第四章 指数函数、对数函数与幂函数（复习讲义）数学人教B版高一必修第二册

该高中数学单元复习讲义通过表格对比和知识框架系统梳理指数函数、对数函数与幂函数的概念、图像及性质，明确复习要点与重难点，如指数对数运算、复合函数单调性等，构建起三类函数内在联系的知识网络。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导，基础达标巩固运算能力，能力进阶提升逻辑推理，如指数型复合函数单调性判断运用“同增异减”原则，培养数学思维与应用意识，支持学生自主复习和教师精准分层教学。

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 复习要点 掌握指数幂与对数的运算法则及相互转化；深入理解指数函数、对数函数与幂函数的概念、图像特征及基本性质；能运用函数的单调性比较大小、求解方程与不等式；体会数形结合、分类讨论等数学思想，并能建立函数模型解决实际问题。 复习重难点 重点：指数与对数的化简求值运算；三类函数的图像与性质，尤其是底数或指数的不同取值对函数单调性及图像的影响；利用函数单调性比较数值大小及求解复合函数的单调区间。 难点：对数运算中公式的灵活运用及等价变形；含参函数问题中的分类讨论思想；复合函数定义域与单调区间的综合求解；在实际问题中准确抽象并建立恰当的函数模型。 知识点 实数指数幂及其运算 1.根式的概念 一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,且. （1）当是奇数时,正数的次方根是一个 ,负数的次方根是一个 ,这时,的次方根用符号表示. （2）当是偶数时,正数的次方根有两个,记为,负数 偶次方根. （3）0的任何次方根都是 ,记作. 式子叫做根式,其中,且叫做根指数,叫做 . 2.根式的性质 根据次方根的意义,可以得到:（1） ； （2）当是奇数时,;当是偶数时, 温馨提示:中当为奇数时, 为偶数时,,而中. 3．分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定 负分数指数幂 规定 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 温馨提示：（1）分数指数幂不可以理解为个相乘． （2）对于正分数指数幂，规定其底数是 ． 4．有理数指数幂的运算性质 （1）; （2）; （3）. 5．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂 (是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 温馨提示：（1）对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果． （2）是正无理数)． （3）定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了 范围． 要点速测 1．（25-26高二下·河南南阳·期末）设，是正数，且，，则（    ） A． B． C． D． 知识点 指数函数 1．指数函数的概念 一般地，函数且)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为 温馨提示：指数函数解析式的3个特征： （1）底数为大于0且不等于1的常数．（2）自变量的位置在 上，且的系数是 . （3）的系数是1. 2．指数函数的图形及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是R上的 函数 是R上的 函数 温馨提示：（1）当时，指数函数的图象是“上升”的；当时，指数函数的图象是“下降”的． （2）指数函数且)的图象恒过点，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数且)的大致图象． 3．图象位置关系 底数的大小决定了图象相对位置的高低． （1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由 变 ，“底大图高”．作出直线，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序． （2）在轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为. 要点速测 2．（2026高一·全国·专题练习）若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 知识点对数的运算 1．对数的概念 一般地，如果且），那么数叫做以为底的 ，记作，其中叫做对数的 ，叫做 ． 常用对数与自然对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为.在科学技术中常使用以无理数为底的对数，以为底的对数称为自然对数，并记为. 2．指数与对数的互化 当时，. 3．对数的性质 （1）；（2）；（3） 和 没有对数． 4．对数恒等式 （1） 且；（2）且 5．对数运算性质 如果，且，那么： （1）；（2）；（3） 温馨提示：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立． 例如，是错误的． 6．对数换底公式 若，且，则(，且)． 由换底公式推导的重要结论 （1）（2）（3） 要点速测 3．（25-26高一下·四川乐山·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 知识点对数函数 1．对数函数的概念 函数，且)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是． 温馨提示：（1）对数函数是由指数函数反解后将互换得到的． （2）无论是指数函数还是对数函数，都有其底数，且 2．对数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是上的增函数 是上的增函数 3．当底数不同时对数函数图象的变化规律 作直线与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得. 要点速测 4．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）函数（且）的图像过定点（   ） A．（2，3） B．（2，1） C．（2，0） D．（1，0） 知识点反函数 1．反函数的概念 一般地，如果在函数中，给定值域中任意一个y的值，只有 的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称的反函数．此时，称存在反函数．而且，如果函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，则函数的反函数的表达式，可以通过对调中的 与 ，然后从中求出y得到． 2．反函数的性质 若函数的反函数记作 ，则具有以下性质： （1）定义域与值域互逆：的定义域是的 ，的值域是的 。 （2）图像对称关系：两函数的图像关于直线 呈轴对称； （3）单调性一致：单调函数必存在反函数，且原函数与反函数的单调性 。 3．求反函数的步骤 ①确定值域：先根据原函数，求出因变量y的 。 ②求解x的表达式：由变形得到，若x有多个解，需结合原函数中x的 筛选，仅保留符合要求的一个。 ③得到反函数：将x与y的符号 ，得到，其定义域需依据原函数的 确定，不可随意设定。 4．指数函数与对数函数的关系 （1）互为反函数：指数函数和对数函数是一对反函数。 （2）图像对称：二者的图像关于直线 对称。 要点速测 5．（25-26高一上·河南周口·期末）若函数是函数的反函数，则的值为（    ） A．16 B．0 C．1 D．2 知识点幂函数 1．幂函数的概念 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． 幂函数的特征 ①中前的系数为“ ”；②中的底数是单个的自变量“”；③中是 2．常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上递增 上递增， 上递减 在上递增 在上递增 上递增 上递减 定点 注意：幂函数在区间上，当 时，是增函数；当 时，是减函数． 要点速测 6．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 题型1 指数与指数幂的运算 ▌例1 （2026高一·全国·专题练习）计算下列各式的值： (1)化简：； (2)已知，求的值. 解题技巧 指数与指数幂运算解题技巧 熟记基本法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减。 统一底数或指数：遇到不同底数的幂，尝试将其化为相同底数再运算，如巧用负指数与零指数，遇到负指数先转化为正指数再计算。 注意运算顺序：先算括号内，再算乘方，最后乘除加减，避免混淆的区别。 化简优先：复杂式子先化简再代入数值，减少计算量，降低出错率。 ▌迁移练1-1（25-26高一上·福建泉州·期中）已知，则的值是（ ） A． B． C． D． ▌迁移练1-2（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）若，且，则（   ） A． B． C． D．8 ▌迁移练1-3（25-26高一上·福建泉州·期中）计算____________ ▌迁移练1-4（2026高一·全国·专题练习）使等式成立的实数的取值范围为_____. ▌迁移练1-5（2026·陕西安康·三模）若，则___________．（用m，n表示） 题型2 指数函数的概念与图像 ▌例2 （2026高一·全国·专题练习）若函数是指数函数，求实数的值（    ） A．1 B．2 C．0 D． 解题技巧 明确定义： ，底数决定函数性质。 抓住关键特征：图像恒过点 (0,1) ，值域为 (0,+∞) ， x 轴为渐近线。 分类讨论： a>1 时单调递增，0<a<1 时单调递减。 图像变换：平移、翻折、对称变换结合基本图像分析，如由平移得到。 数形结合：比较大小、求交点等问题，借助图像直观判断。 ▌迁移练2-1（25-26高二下·天津河西·阶段检测）若指数函数的图象经过点，则_____． ▌迁移练2-2（25-26高一下·湖南·期末）若函数（为常数）的图象恒过的点的纵坐标为，则（   ） A． B． C． D． ▌迁移练2-3（25-26高一上·广东广州·期末）函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． ▌迁移练2-4（多选）（25-26高一上·江苏连云港·期末）设，为实数，，.已知函数的图象如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 题型3 指数函数的定义域 ▌例3 求下列函数的定义域： (1)； (2). 解题技巧 求指数函数定义域，核心原则是底数必须大于零且不等于一。具体技巧如下： （1）底数为常数：直接验证是否满足大于零且不等于一的条件即可。 （2）底数含未知数：需列不等式组，确保底数大于零且不等于一，同时兼顾其他限制条件。 （3）底数在分母或根号内：先保证分母不为零、偶次根号下非负，再叠加底数本身的条件。 （4）复合函数：逐层分析，确保每一层的自变量取值都合法。 解题关键是全面考虑、不遗漏限制条件。 ▌迁移练3-1（25-26高一上·上海·期末）函数的定义域是__________. ▌迁移练3-2（25-26高一上·天津·阶段检测）函数 的定义域是___________ . ▌迁移练3-3若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型4 指数函数的值域 ▌例4 （2026高一·全国·专题练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． ▌迁移练4-1（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． ▌迁移练4-2（25-26高一下·安徽安庆·开学考试）函数的值域是（    ） A． B． C． D． ▌迁移练4-3（25-26高二下·黑龙江·期末）函数的值域是______________． ▌迁移练4-4（2026·广西崇左·一模）函数的值域为______. ▌迁移练4-5（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知函数. (1)求函数的值域； (2)设，若对，不等式恒成立，求正实数的取值范围. 题型5 指数函数的单调性及应用 ▌例5 （25-26高一下·上海宝山·期末）若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是____________． 解题技巧 指数函数单调性取决于底数与一的大小关系：底数大于一时单调递增，底数介于零和一之间时单调递减。解题技巧如下： 判断单调性：先看底数范围，直接确定增减性。 比较大小：同底时利用单调性直接比较；不同底时借助中间值（如零或一）搭桥。 解指数不等式：先化为同底，再根据单调性去掉指数，注意底数小于等于一时不等号方向反转。 核心是抓底数、定方向、防反转。 ▌迁移练5-1（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． ▌迁移练5-2（25-26高一下·北京·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． ▌迁移练5-3（25-26高一上·湖北十堰·期末）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为______. ▌迁移练5-4（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）不等式的解集是__________． 题型6 对数的运算 ▌例6 （25-26高一下·湖南常德·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 解题技巧 对数运算的核心是灵活转换、统一底数。解题技巧如下： 化简求值：优先将真数分解因式，利用积、商、幂的运算性质拆项合并，化繁为简。 换底统一：遇到不同底数时，用换底公式统一为同一底数，便于合并计算。 互化技巧：对数式与指数式相互转化，遇到对数方程或不等式时优先考虑。 特殊值巧用：善用底数与真数相同结果为一、真数为一结果为零等结论快速化简。 注意定义域：运算过程中始终保证真数大于零，防止增根。 关键是先观察结构，再选策略 ▌迁移练6-1（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知，，则（     ） A． B． C． D． ▌迁移练6-2（25-26高二下·江苏徐州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． ▌迁移练6-3（多选）（25-26高一下·内蒙古赤峰·期末）已知，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． ▌迁移练6-4（25-26高一下·河北保定·期末）_________. ▌迁移练6-5（2026高一·全国·专题练习）若，且，求． 题型7 对数函数的定义域 ▌例7 （25-26高一下·四川泸州·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 解题技巧 求对数函数定义域，核心原则是真数必须大于零。解题技巧如下： 真数为简单表达式：直接令其大于零，解不等式即可。 真数为分式：需保证分母不为零，同时整体大于零，列不等式组求解。 真数含偶次根号：先保证根号下非负，再令整个真数大于零，逐层叠加条件。 复合对数函数：从外到内逐层分析，确保每一层的真数都大于零。 多个对数相加减：每个对数的真数都要分别大于零，取交集。 关键是找准真数、逐层列条件、最后取交集。 ▌迁移练7-1（25-26高一下·河南信阳·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． ▌迁移练7-2（25-26高二下·北京延庆·期末）函数的定义域为__________． ▌迁移练7-3（25-26高一下·云南昭通·阶段检测）若函数的定义域为，则实数a的取值范围为________． ▌迁移练7-4（25-26高一下·上海宝山·期末）函数的定义域为______． 题型8 对数函数的值域 ▌例8 （25-26高三下·青海西宁·阶段检测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 解题技巧 ①先求定义域，保证真数大于零；②利用单调性， a>1 时递增，0<a<1 时递减；③复合函数需结合内层函数值域，代入外层对数函数求值域；④注意换底公式的灵活运用。。 ▌迁移练8-1（25-26高一下·湖南邵阳·阶段检测）集合，，则（    ） A． B． C． D． ▌迁移练8-2函数在区间上的值域是（　　） A． B． C． D． ▌迁移练8-3（25-26高一上·贵州六盘水·期末）已知函数的值域为，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． ▌迁移练8-4（25-26高一上·湖北·阶段检测）函数（）的值域为（   ） A． B． C． D． ▌迁移练8-5（25-26高一下·广东广州·期末）已知，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 题型9 对数函数的图像 ▌例9 （25-26高一上·甘肃兰州·期中）若函数且的图象如图，其中a，b为常数，则函数的图象大致是（   ）    A．  B．  C．   D．   ▌迁移练9-1（25-26高一下·湖南·阶段检测）函数满足，那么函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． ▌迁移练9-2（25-26高一上·湖北宜昌·期末）若，则与在同一坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． ▌迁移练9-3（25-26高一下·广西贵港·开学考试）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． ▌迁移练9-4（25-26高一下·贵州六盘水·期末）函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为________. 题型10 对数函数的单调性 ▌例10 （25-26高一下·山西忻州·期中）函数的单调递减区间（    ） A． B． C． D． ▌迁移练10-1（25-26高一上·山东菏泽·期末）下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． ▌迁移练10-2（25-26高三上·陕西汉中·阶段检测）已知集合，，则（） A． B． C． D． ▌迁移练10-3（25-26高一下·湖北·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ）. A． B． C． D． ▌迁移练10-4（25-26高一下·广东广州·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型11 幂函数的定义 ▌例11 下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 解题技巧 幂函数求解技巧：先认准标准形式，即系数必须为一，指数为常数，底数为自变量。求定义域时，重点关注指数的正负与奇偶，指数为负时自变量不能为零，分数指数需保证底数为正。再结合奇偶性和单调性分析图像特征，即可准确解题 ▌迁移练1-1（25-26高二下·浙江舟山·期末）若，幂函数是非奇非偶函数，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 ▌迁移练1-2（25-26高二下·江苏常州·期末）已知幂函数的图象不经过原点，则（   ） A． B． C．或 D．或 ▌迁移练1-3（25-26高一下·四川乐山·期末）已知幂函数的图象过点，则__________． 题型12 幂函数的定义域 ▌例12 （25-26高一上·广东深圳·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． ▌迁移练12-1（25-26高一上·上海·期末）下列函数中，定义域为的是（    ）. A． B． C． D． ▌迁移练12-2（25-26高一上·湖北孝感·期末）已知幂函数的图象经过点，则的定义域为（   ） A． B． C． D． ▌迁移练12-3（25-26高一下·河北衡水·开学考试）若幂函数的定义域为R，则m=______________． ▌迁移练12-4（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为____________. 题型13 幂函数的值域 ▌例13 （多选）（25-26高一上·四川成都·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．函数的定义域为 B．函数是偶函数 C．函数的单调增区间为 D．函数的值域为 解题技巧 幂函数值域求解技巧：先确定定义域，再看指数的正负和奇偶性。指数为正时函数过原点，值域通常从零开始；指数为负时函数不过原点，值域不含零。再结合单调性和奇偶性判断函数值的取值范围，即可准确求出值域。 ▌迁移练13-1（25-26高一上·江苏无锡·期末）若函数是偶函数，且值域为，则可以是（   ） A． B． C． D． ▌迁移练13-2（多选）（25-26高一上·四川广安·期末）下列函数中，值域为的有（   ） A． B． C． D． ▌迁移练13-3（25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）函数，的值域为__________. ▌迁移练13-4（25-26高三上·上海·期中）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域为______． 题型14 幂函数的图像 ▌例14 （25-26高二下·全国·期末）若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． ▌迁移练14-1（25-26高一上·浙江杭州·期中）幂函数的图象经过（    ），且在第一象限内（    ） A．第一、二象限    单调递减 B．第一、三象限    单调递减 C．第一、二象限    单调递增 D．第一、三象限    单调递增 ▌迁移练14-2（25-26高一上·广东湛江·期末）函数与的大致图象如图所示，则的值可能为（   ）    A． B． C． D．3 ▌迁移练14-3（2026·上海·模拟预测）已知，幂函数的大致图象如图所示，则_________． ▌迁移练14-4（25-26高一下·陕西安康·期中）函数的图象过定点______. 题型15 幂函数的单调性与奇偶性 ▌例15 （多选）（25-26高一下·四川眉山·期末）已知点在幂函数的图象上，则下列叙述正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C． D．函数在定义域内是减函数 ▌迁移练15-1（25-26高一下·河南新乡·期末）下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． ▌迁移练15-2（25-26高一上·福建泉州·期中）若函数为幂函数，则函数在定义域内为（ ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 ▌迁移练15-3（多选）（25-26高二·全国·暑假作业）已知点在幂函数的图象上，则函数是（    ） A．定义域内的减函数 B．奇函数 C．偶函数 D．上的减函数 ▌迁移练15-4（25-26高一下·云南玉溪·期末）幂函数在区间上单调递减，则实数__________． 难点一 指数型复合函数问题 一、求定义域 关键是保证指数部分有意义，再结合外层指数函数的要求，逐步确定自变量的取值范围。 二、求值域 先求内层函数的值域，再将其作为指数代入外层指数函数，利用指数函数的单调性求出最终值域。 三、判断单调性 遵循"同增异减"原则。内层与外层单调性相同时，复合函数递增；相反时，复合函数递减。 四、求最值 先确定内层函数的最值，再代入外层指数函数求出复合函数的最值。 核心思路是"由内到外、层层拆解"，将复合问题转化为基本初等函数问题逐步求解。 难点精练 1．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·甘肃张掖·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 4．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知函数的最小值为1，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．-1 5．（25-26高三下·江西赣州·期中）若函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（25-26高一上·四川成都·期末）已知是奇函数，则（ ） A． B．在上单调递增 C．的解集为 D．的值域为 7．（25-26高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．的单调递减区间为 D．的图象关于直线对称 8．（25-26高一上·山东烟台·期末）对于函数，下列描述正确的是（   ） A．在定义域内单调递增 B．在定义域内单调递减 C．值域是 D．图像是中心对称图形 三、填空题 9．（25-26高一上·吉林长春·期末）函数的值域是_____________. 10．（25-26高一上·贵州黔南·期末）若函数的最小值为，则实数的取值范围为__________. 难点二 对数型复合函数问题 一、求单调性 第一步，求定义域，确保真数大于零，这是后续所有分析的前提。 第二步，判断外层对数函数的单调性，底数大于一时递增，零到一之间时递减。 第三步，判断内层函数在定义域内的单调性。 第四步，运用"同增异减"原则，内外层单调性相同则复合函数递增，相反则递减。注意底数范围不同时，结论可能相反，需分类讨论。 二、求最值 第一步，在定义域内求出内层函数的最值，注意端点是否可取。 第二步，将内层函数的最值代入外层对数函数，利用其单调性求出复合函数的最值。 第三步，若内层函数无最值但有界，需结合极限思想判断复合函数是否存在最值。 核心思路是"先定域、判内外、用同增异减"，将复合问题拆解为基本函数逐步求解。 难点精练 1．（25-26高一下·广西崇左·期末）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山东聊城·一模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·浙江杭州·期末）若在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·上海·期末）函数，的最小值为_________． 5．（25-26高一上·上海普陀·期末）函数的值域是_____． 6．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是_________. 7．（25-26高一上·安徽六安·期末）已知函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的最小值. 8．（25-26高一上·云南昭通·期末）已知函数． (1)求函数的定义域，并判断函数的奇偶性； (2)求函数的值域． 难点三 指数、对数不等式问题 一、指数不等式 核心是利用指数函数的单调性脱去指数符号。底数大于一时函数递增，不等号方向不变；底数在零到一之间时函数递减，不等号方向反转。将指数不等式转化为普通不等式求解，注意分类讨论底数范围。 二、对数不等式 第一步，先求定义域，确保所有真数大于零，这是解题的前提。 第二步，利用对数函数的单调性脱去对数符号。底数大于一时递增，不等号方向不变；底数在零到一之间时递减，不等号方向反转。 第三步，将对数不等式转化为普通不等式求解，最后与定义域取交集。 三、含参不等式 需对参数分类讨论，尤其注意底数与一的大小关系对单调性的影响，不同范围下不等号方向可能不同。 四、综合问题 当指数与对数混合出现时，先统一形式，再利用换元法化简，最后结合单调性求解。 核心思路是"先定域、判底数、定方向、脱符号、求交集"。。 难点精练 1．（25-26高一下·浙江衢州·期末）“”是“ ”的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高二下·浙江湖州·期末）若（且，且），则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·上海奉贤·期末）不等式的解为______． 5．（2026高一·全国·专题练习）不等式的解集为______. 6．（25-26高一下·河南·阶段检测）已知函数，则的解集为______． 7．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知函数． (1)判断奇偶性，并加以证明； (2)若，求实数的取值范围． 难点四 比较大小问题 一、与中间值比较 最常用的方法是借助零和一作为桥梁。正数的任意次幂大于零，一的任意次幂等于一，零和负数的对数无意义或小于零。通过判断各数与零、一的大小关系，即可快速分组比较。 二、利用函数单调性 将待比较的数看作同一函数在不同自变量处的函数值，利用单调性直接判断大小。例如底数相同时，指数越大值越大（底数大于一）；真数越大对数值越大（底数大于一）。 三、构造函数法 当两数形式不同难以直接比较时，可构造辅助函数，利用导数判断其单调性，从而比较大小。 四、换底公式统一形式 对数比较中，利用换底公式将不同底数的对数统一为相同底数，再结合单调性比较。 五、图像辅助 借助指数函数、对数函数、幂函数的图像走势，直观判断函数值的大小关系。 核心思路是"找桥梁、用单调、构函数、统形式"，灵活选择方法化难为易。 难点精练 1．（25-26高一下·陕西汉中·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·广东汕尾·期末）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·天津津南·期末）设 ，则 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·浙江丽水·期末）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·四川泸州·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·贵州遵义·期中）设，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 基础达标 一、单选题 1．（25-26高一下·广东广州·期末）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·甘肃定西·期末）（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·贵州铜仁·期末）下列函数中，在区间上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·海南海口·期末）已知，，则（     ） A．3 B．7 C．11 D．15 5．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知国内某人工智能机器人制造厂在2025年机器人产量为300万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高20%，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到900万台（参考数据：，）（    ） A．2028年 B．2029年 C．2030年 D．2031年 7．（25-26高一上·山东日照·期末）函数的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D．6 8．（25-26高一上·湖南娄底·期末）已知函数，若当的定义域为时实数a的取值范围为集合A，当的值域为时实数a的取值范围为集合B，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一下·湖南衡阳·期末）已知e是自然对数的底数，，函数的图象经过原点，且无限接近直线又不与该直线相交，则（    ） A． B．的值域为 C．在区间上单调递减 D． 10．（25-26高一下·贵州铜仁·期末）已知，，则下列不等式能使成立的有（     ） A． B． C． D． 11．（25-26高一下·云南昭通·期中）已知函数，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则或 C． D．无最值 三、填空题 12．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知幂函数在上单调递减，则实数______． 13．（25-26高一下·云南丽江·期末）已知函数，则____________． 14．（25-26高一下·青海海东·期末）已知函数在上单调递减，则的取值范围为________． 四、解答题 15．（25-26高一下·陕西安康·期末）已知幂函数在定义域上单调递增，指数函数（且，且. (1)求与的解析式； (2)若函数，解不等式. 16．（25-26高二下·天津宝坻·期末）已知函数． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并证明； (3)若，求的取值范围． 17．（25-26高二下·重庆·期末）已知函数是奇函数，且 (1)求和的值； (2)若，恒成立，求实数的取值范围． 能力进阶 一、单选题 1．（2026·福建福州·三模）已知，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26高一下·湖北荆门·期末）已知函数在上是单调函数，且对任意，都有，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）若幂函数的图象经过点，则函数的最小值为（     ） A．3 B． C． D． 二、多选题 5．（25-26高一上·贵州遵义·期末）函数，则正确的有（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是奇函数 D．在区间上是增函数 6．（25-26高一下·广东·阶段检测）利用算子以及常数可以组合出四则运算与一切初等函数．已知，设，．对于使得下列等式两边均有意义的实数，，始终成立的有（   ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（25-26高一下·河北石家庄·开学考试）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为_________． 8．（25-26高一下·湖南·期末）若函数是奇函数，则在上的最大值等于________． 四、解答题 9．（25-26高一下·贵州六盘水·期末）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”. (1)已知，试判断是否为“类函数”? (2)若是定义在上的“类函数”，求实数m的最小值； (3)若为“类函数”，求实数m的取值范围. 10．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知函数． (1)求函数在区间上的值域； (2)若方程在区间上有实数解，求实数的取值范围； (3)若存在，使得不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 复习要点 掌握指数幂与对数的运算法则及相互转化；深入理解指数函数、对数函数与幂函数的概念、图像特征及基本性质；能运用函数的单调性比较大小、求解方程与不等式；体会数形结合、分类讨论等数学思想，并能建立函数模型解决实际问题。 复习重难点 重点：指数与对数的化简求值运算；三类函数的图像与性质，尤其是底数或指数的不同取值对函数单调性及图像的影响；利用函数单调性比较数值大小及求解复合函数的单调区间。 难点：对数运算中公式的灵活运用及等价变形；含参函数问题中的分类讨论思想；复合函数定义域与单调区间的综合求解；在实际问题中准确抽象并建立恰当的函数模型。 知识点 实数指数幂及其运算 1.根式的概念 一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,且. （1）当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数,这时,的次方根用符号表示. （2）当是偶数时,正数的次方根有两个,记为,负数没有偶次方根. （3）0的任何次方根都是0,记作. 式子叫做根式,其中,且叫做根指数,叫做被开方数. 2.根式的性质 根据次方根的意义,可以得到:（1）； （2）当是奇数时,;当是偶数时, 温馨提示:中当为奇数时, 为偶数时,,而中. 3．分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定 负分数指数幂 规定 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 温馨提示：（1）分数指数幂不可以理解为个相乘． （2）对于正分数指数幂，规定其底数是正数． 4．有理数指数幂的运算性质 （1）; （2）; （3）. 5．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂 (是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 温馨提示：（1）对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果． （2）是正无理数)． （3）定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 要点速测 1．（25-26高二下·河南南阳·期末）设，是正数，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数幂的运算求解即可. 【详解】由，，可得，因为为正数，所以，则 知识点 指数函数 1．指数函数的概念 一般地，函数且)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为 温馨提示：指数函数解析式的3个特征： （1）底数为大于0且不等于1的常数．（2）自变量的位置在指数上，且的系数是1. （3）的系数是1. 2．指数函数的图形及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是R上的增函数 是R上的减函数 温馨提示：（1）当时，指数函数的图象是“上升”的；当时，指数函数的图象是“下降”的． （2）指数函数且)的图象恒过点，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数且)的大致图象． 3．图象位置关系 底数的大小决定了图象相对位置的高低． （1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序． （2）在轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为. 要点速测 2．（2026高一·全国·专题练习）若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【详解】由指数函数的定义得，解得. 知识点对数的运算 1．对数的概念 一般地，如果且），那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数． 常用对数与自然对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为.在科学技术中常使用以无理数为底的对数，以为底的对数称为自然对数，并记为. 2．指数与对数的互化 当时，. 3．对数的性质 （1）；（2）；（3）零和负数没有对数． 4．对数恒等式 （1） 且；（2）且 5．对数运算性质 如果，且，那么： （1）；（2）；（3） 温馨提示：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立． 例如，是错误的． 6．对数换底公式 若，且，则(，且)． 由换底公式推导的重要结论 （1）（2）（3） 要点速测 3．（25-26高一下·四川乐山·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，所以. 知识点对数函数 1．对数函数的概念 函数，且)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是． 温馨提示：（1）对数函数是由指数函数反解后将互换得到的． （2）无论是指数函数还是对数函数，都有其底数，且 2．对数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是上的增函数 是上的增函数 3．当底数不同时对数函数图象的变化规律 作直线与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得. 要点速测 4．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）函数（且）的图像过定点（   ） A．（2，3） B．（2，1） C．（2，0） D．（1，0） 【答案】C 【分析】令，代入计算可求定点坐标. 【详解】令，得， 所以函数（且）的图像过定点（2，0）. 故选：C. 知识点反函数 1．反函数的概念 一般地，如果在函数中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称的反函数．此时，称存在反函数．而且，如果函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，则函数的反函数的表达式，可以通过对调中的x与y，然后从中求出y得到． 2．反函数的性质 若函数的反函数记作，则具有以下性质： （1）定义域与值域互逆：的定义域是的值域，的值域是的定义域。 （2）图像对称关系：两函数的图像关于直线呈轴对称； （3）单调性一致：单调函数必存在反函数，且原函数与反函数的单调性相同。 3．求反函数的步骤 ①确定值域：先根据原函数，求出因变量y的取值范围。 ②求解x的表达式：由变形得到，若x有多个解，需结合原函数中x的限制条件筛选，仅保留符合要求的一个。 ③得到反函数：将x与y的符号互换，得到，其定义域需依据原函数的值域确定，不可随意设定。 4．指数函数与对数函数的关系 （1）互为反函数：指数函数和对数函数是一对反函数。 （2）图像对称：二者的图像关于直线对称。 要点速测 5．（25-26高一上·河南周口·期末）若函数是函数的反函数，则的值为（    ） A．16 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】运用反函数概念求反函数解析式，结合对数函数性质计算即可. 【详解】函数是函数的反函数， 则，所以. 知识点幂函数 1．幂函数的概念 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． 幂函数的特征 ①中前的系数为“1”；②中的底数是单个的自变量“”；③中是常数 2．常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上递增 上递增， 上递减 在上递增 在上递增 上递增 上递减 定点 注意：幂函数在区间上，当时，是增函数；当时，是减函数． 要点速测 6．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 【答案】D 【详解】由题意得，，则，则. 题型1 指数与指数幂的运算 ▌例1 （2026高一·全国·专题练习）计算下列各式的值： (1)化简：； (2)已知，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）全部根式转化为分数指数，把根式运算转化为有理数指数的代数运算. （2）求代数式整体的值，用整体的值代入分式求值即可. 【详解】（1） （2）由， 等式两边同时平方可得：， 即， 等式两边同时平方可得：， 即，所以. 解题技巧 指数与指数幂运算解题技巧 熟记基本法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减。 统一底数或指数：遇到不同底数的幂，尝试将其化为相同底数再运算，如巧用负指数与零指数，遇到负指数先转化为正指数再计算。 注意运算顺序：先算括号内，再算乘方，最后乘除加减，避免混淆的区别。 化简优先：复杂式子先化简再代入数值，减少计算量，降低出错率。 ▌迁移练1-1（25-26高一上·福建泉州·期中）已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用指数运算化简求解. 【详解】由，得，，则，因此， 所以. ▌迁移练1-2（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）若，且，则（   ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】利用完全平方公式求出，再由完全平方公式求出，即可得解. 【详解】， ， 即， ， ， 又，， . ▌迁移练1-3（25-26高一上·福建泉州·期中）计算____________ 【答案】4 【详解】． ▌迁移练1-4（2026高一·全国·专题练习）使等式成立的实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】首先利用二次根式性质化简左侧表达式，根据等式成立的条件列不等式，然后解出的取值范围. 【详解】因为， 要使成立， 需，解得， 即实数的取值范围是. ▌迁移练1-5（2026·陕西安康·三模）若，则___________．（用m，n表示） 【答案】 【分析】由条件结合指数幂的运算性质可得，结合关系可得结论. 【详解】因为，所以， 所以． 题型2 指数函数的概念与图像 ▌例2 （2026高一·全国·专题练习）若函数是指数函数，求实数的值（    ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的定义可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值． 【详解】函数是指数函数，可得，解得． 解题技巧 明确定义： ，底数决定函数性质。 抓住关键特征：图像恒过点 (0,1) ，值域为 (0,+∞) ， x 轴为渐近线。 分类讨论： a>1 时单调递增，0<a<1 时单调递减。 图像变换：平移、翻折、对称变换结合基本图像分析，如由平移得到。 数形结合：比较大小、求交点等问题，借助图像直观判断。 ▌迁移练2-1（25-26高二下·天津河西·阶段检测）若指数函数的图象经过点，则_____． 【答案】/ 【分析】使用待定系数法解出函数解析式求解. 【详解】设的图象过点， 解得． ▌迁移练2-2（25-26高一下·湖南·期末）若函数（为常数）的图象恒过的点的纵坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令可得，当时，由题意可得，解得. ▌迁移练2-3（25-26高一上·广东广州·期末）函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】分和讨论，再结合指数函数单调性即可判断. 【详解】当时，，此时函数在上单调递增，故AB错误， 当时，，此时函数在上单调递减，故C错误，D正确. 故选：D. ▌迁移练2-4（多选）（25-26高一上·江苏连云港·期末）设，为实数，，.已知函数的图象如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据单调性、当时，判断. 【详解】因为函数为递减函数，所以，故B正确；A错误； 当时，，得，故D正确，C错误. 故选：BD 题型3 指数函数的定义域 ▌例3 求下列函数的定义域： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】利用指数型函数定义域的求法即可得解. 【详解】（1）对于，有，解得， 故的定义域为； （2）对于，有，即， 故的定义域为. 解题技巧 求指数函数定义域，核心原则是底数必须大于零且不等于一。具体技巧如下： （1）底数为常数：直接验证是否满足大于零且不等于一的条件即可。 （2）底数含未知数：需列不等式组，确保底数大于零且不等于一，同时兼顾其他限制条件。 （3）底数在分母或根号内：先保证分母不为零、偶次根号下非负，再叠加底数本身的条件。 （4）复合函数：逐层分析，确保每一层的自变量取值都合法。 解题关键是全面考虑、不遗漏限制条件。 ▌迁移练3-1（25-26高一上·上海·期末）函数的定义域是__________. 【答案】 【分析】根据偶次方根的被开方数非负及零指数幂的底数不为零得到不等式组，解得即可. 【详解】对于函数， 则，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为： ▌迁移练3-2（25-26高一上·天津·阶段检测）函数 的定义域是___________ . 【答案】 【分析】要使函数有意义，须使，解不等式可得函数 的定义域. 【详解】要使函数有意义，须使. 所以. 因为函数是减函数，所以，所以. 所以函数 的定义域是. 故答案为：. ▌迁移练3-3若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得对任意恒成立，结合指数函数单调性可得对任意恒成立，根据二次不等式恒成立问题列式求解. 【详解】由题意可得对任意恒成立， 即，且在内单调递增， 可得，即对任意恒成立， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 题型4 指数函数的值域 ▌例4 （2026高一·全国·专题练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 又函数是增函数，所以， 则所求函数的值域为． ▌迁移练4-1（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的值域即可求解． 【详解】因为指数函数，所以． ▌迁移练4-2（25-26高一下·安徽安庆·开学考试）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数单调性，结合二次函数最值求出值域. 【详解】函数的定义域为R，，当且仅当时取等号， 又函数在上单调递减，因此， 所以函数的值域是. ▌迁移练4-3（25-26高二下·黑龙江·期末）函数的值域是______________． 【答案】 【详解】因为，，即函数的值域是. ▌迁移练4-4（2026·广西崇左·一模）函数的值域为______. 【答案】 【详解】因为，所以，所以，故. ▌迁移练4-5（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知函数. (1)求函数的值域； (2)设，若对，不等式恒成立，求正实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）换元，转化成求二次函数的值域； （2）换元，利用基本不等式求函数的最值即可. 【详解】（1）令，因为，所以， 则可转化为：， 所以当时，的最小值，此时， 所以 故的值域为. （2）将代入得： ， 令，因为，所以， 所以对，不等式恒成立等价于： 恒成立，等价于恒成立， 因为，由基本不等式得： 当且仅当，即时，等号成立， 所以要使恒成立，只要使左边的最小值满足， 解得. 故正实数的取值范围为. 题型5 指数函数的单调性及应用 ▌例5 （25-26高一下·上海宝山·期末）若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【分析】根据指数函数严格递减的性质列关于底数的不等式，解不等式即可得到的取值范围. 【详解】对于指数函数（且）， 函数在上是严格减函数， 则且，得且. 所以，实数的取值范围是. 解题技巧 指数函数单调性取决于底数与一的大小关系：底数大于一时单调递增，底数介于零和一之间时单调递减。解题技巧如下： 判断单调性：先看底数范围，直接确定增减性。 比较大小：同底时利用单调性直接比较；不同底时借助中间值（如零或一）搭桥。 解指数不等式：先化为同底，再根据单调性去掉指数，注意底数小于等于一时不等号方向反转。 核心是抓底数、定方向、防反转。 ▌迁移练5-1（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分段函数在上单调递减，首先保证各段都单调递减，其次在分段地方，左边在断点处的函数值要不小于右边在断点处的函数值． 【详解】因为函数在上单调递减， 则在上单调递减，故，解得； 在上单调递减，则在上单调递增，故； ，解得：恒成立， 综上，的取值范围为． ▌迁移练5-2（25-26高一下·北京·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，即. ▌迁移练5-3（25-26高一上·湖北十堰·期末）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【分析】根据一次函数的单调性和指数函数的单调性计算即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以根据一次函数的单调性和指数函数的单调性可得， ，解得. 故答案为：. ▌迁移练5-4（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）不等式的解集是__________． 【答案】 【分析】先移项化简不等式，结合指数函数的值域判断不等式无实解，进而得到解集. 【详解】依题意，与对任意实数，均有矛盾，所以原不等式的解集是. 题型6 对数的运算 ▌例6 （25-26高一下·湖南常德·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据幂的运算法则和对数的运算法则计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3） . 解题技巧 对数运算的核心是灵活转换、统一底数。解题技巧如下： 化简求值：优先将真数分解因式，利用积、商、幂的运算性质拆项合并，化繁为简。 换底统一：遇到不同底数时，用换底公式统一为同一底数，便于合并计算。 互化技巧：对数式与指数式相互转化，遇到对数方程或不等式时优先考虑。 特殊值巧用：善用底数与真数相同结果为一、真数为一结果为零等结论快速化简。 注意定义域：运算过程中始终保证真数大于零，防止增根。 关键是先观察结构，再选策略 ▌迁移练6-1（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将对数式转化为指数式，再利用幂的运算法则计算即得. 【详解】因 ， 得 ，则 ，又， . ▌迁移练6-2（25-26高二下·江苏徐州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指对数转化，再借助换底公式，然后进行对数运算，即可判断各选项. 【详解】由，可得， 则，故A错误； 由分别转化为对数式，结合换底公式可得： ，故；，故； ，故， 由，， 显然，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. ▌迁移练6-3（多选）（25-26高一下·内蒙古赤峰·期末）已知，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】，选项正确； ，选项正确； ，选项错误； ，选项正确. ▌迁移练6-4（25-26高一下·河北保定·期末）_________. 【答案】 【详解】 ▌迁移练6-5（2026高一·全国·专题练习）若，且，求． 【答案】 【分析】利用指数与对数的互化及运算法则并结合换底公式计算即可. 【详解】由题意得，即，，即， 代入得 ． 由换底公式得，即， 所以，则． 题型7 对数函数的定义域 ▌例7 （25-26高一下·四川泸州·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，解得，故函数的定义域为. 解题技巧 求对数函数定义域，核心原则是真数必须大于零。解题技巧如下： 真数为简单表达式：直接令其大于零，解不等式即可。 真数为分式：需保证分母不为零，同时整体大于零，列不等式组求解。 真数含偶次根号：先保证根号下非负，再令整个真数大于零，逐层叠加条件。 复合对数函数：从外到内逐层分析，确保每一层的真数都大于零。 多个对数相加减：每个对数的真数都要分别大于零，取交集。 关键是找准真数、逐层列条件、最后取交集。 ▌迁移练7-1（25-26高一下·河南信阳·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，解得， 故函数的定义域为. ▌迁移练7-2（25-26高二下·北京延庆·期末）函数的定义域为__________． 【答案】 【详解】由函数有意义，得，解得， 所以所求函数的定义域为. ▌迁移练7-3（25-26高一下·云南昭通·阶段检测）若函数的定义域为，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【分析】利用对数函数的性质转化为恒成立问题，再建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】因为函数的定义域为，所以在上恒成立， 当时，，解得，不合题意； 当时，则，解得． 综上实数的取值范围为． ▌迁移练7-4（25-26高一下·上海宝山·期末）函数的定义域为______． 【答案】 【详解】要使函数有意义， 则，即，即， 解得， 所以函数的定义域为. 题型8 对数函数的值域 ▌例8 （25-26高三下·青海西宁·阶段检测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数定义域，根据对数运算，再由函数单调性求值域. 【详解】由，解得， 则， 则为增函数，所以． 解题技巧 ①先求定义域，保证真数大于零；②利用单调性， a>1 时递增，0<a<1 时递减；③复合函数需结合内层函数值域，代入外层对数函数求值域；④注意换底公式的灵活运用。。 ▌迁移练8-1（25-26高一下·湖南邵阳·阶段检测）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解法、对数型函数的最值性质，结合集合交集的定义进行求解即可. 【详解】由， 因此. 令，所以当时，， 所以， 所以. ▌迁移练8-2函数在区间上的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数单调性求值域即可. 【详解】在上是减函数， ，即值域为. 故选：A. ▌迁移练8-3（25-26高一上·贵州六盘水·期末）已知函数的值域为，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得函数的值域包含，进而分、两种情况讨论求解即可. 【详解】由题意，函数的值域包含， 当时，函数为，值域为，包含，符合题意； 当时，由，解得. 综上所述，实数a的取值范围为. 故选：C ▌迁移练8-4（25-26高一上·湖北·阶段检测）函数（）的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用换元法及对数函数的性质，令，从而有，结合二次函数的性质求值域. 【详解】，且， 令，则， 又的图象开口向上且对称轴为，且， 所以. 故选：B ▌迁移练8-5（25-26高一下·广东广州·期末）已知，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，由，得， ， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 题型9 对数函数的图像 ▌例9 （25-26高一上·甘肃兰州·期中）若函数且的图象如图，其中a，b为常数，则函数的图象大致是（   ）    A．  B．  C．   D．   【答案】A 【分析】观察图像判断底数，再结合特殊值求解. 【详解】观察的图像可知， 则也应当是单调递增的，排除掉选项C，D； 代入，，，可得； 则，结合图像判断A正确. ▌迁移练9-1（25-26高一下·湖南·阶段检测）函数满足，那么函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过幂函数得出的值，再结合对数函数的平移规律与单调性，即可确定的图象特征. 【详解】由题意得函数满足，即，可得. 因为函数是偶函数，图象关于轴对称， 而函数的图象是由向左平移1个单位得到的， 因此图象关于直线对称， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，，图象过原点， 综上可得：函数的图象如图所示，故B正确. ▌迁移练9-2（25-26高一上·湖北宜昌·期末）若，则与在同一坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合排除法，根据指数函数与对数函数的图象判断． 【详解】因为，所以， 所以是减函数，且时，，是增函数， 排除选项BD，又的定义域为，故排除选项A，只有选项C满足． ▌迁移练9-3（25-26高一下·广西贵港·开学考试）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象特征及对数函数的性质判断即可. 【详解】 因为，，所以，故的对称轴在轴左侧，排除A与C； 由选项BD可知，，所以， 所以在对称轴右侧单调递减，在对称轴左侧单调递增，故B满足，D不满足. ▌迁移练9-4（25-26高一下·贵州六盘水·期末）函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为________. 【答案】 【详解】因为，所以，即， 所以函数的图象恒过定点. 题型10 对数函数的单调性 ▌例10 （25-26高一下·山西忻州·期中）函数的单调递减区间（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将绝对值函数转为分段函数形式，结合对数函数的单调性即可判断在和上的单调性. 【详解】解：由题意可得， 因为当，则对数函数在上单调递减， 所以当时，单调性与对数函数的一致，则单调递减区间为； 当时，的单调性与对数函数相反，即在上单调递增， 综上，函数的单调递减区间为. ▌迁移练10-1（25-26高一上·山东菏泽·期末）下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本初等函数的奇偶性与单调性判断即可. 【详解】对于A：在上单调递减，故A错误； 对于B：的定义域为，又， 所以为偶函数，当时，所以在上单调递增，故B正确； 对于C：为非奇非偶函数，故C错误； 对于D：因为在上单调递增，所以在上单调递减，故D错误. 故选：B ▌迁移练10-2（25-26高三上·陕西汉中·阶段检测）已知集合，，则（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数函数的单调性把集合A具体化，再利用集合的交集运算法则可得答案. 【详解】由，得：， 根据对数函数的性质，底数， 所以函数在上单调递增， 所以， 因此，集合； 由，可得：； 所以，. ▌迁移练10-3（25-26高一下·湖北·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用复合函数单调性结合对数函数单调性列式计算求解参数. 【详解】∵在上单调递减，∴在上单调递增，∴. ▌迁移练10-4（25-26高一下·广东广州·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式等价于，函数在上单调递减， 得，所以不等式的解集为. 题型11 幂函数的定义 ▌例11 下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项不满足底数为单独的x的特征，所以不是幂函数； B选项不满足系数为1的特征，所以不是幂函数； C选项不符合y＝xα的单一形式，所以不是幂函数； D选项是幂函数. 解题技巧 幂函数求解技巧：先认准标准形式，即系数必须为一，指数为常数，底数为自变量。求定义域时，重点关注指数的正负与奇偶，指数为负时自变量不能为零，分数指数需保证底数为正。再结合奇偶性和单调性分析图像特征，即可准确解题 ▌迁移练1-1（25-26高二下·浙江舟山·期末）若，幂函数是非奇非偶函数，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】D 【分析】由幂函数、奇偶性的性质，根据条件间的推出关系确定条件间的关系. 【详解】当，则，显然函数为非奇非偶函数，充分性成立， 当幂函数，则， 即，得或， 若，即为非奇非偶函数，满足， 若，即为奇函数，不满足，所以，故必要性成立， 综上，p是q的充要条件. ▌迁移练1-2（25-26高二下·江苏常州·期末）已知幂函数的图象不经过原点，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据幂函数的定义求出的可能取值，再结合图象不过原点的约束筛选出符合条件的，最后代入计算函数值即可. 【详解】由题意可得，解得或， 当时，，此时图象不经过原点，符合题意； 当时，，此时图象经过原点，不符合题意； 所以，. ▌迁移练1-3（25-26高一下·四川乐山·期末）已知幂函数的图象过点，则__________． 【答案】 【详解】因为函数为幂函数，所以设， 函数过点，所以， 所以. 题型12 幂函数的定义域 ▌例12 （25-26高一上·广东深圳·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的图象过点，求出的解析式，从而得到的解析式，求得函数的定义域. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，即，解得. 故，则， 所以，所以， 所以函数的定义域是. 故选：D. ▌迁移练12-1（25-26高一上·上海·期末）下列函数中，定义域为的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将选项中的幂函数分别化成根式，即可求得函数的定义域逐一判断即可. 【详解】对于A，因，则该函数的定义域为，故A不合题意； 对于B，因，该函数的定义域为，故B不合题意； 对于C，因，则该函数的定义域为，故C符合题意； 对于D，因，则该函数的定义域为，故D不合题意. 故选：C. ▌迁移练12-2（25-26高一上·湖北孝感·期末）已知幂函数的图象经过点，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法求得，再求函数定义域即可. 【详解】设，因为幂函数的图象经过点 所以，即，解得， 所以，故要使函数有意义，则, 所以函数的定义域为 故选：C ▌迁移练12-3（25-26高一下·河北衡水·开学考试）若幂函数的定义域为R，则m=______________． 【答案】1 【分析】根据幂函数的定义，可得m值，代入检验，结合定义域，即可得答案. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或， 当时，，定义域为R，符合题意； 当时，，定义域为，不符合题意. 故 ▌迁移练12-4（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为____________. 【答案】 【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故， 则， 故，解得或， 故的定义域为 故答案为： 题型13 幂函数的值域 ▌例13 （多选）（25-26高一上·四川成都·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．函数的定义域为 B．函数是偶函数 C．函数的单调增区间为 D．函数的值域为 【答案】ACD 【分析】根据幂函数所过的点求幂函数的解析式，进而判断其定义域、值域、奇偶性、单调性，即可得. 【详解】由题设，令，且，则， 所以的定义域为且单调递增，值域为，是非奇非偶函数. 所以正确的有ACD，而B错误. 故选：ACD 解题技巧 幂函数值域求解技巧：先确定定义域，再看指数的正负和奇偶性。指数为正时函数过原点，值域通常从零开始；指数为负时函数不过原点，值域不含零。再结合单调性和奇偶性判断函数值的取值范围，即可准确求出值域。 ▌迁移练13-1（25-26高一上·江苏无锡·期末）若函数是偶函数，且值域为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的性质逐一分析每个选项. 【详解】A选项，，需满足，即定义域为， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，A选项错误； C选项，，值域为，值域不符合题意，C选项错误； D选项，，需满足，即定义域为， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，D选项错误； B选项，，定义域为，定义域关于原点对称， 且，是偶函数，且值域也满足，B选项正确. 故选：B ▌迁移练13-2（多选）（25-26高一上·四川广安·期末）下列函数中，值域为的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由二次函数，对数函数，幂函数，指数函数的性质逐项判断可得. 【详解】对于A，由二次函数的性质可得函数的值域为，故A正确； 对于B，由对数函数的性质可得函数的值域为，故B错误； 对于C，由幂函数的性质可得函数的值域为，故C正确； 对于D，由指数函数的性质可得函数的值域为，故D错误. 故选：AC. ▌迁移练13-3（25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）函数，的值域为__________. 【答案】 【分析】根据基本初等函数性质，判断函数单调性，判断函数值域. 【详解】可知和在上都单调递增， 则在上都单调递增， 所以函数在上的最小值为，最大值为，则函数值域为. 故答案为：. ▌迁移练13-4（25-26高三上·上海·期中）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域为______． 【答案】 【分析】代入点可得，结合即可得函数值域. 【详解】将点代入可得，即， 可得， 因为，可得，所以该幂函数的值域是. 故答案为：. 题型14 幂函数的图像 ▌例14 （25-26高二下·全国·期末）若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由所给图象结合幂函数单调性判断即可得. 【详解】当时，在上单调递增， 且时，当增大时，图象越来越平缓，所以； 当时，在上单调递减， 不妨令，根据题图可得，所以； 综上可得. ▌迁移练14-1（25-26高一上·浙江杭州·期中）幂函数的图象经过（    ），且在第一象限内（    ） A．第一、二象限    单调递减 B．第一、三象限    单调递减 C．第一、二象限    单调递增 D．第一、三象限    单调递增 【答案】C 【详解】幂函数的定义域为，由，得函数是偶函数， 其图象关于轴对称，又，则该函数图象在轴及上方， 而，则函数在上单调递增， 所以幂函数的图象经过第一、二象限，且在第一象限内单调递增. ▌迁移练14-2（25-26高一上·广东湛江·期末）函数与的大致图象如图所示，则的值可能为（   ）    A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】由对数函数图象确定，再结合幂函数奇偶性即可判断. 【详解】由图象结合对数函数的性质可知，则D不符合题意； 又函数为奇函数，定义域为, B符合题意． 又的定义域都是不符合， 故选：B． ▌迁移练14-3（2026·上海·模拟预测）已知，幂函数的大致图象如图所示，则_________． 【答案】 【详解】由图象知，时，在第一象限单调递减，故排除， 图象关于轴对称，故函数是偶函数， 时，，定义域为，满足，是偶函数； 时，，定义域为，满足，是奇函数； ． ▌迁移练14-4（25-26高一下·陕西安康·期中）函数的图象过定点______. 【答案】 【详解】由，解得，代入函数，可得， 所以函数图象恒过定点. 题型15 幂函数的单调性与奇偶性 ▌例15 （多选）（25-26高一下·四川眉山·期末）已知点在幂函数的图象上，则下列叙述正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C． D．函数在定义域内是减函数 【答案】AC 【分析】根据幂函数的定义和性质判断即可. 【详解】因为点在幂函数的图象上，所以，解得. 所以. 由于，所以是奇函数，A正确B错误； 易知，所以C正确； 根据幂函数的性质可知，分别在上单调递减，但是定义域内不是单调函数，所以D错误. ▌迁移练15-1（25-26高一下·河南新乡·期末）下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用函数奇偶性定义结合幂函数的单调性判断即可. 【详解】对于A：定义域为，，所以为偶函数，不符合题意； 对于B：定义域为，，所以为偶函数，不符合题意； 对于C：定义域为，，所以为奇函数，但是在区间上单调递减，不符合题意； 对于D：定义域为，，所以为奇函数，是在区间上单调递增，符合题意； ▌迁移练15-2（25-26高一上·福建泉州·期中）若函数为幂函数，则函数在定义域内为（ ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 【答案】C 【详解】函数为幂函数，，得， ，定义域为， ，故在定义域内为奇函数，故D选项错误，C选项正确； 根据幂函数的性质知在，上单调递减，但在其整个定义域上不具有单调性，故选项A，B错误. ▌迁移练15-3（多选）（25-26高二·全国·暑假作业）已知点在幂函数的图象上，则函数是（    ） A．定义域内的减函数 B．奇函数 C．偶函数 D．上的减函数 【答案】BD 【分析】根据幂函数的定义得出，再结合点的坐标得出解析式，根据解析式判断幂函数单调性及奇偶性即可求解． 【详解】由题意，解得，则， 将点，即代入，得，即， 定义域为，有， 故为奇函数，故B正确，C错误； 又，所以在和上为减函数，故A错误，D正确． ▌迁移练15-4（25-26高一下·云南玉溪·期末）幂函数在区间上单调递减，则实数__________． 【答案】 【分析】先根据幂函数的定义求出的可能取值，再结合幂函数在上的单调递减性质筛选出符合条件的. 【详解】 根据幂函数的定义：形如（为常数）的函数为幂函数，其的系数必须为，因此有： ， 整理得一元二次方程，因式分解得，解得或； 幂函数在上单调递减的充要条件是指数，即， 当时，，此时在上单调递增，不符合题意，舍去； 当时，，此时在上单调递减，符合题意， 综上，实数. 难点一 指数型复合函数问题 一、求定义域 关键是保证指数部分有意义，再结合外层指数函数的要求，逐步确定自变量的取值范围。 二、求值域 先求内层函数的值域，再将其作为指数代入外层指数函数，利用指数函数的单调性求出最终值域。 三、判断单调性 遵循"同增异减"原则。内层与外层单调性相同时，复合函数递增；相反时，复合函数递减。 四、求最值 先确定内层函数的最值，再代入外层指数函数求出复合函数的最值。 核心思路是"由内到外、层层拆解"，将复合问题转化为基本初等函数问题逐步求解。 难点精练 1．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抽象函数定义域法以及指数函数单调性运算求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以对于函数有，解得， 所以函数的定义域是. 故选：D. 2．（2026·甘肃张掖·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为为上的增函数， 所以由复合函数的单调性知在上单调递减， 当时，在上单调递减，满足题意； 当时，在上单调递减，则， 解得. 综上，. 3．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据已知得，且函数为偶函数，再由指数函数图象性质可求出的值即可. 【详解】由函数过原点可知，即可得，即； 又函数定义域为，且满足，可知函数为偶函数， 当时，趋近于0，所以函数趋近于, 因此可得，所以； 即. 故选：D 4．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知函数的最小值为1，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．-1 【答案】A 【分析】先利用二次函数的最小值为 0，得到指数的最小值为，再根据指数函数的单调性，由 解出. 【详解】是增函数，所以的最小值由指数的最小值确定， 因为，所以的最小值为（当时取得）， 因此函数的最小值为，又已知的最小值为1， 所以，解得． 故选：A. 5．（25-26高三下·江西赣州·期中）若函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，则在上单调递增，从而得到即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 令， 又因为单调递减，则在上单调递增， 则，所以实数的取值范围是. 二、多选题 6．（25-26高一上·四川成都·期末）已知是奇函数，则（ ） A． B．在上单调递增 C．的解集为 D．的值域为 【答案】AD 【分析】根据奇函数的定义，列出方程，求出参数值，判断选项A的正误；根据复合函数单调性，判断选项B的正误；根据基本初等函数的性质，对函数解析式进行分离常数，判断函数值域，判断D的正误；根据函数单调性，解不等式即可，判断C的正误. 【详解】因为是奇函数，定义域， 所以当时，恒成立，即， 化简得，得，故A正确； 可得，记，， 当时，单调递增，在上单调递减， 由复合函数的单调性可知在上单调递减，故B错误； 因为，且在上单调递减， 所以，等价于，即， 因为单调递减，所以， 所以的解集为．故C错误； 因为且，所以且，所以或， 所以或，所以的值域为，故D正确． 故选：AD. 7．（25-26高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．的单调递减区间为 D．的图象关于直线对称 【答案】ACD 【分析】由指数函数的定义域可判断A；由指数型复合函数的单调性可判断BC；验证可得D. 【详解】A，由指数函数的性质知，的定义域为，A正确. B、C，函数在上单调递减，在上单调递增，是增函数， 所以在上单调递减，在上单调递增，，B错误，C正确. D，，的图象关于直线对称，D正确. 故选：ACD. 8．（25-26高一上·山东烟台·期末）对于函数，下列描述正确的是（   ） A．在定义域内单调递增 B．在定义域内单调递减 C．值域是 D．图像是中心对称图形 【答案】ACD 【分析】分离常数得，再根据指数函数的单调性、值域即可判断ABC，计算即可判断D. 【详解】， 对于A，B：因为，所以，所以函数的定义域为， 又因为单调递增，所以单调递增，所以单调递减， 所以单调递增，所以单调递增，故A正确，B错误； 对于C：又，所以，所以，所以， 所以，所以， 所以的值域是，故C正确； 对于D： ， 所以函数图像关于点中心对称，故D正确； 故选：ACD 三、填空题 9．（25-26高一上·吉林长春·期末）函数的值域是_____________. 【答案】 【分析】由指数型复合函数的值域求解即可. 【详解】定义域为， 令， 当时，，值域为， 当时，，值域为， 所以函数的值域为. 故答案为：. 10．（25-26高一上·贵州黔南·期末）若函数的最小值为，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】设，依题意得的最小值为，根据的取值分成，和三类情况分析函数的单调性，求出其最小值后验证即得参数范围. 【详解】令，则得的最小值为. 当，即时，函数在上为增函数， ，满足题意； 当，即时，函数在上为减函数，在上为增函数. ①当，即时，函数在上为增函数， ，满足题意； ②当，即时， .令，解得，不满足题意. 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 难点二 对数型复合函数问题 一、求单调性 第一步，求定义域，确保真数大于零，这是后续所有分析的前提。 第二步，判断外层对数函数的单调性，底数大于一时递增，零到一之间时递减。 第三步，判断内层函数在定义域内的单调性。 第四步，运用"同增异减"原则，内外层单调性相同则复合函数递增，相反则递减。注意底数范围不同时，结论可能相反，需分类讨论。 二、求最值 第一步，在定义域内求出内层函数的最值，注意端点是否可取。 第二步，将内层函数的最值代入外层对数函数，利用其单调性求出复合函数的最值。 第三步，若内层函数无最值但有界，需结合极限思想判断复合函数是否存在最值。 核心思路是"先定域、判内外、用同增异减"，将复合问题拆解为基本函数逐步求解。 难点精练 1．（25-26高一下·广西崇左·期末）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数单调性及对数函数单调性条件可转化为函数在区间上有意义，且在上单调递减，讨论结合二次函数性质可得结论. 【详解】因为函数在区间上单调递减，为增函数， 所以函数在区间上有意义，且在上单调递减， 当时，或，解得， 当时，，此时函数的定义域为， 因为函数在上单调递减，函数为增函数， 所以函数在上单调递减，满足条件， 所以的取值范围为. 2．（2026·山东聊城·一模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 因为在区间上单调递增，且为减函数， 由复合函数单调性知在上单调递减， 则有解得， 故的取值范围是， 故选：B． 3．（25-26高一上·浙江杭州·期末）若在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则，因为在定义域内是单调递减函数， 故在区间上也必为单调递减函数，根据二次函数易知对称轴才能得到在区间上单调递增， 又在上要恒大于零， 则有，解得． 则实数a的取值范围为 4．（25-26高一上·上海·期末）函数，的最小值为_________． 【答案】 【分析】利用换元法结合对数运算、对数函数性质、二次函数性质求值即可. 【详解】设，则. . 函数是开口向上的二次函数，对称轴为. 所以. 故答案为：. 5．（25-26高一上·上海普陀·期末）函数的值域是_____． 【答案】 【分析】根据复合函数值域求解即可求得结果. 【详解】易知函数的定义域为， 且， 所以，即. 因此函数的值域为. 故答案为： 6．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用对数函数性质，结合二次函数性质列式求解. 【详解】由的值域为，得函数的值域包含， 则，解得或； 令，由函数在上单调递增，函数是减函数， 得函数在上单调递减且， 因此，解得， 又或，于是有， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 7．（25-26高一上·安徽六安·期末）已知函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用对数的运算性质可得，令，则.利用二次函数的单调性求值域即可. （2）分离参数，将不等式恒成立问题转化为最值问题，结合函数单调性求出最值即可. 【详解】（1）函数的定义域为. . 令，则. 当时，. 所以当时，， 当时，， 所以当时，该函数的值域为. （2）当时，. 原不等式可化为，即对恒成立. 令任取，则 所以， 则在上单调递增，所以. 故，即的最小值为. 8．（25-26高一上·云南昭通·期末）已知函数． (1)求函数的定义域，并判断函数的奇偶性； (2)求函数的值域． 【答案】(1)，偶函数 (2) 【分析】（1）解不等式得定义域，再根据奇偶性的定义判断即可； （2）由题知，令，再结合复合函数的性质求解值域即可. 【详解】（1）由题意得，解得． 所以函数的定义域为． 所以函数定义域关于原点对称， 又． 为偶函数． （2），， 令，，则， 又函数为增函数，的最大值为0． 所以函数的值域为． 难点三 指数、对数不等式问题 一、指数不等式 核心是利用指数函数的单调性脱去指数符号。底数大于一时函数递增，不等号方向不变；底数在零到一之间时函数递减，不等号方向反转。将指数不等式转化为普通不等式求解，注意分类讨论底数范围。 二、对数不等式 第一步，先求定义域，确保所有真数大于零，这是解题的前提。 第二步，利用对数函数的单调性脱去对数符号。底数大于一时递增，不等号方向不变；底数在零到一之间时递减，不等号方向反转。 第三步，将对数不等式转化为普通不等式求解，最后与定义域取交集。 三、含参不等式 需对参数分类讨论，尤其注意底数与一的大小关系对单调性的影响，不同范围下不等号方向可能不同。 四、综合问题 当指数与对数混合出现时，先统一形式，再利用换元法化简，最后结合单调性求解。 核心思路是"先定域、判底数、定方向、脱符号、求交集"。。 难点精练 1．（25-26高一下·浙江衢州·期末）“”是“ ”的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，充分条件、必要条件判断即可. 【详解】由指数函数的单调性可知， 而不能推出，（例如时函数意义）， 又， 所以“”是“ ”的必要不充分条件. 2．（25-26高二下·浙江湖州·期末）若（且，且），则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以；，所以. 由，因为，， 所以. 综上可得. 故选项D是错误的. 3．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可得对称性，进而根据函数的单调性，可得求解． 【详解】由， 得的图象关于直线对称， 设，则， 因为在上单调递增，且在上单调递增， 所以在上单调递增， 由，可得， 所以，整理得， 解得或． 4．（25-26高一上·上海奉贤·期末）不等式的解为______． 【答案】 【详解】令，显然的定义域为, 因为函数和在上单调递增，因此在上单调递增； 又，所以不等式即为， 因此可得，即该不等式的解集为. 5．（2026高一·全国·专题练习）不等式的解集为______. 【答案】 【分析】把不等式转化为，结合对数函数的单调性，列出不等式组，即可求解. 【详解】不等式，可化为， 因为在上是增函数， 所以不等式，即为，解得 所以不等式的解集为 6．（25-26高一下·河南·阶段检测）已知函数，则的解集为______． 【答案】 【分析】求出的定义域，利用对数不等式可得：即可求解。 【详解】由函数，可得， 解得：，所以函数的定义域为， 而， 则，，得，故解集为． 7．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知函数． (1)判断奇偶性，并加以证明； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) 函数为偶函数，证明如下： 由已知且，解得， 所以函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又， 所以为偶函数； (2) 【分析】（1）由且求函数定义域，再利用函数奇偶性的定义证明即可； （2）将转化为求解即可. 【详解】（1）略 （2）， 则，化简得且， 解得或， 故实数的取值范围为． 难点四 比较大小问题 一、与中间值比较 最常用的方法是借助零和一作为桥梁。正数的任意次幂大于零，一的任意次幂等于一，零和负数的对数无意义或小于零。通过判断各数与零、一的大小关系，即可快速分组比较。 二、利用函数单调性 将待比较的数看作同一函数在不同自变量处的函数值，利用单调性直接判断大小。例如底数相同时，指数越大值越大（底数大于一）；真数越大对数值越大（底数大于一）。 三、构造函数法 当两数形式不同难以直接比较时，可构造辅助函数，利用导数判断其单调性，从而比较大小。 四、换底公式统一形式 对数比较中，利用换底公式将不同底数的对数统一为相同底数，再结合单调性比较。 五、图像辅助 借助指数函数、对数函数、幂函数的图像走势，直观判断函数值的大小关系。 核心思路是"找桥梁、用单调、构函数、统形式"，灵活选择方法化难为易。 难点精练 1．（25-26高一下·陕西汉中·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和幂函数单调性可比较出大小 【详解】由于在R上单调递减，故，即， 由于在上单调递增，故，即， 综上， 2．（25-26高一下·广东汕尾·期末）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的运算、指数与对数的互化、单调性，结合赋值法判断即可. 【详解】设， 则，，. 对于A，当时，，，，则，A有可能. 对于B，当时，，，，则，B有可能. 对于C，要满足，即，同时取对数得， 则. 当时，会非常小；当足够小时，比衰减慢，会出现； 如时，，，， 因为，，， 所以，易得，，所以， 故，C可能. 对于 D，若 ，则必有 和 ． 由 ，得 若 ，则 ，从而 ，矛盾，所以 ． 由 ，得 若 ，则矛盾，所以 ． 这与 矛盾，因此 不可能出现． 3．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指对数函数的单调性，通过中间量0和即可比较大小. 【详解】因为，所以． 4．（25-26高二下·天津津南·期末）设 ，则 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】引入中间值0和1，判断的大小. 【详解】因为，，又，所以， ，所以. 5．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性，分别判定、、与、的大小关系，即可比较三者大小. 【详解】，，， 故. 6．（25-26高二下·浙江丽水·期末）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数及对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】指数函数为增函数，且，所以，即. 对数函数在定义域内为减函数，且，所以，即. 因为，所以. 综上，. 7．（25-26高一下·四川泸州·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由指数函数的性质可得，， 由对数函数的性质可得， . 8．（25-26高一下·贵州遵义·期中）设，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指对数的性质判断大小关系即可. 【详解】由， 所以. 基础达标 一、单选题 1．（25-26高一下·广东广州·期末）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】使用集合的交集运算求解． 【详解】因为的解集为：，所以集合， 则． 2．（25-26高一下·甘肃定西·期末）（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数的幂运算性质化简计算即可. 【详解】，故C正确. 3．（25-26高一下·贵州铜仁·期末）下列函数中，在区间上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知函数的性质逐项分析. 【详解】对于A，因为在上单调递减，A错误； 对于B，因为在上单调递减，B错误； 对于C，因为在上单调递减，C错误； 对于D，因为时，在单调递增，D正确. 4．（25-26高一下·海南海口·期末）已知，，则（     ） A．3 B．7 C．11 D．15 【答案】C 【详解】因为，所以. 又，故. 5．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数在 上单调递减，判断；根据幂函数 在 上单调递增，得到 . 【详解】因为对数函数在 上单调递减，所以 ，所以； ， ， 因为幂函数 在 上单调递增，且 ，所以 ， 即 ； 所以 . 6．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知国内某人工智能机器人制造厂在2025年机器人产量为300万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高20%，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到900万台（参考数据：，）（    ） A．2028年 B．2029年 C．2030年 D．2031年 【答案】D 【分析】由题意列式，根据指数式和对数式的互化，以及利用对数的运算，即可求得答案. 【详解】设该工厂经过年，人工智能机器人的产量才能达到万台． 由题意可得， 所以，所以． 经过年，人工智能机器人的产量才能达到万台， 即到年，人工智能机器人的产量才能达到万台． 7．（25-26高一上·山东日照·期末）函数的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D．6 【答案】B 【分析】先利用对数函数的性质，找到的定点，再利用“1的代换”构造可应用基本不等式的形式，最后运用基本不等式的性质求解即可. 【详解】因为 ，令 （即 ）， 则，所以定点 的坐标为 ， 因为点 在直线 上， 所以， 所以， 所以， 当且仅当 （即 ）时取等号，则的最小值为8. 故选：B. 8．（25-26高一上·湖南娄底·期末）已知函数，若当的定义域为时实数a的取值范围为集合A，当的值域为时实数a的取值范围为集合B，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合对数函数的图象与性质，以及二次函数的性质，列出不等式组，分别求得集合，以及，结合选项，即可求解. 【详解】由函数的定义域为，即在上恒成立， 则满足，解得，即； 由函数的值域为，则满足应取遍所有的正数， 即的值域包含， 当时，函数的值域为，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，集合，则，. 二、多选题 9．（25-26高一下·湖南衡阳·期末）已知e是自然对数的底数，，函数的图象经过原点，且无限接近直线又不与该直线相交，则（    ） A． B．的值域为 C．在区间上单调递减 D． 【答案】BD 【分析】对于A，根据函数过原点和无限接近直线可判断；对于B，根据解析式判断函数的奇偶性，值域可判断，对于C，根据解析式判断函数的单调性，即可判断；对于D，根据对数函数性质，再根据函数为偶函数可判断. 【详解】对于A，因为函数的图象经过原点， 所以，解得，则． 因为函数无限接近直线但又不与该直线相交， 所以，则，故A错误． 对于B，则， 因为，为偶函数． 当时，， 所以函数的值域为，故B正确； 对于C，当时，，因为函数为减函数， 则函数在区间上单调递增，故C错误； 对于D，因为，根据函数为偶函数可得，即，故D正确. 10．（25-26高一下·贵州铜仁·期末）已知，，则下列不等式能使成立的有（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为为增函数，且，所以，故A正确； 因为为上的减函数， 所以由，得，故B正确； 因为为上的增函数，由，可得，故C错误； 因为，，所以，故D正确. 11．（25-26高一下·云南昭通·期中）已知函数，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则或 C． D．无最值 【答案】BCD 【详解】对于A，当时，由，得，解得； 当时，由，得 ，解得， 综上或，A错误； 对于B，当时，由，得，解得； 当时，由，得，解得， 综上，或，B正确； 对于C，因为 ， 所以 ，C正确； 对于D，当时，，当时，， 所以，的值域为，D正确． 三、填空题 12．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知幂函数在上单调递减，则实数______． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解. 【详解】已知是幂函数，则，解得或， 又因为在上单调递减，所以，即，所以． 13．（25-26高一下·云南丽江·期末）已知函数，则____________． 【答案】2 【详解】，. 14．（25-26高一下·青海海东·期末）已知函数在上单调递减，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】结合复合函数单调性与定义域分情况建立不等式求解可得. 【详解】设，. 由函数 在上单调递减， 则函数在上单调递减，且在上恒成立， 当时，函数在上单调递减， ，符合题意； 当时，则，解得； 当时，则，无解； 综上所述，的取值范围为. 四、解答题 15．（25-26高一下·陕西安康·期末）已知幂函数在定义域上单调递增，指数函数（且，且. (1)求与的解析式； (2)若函数，解不等式. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由幂函数解析式的结构特点和单调性，再结合，即可求解，进而得到解析式； （2）利用函数单调性和函数定义域，构造不等式，求解即可. 【详解】（1）由题意得： ， 整理得， 因式分解得， 解得或， 又因为在定义域上单调递增，所以，舍去，得​， 因此： ，​ 由，代入，， 得： ， 解得​，满足且， 因此： ， （2）由（1）得： ，定义域为， 又 在上单调递增，在单调递增， 故在上单调递增， 由可得： 解得：， 故不等式的解集为. 16．（25-26高二下·天津宝坻·期末）已知函数． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并证明； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)为奇函数，证明如下： 因为的定义域为，关于原点对称， ， 所以为奇函数. (3) 【分析】（1）利用对数的真数大于0求函数的定义域. （2）利用奇函数的定义证明函数的奇偶性. （3）根据对数函数的单调性结合函数的定义域解不等式. 【详解】（1）， 由， 得， 所以的定义域为. （2）略 （3）因为的定义域为，， 令， 由于对数函数单调递减， 所以， 解得. 所以的取值范围为. 17．（25-26高二下·重庆·期末）已知函数是奇函数，且 (1)求和的值； (2)若，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义求解即可. （2）先利用函数的奇偶性和单调性将抽象不等式转化为具体的不等式 ，再对分类讨论，最后用基本不等式求最小值，得到实数的取值范围． 【详解】（1）的定义域为，又为奇函数，则. 又，即，解得. 则， 由，则，满足条件. （2）由（1）知， ，均在上单调递增， 在上单调递增. 在时恒成立，是上单调递增的奇函数， 所以，即在时恒成立， ，成立，此时，时，得到． 且令，即在时恒成立. 又，当且仅当时等号成立， 即，故. 能力进阶 一、单选题 1．（2026·福建福州·三模）已知，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由，得，，. 令（且），则，，； ； 且，. ，即； ，即，解得. 2．（25-26高一下·湖北荆门·期末）已知函数在上是单调函数，且对任意，都有，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单调函数的性质判断为常数，求出该常数得到的解析式后计算即可. 【详解】因为是上的单调函数，且对任意都有， 因此存在唯一的常数，使得，即,则可得. 令，由于与均在上单调递增，因此在上单调递增， 又，故方程有唯一实数解, 因此，. 3．（2026高三·全国·专题练习）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查对函数图象的判断，其方法一般是结合函数的性质：定义域、值域、单调性与奇偶性或一些特殊点来作出正确判断； 【详解】设， 的定义域为， 且， 所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除D， 又， 当时，，，，，即，排除C， 在上单调递减，排除B． 4．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）若幂函数的图象经过点，则函数的最小值为（     ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求出幂函数的解析式，进而求出，换元法即可求出函数的最值. 【详解】设函数，由题意，故， 于是，则， 令，则，且， 故的最值可转化为函数的最值， 由二次函数的性质可知函数在上单调递增， 当，即时，函数取得最小值3. 二、多选题 5．（25-26高一上·贵州遵义·期末）函数，则正确的有（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是奇函数 D．在区间上是增函数 【答案】AD 【分析】根据给定的函数，求出定义域并变形解析式，再逐项分析判断即可求解. 【详解】由，所以的定义域为，故A正确； 由， 由，当时，等号成立， 令，则，又在单调递增， 所以，即， 所以的值域为，故B错误； 又，所以为偶函数，故C错误； 令，对任意的，且， 所以， 因为，则，即有， 所以，即，所以在单调递增， 又在单调递增，所以在区间上是增函数，故D正确. 6．（25-26高一下·广东·阶段检测）利用算子以及常数可以组合出四则运算与一切初等函数．已知，设，．对于使得下列等式两边均有意义的实数，，始终成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】将选项，，等号右侧分别代入定义展开化简，观察是否与左侧相等，即可做出判断；选项逐层拆解右侧表达式，最终化简为，与左侧不一定相等. 【详解】选项A，由题意知右式为，展开得，化简得， 即左式等于右式，故A正确； 选项B，右式为，展开得，即，化简得， 即，不一定等于左式，故B错误； 选项C，右式为，展开得，即，化简得， 即，即左式等于右式，故C正确； 选项D，右式中最内层等于即，中间层等于， 即，则最外层等于，展开得，即，不一定等于左式，故D错误． 三、填空题 7．（25-26高一下·河北石家庄·开学考试）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【分析】分段函数的两段都是减函数，两端端点处函数值左边不小于右边，由此列不等式计算求解． 【详解】依题意，在上单调递减， 在上单调递减，两端端点处函数值左边不小于右边， 故，解得， 所以实数的取值范围为. 8．（25-26高一下·湖南·期末）若函数是奇函数，则在上的最大值等于________． 【答案】/ 【分析】先根据是奇函数，得到其定义域关于原点对称，且，从而得到，的值，即可得到的解析式，再根据复合函数的单调性即可判断的单调性，进而即可求出在某区间的最大值． 【详解】由， 则x应满足为，即， 又是奇函数，则其定义域关于原点对称，且， 则，即，解得， 所以， 又是奇函数，且其定义域为， 则，解得， 所以， 又在上单调递增，而在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以在上的最大值为． 四、解答题 9．（25-26高一下·贵州六盘水·期末）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”. (1)已知，试判断是否为“类函数”? (2)若是定义在上的“类函数”，求实数m的最小值； (3)若为“类函数”，求实数m的取值范围. 【答案】(1)不为“类函数” (2) (3) 【分析】（1）根据题意列式计算求出满足“类函数”定义不能得出的值即可判断； （2）根据题意将题设问题转化为在上有解分析求解即可； （3）根据对数函数的性质，得到对恒成立，求得，再由为“类函数”，得到存在实数，满足，分，和，三种情况讨论，结合函数的单调性和最值，即可求解. 【详解】（1）函数的定义域为， 若在定义域内存在实数，满足， 可得，即，所以方程无解，所以不是“类函数”. （2）因为是定义在上的“类函数”， 所以存在实数，满足， 即方程在上有解， 令，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以当或时，；当时，， 所以，解得， 所以实数的最小值为. （3）由函数， 可得对恒成立，即对恒成立，所以， 若函数为其定义域上的“类函数”，则存在实数，满足， ①当时，，所以，所以， 因为函数在上是增函数， 当时，可得，所以； ②当时，，所以，矛盾； ③当时，，所以，所以， 因为函数在上是减函数， 当时，可得，所以； 综上所述，实数的取值范围是. 10．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知函数． (1)求函数在区间上的值域； (2)若方程在区间上有实数解，求实数的取值范围； (3)若存在，使得不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对数的运算法则，对进行化简整理，利用换元法，结合二次函数的性质，即可得答案. （2）令，利用换元法，将所求转化为在上有实数解，根据对勾函数的性质，即可得答案. （3）分析可得，根据（1）得的最大值，根据二次函数的性质，分别求出对称轴在各个区间内时函数的最值，综合分析，即可得答案. 【详解】（1）由题意 ， 令，由，得， 则为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递增， 所以当时，， 当时，， 所以函数在区间上的值域为. （2）令，由，得， 方程在区间上有实数解，可化为在上有实数解， 即在上有实数解， 因为，当且仅当，即时取等号， 根据对勾函数的性质可得在单调递减，在上单调递增， 所以，当时，，当时，， 所以，则实数的取值范围为. （3）由（1）得在区间上的值域为，即， 因为存在，使得不等式对任意恒成立， 所以，即， 令，由，得， 则，，为开口向上，对称轴为的抛物线， 当，即时，在上单调递减， 所以，解得，此时； 当，即时，在上单调递增， 所以，解得，此时无解； 当，即时，在单调递减，在上单调递增， 所以，解得，此时； 当，即时，在单调递减，在上单调递增， 所以，解得，此时； 综上，实数的取值范围为 1 / 77 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $