八年级数学上学期9月学情自测（新教材华东师大版第10章～第11章，高效培优）

**基本信息** 以实数与因式分解为核心，融合数学史（毕达哥拉斯学派无理数）、生活应用（团扇包装设计）及新定义问题（和谐数、智慧数），检测数学抽象、运算推理与模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|无理数判断、平方根、因式分解基础|第5题结合数学史，考查数感与估算| |填空题|6/12|立方根、代数式求值、图形面积计算|第17题关联幂的运算，培养符号意识| |解答题|8/72|整除证明、项目式学习（长方体设计）、代数推理（智慧数）|25题项目式学习体现应用意识，26题代数推理发展推理能力|

2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D B C D B D D A A C B C 二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。 13． 14．4 15．4 16． 17． 18． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分） 【详解】解： （2分） （4分） ．（6分） 19．（6分） 【详解】（1）解： （1分） （2分） ；（3分） （2）解： （5分） ．（6分） 20．（6分） 【详解】（1）解： （2分） ；（3分） （2）解： （4分） （5分） ．（6分） 21．（8分） 【详解】（1）解：某正数的平方根分别是和， ，（1分） 解得：， 的立方根为，（2分） ， 解得：．（3分） （2）解：的平方根是，的立方根是， ，（4分） ，， 是的整数部分，，（5分） ， 是的小数部分， ，（6分） ， 4的算术平方根为，（7分） 即的算术平方根为．（8分） 22．（8分） 【详解】证明： （2分） （2分） ， ∵是正整数，（6分） ∴能被整除，即能被整除．（8分） 23．（10分） 【详解】（1）解：由图形可知，大长方形的长为，宽为， ∴大长方形的面积为，（2分） ∵大长方形中，有两块是边长为的正方形，一块是边长为的正方形，三块是长为，宽为的长方形， ∴大长方形的面积为， ∴代数式可因式分解为．（4分） （2）解：由图形可知，，， ∵，（6分） ∴， 整理得，，即，（8分） ∴， ∴．（10分） 24．（10分） 【详解】（1）解：，即， 的整数部分是，小数部分为．（2分） （2）解：据图可知， 则，， 为无理数，则为无理数， 可得为有理数，为无理数， 故①不正确；（3分） ，，即， 故，②正确；（4分） ， ， ，， ， 故③不正确；（5分） ， ， ， ④正确，（6分） 综上，正确的说法为②④． （3）解：，即， 则，（8分） 可得， 则，，（9分） 故．（10分） 25．（12分） 【详解】（）解：设圆形团扇的半径为， 根据题意得，（2分） ∴， 故答案为：；（3分） （）解：设长方体盒子的长为，宽为， 由题意得，，（4分） ， ，（5分） 由边长的实际意义，得， 所以长方体盒子的长为 ；（7分） （）能，理由：由（）知该团扇的半径为， ∴团扇的直径为， ∵， ∴， （9分） ∴，即，（11分） ∴这个长方体盒子能装得下这面团扇．（12分） 26．（12分） 【详解】（1）解：第7个“智慧数”是； 第8个“智慧数”是；（2分） （2）证明：设n是大于1的正整数， 则 ，（4分） ∵n是大于1的正整数， ∴和都是正整数， ∴是“智慧数”，（5分） 又∵能被4整除， ∴除4外，所有能被4整除的正整数都是“智慧数”．（7分） （3）解：由（2）可知除1外的所有奇数是“智慧数”，除4外的所有能被4整除的正整数都是“智慧数”， ∴除1，2，4外的非“智慧数”一定是偶数且不能被4整除， ∴除1，2，4外的非“智慧数”除以4的余数一定为2， ∴除1，2，4外的非“智慧数”可以表示为； 观察可知，从1开始的正整数中，前四个正整数中只有3为“智慧数”，此后每连续四个正整数中有三个“智慧数”，（8分） 将智慧数分为3个一组，在第2组开始，每组的第一个数为的组数倍， ∴第n组的第一个数为（，且n为正整数）． ∵， ∴第2025个智慧数是第675组中的第3个数，（10分） ∴第2023个智慧数是2700，第2024个智慧数是2701，第2025个智慧数是2703．（12分） 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材华东师大版八年级上册第10章~第11章。 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据相关运算法则计算即可． 【详解】解：A、，∴错误． B、，∴错误． C、，∴错误． D、，∴正确． 故选：D． 2．有下列实数：，，，，，其中无理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先计算算术平方根，然后根据无理数的定义即可求解 【详解】解：， ∵ 、、均为有理数，、均为无理数， ∴ 无理数共有2个 3．下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因式分解是把一个多项式变形为几个整式乘积的形式的过程，根据因式分解的定义，即可求解． 【详解】解：A. 左边是单项式，不是多项式，不属于因式分解； B. 变形是整式乘法，是从积到多项式的转化，不属于因式分解； C. 是将多项式化为整式的积的形式，属于因式分解； D. 右边是和的形式，不是几个整式的积的形式，不属于因式分解. 4．若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（     ） A．4 B．4或 C．8 D．8或 【答案】D 【分析】根据完全平方公式，对应系数即可求出的值． 【详解】解：能用完全平方公式进行因式分解，且， ， ， ， 即或． 5．公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数“”．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致了西方数学史上的“第一次数学危机”．请你估计的值在（     ） A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 【答案】B 【分析】先估算出的范围，再变形得到的范围． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 不等式各边同时减1，可得 ， ∴ 的值在0和1之间． 6．如图，把图①所示的平行四边形纸板分成四个大小和形状完全相同的四边形纸板，将这四块纸板按图②所示拼成一个边长为的大正方形，其正中央正好是一个边长为的小正方形空缺，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的几何验证．计算出两个图形中阴影部分的面积，利用面积相等验证等式． 【详解】解：计算图1中拼成的平行四边形面积，其长为，高为，面积为； 计算图2中阴影部分面积，为大正方形面积减去小正方形面积，即， 由于阴影部分面积不变，故可验证等式． 故选：D． 7．已知的三边长分别是a，b，c，且满足，判断此三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用，利用完全平方公式和平方的非负性推导三边关系，即可判断三角形形状． 【详解】解：∵， ∴ 对原式变形得， 由完全平方公式可得， ∵ 平方数为非负数，即，， ∴ 且 ， ∴ 且 ，可得 ， ∴是等边三角形． 8．下列说法正确的是（     ） A．4的平方根是 B．无限小数都是无理数 C．带根号的数都是无理数 D．有理数与数轴上的点一一对应 【答案】A 【分析】根据平方根、无理数定义及实数与数轴的关系逐一判断选项正误． 【详解】解：A. ∵ ，∴ 4的平方根是，该选项正确； B. ∵ 无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，无限循环小数是有理数，∴ 无限小数不都是无理数，该选项错误； C. ∵ 带根号，但是有理数，∴ 带根号的数不都是无理数，该选项错误； D. ∵实数与数轴上的点一一对应，有理数与数轴上的点并非一一对应，该选项错误． 9．如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1的正方体礼盒的表面积为，图2的正方体礼盒的体积比图1的正方体礼盒的体积大，则图2的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由图1表面积求棱长及体积，再由体积差求图2体积及棱长，最后求图2表面积． 【详解】解：设图1正方体棱长为，图2正方体棱长为， 图1正方体表面积为， ， 解得， 图1正方体体积为， 图2正方体体积比图1大， 图2正方体体积为， ， 解得， 图2正方体表面积为． 10．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：2，m，，，，分别对应下列五个字“数、爱、中、学、国”．现将因式分解，根据小强的密码手册，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．爱数学 B．数中学 C．爱中国 D．中国学 【答案】C 【分析】密码信息对应因式分解后的各个因式，需先分解多项式再匹配对应文字． 【详解】解：∵ 又∵ 对应爱，对应中，对应国 ∴ 结果呈现的密码信息为爱中国． 11．观察表中数据信息，下列结论正确的是（     ） 12 … 144 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方与开平方的互逆关系，结合表格中给出的的值验证各选项． 【详解】解：由表格可知：，，，， ，，， A、C、D选项错误； ， ，故B选项正确． 12．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，有如下结论： ①； ②是8的倍数； ③m，n为正整数，且，若是“和谐数”，则， 其中正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】①根据 “和谐数”的定义，观察规律，即可得到的值； ②根据①中找出的规律进行计算即可判断此结论的正误； ③将整理为，把代入，求出原式的值0，然后根据“和谐数”的定义即可判断． 【详解】解：① 观察“和谐数”可知，设下标为，则被减数的底数为，减数的底数为， 即； ． 故①正确； ②根据①找出的规律知： ， 是8的倍数． 故②正确； ③ 若，则原式， 而0不是正整数，故不可能是“和谐数”． 故③错误. 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．比较大小：______． 【答案】 【分析】先比较两个数的绝对值，将整数化为二次根式形式，再根据负数比较大小的规则判断，绝对值大的负数反而小． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴． 14．若的立方根是，则的算术平方根是_________． 【答案】 【分析】根据立方根的定义求出的值，代入得到的值后，再计算其算术平方根即可． 【详解】解： 的立方根是， ， 解得， 将代入，得， 的算术平方根是， 的算术平方根是． 15．若，则__________． 【答案】4 【分析】将所求代数式变形后，整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 对提取公因式变形，得， 将代入上式， 得． 16．因式分解：________． 【答案】 【分析】先展开原式并合并同类项，整理为二次三项式后，利用完全平方公式因式分解. 【详解】解：原式 17．若，，，则______（用、、来表示）． 【答案】 【分析】根据被开方数小数点右移位，算术平方根小数点右移位，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 18．如图，，分别是正方形边，上的点，且，，分别以，为边长作正方形和正方形，且正方形和正方形的面积和为，则阴影部分的面积等于________． 【答案】 【分析】先设正方形的边长为，根据、的长度表示出两个正方形的边长，再由二者面积和为列方程求解出边长，最后用大正方形的面积减去小正方形的面积，即可算出阴影部分的面积． 【详解】解：设正方形的边长为， ，， ，． 令，，则， 正方形和正方形的面积和为， ，即， ， ， ， ， 两边开平方得，即， 解得，（边长为正，舍）． 由图可知，， ， 代入，解得． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20（6分）．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式x，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先处理符号问题，再提公因式 ，然后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．（8分）求值： (1)已知某正数的两个不相等的平方根分别是和，的立方根为2，求，的值． (2)已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分，x是的小数部分，求的值及的算术平方根． 【答案】(1)， (2)；2 【分析】本题考查的知识点是平方根、算术平方根、立方根、估算无理数的大小，学会用“夹逼法”求无理数的整数部分和小数部分是解题的关键． （1）根据平方根的定义，一个正数的两个不同平方根互为相反数可求得，在根据立方根的定义求解即可． （2）根据平方根和立方根的定义，再根据“夹逼法”求无理数的整数部分和小数部分，代入数值即可求解，最后再求其算术平方根即可． 【详解】（1）解：某正数的平方根分别是和， ， 解得：， 的立方根为， ， 解得：． （2）解：的平方根是，的立方根是， ， ，， 是的整数部分，， ， 是的小数部分， ， ， 4的算术平方根为， 即的算术平方根为． 22．（8分）已知是正整数，利用因式分解证明：能被整除． 【答案】证明： ， ∵是正整数， ∴能被整除，即能被整除． 【分析】先利用平方差公式对原式进行因式分解，得到，由此证明分解后的式子含有因数，即可说明原式能被整除． 【详解】略 23．（10分）如图，将一张长方形纸片按如图所示的方式分割成块，其中有两块是边长为的正方形，一块是边长为的正方形，三块是长为，宽为的长方形（）． (1)观察图形，根据面积相等，可以发现代数式可因式分解为________； (2)将图中阴影部分的面积记作，非阴影部分的面积记作，若，求的值． 【答案】(1) (2)的值为 【分析】（1）根据题意可得长方形纸片的面积为，或者表示为，即可求解； （2）观察图形得到，，根据得到，即可得出答案． 【详解】（1）解：由图形可知，大长方形的长为，宽为， ∴大长方形的面积为， ∵大长方形中，有两块是边长为的正方形，一块是边长为的正方形，三块是长为，宽为的长方形， ∴大长方形的面积为， ∴代数式可因式分解为． （2）解：由图形可知，，， ∵， ∴， 整理得，，即， ∴， ∴． 24．（10分）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是________（填序号即可）； ①，均为有理数；②；③；④ (3)若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 【答案】(1)， (2)②④ (3) 【分析】（1）估算范围，直接写出整数部分，用原数减去整数部分得到小数部分； （2）从数轴读出的取值范围，分离出整数与小数，对四个选项逐一推理判断； （3）先估算范围，再推出的范围，求出整数部分和小数部分，再代入式子计算． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分是，小数部分为． （2）解：据图可知， 则，， 为无理数，则为无理数， 可得为有理数，为无理数， 故①不正确； ，，即， 故，②正确； ， ， ，， ， 故③不正确； ， ， ， ④正确， 综上，正确的说法为②④． （3）解：，即， 则， 可得， 则，， 故． 25．（12分）项目式学习 设计合适的盒子 素材    团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．小志制作了一面圆形团扇作为母亲节礼物，这把团扇的扇面面积为．    素材 为了美观，小志特设计一个底面积为，长，宽，高的比为的长方体纸盒进行包装．    任务 （）根据素材，该圆形团扇的半径为 cm； （）根据素材，求出该长方体盒子的长； （）如果只考虑团扇的面宽，这个长方体盒子能装得下这面团扇吗？请说明理由． 根据以下素材，探索完成任务． 【答案】（） ；（） ； （）能，理由：由（）知该团扇的半径为， ∴团扇的直径为， ∵， ∴， ∴，即， ∴这个长方体盒子能装得下这面团扇． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，算术平方根的应用，无理数的估算，实数比较大小，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设圆形团扇的半径为，根据题意得，然后通过算术平方根的定义即可求解； （）设长方体盒子的长为，宽为，由题意得，然后通过算术平方根的定义即可求解； （）求出团扇的直径为，然后通过无理数的估算，实数比较大小即可求解． 【详解】（）解：设圆形团扇的半径为， 根据题意得， ∴， 故答案为：； （）解：设长方体盒子的长为，宽为， 由题意得，， ， ， 由边长的实际意义，得， 所以长方体盒子的长为 ； （）略 26．（12分）代数推理指设定一定的条件下，依据代数的定义、公式、运算法则、等式与不等式的性质等证明已知结论． 【提出问题】如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．小华和小明对“智慧数”进行了深入的研究． (1)【特例感知】小明的方法是从小到大逐一列举： 3 则小明列举的第8个“智慧数”是 ． (2)【推理证明】小华在小明列举的基础上发现：除1外，所有的正奇数都是“智慧数”，并进行了如下证明： 证明：设k是正整数， 又∵k是正整数，∴为大于或等于3的奇数． ∴除1外，所有的正奇数都是“智慧数”． 她还发现：除4外，所有能被4整除的正整数都是“智慧数”，请参考上面的方法进行证明． (3)【综合应用】用含有k的式子表示除1、2、4外的其它非“智慧数”：___________（k是正整数），将所有的“智慧数”从小到大排列，第2025个“智慧数”是___________． 【答案】(1)13 (2)证明：设n是大于1的正整数， 则 ， ∵n是大于1的正整数， ∴和都是正整数， ∴是“智慧数”， 又∵能被4整除， ∴除4外，所有能被4整除的正整数都是“智慧数”． (3)；2703 【分析】（1）根据规律即可解答； （2）仿照题中的证明，即可解答； （3）根据探究，前四个正整数只有3是“智慧数”，后面的正整数每连续四个中就有三个是“智慧数”，由此可得第2025个“智慧数”，进而可得答案． 【详解】（1）解：第7个“智慧数”是； 第8个“智慧数”是； （2）略 （3）解：由（2）可知除1外的所有奇数是“智慧数”，除4外的所有能被4整除的正整数都是“智慧数”， ∴除1，2，4外的非“智慧数”一定是偶数且不能被4整除， ∴除1，2，4外的非“智慧数”除以4的余数一定为2， ∴除1，2，4外的非“智慧数”可以表示为； 观察可知，从1开始的正整数中，前四个正整数中只有3为“智慧数”，此后每连续四个正整数中有三个“智慧数”， 将智慧数分为3个一组，在第2组开始，每组的第一个数为的组数倍， ∴第n组的第一个数为（，且n为正整数）． ∵， ∴第2025个智慧数是第675组中的第3个数， ∴第2023个智慧数是2700，第2024个智慧数是2701，第2025个智慧数是2703． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材华东师大版八年级上册第10章~第11章。 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．有下列实数：，，，，，其中无理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 4．若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（     ） A．4 B．4或 C．8 D．8或 5．公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数“”．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致了西方数学史上的“第一次数学危机”．请你估计的值在（     ） A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 6．如图，把图①所示的平行四边形纸板分成四个大小和形状完全相同的四边形纸板，将这四块纸板按图②所示拼成一个边长为的大正方形，其正中央正好是一个边长为的小正方形空缺，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式是（   ） A． B． C． D． 7．已知的三边长分别是a，b，c，且满足，判断此三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 8．下列说法正确的是（     ） A．4的平方根是 B．无限小数都是无理数 C．带根号的数都是无理数 D．有理数与数轴上的点一一对应 9．如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1的正方体礼盒的表面积为，图2的正方体礼盒的体积比图1的正方体礼盒的体积大，则图2的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 10．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：2，m，，，，分别对应下列五个字“数、爱、中、学、国”．现将因式分解，根据小强的密码手册，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．爱数学 B．数中学 C．爱中国 D．中国学 11．观察表中数据信息，下列结论正确的是（     ） 12 … 144 … A． B． C． D． 12．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，有如下结论： ①； ②是8的倍数； ③m，n为正整数，且，若是“和谐数”，则， 其中正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．比较大小：______． 14．若的立方根是，则的算术平方根是_________． 15．若，则__________． 16．因式分解：________． 17．若，，，则______（用、、来表示）． 18．如图，，分别是正方形边，上的点，且，，分别以，为边长作正方形和正方形，且正方形和正方形的面积和为，则阴影部分的面积等于________． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分）计算： (1)； (2)． 20（6分）．分解因式： (1)； (2)． 21．（8分）求值： (1)已知某正数的两个不相等的平方根分别是和，的立方根为2，求，的值． (2)已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分，x是的小数部分，求的值及的算术平方根． 22．（8分）已知是正整数，利用因式分解证明：能被整除． 23．（10分）如图，将一张长方形纸片按如图所示的方式分割成块，其中有两块是边长为的正方形，一块是边长为的正方形，三块是长为，宽为的长方形（）． (1)观察图形，根据面积相等，可以发现代数式可因式分解为________； (2)将图中阴影部分的面积记作，非阴影部分的面积记作，若，求的值． 24．（10分）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是________（填序号即可）； ①，均为有理数；②；③；④ (3)若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 25．（12分）项目式学习 设计合适的盒子 素材    团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．小志制作了一面圆形团扇作为母亲节礼物，这把团扇的扇面面积为．    素材 为了美观，小志特设计一个底面积为，长，宽，高的比为的长方体纸盒进行包装．    任务 （）根据素材，该圆形团扇的半径为 cm； （）根据素材，求出该长方体盒子的长； （）如果只考虑团扇的面宽，这个长方体盒子能装得下这面团扇吗？请说明理由． 根据以下素材，探索完成任务． 26．（12分）代数推理指设定一定的条件下，依据代数的定义、公式、运算法则、等式与不等式的性质等证明已知结论． 【提出问题】如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．小华和小明对“智慧数”进行了深入的研究． (1)【特例感知】小明的方法是从小到大逐一列举： 3 则小明列举的第8个“智慧数”是 ． (2)【推理证明】小华在小明列举的基础上发现：除1外，所有的正奇数都是“智慧数”，并进行了如下证明： 证明：设k是正整数， 又∵k是正整数，∴为大于或等于3的奇数． ∴除1外，所有的正奇数都是“智慧数”． 她还发现：除4外，所有能被4整除的正整数都是“智慧数”，请参考上面的方法进行证明． (3)【综合应用】用含有k的式子表示除1、2、4外的其它非“智慧数”：___________（k是正整数），将所有的“智慧数”从小到大排列，第2025个“智慧数”是___________． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $