专题03 方程与方程组（5年汇编）（浙江专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 浙江中考方程与方程组专题5年真题1年模拟汇编，覆盖5大考点，结合足球积分、古代数学等生活化与文化情境，通过考情分析与梯度题目助力中考复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空/解答|约40题|一元一次方程应用、二元一次方程组解法与应用、分式方程解法与应用、一元二次方程根的判别式及应用|二元一次方程组结合手工社团材料（2025真题），分式方程融入环保植树（2023台州真题），体现应用意识与数学文化；设置错解辨析（2023衢州真题）、新定义运算（2022宁波真题），注重思维能力考查|

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03方程与方程组 5年真题1年模拟 五年真题分类园 考点01一元一次方程及其应用 1.B 3.A 4. 【答案】①) 解：2×7x=(4x-1)1, 回解：登-4.2+1， 6 去分母，得，2×7x=4x-1+6, 移项，得：14x-4x=-1+6, 合并同类页，得：10x=5, 解：X克 5← n 6.20 7. 【详解】(1)解：-6× -2-6×日8=1-8=-g 1/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)设被污染的数字为x, 由您意，得-6×号X-2产-6解得x=3 所以被污染的数字是3. 品 考点02二元一次方程（组）及其应用 1. 【详解】解： x+2y=6① 2x+y=9② ①×2得，2x+4y=12③， ③-②得，3y=3, 解得，y=1, 把y=1代入②得，2x+1=9, 解得，X=4, x=4 因此原方程组的解为 y=1/ 2.C 3. 【详解】解： 2x-y=5①】 4x+3y=-10② ①×3+②得，10x=5 1 解得×二2 托x-术入0得1-y-5, 解得y=-4 -1 y=-4 4.25 53 5.B 2/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.B y=100 1. 5×8+3x+ 3 x+y+8=100 8.A 9 【详解】解： |x+y=7① 2x-y=2② ①+②，得3x=9, X=3 把x=3代入①，得y=4, .这个方程组的解是 x=3 y=4 10.C 【分析】根据题中数量关系列出方程即可解题： 【详解】解：由10张A票的总价与19张B票的总价相差320元可知， 10x-19y=320或19y-10x=320, .10x-19y=320, 故选：C 11.A 12.A 13.C 14. 【详解】 x+2y=4① x+3y=5② 解：②-①，得y=1. 把y=1代入①，得x=2. ∴原方程组的解为 X=2 y=1/ 15.A 16. 3/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】01D解：原式=6×3+1-25=25+1-25=1： 3 (2), ①+②得3x=6, .x=2, 把x=2代入②，得y=0, ∴原方程组的解是 x=2 y=0 考点3分式方程的解法与应用 1.X=3 2 【详解】解： 110 方程两边同时乘以x-1x+1得：3x-1-x+1=0, 去括号得：3x-3-x-1=0, 移项，合并同类项得：2X=4, 系数化为1得：X=2, 检验，当x=2时，x-1x+1≠0， ∴X=2是原方程的解. 3.3 4.3 5.【答案】 小丁和小迪的解法都错误； 解：去分母，得x+(x-3)=x-2, 去括号，得2x-3=X-2, 解得，x=1, 经检验：x=1是方程的解. 6-05 7.5 4/16 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.D 9.4 10. 【详解】解：(1)(1-8°-V4 =1-2=-1 2)x-3=1, 2x-1 去分母：X-3=2X-1, 整理得：X=-2, 经检验：X=-2是原方程的根， 所以原方程的根为：X=-2. 11.【详解】(1)解：新能源车的每千米行驶费用 60×0.6_36元， a a 36 答：新能源车的每千米行驶费用为心元. 0 (2)解：①由题意得： 40×936 =0.54, a 解得a=600, 经检验，a=600是所列分式方程的解， 则40×9=40×9：0.6，.36-36 Q 600 a600 =0.06, 答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元； ②设每年行驶里程为X千米时，买新能源车的年费用更低， 由题意得：0.6x+4800>0.06x+7500, 解得x>5000, 答：每年行驶里程超过5000千米时，买新能源车的年费用更低， 考点04一元二次方程的解法与根的判别式 1.A 5/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.C 考点05一元二次方程的实际应用 1.D 2.C 3.【详解】（1)根据题意，得，起始长方形的面积为，=abm2变化后长方形的面积为 a+1b-1m2 ,a=5,边AD减少1m,得到的矩形面积不变， .5+1川b-1=5b, 解得b=6, 故答案为：6. (2)根据题意，得，起始长方形的面积为，=abm2变化后长方形的面积为a+1b+2m2 ∴2s=a+1b+2,b=3 2s=a+19+2 a 2s=三+2， a+1 a 2a2+2-sa+s=0 ,有且只有一个a的值， 六4=b2-4ac=2-s2-8s=0° .∴s2-12s+4=0, 解得g=6+42,5,=6-42（舍去)， 故答案为：6+4V2. 4.30% 6/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.20-2x.x15=360 一年模拟练测园 一、单选题 1.C 2.B 3.D 4.D 二、填空题 5.2 6.BC的长或AF的长 7.5或-1 8.X1=1X2=-2+3′x3=-2-V3 9.8 三、解答题 10.【详解】(1)解：因为Q5=a3+a4, 所以a5=2+3=5: 因为S5=a1+a2+a3+a4+a5, 所以S5=1+1+2+3+5=12. (2)解：若a2=4, 则a3=a1+4,a4=a1+8,a5=2a1+12 由S5=18得a1+a2+a3+a4+a5=18, 所以a,+4+a,+4+a1+8+2a1+12=18, 所以5a1=-10, 所以a1=-2. 7/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11.【详解】(1)解：-3x2+6x+10 =-3x2-2x+10 =-3x2-2x+1-1+10 =-3x-12+3+10 =-3x-12+131 ·x-1≥0' -3x-12≤0 六-3x-1+13≤13当且仅当x-1=0即x=1时，等号成立，此时多项式取得最大值为13： (2)解：x2-2xy+2y+2x-6y+8 =x2-2y-1x+y-12-y-12+2y2-6y+8 =x-y-1P-y2-2y+1+2y2-6y+8 =x-y+12-y2+2y-1+2y2-6y+8 =x-y+1+y2-4y+7 =x-y+12+y2-4y+4+3 =x-y+1+y-2P+3 x-y+1≥0y-2≥0 x-y+1P+y-2+3≥3当且仅当x-y+1=0且y-2=0时等号成立， 由y-2=0可得，y=2, 将y=2代入x-y+1=0可得x=1, 故当x=1,y=2时，多项式x2-2xy+2y2+2x-6y+8的最小值为3. 8/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12. 【详解】(1)解：当m=1,n=2,k=3时，此时矩形B的周长为18，面积为6， 设矩形B的长为x,则宽为9-X. 根据题意列方程，得：(9-xx=6, .x2-9x+6=0, 解之得：X=9-57 2，水 _9+V57 29 .此时命题成立. (2)成立， 理由：若矩形A两边长分别为，n,此时矩形B的周长为2km+n,面积为kmn,设矩形B的长为 x,则宽为km+n-x. 根据题意列方程，得：Xkm+n-x=kmn 即x-km+nx+kmn=0' 根据求根公式得：b-4ac=k2m+n2-4kmn=kkm+nP-4mn, k>1, kk(m+n?-4mn)>m+n-4mn 又m+n?-4mn=m-n'≥0' kk(m+nP-4mn)>0' .存在矩形B, 此命题成立 13. 【详解】(1)原方程分母不能等于零，即x≠3，第①步把原方程转化为整式方程后，x的取值可以 为3，产生了原方程的增根， (2)解：原式=2x+1+2 -3 =3-x+2 X-3 9/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =-1+2 =1 14. 【详解】(1)解：因为题目要求将给定平方数分为两个正有理数的平方和， x=0不是正有理数，不符合要求，故舍去： (2)解：设其中一个正有理数的平方为x,则另一个正有理数的平方为9-x2. 令g-X2=(mx-3P:其中m为整数. 取m=2则g-X=(2x-3P, 于是9-x2=4x2-12x+9, 解得X,=0(舍去)，为，= 5 所以X=14,9-X=9- 12}_81 25 5 25 即g=14+81=/12+ 92 2525 5+5 15.【详解】(1)解：由题意，得a-1=2且3-a≠0，解得a=-3: (2)选择方程① 由方程x2+4x+1=0;得： x2+4x=-1, x2+4x+4=-1+4, (x+22=3 x+2=±V3, x=-2±V3, x1=-2+/3'x2=-2-3 选择方程② 3x2-5x+1=0 10116 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .a=3,b=-5,c=1, .△=b2-4ac=25-4×3×1=13 x=-b±8☑-5±13 2a 6 x=5+3 _5-V13 6 选择方程③ (x-42=8-2x |x-42=-2x-4 x-42+2x-4=0 x-4x-4+2=0 x-4x-2=0 ∴.x-4=0或x-2=0 .X1=4,X2=2; (3).m,n是一元二次方程x+2x-1=0的两根， .代入得：m2+2m-1=0,n2+2n-1=0,且m+n=-2,mn=-1, .m2+3m+1n2+3n+1 =m2+2m-1+m+2n2+2n-1+n+2 =m+2n+2 =mn+2m+2n+4 =mn+2m+n+4 =-1+2×-2+4 =-1. 16. 【详解】(1)解：将x1=1代入得，y1=-3;当x2=2时，y2=5, 所以y1y2<0,所以方程的解落在1和2之间. (2)解：.‘方程x+4x+m=0有两个不同的解， ∴.△=42-4m>0, 11/16 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .m<4, 将x1=-4,X2=-3分别代入得y1=m,y2=m-3, ,恰有一个解落在一4与-3之间， 六y,y,=mm-3<0所以0<m<3 17. 【详解】(1)解：12分钟=0.2小时，乙比甲晚出发0.2小时， t=2+0.2+0.2=g 8 201 当甲跑步时间x=0.6h时：甲的路程：y=8×0.6=4.8km, 乙跑步时间为0.6-0.2=0.4h,此时两者路程相等， 枚v=48=12km/hl. 0.4 (2)解：由1)知A2.5,15B63,22 201 设y=kx+b, 2.5k+b=15 代入得63k+b=22 20 ks140 解得： 13 b=- 155 13 线段AB所在直线的函数表达式为y=140X-155, 13 139 (3)解：第一次相遇：x=0.6h,乙跑步时间=0.6-0.2=0.4h; 第二次相遇：乙维修停在y=15处， 15÷8=1..7, 甲跑到y=15时，x=1+0.2+7=2.0751h, 8 此时乙总跑步时间为2.075-0.2=1.875h: 第三次相遇：x>2.5时，则12x-15=8x-0.2×2×8, 12/16 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得x=2.95h, 此时乙总跑步时间为2.95-0.2=2.75h: 综上所述，甲、乙相遇时乙跑步的时间为0.4h,1.875h,2.75h. 18.【详解】(1)解：小明跑步的速度为 千关份 (2)解：小明跑了60分钟，路程为15千米，根据图2，得此时二人相距5千米， 故此时小聪跑的路程为15-5=10（千米）， 故图象经过点60,10， 设OD对应的函数表达式y=k心， 由题意得图象过点60,10， .∴.10=60k, 解得k号 OD对应的函数表达式y= 6. 令y=21, 解得x=126. ∴.a的值为126. (3)解：当0≤x≤60时，根据题意，得5=2x 1 。X一 1 X: 4 6 12 且s随x的增大而增大， 故x=60时，5取得最大值，且最大值为s=×60=5(千米)： 12 当60<x≤70时，根据题意，得小明此时休息，路程保持15千米，小聪跑的路程表达式为y 6, 险s=15-吉 且s随x的增大而减小， 故X=60时，5取得最大值，且最大值为5=×60=5（千米）； 12 此时取不到60，故最大值小于5千米即s<5; 13116 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 小明跑完最后6km所需的时间为6÷ 1=24min. 当70<≤94时，根据题意，得小明跑的路程表达式为y=x-70+15=x-2.5, 4 4 1 小聪跑的路程表达式为y=一x, 6 故s=4-2.5-x=X 1 6 12x-2.5, 且s随x的增大而增大， 故X=94时，)取得最大值，且最大值为s=号×94-2.5=9（千米）： 12 3 当94<x≤126时，根据题意，得小明跑到了终点，路程为21千米，不变： 1 小聪跑的路程表达式为y=三X, 6 故s=21-言x 且s随x的增大而减小， 放x=94时，5取得最大值，且最大值为5=21-上×94=5（千米）： 6 3 此时取不到94，故最大值小于千米聊5<6 3 .16>5, ·3 ∴.当x=94时，他们之间相距最远，且 16千米. 19.【详解】(1)解：4×5×6×7+1=292； (2)解：①nln+1n+2lln+3+1=(2+3n+1 ②小明证明过程中用了换元（整体）思想方法， 证明：原式nn+3n+1n+2+1 =n2+3nn2+3n+2+1 14116 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设M=n2+3n则原式=MM+2+1=M2+2M+1=M+1: 将M=n2+3n代入上式得， nln+1n+2n+3+1=n2+3n+12: (3)解：根据题意得n2+3n+1=109, .n2+3n-108=0, n+12n-9=0 解得n=9或n=-12(舍去)， ∴四个正整数中最小的整数为9. 20.【详解】(1)解：奇数的平方被4除余数为1， 证明见(2)； (2)证明：.整数m为奇数时，设m=2n+1（其中n为整数)， .m2=2n+12 =4n2+4n+1 =4n2+n+1' n是整数， .n2+n是整数， .4n2+n能被4整除， ∴.m被4除所得余数为1： (3)解：小红的计算结果不正确，理由如下： 由题意得，设整系数一元二次方程为ax2+bx+c=0(a≠0，a,b,c均为整数)， ∴.4=b2-4ac, 当b为偶数时，由题干可得，b2能被4整除， ,4ac是4的整数倍， .∴△=b2-4ac能被4整除，即△被4除余数为0： 当b为奇数时，由(2)可知，b被4除余数为1， ,4ac是4的整数倍， 15116 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∴△=b2-4ac被4除余数为1， ∴.任意整系数一元二次方程的判别式被4除的余数只能是0或1， .2026÷4=506……2,即2026被4除余数为2，不满足上述结论， ∴.小红的计算结果不正确 16116 专题03 方程与方程组 5年真题1年模拟 考点分类 浙江考情（2022-2026） 命题规律 考点01一元一次方程及其应用 2026·浙江·中考 2023·浙江嘉兴·中考 2023·浙江温州·中考2023·浙江衢州·中考 2022·浙江嘉兴·中考2022·浙江绍兴·中考 2022·浙江杭州·中考 2022-2026年浙江中考在本考点共收录7道真题，主要考查根据实际数量关系列一元一次方程、解一元一次方程以及辨析解方程过程中的错误。命题素材包括比赛积分、古代生丝损耗、营养成分等，体现出较强的生活化与数学文化特点。2026年省级命题继续采用比赛积分情境考查方程建模，说明“读懂数量关系并正确列式”仍是主要方向。题目整体难度不高，但容易在去分母、单位换算、括号处理和未知量表示上失分。复习时应同时训练规范解方程和从文字情境中提取等量关系。 考点02 二元一次方程（组）及其应用 2026·浙江·中考 2025·浙江·中考 2024·浙江·中考 2023·浙江·中考 2023·浙江宁波·中考 2023·浙江温州·中考 2023·浙江·中考 2023·浙江衢州·中考 2023·浙江台州·中考 2022·浙江杭州·中考 2022·浙江宁波·中考 2022·浙江嘉兴·中考 2022·浙江衢州·中考 2022·浙江台州·中考 2022·浙江舟山·中考 2022·浙江绍兴·中考 2022-2026年浙江中考在本考点共收录16道真题，是专题03中考查最稳定的考点。题型包括直接解方程组、判断方程的解、根据实际情境列方程或方程组，以及将方程组与图形面积、行程路线、数学文化材料结合。2022-2023年各地市卷以列方程组为主，常见情境涉及票价、资源分配、足球积分、质量配比和古代数学问题；2024-2026年省级命题连续考查方程组的解法或建模，说明该考点具有较强的延续性。命题趋势是由单纯消元逐步走向复杂材料阅读和多数量关系建模。复习时既要熟练掌握代入消元法、加减消元法，也要准确区分“总量关系”和“倍数、差量关系”。 考点03 分式方程的解法与应用 2026·浙江·中考 2025·浙江·中考 2024·浙江·中考 2023·浙江台州·中考 2023·浙江嘉兴·中考 2022·浙江宁波·中考 2022·浙江台州·中考 2022·浙江丽水·中考 2022·浙江金华·中考 2022·浙江嘉兴·中考 2022·浙江衢州·中考 2022-2026年浙江中考在本考点共收录11道真题，且2024-2026年省级命题连续出现，考查稳定。题目既包括直接解分式方程、由分式值建立方程和判断解题过程，也包括工程效率、平均量、单价费用和新定义运算等应用。直接计算题重点考查去分母、整式方程求解和验根；应用题则要求根据平均数、单价或单位费用建立分式关系。2023年的错解辨析题和2022年的新定义题表明，命题已不局限于机械求解，而更加重视转化思想、增根意识和方法理解。复习时必须强化取值范围的限制和验根步骤，并注意与专题02的分式恒等变形严格区分。 考点04 一元二次方程的解法与根的判别式 2026·浙江·中考 2022·浙江温州·中考 2022-2026年浙江中考在本考点共收录2道真题，现有题量较少，均以选择题形式考查一元二次方程根的判别式。考查内容分别为含参数方程根的情况判断和由两个相等实数根反求参数，核心是根据判别式与零的大小关系判断根的情况。现有真题尚未覆盖配方法、公式法、因式分解法等直接解法，因此当前题库覆盖面不足。2026年省级命题重新考查根的判别式，说明该知识点仍具有现实命题价值。复习时应补充直接解方程、选择适当解法、含参数根的情况和根与系数关系之间的综合题。 考点05 一元二次方程的实际应用 2023·浙江湖州·中考 2023·浙江衢州·中考 2023·浙江金华·中考 2022·浙江杭州·中考 2022·浙江衢州·中考 2022-2023年浙江中考在本考点共收录5道真题，2024-2026年未直接收录。题目主要围绕平均增长率、传染传播、矩形面积变化和包装盒体积建立一元二次方程，既考查列方程，也考查结合实际意义取舍方程的根。增长率和传播问题突出连续变化模型，几何应用则要求把边长变化转化为面积或体积关系。2023年金华题还将唯一解与判别式结合，综合性较强。复习时应重点掌握增长率模型、传播模型、面积体积模型，并训练对负根、超范围根等不合实际解的舍去说明。 考点01 一元一次方程及其应用 1．（2026·浙江·中考真题）2026年“吴越杯”浙江省城市足球联赛开赛，规定胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某队在10场比赛中负了2场，共积20分，求该队的胜场数．设该队胜了x场，则x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】总比赛10场，负2场，胜场，则平场，胜场总积分为分，平场总积分为分，再由总积分为20分，列出关于的一元一次方程即可． 【详解】解：总比赛10场，负2场，胜场，则平场，胜场总积分为分，平场总积分为分， ∵总积分为20分， ∴． 2．（2023·浙江·中考真题）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝斤，干燥后耗损斤两（古代中国斤等于两）．今有干丝斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为__________斤． 【答案】 【分析】设原有生丝斤，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设原有生丝斤，依题意， 解得：， 故答案为：． 3．（2023·浙江温州·中考真题）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为，，可列出方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g列方程． 【详解】解：设蛋白质、脂肪的含量分别为，，则碳水化合物含量为， 则：，即， 故选A． 4．（2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程时，第一步出现了错误： 解：， …… (1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处． (2)写出你的解答过程． 【答案】(1) (2). 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解 （1）根据等式的性质，解一元一次方程的步骤即可判断； （2）首先去分母、然后去括号、移项、合并同类项、次数化成1即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， 去分母，得，， 移项，得：， 合并同类页，得：， 解得：． 5．（2022·浙江嘉兴·中考真题）某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A，B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使扩大到原来的n（）倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为_______（N）（用含n，k的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据杠杆的平衡条件是：动力×动力臂=阻力×阻力臂，计算即可． 【详解】设弹簧秤新读数为x 根据杠杆的平衡条件可得： 解得 故答案为：． 6．（2022·浙江绍兴·中考真题）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．” 其题意为：“良马每天行里，劣马每天行里，劣马先行天，良马要几天追上劣马？”答：良马追上劣马需要的天数是______． 【答案】20 【分析】设良马x天追上劣马，根据良马追上劣马所走路程相同可得：240x＝150（x＋12），即可解得良马20天追上劣马． 【详解】解：设良马x天追上劣马， 根据题意得：240x＝150（x＋12）， 解得x＝20， 答：良马20天追上劣马；故答案为：20． 7．（2022·浙江杭州·中考真题）计算：．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了． (1)如果被污染的数字是，请计算． (2)如果计算结果等于6，求被污染的数字． 【答案】(1)-9 (2)3 【分析】（1）根据有理数混合运算法则计算即可； （2）设被污染的数字为x，由题意，得，解方程即可； 【详解】（1）解： ； （2）设被污染的数字为x， 由题意，得，解得， 所以被污染的数字是3． 考点02 二元一次方程（组）及其应用 1．（2026·浙江·中考真题）解方程组：． 【答案】 【分析】利用加减消元法求解即可． 【详解】解： ， 得，， 得，， 解得，， 把代入得，， 解得，， 因此原方程组的解为． 2．（2025·浙江·中考真题）手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表．           材料 类别 彩色纸（张） 细木条（捆） 手工艺品A 5 3 手工艺品B 2 1 如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题，列二元一次方程，根据题意，建立关于彩色纸和细木条用量的二元一次方程组． 【详解】解：每个手工艺品A用5张，每个B用2张，总用量为17张．因此可列方程为：； 每个手工艺品A用3捆，每个B用1捆，总用量为10捆．因此可列方程为：； 故方程组为：； 故选C． 3．（2024·浙江·中考真题）解方程组： 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用①×3＋②得，，解得，再把代入①求出即可. 【详解】解： ①×3＋②得， 解得， 把代入①得， 解得 ∴ 4．（2023·浙江·中考真题）如图，分别以为边长作正方形，已知且满足，． （1）若，则图1阴影部分的面积是__________； （2）若图1阴影部分的面积为，图2四边形的面积为，则图2阴影部分的面积是__________． 【答案】 【分析】（1）根据正方形的面积公式进行计算即可求解； （2）根据题意，解方程组得出，根据题意得出，进而得出，根据图2阴影部分的面积为，代入进行计算即可求解． 【详解】解：（1） ，图1阴影部分的面积是， 故答案为：． （2）∵图1阴影部分的面积为3，图2四边形的面积为， ∴，，即 ∴（负值舍去） ∵，． 解得： ∵① ∴， ∴， ∴② 联立①②解得：（为负数舍去）或 ∴， 图2阴影部分的面积是 故答案为：． 5．（2023·浙江宁波·中考真题）茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某村有土地60公顷，计划将其中的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据某村有土地60公顷，计划将其中的土地种植蔬菜，得到种植茶园和种植粮食的面积为，结合茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，列出方程组即可． 【详解】解：设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷， 由题意，得：， 即： 故选B． 6．（2023·浙江温州·中考真题）【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等． 【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟． 【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（ ） A．4200米 B．4800米 C．5200米 D．5400米 【答案】B 【分析】设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由题意及图象可知，然后根据“游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟”可进行求解． 【详解】解：由图象可知：小州游玩行走的时间为（分钟），小温游玩行走的时间为（分钟）； 设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由图象可得： ， 解得：， ∴游玩行走的速度为（米/分）， 由于游玩行走速度恒定，则小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为， ∴， ∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（米）； 故选B． 7．（2023·浙江·中考真题）我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花钱买了只鸡．若公鸡有8只，设母鸡有只，小鸡有只，可列方程组为___________． 【答案】 【分析】根据“现花钱买了只鸡”，列出方程组即可． 【详解】解：依题意得：， 故答案为：． 8．（2023·浙江衢州·中考真题）下列各组数满足方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入的值，逐一判断即可解答． 【详解】解：当时，方程左边，方程左边方程右边，故A符合题意； 当时，方程左边，方程左边方程右边，故B不符合题意； 当时，方程左边，方程左边方程右边，故C不符合题意； 当时，方程左边，方程左边方程右边，故D不符合题意； 故选：A． 9．（2023·浙江台州·中考真题）解方程组： 【答案】 【分析】把两个方程相加消去y，求解x，再把x的值代入第1个方程求解y即可． 【详解】解： ①+②，得． ∴． 把代入①，得． ∴这个方程组的解是． 10．（2022·浙江杭州·中考真题）某体育比赛的门票分A票和B票两种，A票每张x元，B票每张y元．已知10张A票的总价与19张B票的总价相差320元，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中数量关系列出方程即可解题； 【详解】解：由10张A票的总价与19张B票的总价相差320元可知， 或， ∴， 故选：C． 11．（2022·浙江宁波·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列出方程组即可； 【详解】原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，容量为10斗，则； 已知谷子出米率为，则来年共得米； 则可列方程组为，故选A． 12．（2022·浙江嘉兴·中考真题）“市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某校足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．那么该队胜了几场，平了几场？设该队胜了x场，平了y场，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某校足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分等量关系：胜场平场负场，得分总和为17． 【详解】解：设该队胜了x场，平了y场， 根据题意，可列方程组为： ， 故选：A． 13．（2022·浙江衢州·中考真题）某班环保小组收集废旧电池，数据统计如下表．问1节5号电池和1节7号电池的质量分别是多少？设1节5号电池的质量为克，1节7号电池的质量为克，列方程组，由消元法可得的值为（ ） 5号电池（节） 7号电池（节） 总质量（克） 第一天 2 2 72 第二天 3 2 96 A．12 B．16 C．24 D．26 【答案】C 【分析】根据表格建立二元一次方程组，用消元法即可得到答案． 【详解】解：设1节5号电池的质量为克，1节7号电池的质量为克， 根据表格得 , 由-得，故选：C． 14．（2022·浙江台州·中考真题）解方程组：． 【答案】 【分析】用加减消元法解二元一次方程组即可； 【详解】． 解：，得． 把代入①，得． ∴原方程组的解为． 15．（2022·浙江舟山·中考真题）上学期某班的学生都是双人同桌，其中男生与女生同桌，这些女生占全班女生的，本学期该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多，设上学期该班有男生x人，女生y人，根据题意可得方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设上学期该班有男生x人，女生y人，则本学期男生有（x+4）人，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设上学期该班有男生x人，女生y人，则本学期男生有（x+4）人，根据题意得： ．故选：A 16．（2022·浙江绍兴·中考真题）计算 (1)计算：6tan30°+（+1）0-. (2)解方程组 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的性质化简，然后进行计算即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：原式＝； （2）， ①＋②得3x＝6， ∴x＝2， 把x＝2代入②，得y＝0， ∴原方程组的解是． 考点03 分式方程的解法与应用 1．（2026·浙江·中考真题）分式方程的解是___________． 【答案】 【分析】先去分母将分式方程转化为整式方程，求解后检验即可得到原方程的解． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 2．（2025·浙江·中考真题）解分式方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 方程两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 3．（2024·浙江·中考真题）若，则__________ 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 故答案为： 4．（2023·浙江台州·中考真题）3月12日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动．第一组植树12棵；第二组比第一组多6人，植树36棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有________人． 【答案】3 【分析】审题确定等量关系：第一组平均每人植树棵数＝第二组平均每人植树棵数，列方程求解，注意检验． 【详解】设第一组有x人，则第二组有人，根据题意，得 去分母，得 解得， 经检验，是原方程的根． 故答案为：3 5．（2023·浙江·中考真题）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 【答案】 小丁和小迪的解法都错误； 解：去分母，得， 去括号，得， 解得，， 经检验：是方程的解． 【分析】根据解分式方程的步骤判断小丁和小迪的解法是否正确，再正确解方程即可． 【详解】略 6．（2022·浙江宁波·中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，．若，则x的值为___________． 【答案】/ 【分析】根据新定义可得，由此建立方程解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵即， ∴， 解得， 经检验是方程的解， 故答案为：． 7．（2022·浙江台州·中考真题）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的的值是____． 先化简，再求值：，其中解：原式 【答案】5 【分析】根据题意得到方程，解方程即可求解． 【详解】解：依题意得：，即， 去分母得：3-x+2(x-4)=0， 去括号得：3-x+2x-8=0， 解得：x=5， 经检验，x=5是方程的解， 故答案为：5． 8．（2022·浙江丽水·中考真题）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程，则方程中x表示（ ） A．足球的单价 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．篮球的数量 【答案】D 【分析】由的含义表示的是篮球单价比足球贵30元，从而可以确定x的含义． 【详解】解：由可得： 由表示的是足球的单价，而表示的是篮球的单价， 表示的是购买篮球的数量，故选D 9．（2022·浙江金华·中考真题）若分式的值为2，则x的值是_______． 【答案】4 【分析】根据题意建立分式方程，再解方程即可； 【详解】解：由题意得： 去分母： 去括号： 移项，合并同类项： 系数化为1： 经检验，x=4是原方程的解，故答案为：4； 10．（2022·浙江嘉兴·中考真题）（1）计算： （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先计算零次幂与算术平方根，再合并即可； （2）先去分母，化为整式方程，再解整式方程并检验即可． 【详解】解：（1） （2）， 去分母： 整理得： 经检验：是原方程的根， 所以原方程的根为： 11．（2022·浙江衢州·中考真题）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用． ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 【答案】(1)元 (2)①燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；②每年行驶里程超过5000千米时，买新能源车的年费用更低 【分析】（1）利用电池电量乘以电价，再除以续航里程即可得； （2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元建立方程，解方程可得的值，由此即可得； ②设每年行驶里程为千米时，买新能源车的年费用更低，根据这两款车的年费用建立不等式，解不等式即可得． 【详解】（1）解：新能源车的每千米行驶费用为元， 答：新能源车的每千米行驶费用为元． （2）解：①由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 则，， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； ②设每年行驶里程为千米时，买新能源车的年费用更低， 由题意得：， 解得， 答：每年行驶里程超过5000千米时，买新能源车的年费用更低． 考点04 一元二次方程的解法与根的判别式 1．（2026·浙江·中考真题）关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程中，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 2．（2022·浙江温州·中考真题）若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值是（    ） A．36 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】根据判别式的意义得到，然后解关于c的一次方程即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根 ∴ 解得 故选：C． 考点05 一元二次方程的实际应用 1．（2023·浙江湖州·中考真题）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设年平均增长率为x，根据2020年销量为20万辆，到2022年销量增加了万辆列方程即可． 【详解】解：设年平均增长率为x，由题意得 ， 故选：D． 2．（2023·浙江衢州·中考真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：． 【详解】由题意得：， 故选：C． 3．（2023·浙江金华·中考真题）如图是一块矩形菜地，面积为．现将边增加． （1）如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，则的值是__________． （2）如图2，若边增加，有且只有一个的值，使得到的矩形面积为，则的值是__________． 【答案】 6 / 【分析】（1）根据面积的不变性，列式计算即可． （2）根据面积，建立分式方程，转化为a一元二次方程，判别式为零计算即可． 【详解】（1）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为， ∵，边减少，得到的矩形面积不变， ∴， 解得， 故答案为：6． （2）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵有且只有一个的值， ∴， ∴， 解得（舍去）， 故答案为：． 4．（2022·浙江杭州·中考真题）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（），则_________（用百分数表示）． 【答案】30% 【分析】由题意：2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设新注册用户数的年平均增长率为x（），则2020年新注册用户数为100（1+x）万，2021年的新注册用户数为100（1+x）2万户， 依题意得100（1+x）2=169， 解得：x1=0.3，x2=-2.3（不合题意舍去）， ∴x=0.3=30%， 故答案为：30%． 5．（2022·浙江衢州·中考真题）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程：_____（不必化简）． 【答案】 【分析】根据题意分别找出包装盒的长、宽、高，再利用长方体的体积即可列出关于x的方程． 【详解】由包装盒容积为360cm3可得，， 故答案为：． 一、单选题 1．（2026·浙江衢州·一模）解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方程左右两边乘以去分母得到结果，即可作出判断． 【详解】解：， 方程两边乘以去分母得：． 2．（2026·浙江·模拟预测）若关于的一元二次方程的两根为，（），下列判断正确的是（   ） A．， B．应满足 C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的解的定义、根的判别式、二次函数的图象与一元二次方程的关系逐个选项进行判断即可． 【详解】解：对于选项A：把，代入原方程得左边为0， 所以仅当时成立，并非任意情况， ∴A选项错误，不符合题意； 对于选项B：先把化简得， 由题意得，方程有两个不相等的实数根（因）， ∴令， 即， 解得， 所以B选项正确，符合题意； 对于选项C：令，这是开口向上的抛物线，与轴交于，顶点为． 当时，直线与抛物线交于两点，其横坐标满足（如时，根为和），而不是， ∴C选项错误，不符合题意； 对于选项D：由C知，抛物线的顶点为， 所以当时，直线与抛物线没有交点，所以方程没有实数根，仅当时，才符合， ∴D选项错误，不符合题意； 故选B． 3．（2026·浙江杭州·一模）已知二次函数的图象经过点．当时，的取值范围是或，则的值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由题意易得，抛物线的开口向上，即，且当时，即方程有两个不相等的实数根，这两个根分别为，，然后可得，，进而问题可求解． 【详解】解：把点代入二次函数得：， ∵时，的取值范围是或， ∴抛物线的开口向上，即，当时，即方程有两个不相等的实数根，这两个根分别为，， 令， 根据一元二次方程根与系数的关系可得， ∴， ∴方程可为，， ∵，且， ∴， ∴， ∴m的值可能是5． 4．（2026·浙江湖州·二模）定义：函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且点，关于轴对称，则称函数和具有“镜像关系”，点，的纵坐标为函数和“镜像值”．关于函数和有两个结论：①函数与具有“镜像关系”；②函数与的“镜像值”有且仅有一个，则（     ） A．①②都错 B．①②都对 C．①错②对 D．①对②错 【答案】D 【分析】根据“镜像关系”的定义，结合关于y轴对称的点的坐标特征，建立方程，通过判断方程解的个数验证结论①，再求出“镜像值”的个数验证结论②． 【详解】解：设函数图象上点的坐标为， ∵，关于轴对称，在图象上， ∴点坐标为 ，且， ∵在上， ∴， ∵在上， ∴， 若和具有“镜像关系”，则存在使得， 即：， 整理得：， 解得，，方程有两个不相等的实根，说明存在符合条件的点，故结论①正确； 当时， ， 当时， ，则“镜像值”共两个，故结论②错误． 二、填空题 5．（2026·浙江湖州·一模）【文化欣赏】三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图所示的图形．此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．由此得：，得正整数解为． 【应用体验】小明用此方法解关于的方程．已知在他构造的图形中，大正方形的面积为81，则该方程的正整数解为__________． 【答案】 【分析】根据示例中赵爽弦图的构造方法，将方程变形为，可知矩形的长为，宽为，进而表示出大正方形的边长，利用大正方形的面积建立方程求解即可． 【详解】解：由方程 移项得，即． 根据题意及示例图形可知，构造的四个矩形的长为，宽为． 大正方形的边长为矩形的长与宽之和，即． 因为大正方形的面积为， 所以． 因为为正整数， 所以， 所以． 解得． 6．（2026·浙江杭州·一模）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中，利用尺规构造的方法求解一元二次方程，深刻影响了数学的发展．对于形如的方程，采用如下构造步骤：如图， ①作线段，取的中点，则； ②过点作，使得； ③以为圆心、的长为半径作圆，交直线于，两点．该方程的正根为图中线段___________． 【答案】的长或的长 【分析】根据题意，，在中，利用勾股定理构造方程，整理得，对比题干的方程可知，是方程的正根，结合等量代换可知，也是方程的正根． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， ∴， 整理，得， ∴是方程的正根， ∵，， ∴，即， ∴也是方程的正根． 7．（2026·浙江温州·模拟预测）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 当代数式的值为81时，则的值为__________． 【答案】5或 【分析】根据给出的规律得到，则，解方程即可． 【详解】解：由题意得， 即，解得或． 8．（2026·浙江台州·二模）一道作业题，要求用多种方法解方程． 有一位同学出现了如下解法： 解：观察方程可知，是这个方程的一个解， 所以可设原方程为， 即， 所以，，， 求得，， 即原方程为， 可得方程的两个根是，． 请分析这位同学的解法，写出方程所有的根_________． 【答案】，， 【分析】仿照题干给出的因式分解方法，先通过试根找出方程的一个根，再利用多项式相等的条件分解三次多项式为一次因式与二次因式的乘积，最后求解一元二次方程得到所有根. 【详解】将代入方程左边 ，得 ， 因此是原方程的一个根. 设原方程可写为 ，展开得： 对比原方程 的系数， 根据多项式相等对应系数相等，可得， 解得， 因此原方程可化为 ， 可得或， 解得， 对于一元二次方程，判别式 ，由求根公式得：， 综上，方程的所有根为，，. 9．（2026·浙江丽水·模拟预测）设一列数，，，…，中任意四个相邻数之和都是40，已知，，，，那么______． 【答案】8 【分析】根据任意四个相邻数之和为40，可推出这列数是以4为周期循环，确定各已知数在周期中的位置，列方程求解，再根据周期得到的值． 【详解】解：根据题意，得， 因此可得， 即这列数中数的周期为4， 满足， ， ， ； 对各已知数下标变形得： ，因此， ，因此， ，因此， ，因此， ∵任意四个相邻数之和为40， ∴， ∴， 整理得， 解得， ∵， ∴． 三、解答题 10．（2026·浙江嘉兴·一模）已知一列数，我们将第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，…，第个数记为，这个数的和记为（即），并且这列数从第3个数开始满足，，…，．例如，当，时，，，…，，，…… (1)当，时，求和的值． (2)若，且，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据，求解即可； （2）先表示出，，，然后根据列式求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以； 因为， 所以． （2）解：若， 则，，． 由得， 所以， 所以， 所以． 11．（2026·浙江宁波·一模）我们学过配方法，对于二次三项式，当二次项系数为1时，加上一次项系数一半的平方，即可配成完全平方式，从而求出这个多项式的最大（或最小）值． 对于含字母参数a的关于x的多项式，我们同样可以用配方法求出它的最大（或最小）值，如： 原式 ． 所以，当，时，此式的最小值为2． 试用上述方法求下列多项式的最小（或最大）值，并说明此时字母所取的值： (1)； (2)． 【答案】(1)当时，多项式取得最大值为 (2)当，时，多项式的最小值为 【分析】（1）对进行配方，即可得出结果； （2）对进行配方，即可得出结果． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴，当且仅当，即时，等号成立，此时多项式取得最大值为； （2）解： ， ∵，， ∴，当且仅当且时等号成立， 由可得，， 将代入可得， 故当，时，多项式的最小值为． 12．（2025·江苏南京·二模）命题：已知矩形A两边长分别为m，n，存在一个矩形B，它的周长与面积都是矩形A的k倍（k为大于1的正整数）． (1)当，，时，命题是否成立．若成立，求出矩形B的两边长；若不成立，请说明理由． (2)判断命题的真假，并说明理由． 【答案】(1)成立，矩形B的两边长为，， (2)成立， 理由：若矩形A两边长分别为m，n，此时矩形B的周长为，面积为，设矩形B的长为x，则宽为． 根据题意列方程，得：， 即， 根据求根公式得：， ∵， ∴ 又， ∴， ∴存在矩形B， ∴此命题成立． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及其解法． （1）根据矩形的长和宽表示出新矩形的长和宽，再根据面积的关系列出一元二次方程，进一步求解即可； （2）设矩形A两边长分别为m，n，此时矩形B的周长为，面积为，设矩形B的长为x，则宽为．再根据面积的关系列出一元二次方程，利用根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：当，，时， 此时矩形B的周长为18，面积为6， 设矩形B的长为x，则宽为． 根据题意列方程，得：， ∴， 解之得：，； ∴此时命题成立． （2）略 13．（2026·浙江舟山·二模）课堂上，程老师出示了两道题目进行对比分析，两位同学分别进行了回答． 题目1 题目2 解方程： 计算： 解：方程两边同乘，得① 去括号、移项得② 解得③ 解：原式 (1)在题目1中，该同学经检验发现当时，，即分母为0，故是方程的增根，则产生增根的步骤是第_________步．（选填“①”、“②”、“③”） (2)在题目2中，该同学代入时发现原式结果为1，但计算后的结果是，显然计算有误．请你写出正确的计算过程． 【答案】(1)① (2)解：原式 【详解】（1）原方程分母不能等于零，即，第①步把原方程转化为整式方程后，的取值可以为3，产生了原方程的增根． （2）略． 14．（2026·浙江台州·二模）丢番图曾提出这样一个问题：将一给定的平方数，分为两个正有理数的平方和． 例如给定的平方数为16． 设其中一个正有理数的平方为，则另一个正有理数的平方为． 令，其中为整数． 取，则， 于是， 解得（舍去），． 所以，， 即． (1)上面的解决过程中，为何将舍去？请说明理由． (2)请你将平方数9分为两个正有理数的平方和． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，为正有理数即可求解； （2）根据题干的解题步骤，设其中一个正有理数的平方为，则另一个正有理数的平方为，令，取，再通过解方程求出的值，进而求解即可． 【详解】（1）解：因为题目要求将给定平方数分为两个正有理数的平方和， 不是正有理数，不符合要求，故舍去； （2）解：设其中一个正有理数的平方为，则另一个正有理数的平方为． 令，其中为整数． 取，则， 于是， 解得（舍去），． 所以，， 即． 15．（2026·浙江宁波·三模）一元二次方程是初中数学代数板块的核心内容，也是中考的重点考查模块．现以“单元整体”的视角，从定义、解法、根与系数的关系等核心维度，尝试解答下列问题： (1)【概念辨析】若关于的方程是一元二次方程，则的值是____． (2)【解法实践】请从以下三个一元二次方程中任选一个你喜欢的方程进行求解： ①用配方法解：； ②用公式法解：； ③用因式分解法解：． (3)【综合应用】已知，是一元二次方程的两根，请尝试计算的值． 【答案】(1) (2)选择方程①，，（答案不唯一）； (3) 【分析】（1）由一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程即可得； （2）根据解一元二次方程的方法解答即可； （3）本题考查根与系数的关系，与一元二次方程解的定义，先利用方程的解的定义对式子进行化简，再由根与系数的关系：，即可得． 【详解】（1）解：由题意，得且，解得； （2）选择方程① 由方程；得： ， ， ， ， ， ∴，； 选择方程② ，，， ， ，； 选择方程③ 或 ，； （3），是一元二次方程的两根， 代入得：，，且，， ． 16．（2026·浙江温州·模拟预测）【阅读理解】 同学们，我们来学习近似计算二次方程解的方法． 例如，求的解． 思路：在二次函数中，若取x的值为，，，使得相应的函数值，则抛物线与x轴的交点中至少有一个在与之间，也就是说，方程至少有一个解在与之间． (1)【尝试探究】 小明按照上述方法求方程的一个解，过程如下表： x的值 0 1 2 3 a b c 请利用表格信息，求出方程的解在哪两个相邻的整数之间． (2)【迁移应用】 若关于x的方程有两个不同的解，恰有一个解落在与之间，求m的取值范围． 【答案】(1)方程的解落在1和2之间 (2) 【分析】（1）将点的横坐标代入解析式得到纵坐标，根据两点纵坐标之积小于零，判断解的范围； （2）将和分别代入得到、，根据，结合判别式大于0求出m的取值范围． 【详解】（1）解：将代入得，；当时，， 所以，所以方程的解落在1和2之间． （2）解：方程有两个不同的解， ， ， 将，分别代入得，， ∵恰有一个解落在与之间， ∴，所以． 17．（2026·浙江丽水·模拟预测）在某次举办的机器人长跑比赛中，有甲、乙两款机器人需要从相同起点同向跑步．机器人甲在跑步过程中速度保持不变，为，但每跑1小时需要更换电池原地休息12分钟；甲出发12分钟后机器人乙才出发，速度保持不变，为（），乙跑一段时间后，因为故障，原地修理了一段时间才继续按原速奔跑．已知机器人甲、乙跑步的路程y（）与甲跑步的时间x（）之间的函数关系图象如图所示． (1)______，______． (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)直接写出机器人甲、乙相遇时乙跑步的时间． 【答案】(1)；12 (2)； (3)，， 【分析】（1）先求出当甲跑步时间时甲的路程，用路程除以甲的速度再加上两次休息的时间可求出t的值；由题意可知此时乙跑步时间为，即可求出的值； （2）设，将，代入计算即可； （3）分三种情况作答即可． 【详解】（1）解：12分钟小时，乙比甲晚出发小时， ， 当甲跑步时间时：甲的路程：， 乙跑步时间为，此时两者路程相等， 故． （2）解：由（1）知，， 设， 代入得， 解得：， ∴线段所在直线的函数表达式为； （3）解：第一次相遇：，乙跑步时间； 第二次相遇：乙维修停在处， ∵， ∴甲跑到时，， 此时乙总跑步时间为； 第三次相遇：时，则， 解得， 此时乙总跑步时间为； 综上所述，甲、乙相遇时乙跑步的时间为，，． 18．（2026·浙江宁波·一模）2026宁波半程马拉松的赛程全长为21千米．小聪和小明两名选手同时从起点出发，小聪在整个比赛过程中保持匀速跑步，小明跑了60分钟后到达食品补给站，在补给站中休息10分钟后继续以原速跑到终点．小聪和小明离出发点的路程与出发时间之间的函数关系如图1所示，两人相距的路程与出发时间之间的函数关系如图2所示． (1)求小明跑步的速度（单位：千米/分）． (2)求图中的值． (3)两人出发多少分钟后，他们相距的路程最大，并求出该最大值． 【答案】(1)千米/分 (2)126 (3)出发时，两人相距最远为 【分析】（1）根据速度的定义求解即可； （2）设对应的函数表达式，待定系数法求解即可； （3）根据题意，分，， ， ，求解即可； 【详解】（1）解：小明跑步的速度为千米/分． （2）解：小明跑了60分钟，路程为15千米，根据图2，得此时二人相距5千米， 故此时小聪跑的路程为（千米）， 故图象经过点， 设对应的函数表达式， 由题意得图象过点， ， 解得． 对应的函数表达式． 令， 解得． 的值为126． （3）解：当时，根据题意，得， 且s随x的增大而增大， 故时，s取得最大值，且最大值为（千米）； 当时，根据题意，得小明此时休息，路程保持15千米，小聪跑的路程表达式为， 故， 且s随x的增大而减小， 故时，s取得最大值，且最大值为（千米）； 此时取不到60，故最大值小于5千米即； 小明跑完最后所需的时间为． 当时，根据题意，得小明跑的路程表达式为， 小聪跑的路程表达式为， 故， 且s随x的增大而增大， 故时，s取得最大值，且最大值为（千米）； 当时，根据题意，得小明跑到了终点，路程为21千米，不变； 小聪跑的路程表达式为， 故， 且s随x的增大而减小， 故时，s取得最大值，且最大值为（千米）； 此时取不到94，故最大值小于千米即； ， 当时，他们之间相距最远，且为千米． 19．（2026·浙江杭州·二模）解答以下问题 (1)观察发现：计算下列各式的结果，观察结果的特征： ① ② ③ ④ ． (2)思考探究：设n为正整数， ①第n个算式为 ． ②请通过整式运算证明：该式的结果一定是某个整式的平方． 小明的部分证明过程如下： 证明：原式 设，则原式 小明证明过程中用了 思想方法，请把小明没有完成的过程补充完整． (3)拓展应用：已知四个连续正整数的乘积加1等于，求四个正整数中最小的整数． 【答案】(1) (2)①；②换元（整体），见解析 (3) 【分析】（1）利用有理数的混合运算法则求出结果即可； （2）①根据给出算式，总结出规律即可； ②利用换元思想和完全平方公式进行证明； （3）根据题意，列出一元二次方程，然后利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：； （2）解：①； ②小明证明过程中用了换元（整体）思想方法， 证明：原式 设，则原式， 将代入上式得， ∴； （3）解：根据题意得， ∴， 解得或（舍去）， ∴四个正整数中最小的整数为9． 20．（2026·浙江台州·二模）【发现】 数学兴趣小组活动中，小明发现：偶数的平方能被4整除． 证明过程如下：整数为偶数时，设（其中为整数）， ， 因为是整数， 所以能被4整除． 【类比】 探究奇数的平方被4除所得余数的情况． 小明通过举例发现： (1)奇数的平方被4除余数为__________． 证明过程如下：整数为奇数时，设（其中为整数）， …… (2)请补全证明过程． 【应用】 (3)小红求得某一个整系数一元二次方程判别式的值等于2026．判断小红的计算结果是否正确？若正确，请写出一个符合条件的一元二次方程；若不正确，请说明理由．（注：整系数一元二次方程是指关于的方程，其中，，均为整数，且） 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3)小红的计算结果不正确，理由见解析 【分析】（1）（2）设奇数为（为整数），展开平方后整理变形，根据整除的性质证明结论； （3）根据的奇偶性，分析判别式被除的余数，将2026除以得到余数，对比即可判断结果是否正确． 【详解】（1）解：奇数的平方被4除余数为1， 证明见（2）； （2）证明：整数为奇数时，设（其中为整数）， ， 是整数， 是整数， 能被整除， 被除所得余数为； （3）解：小红的计算结果不正确，理由如下： 由题意得，设整系数一元二次方程为（，a，b，c均为整数）， ∴， 当为偶数时，由题干可得，能被整除， ∵是的整数倍， ∴能被整除，即被除余数为； 当为奇数时，由（2）可知，被除余数为， ∵是的整数倍， ∴被除余数为， ∴任意整系数一元二次方程的判别式被除的余数只能是或， ，即2026被除余数为，不满足上述结论， 小红的计算结果不正确． 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 方程与方程组 5年真题1年模拟 考点分类 浙江考情（2022-2026） 命题规律 考点01一元一次方程及其应用 2026·浙江·中考 2023·浙江嘉兴·中考 2023·浙江温州·中考2023·浙江衢州·中考 2022·浙江嘉兴·中考2022·浙江绍兴·中考 2022·浙江杭州·中考 2022-2026年浙江中考在本考点共收录7道真题，主要考查根据实际数量关系列一元一次方程、解一元一次方程以及辨析解方程过程中的错误。命题素材包括比赛积分、古代生丝损耗、营养成分等，体现出较强的生活化与数学文化特点。2026年省级命题继续采用比赛积分情境考查方程建模，说明“读懂数量关系并正确列式”仍是主要方向。题目整体难度不高，但容易在去分母、单位换算、括号处理和未知量表示上失分。复习时应同时训练规范解方程和从文字情境中提取等量关系。 考点02 二元一次方程（组）及其应用 2026·浙江·中考 2025·浙江·中考 2024·浙江·中考 2023·浙江·中考 2023·浙江宁波·中考 2023·浙江温州·中考 2023·浙江·中考 2023·浙江衢州·中考 2023·浙江台州·中考 2022·浙江杭州·中考 2022·浙江宁波·中考 2022·浙江嘉兴·中考 2022·浙江衢州·中考 2022·浙江台州·中考 2022·浙江舟山·中考 2022·浙江绍兴·中考 2022-2026年浙江中考在本考点共收录16道真题，是专题03中考查最稳定的考点。题型包括直接解方程组、判断方程的解、根据实际情境列方程或方程组，以及将方程组与图形面积、行程路线、数学文化材料结合。2022-2023年各地市卷以列方程组为主，常见情境涉及票价、资源分配、足球积分、质量配比和古代数学问题；2024-2026年省级命题连续考查方程组的解法或建模，说明该考点具有较强的延续性。命题趋势是由单纯消元逐步走向复杂材料阅读和多数量关系建模。复习时既要熟练掌握代入消元法、加减消元法，也要准确区分“总量关系”和“倍数、差量关系”。 考点03 分式方程的解法与应用 2026·浙江·中考 2025·浙江·中考 2024·浙江·中考 2023·浙江台州·中考 2023·浙江嘉兴·中考 2022·浙江宁波·中考 2022·浙江台州·中考 2022·浙江丽水·中考 2022·浙江金华·中考 2022·浙江嘉兴·中考 2022·浙江衢州·中考 2022-2026年浙江中考在本考点共收录11道真题，且2024-2026年省级命题连续出现，考查稳定。题目既包括直接解分式方程、由分式值建立方程和判断解题过程，也包括工程效率、平均量、单价费用和新定义运算等应用。直接计算题重点考查去分母、整式方程求解和验根；应用题则要求根据平均数、单价或单位费用建立分式关系。2023年的错解辨析题和2022年的新定义题表明，命题已不局限于机械求解，而更加重视转化思想、增根意识和方法理解。复习时必须强化取值范围的限制和验根步骤，并注意与专题02的分式恒等变形严格区分。 考点04 一元二次方程的解法与根的判别式 2026·浙江·中考 2022·浙江温州·中考 2022-2026年浙江中考在本考点共收录2道真题，现有题量较少，均以选择题形式考查一元二次方程根的判别式。考查内容分别为含参数方程根的情况判断和由两个相等实数根反求参数，核心是根据判别式与零的大小关系判断根的情况。现有真题尚未覆盖配方法、公式法、因式分解法等直接解法，因此当前题库覆盖面不足。2026年省级命题重新考查根的判别式，说明该知识点仍具有现实命题价值。复习时应补充直接解方程、选择适当解法、含参数根的情况和根与系数关系之间的综合题。 考点05 一元二次方程的实际应用 2023·浙江湖州·中考 2023·浙江衢州·中考 2023·浙江金华·中考 2022·浙江杭州·中考 2022·浙江衢州·中考 2022-2023年浙江中考在本考点共收录5道真题，2024-2026年未直接收录。题目主要围绕平均增长率、传染传播、矩形面积变化和包装盒体积建立一元二次方程，既考查列方程，也考查结合实际意义取舍方程的根。增长率和传播问题突出连续变化模型，几何应用则要求把边长变化转化为面积或体积关系。2023年金华题还将唯一解与判别式结合，综合性较强。复习时应重点掌握增长率模型、传播模型、面积体积模型，并训练对负根、超范围根等不合实际解的舍去说明。 考点01 一元一次方程及其应用 1．（2026·浙江·中考真题）2026年“吴越杯”浙江省城市足球联赛开赛，规定胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某队在10场比赛中负了2场，共积20分，求该队的胜场数．设该队胜了x场，则x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江·中考真题）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝斤，干燥后耗损斤两（古代中国斤等于两）．今有干丝斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为__________斤． 3．（2023·浙江温州·中考真题）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为，，可列出方程为（ ） A． B． C． D． 4．（2023·浙江衢州·中考真题）小红在解方程时，第一步出现了错误： 解：， …… (1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处． (2)写出你的解答过程． 5．（2022·浙江嘉兴·中考真题）某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A，B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使扩大到原来的n（）倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为_______（N）（用含n，k的代数式表示）． 6．（2022·浙江绍兴·中考真题）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．” 其题意为：“良马每天行里，劣马每天行里，劣马先行天，良马要几天追上劣马？”答：良马追上劣马需要的天数是______． 7．（2022·浙江杭州·中考真题）计算：．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了． (1)如果被污染的数字是，请计算． (2)如果计算结果等于6，求被污染的数字． 考点02 二元一次方程（组）及其应用 1．（2026·浙江·中考真题）解方程组：． 2．（2025·浙江·中考真题）手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表．           材料 类别 彩色纸（张） 细木条（捆） 手工艺品A 5 3 手工艺品B 2 1 如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江·中考真题）解方程组： 4．（2023·浙江·中考真题）如图，分别以为边长作正方形，已知且满足，． （1）若，则图1阴影部分的面积是__________； （2）若图1阴影部分的面积为，图2四边形的面积为，则图2阴影部分的面积是__________． 5．（2023·浙江宁波·中考真题）茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某村有土地60公顷，计划将其中的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为( ) A． B． C． D． 6．（2023·浙江温州·中考真题）【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等． 【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟． 【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（ ） A．4200米 B．4800米 C．5200米 D．5400米 7．（2023·浙江·中考真题）我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花钱买了只鸡．若公鸡有8只，设母鸡有只，小鸡有只，可列方程组为___________． 8．（2023·浙江衢州·中考真题）下列各组数满足方程的是（ ） A． B． C． D． 9．（2023·浙江台州·中考真题）解方程组： 10．（2022·浙江杭州·中考真题）某体育比赛的门票分A票和B票两种，A票每张x元，B票每张y元．已知10张A票的总价与19张B票的总价相差320元，则（    ） A． B． C． D． 11．（2022·浙江宁波·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 12．（2022·浙江嘉兴·中考真题）“市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某校足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．那么该队胜了几场，平了几场？设该队胜了x场，平了y场，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 13．（2022·浙江衢州·中考真题）某班环保小组收集废旧电池，数据统计如下表．问1节5号电池和1节7号电池的质量分别是多少？设1节5号电池的质量为克，1节7号电池的质量为克，列方程组，由消元法可得的值为（ ） 5号电池（节） 7号电池（节） 总质量（克） 第一天 2 2 72 第二天 3 2 96 A．12 B．16 C．24 D．26 14．（2022·浙江台州·中考真题）解方程组：． 15．（2022·浙江舟山·中考真题）上学期某班的学生都是双人同桌，其中男生与女生同桌，这些女生占全班女生的，本学期该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多，设上学期该班有男生x人，女生y人，根据题意可得方程组为（    ） A． B． C． D． 16．（2022·浙江绍兴·中考真题）计算 (1)计算：6tan30°+（+1）0-. (2)解方程组 考点03 分式方程的解法与应用 1．（2026·浙江·中考真题）分式方程的解是___________． 2．（2025·浙江·中考真题）解分式方程：． 3．（2024·浙江·中考真题）若，则__________ 4．（2023·浙江台州·中考真题）3月12日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动．第一组植树12棵；第二组比第一组多6人，植树36棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有________人． 5．（2023·浙江·中考真题）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 6．（2022·浙江宁波·中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，．若，则x的值为___________． 7．（2022·浙江台州·中考真题）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的的值是____． 先化简，再求值：，其中解：原式 8．（2022·浙江丽水·中考真题）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程，则方程中x表示（ ） A．足球的单价 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．篮球的数量 9．（2022·浙江金华·中考真题）若分式的值为2，则x的值是_______． 10．（2022·浙江嘉兴·中考真题）（1）计算： （2）解方程：． 11．（2022·浙江衢州·中考真题）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用． ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 考点04 一元二次方程的解法与根的判别式 1．（2026·浙江·中考真题）关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 2．（2022·浙江温州·中考真题）若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值是（    ） A．36 B． C．9 D． 考点05 一元二次方程的实际应用 1．（2023·浙江湖州·中考真题）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江衢州·中考真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（    ） A． B． C． D． 3．（2023·浙江金华·中考真题）如图是一块矩形菜地，面积为．现将边增加． （1）如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，则的值是__________． （2）如图2，若边增加，有且只有一个的值，使得到的矩形面积为，则的值是__________． 4．（2022·浙江杭州·中考真题）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（），则_________（用百分数表示）． 5．（2022·浙江衢州·中考真题）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程：_____（不必化简）． 一、单选题 1．（2026·浙江衢州·一模）解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江·模拟预测）若关于的一元二次方程的两根为，（），下列判断正确的是（   ） A．， B．应满足 C．当时， D．当时， 3．（2026·浙江杭州·一模）已知二次函数的图象经过点．当时，的取值范围是或，则的值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2026·浙江湖州·二模）定义：函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且点，关于轴对称，则称函数和具有“镜像关系”，点，的纵坐标为函数和“镜像值”．关于函数和有两个结论：①函数与具有“镜像关系”；②函数与的“镜像值”有且仅有一个，则（     ） A．①②都错 B．①②都对 C．①错②对 D．①对②错 二、填空题 5．（2026·浙江湖州·一模）【文化欣赏】三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图所示的图形．此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．由此得：，得正整数解为． 【应用体验】小明用此方法解关于的方程．已知在他构造的图形中，大正方形的面积为81，则该方程的正整数解为__________． 6．（2026·浙江杭州·一模）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中，利用尺规构造的方法求解一元二次方程，深刻影响了数学的发展．对于形如的方程，采用如下构造步骤：如图， ①作线段，取的中点，则； ②过点作，使得； ③以为圆心、的长为半径作圆，交直线于，两点．该方程的正根为图中线段___________． 7．（2026·浙江温州·模拟预测）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 当代数式的值为81时，则的值为__________． 8．（2026·浙江台州·二模）一道作业题，要求用多种方法解方程． 有一位同学出现了如下解法： 解：观察方程可知，是这个方程的一个解， 所以可设原方程为， 即， 所以，，， 求得，， 即原方程为， 可得方程的两个根是，． 请分析这位同学的解法，写出方程所有的根_________． 9．（2026·浙江丽水·模拟预测）设一列数，，，…，中任意四个相邻数之和都是40，已知，，，，那么______． 三、解答题 10．（2026·浙江嘉兴·一模）已知一列数，我们将第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，…，第个数记为，这个数的和记为（即），并且这列数从第3个数开始满足，，…，．例如，当，时，，，…，，，…… (1)当，时，求和的值． (2)若，且，求的值． 11．（2026·浙江宁波·一模）我们学过配方法，对于二次三项式，当二次项系数为1时，加上一次项系数一半的平方，即可配成完全平方式，从而求出这个多项式的最大（或最小）值． 对于含字母参数a的关于x的多项式，我们同样可以用配方法求出它的最大（或最小）值，如： 原式 ． 所以，当，时，此式的最小值为2． 试用上述方法求下列多项式的最小（或最大）值，并说明此时字母所取的值： (1)； (2)． 12．（2025·江苏南京·二模）命题：已知矩形A两边长分别为m，n，存在一个矩形B，它的周长与面积都是矩形A的k倍（k为大于1的正整数）． (1)当，，时，命题是否成立．若成立，求出矩形B的两边长；若不成立，请说明理由． (2)判断命题的真假，并说明理由． 13．（2026·浙江舟山·二模）课堂上，程老师出示了两道题目进行对比分析，两位同学分别进行了回答． 题目1 题目2 解方程： 计算： 解：方程两边同乘，得① 去括号、移项得② 解得③ 解：原式 (1)在题目1中，该同学经检验发现当时，，即分母为0，故是方程的增根，则产生增根的步骤是第_________步．（选填“①”、“②”、“③”） (2)在题目2中，该同学代入时发现原式结果为1，但计算后的结果是，显然计算有误．请你写出正确的计算过程． 14．（2026·浙江台州·二模）丢番图曾提出这样一个问题：将一给定的平方数，分为两个正有理数的平方和． 例如给定的平方数为16． 设其中一个正有理数的平方为，则另一个正有理数的平方为． 令，其中为整数． 取，则， 于是， 解得（舍去），． 所以，， 即． (1)上面的解决过程中，为何将舍去？请说明理由． (2)请你将平方数9分为两个正有理数的平方和． 15．（2026·浙江宁波·三模）一元二次方程是初中数学代数板块的核心内容，也是中考的重点考查模块．现以“单元整体”的视角，从定义、解法、根与系数的关系等核心维度，尝试解答下列问题： (1)【概念辨析】若关于的方程是一元二次方程，则的值是____． (2)【解法实践】请从以下三个一元二次方程中任选一个你喜欢的方程进行求解： ①用配方法解：； ②用公式法解：； ③用因式分解法解：． (3)【综合应用】已知，是一元二次方程的两根，请尝试计算的值． 16．（2026·浙江温州·模拟预测）【阅读理解】 同学们，我们来学习近似计算二次方程解的方法． 例如，求的解． 思路：在二次函数中，若取x的值为，，，使得相应的函数值，则抛物线与x轴的交点中至少有一个在与之间，也就是说，方程至少有一个解在与之间． (1)【尝试探究】 小明按照上述方法求方程的一个解，过程如下表： x的值 0 1 2 3 a b c 请利用表格信息，求出方程的解在哪两个相邻的整数之间． (2)【迁移应用】 若关于x的方程有两个不同的解，恰有一个解落在与之间，求m的取值范围． 17．（2026·浙江丽水·模拟预测）在某次举办的机器人长跑比赛中，有甲、乙两款机器人需要从相同起点同向跑步．机器人甲在跑步过程中速度保持不变，为，但每跑1小时需要更换电池原地休息12分钟；甲出发12分钟后机器人乙才出发，速度保持不变，为（），乙跑一段时间后，因为故障，原地修理了一段时间才继续按原速奔跑．已知机器人甲、乙跑步的路程y（）与甲跑步的时间x（）之间的函数关系图象如图所示． (1)______，______． (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)直接写出机器人甲、乙相遇时乙跑步的时间． 18．（2026·浙江宁波·一模）2026宁波半程马拉松的赛程全长为21千米．小聪和小明两名选手同时从起点出发，小聪在整个比赛过程中保持匀速跑步，小明跑了60分钟后到达食品补给站，在补给站中休息10分钟后继续以原速跑到终点．小聪和小明离出发点的路程与出发时间之间的函数关系如图1所示，两人相距的路程与出发时间之间的函数关系如图2所示． (1)求小明跑步的速度（单位：千米/分）． (2)求图中的值． (3)两人出发多少分钟后，他们相距的路程最大，并求出该最大值． 19．（2026·浙江杭州·二模）解答以下问题 (1)观察发现：计算下列各式的结果，观察结果的特征： ① ② ③ ④ ． (2)思考探究：设n为正整数， ①第n个算式为 ． ②请通过整式运算证明：该式的结果一定是某个整式的平方． 小明的部分证明过程如下： 证明：原式 设，则原式 小明证明过程中用了 思想方法，请把小明没有完成的过程补充完整． (3)拓展应用：已知四个连续正整数的乘积加1等于，求四个正整数中最小的整数． 20．（2026·浙江台州·二模）【发现】 数学兴趣小组活动中，小明发现：偶数的平方能被4整除． 证明过程如下：整数为偶数时，设（其中为整数）， ， 因为是整数， 所以能被4整除． 【类比】 探究奇数的平方被4除所得余数的情况． 小明通过举例发现： (1)奇数的平方被4除余数为__________． 证明过程如下：整数为奇数时，设（其中为整数）， …… (2)请补全证明过程． 【应用】 (3)小红求得某一个整系数一元二次方程判别式的值等于2026．判断小红的计算结果是否正确？若正确，请写出一个符合条件的一元二次方程；若不正确，请说明理由．（注：整系数一元二次方程是指关于的方程，其中，，均为整数，且） 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $