x≤5. 两边都除以2，得x≤号， 考点02一元一次不等式组的解法及应用 1.-2≤x<4 2.A 3.C 4.-1≤x<3/3>x≥-1 5. 2x+1>x① 【详解】解： x<-3x+8②H 解不等式①，得X>-1, 解不等式②，得x<2, 所以原不等式组的解是-1<x<2. 6. x+2>3① 【详解】解： 2x-1<5② 解不等式①，得x>1, 解不等式②，得x<3, ∴.原不等式组的解是1<x<3. 2/6 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.D 8. 【详解】(1)解：原式=x-1+2x-x2 =2X-1: (2)解：乙， 解不等式①，得x>3, 解不等式②，得x≥-2， 所以原不等式组的解是x>3 一年摸拟练测凤 一、单选题 1.D 2.D 3.D 4.B 5.C 6.A 7.D 二、填空题 8.-2<X1<0 9.17 1 3 三、解答题 11.【详解】(1)解：，函数y=经过点1,2， 将点代入函数：2=k,即k=2, .原函数为y=2x, 根据“关联函数”的定义：两个函数的函数值之和为2，设关联函数为y, 则：2x+y=2, 316 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=2-2x, 函数的“关联函数”表达式为y=2-2X; (2)解：函数y=2X在-2≤X≤0上向上平移个单位后， 解析式为：y=2x+m-2≤x≤0， 它的“关联函数”为y=2-2x, ,两个函数有交点，即方程2x+m=2-2x在-2≤x≤0范围内有解， 解方程：2x+m=2-2x,得x=2-m 4 -2≤2-m≤0. 4 解不等式：2-m≥-2，得m≤10， 4 解不等式：2m≤0，得m≥2， 4 ∴.m的取值范围是2≤m≤10，则m的最小值为2， 12.【详解】(1)解：x=-1时，y1=-1+m'y2=-2×-1+n=2+n ∴.-1+m=2+n,即m=3+n: (2)解：y1=x+m=0,解得x=-m, 即一次函数y1=x+m与x轴相交于-m,0, 结合图像y2>y1>0的解为-m<x<-1, ∴.-m≤-2，解得m≥2， ∴.3+n≥2，解得n2-1. 13.【详解】(1)解：由函数图象可知， 当0<x≤20时，设Q2关于x的函数关系式为Q2=kx+b, 将0,2、20,32代入Q2=kx+b得： b=2 20k+b=32: k=3 解得： b=2 ∴此时Q,关于x的函数关系式为Q2号x+2, 416 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当20≤x≤30时，Q2=32, 3. 综上所述，Q,关于x的函数关系式为：Q2= x+210<x≤20 3220<x≤30 (2)解：根据题意得，当Q,>1+50%Q,即Q,>1.5Q,时，会面临亏本的风险， 05xs20时，Q,-x+10.0,-号x+2. x*2>15x+10 解得：X心52 .52<x≤20， ·3 ,x为整数， .∴.x可以取18,19,20： 1 当20<x≤24时，Q1-2x+10,Q,=32. 32>1.52x*10 解得：X<6 , 20<x<6 , X为整数， .x可以取21,22： 当24<x≤30时，Q1=22,Q2=32, ∴.1.5Q1=1.5×22=33, .1.5Q1>Q2, ∴.当24<x≤30时，不会面临亏本的风险， 综上所述，第18到第22天该产品面临亏本风险 14.【详解】(1)解：由2<y<3两边同乘以-1得，-3<-y<-2, 516 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.-1+-3<x-y<1+-2, .x-y的取值范围为：-4<x-y<-1: (2)解：由0≤x+y+1≤2两边同乘以-1得，-2≤-x-y-1≤0， ∴.1+-2≤2x-y+-x-y-1≤3+0， .-1≤x-2y-1≤3， ∴.X-2y的取值范围为：0≤x-2y≤4， .x-2y的最大值为4. 616 专题04 一元一次不等式（组） 5年真题1年模拟 考点分类 浙江考情（2022-2026） 命题规律 考点01一元一次不等式的性质、解法及应用 2026·浙江·中考 2023·浙江嘉兴·中考 2023·浙江嘉兴·中考 2022·浙江杭州·中考 2023·浙江台州·中考 2023·浙江嘉兴·中考 2022·浙江嘉兴·中考 2022·浙江绍兴·中考 2022·浙江金华·中考 2022·浙江丽水·中考 2022·浙江丽水·中考 2022·浙江舟山·中考 2022·浙江温州·中考 2022-2026年浙江中考在本考点共收录13道真题，考查频率较高。题型包括直接解一元一次不等式、在数轴上表示解集、不等式性质辨析以及根据实际情境列不等式。2022-2023年各地市卷考查较为集中，常与实数运算、因式分解组成综合计算题，也通过储蓄、电路等生活情境考查不等式建模。2026年省级命题仍以直接求解集的基础题形式出现，说明该考点定位稳定。易错点主要包括移项符号变化、两边乘除负数时改变不等号方向以及端点是否取等。复习时应兼顾规范求解、数轴表示和实际语言向不等关系的转化。 考点02 一元一次不等式组的解法及应用 2025·浙江·中考 2024·浙江·中考 2023·浙江宁波·中考 2023·浙江温州·中考 2023·浙江湖州·中考 2023·浙江嘉兴·中考 2022·浙江衢州·中考 2022·浙江宁波·中考 2022-2025年浙江中考在本考点共收录8道真题，2026年未直接考查。题目主要考查分别求出两个一元一次不等式的解集，再确定公共部分，并常要求在数轴上表示。2023年各地市卷题量较多，2024、2025年省级命题连续考查，说明该内容仍是稳定的基础考点。现有真题主要集中于直接求解，参数型、整数解和实际应用题覆盖不足。复习时除掌握“同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解”等结果外，还应从数轴交集的本质理解不等式组解集，并加强含参数和整数解问题。 考点01 一元一次不等式的性质、解法及应用 1．（2026·浙江·中考真题）一元一次不等式的解集是___________． 【答案】 【分析】根据不等式的基本性质，对原不等式逐步化简即可得到解集． 【详解】解： 解得． 2．（2023·浙江·中考真题）（1）分解因式：． （2）解不等式：． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）利用提取公因式法分解因式即可； （2）按照解不等式的一般步骤求解即可． 【详解】解：（1）； （2） 去括号，得， 移项合并，得． 3．（2023·浙江·中考真题）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对应的点在数轴上的位置，利用不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：由数轴得：，， 故选项A不符合题意； ∵，∴，故选项B不符合题意； ∵，，∴，故选项C不符合题意； ∵，，∴，故选项D符合题意； 故选：D． 4．（2022·浙江杭州·中考真题）已知a，b，c，d是实数，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的基本性质可判定A正确，举例能判定B、C、D错误． 【详解】解：A、∵， ，∴．故此选项符合题意； B、∵， ，如a=-2,b=-3,c=d=1，则a+b=-5，c+d=2，∴a+b<c+d，故此选项不符合题意； C、∵， ，如a=-2,b=-3,c=d=-4，则a+c=-2-4=-6，b-d=-3-(-4)=1，∴a+c<b-d，故此选项不符合题意； D、∵， ，如a=-2,b=-3,则a+b=-5,c-d=0，∴a+b<c-d, 故此选项不符合题意； 故选：A． 5．（2023·浙江台州·中考真题）不等式的解集在数轴上表示为（ ）． A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据一元一次不等式的性质解出未知数的取值范围，在数轴上表示即可求出答案． 【详解】解：， ． 在数轴上表示如图所示：   ． 故选：B． 6．（2023·浙江·中考真题）小霞原有存款元，小明原有存款元．从这个月开始，小霞每月存元零花钱，小明每月存元零花钱，设经过个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据数量关系式：小霞原来存款数+×月数＞小明原来存款数+×月数，把相关数值代入即可； 【详解】解：根据题意得， ， 故选：A． 7．（2022·浙江嘉兴·中考真题）不等式3x＋1＜2x的解在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解不等式，得到不等式的解集，再在数轴上表示即可． 【详解】解：3x＋1＜2x 解得： 在数轴上表示其解集如下： 故选B 8．（2022·浙江绍兴·中考真题）关于的不等式的解是______． 【答案】 【分析】将不等式移项，系数化为1即可得． 【详解】解： ， 故答案为：． 9．（2022·浙江金华·中考真题）解不等式：． 【答案】 【分析】按照解不等式的基本步骤解答即可． 【详解】解：， ， ， ，∴． 10．（2022·浙江丽水·中考真题）已知电灯电路两端的电压U为，通过灯泡的电流强度的最大限度不得超过．设选用灯泡的电阻为，下列说法正确的是（ ） A．R至少 B．R至多 C．R至少 D．R至多 【答案】A 【分析】根据U=IR，代入公式，列不等式计算即可． 【详解】解：由题意，得 ， 解得．故选：A． 11．（2022·浙江丽水·中考真题）不等式3x>2x+4的解集是_____________. 【答案】 【分析】根据不等式的性质在不等式的两边同时减去2x即可求出x的取值范围． 【详解】解：3x＞2x+4， 两边同时减去2x， ∴x＞4，故答案为：. 12．（2022·浙江舟山·中考真题）（1）计算：． （2）解不等式：． 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）根据零指数幂、立方根进行运算即可； （2）根据移项、合并同类项、系数化为1，进行解不等式即可． 【详解】（1）原式 ． （2）移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得： ． 9．（2022·浙江温州·中考真题）（1）计算：． （2）解不等式，并把解集表示在数轴上． 【答案】（1）12； （2）， 这个不等式的解表示在数轴上如图所示． 【分析】（1）先计算算术平方根，乘方，绝对值，再作加减法； （2）先移项合并同类项系数化成1，再把解集表示在数轴上． 【详解】（1）原式 ． （2）， 移项，得． 合并同类项，得． 两边都除以2，得． 考点02 一元一次不等式组的解法及应用 1．（2025·浙江·中考真题）不等式组的解集是________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的解集．熟练掌握解一元一次不等式组的解集是解题的关键． 先求第二个不等式的解集，进而可得不等式组的解集． 【详解】解：， 由①得：， ∴原不等式组的解集为：， 故答案为：． 2．（2024·浙江·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为． 在数轴上表示如下： ． 故选：A． 3．（2023·浙江宁波·中考真题）不等式组的解在数轴上表示正确的是(   ) A． B． C．   D．   【答案】C 【分析】根据一元一次不等式组的解法先求出不等式组的解集，再在数轴上表示即可得到答案． 【详解】解：， 由①得； 由②得； 原不等式组的解集为， 在数轴上表示该不等式组的解集如图所示：   ， 故选：C． 4．（2023·浙江温州·中考真题）不等式组的解是___________． 【答案】/ 【分析】根据不等式的性质先求出每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可． 【详解】解不等式组： 解：由①得，； 由②得， 所以，． 故答案为：． 5．（2023·浙江湖州·中考真题）解一元一次不等式组 【答案】 【分析】根据不等式的性质，分别解一元一次不等式，然后求出两个解集的公共部分即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以原不等式组的解是． 6．（2023·浙江·中考真题）解一元一次不等式组：． 【答案】 【分析】根据不等式的性质，解一元一次不等式，然后求出两个解集的公共部分即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解是． 7．（2022·浙江衢州·中考真题）不等式组的解集是（ ） A． B．无解 C． D． 【答案】D 【分析】分别解两个不等式得到，然后根据大小小大取中间确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，解得， 解不等式，解得， 不等数组的解集为．故选：D． 8．（2022·浙江宁波·中考真题）计算 (1)计算：． (2)解不等式组： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方差公式和单项式乘多项式展开，合并同类项即可得出答案； （2）分别解这两个不等式，根据不等式解集的规律即可得出答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以原不等式组的解是． 一、单选题 1．（2026·浙江温州·三模）已知点在直线上，点在直线上，下列说法正确的是（ ） A．不存在一个k的值，使两条直线平行 B．无论k为何值，当时， C．若，且，则 D．若，且，则 【答案】D 【分析】先根据点在直线上得到和的表达式，计算，再结合一次函数平行的性质和不等式性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵点在上，点在上 ∴， ∴ A、若两直线平行，则，得， 此时，，两直线平行，存在符合条件的，故A错误； B、取，，则，故B错误； C、若，，则，即 ∴， 解得，故C错误； D、若，，则，即 ∴， 解得，故D正确． 2．（2026·浙江台州·一模）一条鱼的销售方式有两种：①整鱼销售；②分割成鱼头和鱼身两部分销售（不计分割损耗）．已知整鱼、鱼头部分、鱼身部分的单价分别为24元/千克、36元/千克、16元/千克．若分割销售的总额不少于整鱼销售额，则分割时鱼头部分的质量占整鱼质量的百分比至少为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设整鱼总质量为，鱼头质量占整鱼质量的百分比为，则鱼头质量为，鱼身质量为.，根据题意列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：设整鱼总质量为，鱼头质量占整鱼质量的百分比为，则鱼头质量为，鱼身质量为， ∵分割销售的总额不少于整鱼销售额， ∴可得不等式 ， ∵，两边同时除以得 ， 展开整理得 ， 解得 ， 因此鱼头部分的质量占整鱼质量的百分比至少为． 3．（2026·浙江温州·三模）如图，函数（为常数，自变量取全体实数）的图像交轴于点，交轴正半轴于点，且点在的左侧，以下结论正确的是（ ） A．点的坐标为 B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出点的坐标为可判断A选项；根据图像列不等式组可得或，然后利用点在的左侧得到，进而完成解答． 【详解】解：∵令，可得，即点的坐标为，故A选项错误； ∵交轴正半轴于点，且点在的左侧， ∴当时，，即， ∴或， ∴或， 当时，即，恒成立， ∴，解得：， ∴， ∵点B在的左侧， ∴，即． 综上，a的取值范围为． 4．（2026·浙江台州·二模）已知函数（，为常数）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象与坐标轴的交点位置，分别令和，结合图象特征判断和的符号，进而得出结论． 【详解】解：令，则， 图象与轴的交点在轴上方， ， 解得， 令，得， 解得， 图象与轴交点在轴左侧， ， 解得， ，， ，且无法确定的符号． 5．（2026·浙江杭州·二模）已知点在直线：上，点在直线：上．下列结论正确的是（    ） A．若时，，则 B．若时，，则 C．若时，，则 D．若时，，则 【答案】C 【分析】先根据点在直线上求出和的化简表达式，再分和两种情况，根据给出的不等关系解不等式组，得到的取值范围，进而判断正确选项． 【详解】解：∵点在直线上，点在直线上 ∴， 若，，可得不等式组： ∵，不等式两边同除以，不等号方向不变 ∴化简得，即 选项A，B均不完整，因此A，B错误． 若，，可得不等式组： ∵，不等式两边同除以，不等号方向改变 ∴化简得： 解得： ∴，符合选项C，因此C正确，D错误． 6．（2026·浙江杭州·一模）已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点，若对于，，都有，则a的取值范围是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题利用反比例函数的增减性，根据系数的正负分情况讨论，结合对任意都有的条件，列不等式求解的取值范围即可． 【详解】解：设，反比例函数为，分两种情况讨论： 情况1：，即，得，此时反比例函数的图象在每个象限内随增大而减小． ∵对任意，都有， ∴小于的最小值，的最小值为， 又∵，可得， ∵， ∴． 当时，左边，不等式恒成立，符合条件， 当时，两边同乘，得， 又∵， ∴； 情况2：，即，得，此时反比例函数的图象在每个象限内随增大而增大， ∵对任意，都有， ∴小于的最小值，代入，得， ∵， ∴， ∵，两边同乘，得，与矛盾， ∴此情况无解． 综上，的取值范围是或． 7．（2026·浙江舟山·二模）定义：对于一个四位数，若满足，则称该四位数为“阶特征数”．例如，满足，则为“阶特征数”．依据以上定义，下列说法中错误的是（ ） A． B．记“阶特征数”的最大值为，最小值为，则 C．若能被整除，则也只能等于 D．个数最多的“阶特征数”是“阶特征数”或“阶特征数” 【答案】D 【分析】根据“阶特征数”的定义，推导得到各数字之间的关系，结合四位数各位数字的取值范围，整除性质和计数原理，逐个验证选项即可得到结果． 【详解】解：∵四位数为“阶特征数”， ∴满足，，，满足，且、、、均为整数， ，即，， A．∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 原说法正确，故此选项不符合题意； B．∵“阶特征数”的最大值为， 此时四位数最大，则、尽可能大，而最大取， ∴， ∵， ∴，， 此时最大取， ∴， ∴； ∵“阶特征数”的最小值为， 此时四位数最小，则、尽可能小，而最小取， ∴， ∵， ∴，， 此时最小取， ∴， ∴； ∵，即， 原说法正确，故此选项不符合题意； C．∵能被整除， ∴是的倍数， ∵，， ∴， ∴是的倍数， ∴是的倍数， ∵是的整数，且， ∴， ∴只能为， 原说法正确，故此选项不符合题意； D．由题意知：（、为整数），则共有种取值， ∵， ∴（、为整数），共有种取值， 当时，则，， 此时有种取值，有种取值，则四位数的个数为：（个）； 当时，则，， 此时有种取值，有种取值，则四位数的个数为：（个）； 当时，则，， 此时有种取值，有种取值，则四位数的个数为：（个）； ∵， ∴个数最多的是阶特征数， 原说法错误，故此选项符合题意． 二、填空题 8．（2026·浙江杭州·一模）已知，在平面直角坐标系中，、是函数图象上的两点，且满足，若，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】由反比例函数可知，，由已知条件可得出，然后代入得，再根据已知条件列出关于的不等式求解即可得出答案． 【详解】解：∵、是函数图象上的两点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解不等式组，不等式组无解， 解不等式组，解得：． 故. 9．（2026·浙江绍兴·二模）数学家曾提出快速估算两个正分数的平均数的方法，即：已知，，，都是正整数，如果，那么．例如：，那么．若，且为整数，则________． 【答案】 【分析】根据已知分数大小比较方法，结合题中给出的分数大小关系，分析确定的取值范围，可得答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∵， ∴，即， 解得：， ∵， ∴，即， 解得：， ∴， ∵为整数， ∴． 10．（2026·浙江绍兴·二模）已知二次函数，一次函数，当自变量取相同值时，我们把的值称为这两个函数的“绝美值”．若仅存在一个整数，使得这两个函数的“绝美值”不超过，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据“绝美值”的定义将问题转化为不等式仅存在一个整数解的问题，再分两种情况：和，结合函数的对称性和增减性，建立不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：设这两个函数的“绝美值”为， ∵二次函数，一次函数， ∴， 由题意可知，，， ∴，即， 令二次函数， ①当时，二次函数的开口向下， ∴存在无数个整数，使得，不符合题意； ②当时， 二次函数的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∵距离对称轴最近的整数是， ∴若仅存在一个整数，使得，则需满足当时，；且当时，， 即， 解得． 三、解答题 11．（2026·浙江丽水·一模）【阅读理解】 对于两个函数，当自变量任取一个值时，它们所对应的函数值之和为2，我们称这两个函数互为“关联函数”．例如：与互为“关联函数”． 【初步探究】 (1)如图，函数经过点，求该函数的“关联函数”表达式； 【深入思考】 (2)在（1）条件下，函数图象的一段向上平移个单位长度后，与它的“关联函数”的图象有交点．求的最小值． 【答案】(1) (2)的最小值为． 【分析】（1）利用待定系数法求得原函数为，根据“关联函数”的定义：两个函数的函数值之和为2，列式求解即可； （2）根据题意两个函数有交点，即方程在范围内有解，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵函数经过点， ∴将点代入函数：，即， ∴原函数为， 根据“关联函数”的定义：两个函数的函数值之和为2，设关联函数为， 则：， ∴， ∴函数的“关联函数”表达式为； （2）解：函数在上向上平移m个单位后， 解析式为：， 它的“关联函数”为， ∵两个函数有交点，即方程在范围内有解， 解方程：，得， ∴， 解不等式：，得， 解不等式：，得， ∴的取值范围是，则的最小值为． 12．（2026·浙江金华·二模）如图，已知一次函数与的图象交于点，且点的横坐标为． (1)求与的关系式． (2)当时，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入两个函数建立等量关系即可求解； （2）求出一次函数与轴的交点坐标，结合图像写出的解，再建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：时，，， ，即； （2）解：，解得， 即一次函数与轴相交于， 结合图像的解为， ，解得， ，解得． 13．（2026·浙江金华·三模）某生产商打算生产上市一款新产品，上市前做了一系列调查研究．新产品上市的第一个月，商品的需求量与供货量关于产品上市的天数（，且为整数）的函数图象如图所示，关于的函数关系式为：． (1)求关于的函数关系式； (2)当供货量超过需求量的时，生产销售该产品面临亏本的风险，则哪几天该产品面临亏本风险？ 【答案】(1) (2)第到第天面临亏本风险 【分析】（1）由函数图象可知，关于的函数图象由两段组成，当时，关于的函数图象为一次函数，利用待定系数法求出此时的关于的函数关系式，再求出当时，恒为32； （2）根据题意得，当时，会面临亏本的风险，分情况讨论：当或或时列出不等式，结合为整数求解即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知， 当时，设关于的函数关系式为， 将、代入得： ， 解得：， 此时关于的函数关系式为， 当时，， 综上所述，关于的函数关系式为：； （2）解：根据题意得，当，即时，会面临亏本的风险， 当时，，， ， 解得：， ， 为整数， 可以取18，19，20； 当时，，， ， 解得：， ， 为整数， 可以取21，22； 当时，，， ， ， 当时，不会面临亏本的风险， 综上所述，第到第天该产品面临亏本风险． 14．（2026·浙江金华·三模）问题呈现：已知实数、满足：，，求的取值范围． 解：由两边同乘以得， 的取值范围为：． 类比学习： (1)若实数、满足：，，求的取值范围； (2)若实数、满足：，，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据已知的取值范围，不等式两边同乘得到的取值范围，再将的范围与的范围对应相加，即可得到的取值范围； （2）同（1）求出的取值范围，进而求出的最大值． 【详解】（1）解：由两边同乘以得，， ， 的取值范围为：； （2）解：由两边同乘以得，， ， ， 的取值范围为： ， 的最大值为． 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $