专题1.7 有理数的乘方、有理数的混合运算（高效培优讲义）数学新教材华东师大版七年级上册

专题1.7 有理数的乘方、有理数的混合运算 教学目标 1.理解乘方、幂、底数、指数的概念，掌握乘方的符号法则，能准确进行有理数乘方运算。 2.掌握科学记数法的表示与还原方法，能熟练用科学记数法表示绝对值较大的数。 3.掌握有理数混合运算的顺序，能规范进行加减乘除乘方混合运算，灵活运用运算律简便计算。 4.能运用乘方与混合运算解决实际问题，体会非负性思想与转化思想。 教学重难点 1.重点 （1）有理数乘方的符号法则与基本运算 （2）科学记数法的表示与还原 （3）有理数混合运算的运算顺序与简便计算 2.难点 （1）乘方运算中底数的辨析与符号判断 （2）偶次幂非负性的综合应用 （3）混合运算中运算律的灵活运用与符号处理 知识点01：有理数乘方的相关概念 1.乘方的定义：求个相同因数的积的运算叫作乘方，记作；乘方的结果叫做幂，其中叫作底数，叫作指数，读作的次方（或的次幂）。 2.特殊规定：一个数可以看作它本身的1次方，指数1通常省略不写。 3.易混辨析 形式 底数 意义 个相乘的积 个相乘的积的相反数 个相乘的积 注意：负数或分数作底数时，必须用括号将底数括起来。 【即学即练】 1．用幂的形式表示“个相乘”（为正整数）的结果是_________． 2．为了简便，可以将记为_____． 知识点02：有理数乘方的符号法则 1.正数的任何次幂都是正数。 2.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数（简记为“奇负偶正”）。 3.的任何正整数次幂都是。 4.常用结论 的任何次幂都是；的偶次幂为，奇次幂为。 平方等于它本身的数是和；立方等于它本身的数是和。 1．______． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点03：偶次幂的非负性 1.性质：任意有理数的偶次幂都是非负数，即对于任意有理数，都有（为正整数），最常用的是。 2.非负数和的性质：若几个非负数（绝对值、偶次幂等）的和为，则每个非负数都等于。 1．若实数a，b满足，则______ 2．若，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 知识点04：科学记数法 1.定义：把绝对值大于的数表示成的形式（其中，是正整数），这种记数方法叫作科学记数法。 2.表示方法 确定：将原数的小数点移到左边第一个非零数字后，得到。 确定：等于原数的整数位数减1，也等于小数点向左移动的位数。 3.还原方法：将中的小数点向右移动位，位数不足时补0；还原后数的整数位数为。 1．根据国家卫健委官网统计，截至2021年12月20日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗接近27亿剂次，则27亿用科学记数法表示为________________． 2．预计2026年中国人形机器人市场规模近元人民币．数据可表示为（     ） A．0.9亿 B．9亿 C．90亿 D．900亿 知识点05：有理数的混合运算 1.运算分级：加减为第一级运算，乘除为第二级运算，乘方为第三级运算。 2.运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 同级运算，按照从左到右的顺序进行； 如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 3.运算技巧：灵活运用加法、乘法的运算律简化计算，注意去括号、添括号时的符号变化。 1．在小学我们学习过加减乘除运算的顺序是“先乘除，后加减，若有括号，先进行括号内的运算”． 对于下面的计算：，运算顺序是怎样的呢？ 2．计算题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型01乘方的概念辨析 明确底数、指数的定义；区分与的底数差异，负数、分数作底数必须加括号；牢记乘方的本质是相同因数的乘法。 【典例1】. 计算可以表示为（     ） A． B． C． D． 【变式1】. 关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 【变式2】. 对乘积记法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】. 计算的结果是（    ） A． B． C． D． 题型02有理数乘方的运算 先判断底数的正负与指数的奇偶性，按“奇负偶正”确定幂的符号，再计算绝对值的乘方；运算时优先处理乘方的符号，避免混淆。 【典例2】. 计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 【变式1】. 算一算：_____，____，_____，______； 【变式2】. 计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】. 计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型03用科学记数法表示大数 先确定（满足），再数原数整数位数，整数位数；带“万”“亿”等计数单位的数，先还原为原数再表示。 【典例3】. 将“”的运算结果用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式1】. 比亚迪是深圳一家著名企业，某年比亚迪新能源汽车销量约为460万辆，同比增长8.2%，其中460万用科学记数法表示为（     ） A．4.6×10⁶ B．4.6×10⁷ C．46×10⁵ D． 【变式2】. 近年来我国电影行业发展迅速，电影《哪吒之魔童闹海》风靡全球．据统计，截至2025年5月底，其票房达到约150亿元．数字15000000000用科学记数法表示为________． 【变式3】. 韩国三星电子某款芯片的运算速度每秒为次，另一种华为新型芯片的运算速度是它的倍，且该新型芯片连续工作秒的总运算次数用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 题型04科学记数法的还原 将的小数点向右移动位，位数不足时补0；可通过“整数位数”检验还原结果是否正确。 【典例4】. 2026年省内乡村振兴项目投入资金约元，该科学记数法表示的数还原为原数是（     ） A．21500000 B．215000000 C．2150000 D．2150000000 【变式1】. 2026年河南文旅综合收入突破 元， 原数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】. 2025年10月31日神舟二十一号载人飞船采用自主快速交会对接模式，发射后仅用3.5小时与空间站成功对接，其平均速度高达千米/小时，则这个用科学记数法表示的数据原数是（     ）米/小时 A．2764810 B．2764800 C．27648000 D．276480000 【变式3】. 2026年厦门市文旅部门数据显示， “五一”期间鼓浪屿等热门景点累计接待市民游客约为人次，下列选项中与 相等的是（     ） A．67300 B．673000 C．6730000 D．67300000 题型05有理数混合运算计算 严格遵循“先乘方、再乘除、后加减，括号优先”的顺序；同级运算从左到右，每一步先定结果符号，再计算绝对值。 【典例5】. 计算：_______． 【变式1】. 计算： (1) (2)． 【变式2】. 计算：． 【变式3】. 计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型06乘方的简便运算 指数相近的幂相乘，逆用乘法结合律，将乘积为1的底数配对结合；同底数幂相加减，提取指数较小的幂，简化计算。 【典例6】. 计算：_________． 【变式1】. 计算：． 【变式2】. 计算：． 【变式3】. 巧算：______． 题型07程序框图类混合运算 严格按照程序步骤逐一代入计算，注意判断分支条件；循环类程序需逐次迭代计算，直到满足输出条件。 【典例7】. 如图是一个运算程序示意图，如果第1次输入的x的值是4，则第2次输出的y的值为______． 【变式1】. 图是一个计算程序． (1)按照顺序计算并填写其中的“     ”，并在下面横线上列出综合算式； 综合算式：___________________（仅列算式无需计算）； (2)计算：． 【变式2】. 定义一种对正整数n的“F”运算： ①当为奇数时，； ②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替重复进行． 例如：取，则：； 若，则第次“”运算的结果是（     ） A．52 B．13 C．4 D．1 【变式3】. 定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为，其中k取使为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取时，则有：，将进行2025次“F运算”的结果是（　　） A．19 B．31 C．62 D．98 题型08乘方符号规律的应用 利用的奇偶次幂规律化简长式子；根据幂的符号反推底数正负与指数奇偶性；多个幂相乘先逐个定符号再计算。 【典例8】. 若一个多项式的值恒为非负数，我们则称这个多项式为“和美多项式”．例如多项式可做如下变形：，∵，∴．∴的值恒为非负数，且当时，多项式有最小值，最小值是2． 根据以上阅读材料，完成下列问题： (1)下列多项式是“和美多项式”的是______；（填序号即可） ①       ②       ③ (2)证明多项式是“和美多项式”，并求出它的最小值． 【变式1】. 阅读材料，解决问题：由…不难发现3的正整数幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到：因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为1；因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． (1)请你仿照材料，分析求出的个位数字及的个位数字； (2)请探索出的个位数字． 【变式2】. 观察下面三行数： 2、、8、、32、……① 1、、4、、16、……② 0、6、、18、、66……③ 取每一行的第n个数，依次记为a，b，c． 例如上图中，当时，，，， (1)当时，________，________，________； (2)写出第①行的第n个数________；第②行的第n个数________； (3)是否存在某一列的三个数a，b，c使得？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 【变式3】. 已知，，，…，． (1)填空：_____，是一个_____（填“正”或“负”）数． (2)计算：． (3)当时，的值为多少？ 题型09“24点”趣味运算 围绕24的因数分解，组合数字构造加减乘除乘方运算；每个数字必须且只能使用一次，合理添加括号改变运算顺序。 【典例9】. 游戏“ 点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为 ，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出符合规则的算式． 【变式1】. 有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 【变式2】. 学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越越和兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法．两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是，只要其余三个数能算出是或，，，，都可算出，如：可以列出． 兴兴：有时遇到不能用你的方法算出，可以尝试用除以，也能得到哦！如：，，，，可以列出． 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： (1)现给定三个数，，，请从到这些自然数中选一个，使四个数能算出，要求列出算式，并简单说一下你的思考过程． (2)想一想，数字，，，这四个数可以算出吗？如果可以，请列出算式． 【变式3】. 小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________． 题型10进制转换问题 进制转十进制，按“数位数字的位次幂之和”计算；十进制转进制，用“除取余，倒序排列”的短除法计算。 【典例10】. 生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：，．计算机中常用的十六进制是逢进的计数制，采用数字和字母共个计数符号，满十六进一，它与十进制对应的数如表： 十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … 十六进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 10 11 … 将十六进制数转换为十进制数为____________，十六进制下_______________． 【变式1】. 阅读材料完成问题：在中学生涯中，我们常常会遇到等比数列，即，，等，每两个数之间都是2倍数关系，若要求和时，我们可以假设这个求和的结果为： 我们将每一项都乘以2，就可以得到，我们将两个数相减就可以得到．现在有一点M从坐标原点开始运动，第一次向右2个单位，第二次向左4个单位，第三次向右8个单位，第四次向左16个单位，如此循环往复，第n次它距离原点______． 【变式2】. [阅读材料]：所谓进位制，就是人们规定的一种进位方法．对于任何一种进制——X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位，例如十进制是逢十进一，二进制就是逢二进一，以此类推．为与十进制进行区分，我们常把用X进制表示的数a写成（a）x．类比于十进制我们可以知道：X进制表示的数（1111）x中，右起第一位上的1表示   第二位上的1表示 第三位上的1表示 第四位上的1表 故 即： 转化为了十进制表示的数 如： 即二进制的数1111等于十进制数15． [问题解决]： (1)中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图①所示是一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录采集到的野果数量为______个．（用十进制数表示） (2)如图②，是小明同学的准考证号的二维码的简易编码，（黑色代表1，白色代表0）．其中第一行代表二进制的数字(11000)₂，转换成十进制数为24；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2410072013，其中第四行编码“20”表示考场号为20． （i）图③是小亮同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第四行代表二进制的数字是______，转化成十进制后可知他的考场号是_______；（直接写出答案．） （ii）若本次考试中，“小芳”的准考证号是2417051311，图④是“小芳”自己绘制的二维码简易编码，但在第三、五两行少涂黑了几个小正方形．请你写出计算过程，并帮她在图④中补充完整． 【变式3】. 综合与实践 第十四届国际数学教育大会（ICME-14）的标识融合了中国传统文化中的“洛书”、“河图”和八卦符号．八卦符号由三个“爻”（yáo）组成，其中“”（阳爻）代表1，“”（阴爻）代表0．每个八卦符号对应一个二进制数．为了区分不同的进位制数，常在数的右下角标明基数，如表示二进制数1011，但十进制数一般不标注基数．每一种进制数都可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，不同进制数之间可以相互转换．如： ， ， ， 故， (1)大会标识中的八卦符号如表格所示，请根据以上信息填表： 卦名 兑 乾 艮 离 符号 对应的二进制数 ___ ___ (2)八卦符号共有8种组合：，转换成十进制数后对应0-7，也可以看成八进制数的0-7．大会标识中的记数符号由四个二进制数组成，将它们分别转换为十进制数得到一个四位数：再将这个四位数看作一个八进制数，并将这个八进制数转换为十进制数．这个十进制数就是会议年份．例：乾．请计算出会徽中的“”所对应的年份，并写出具体过程． (3)先秦文献《世本·作篇》中记载“隶首作数”，讲述黄帝的侄子隶首曾用绳子打结来记录牛羊数量．如下图所示，有两农户在从右往左依次排列的绳子上打结，其中农户A选择满m进一，农户B选择满4进一，请问是否存在自然数m，使得两家农户牛羊的数量相同，如果存在，求出m；如果不存在，请说明理由． 一、单选题 1．有理数的值为（     ） A． B．4 C． D．1 2．据联合国难民署（UNHCR）统计，月日，因俄乌冲突，乌克兰外流难民已超过万，就增长速度和规模而言，这场难民危机自第二次世界大战以来前所未有．将数据“万”用科学记数法表示应为（     ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4． ____________． 5．已知，则_____________． 6．将二进制数101转化成十进制数这样进行：，即二进制数101转化成十进制数为5．再如：二进制数1101转化成十进制数这样进行：，即二进制数1101转化成十进制数为13．以此类推． （1）将二进制数10011转化成十进制数为___________； （2）将十进制数23转化成二进制数为___________． 三、解答题 7．计算： (1)； (2) 8．某种细菌每分钟由1个分裂成2个． (1)经过，1个细菌分裂成多少个？这些细菌再继续分裂，共分裂成多少个？ (2)你还能提出什么问题？ 9．如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 1．若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 2．若，则的值是________． 3．上海举办过第十四届国际数学教育大会（简称），会徽的主题图案（如图）有着丰富的数学元素，展现了中国古代数学的灿烂文明，图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号写出的八进制数字．我们常用的数是十进制数，如；在电子计算机中用的二进制，如二进制中等于十进制的数；八进制数字换算成十进制是_________． 4．本学期学习的乘法公式可以让我们更好地研究数字运算的规律． (1)填空： ①______； ②______． (2)探究：个位数字是5的三位数平方后，其结果的末尾两个数字有什么规律？请写出该规律并说明理由． (3)受上述探究过程的启发，小亮同学设计了如下数字游戏： ①先请同学甲在心中任意想一个三位数，把它称为“所想数”； ②接着用这个“所想数”连续两次减去其个位数字，把得到的结果称为“过程数”，例如：若“所想数”是567，则“过程数”是； ③将“所想数”与“过程数”相乘，把得到的结果称为“所得数”； ④同学甲说出“所得数”，请同学乙说出①中“所想数”． 两名同学按以上规则玩该数字游戏，若“所得数”是14391，请直接写出“所想数”，不必写解答过程． 5．阅读材料，求值：． 解：设①，将等式两边同时乘以2得： ②， ，得：， 所以， 即， 请你仿照此法计算： (1)； (2)（其中为正整数） 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.7 有理数的乘方、有理数的混合运算 教学目标 1.理解乘方、幂、底数、指数的概念，掌握乘方的符号法则，能准确进行有理数乘方运算。 2.掌握科学记数法的表示与还原方法，能熟练用科学记数法表示绝对值较大的数。 3.掌握有理数混合运算的顺序，能规范进行加减乘除乘方混合运算，灵活运用运算律简便计算。 4.能运用乘方与混合运算解决实际问题，体会非负性思想与转化思想。 教学重难点 1.重点 （1）有理数乘方的符号法则与基本运算 （2）科学记数法的表示与还原 （3）有理数混合运算的运算顺序与简便计算 2.难点 （1）乘方运算中底数的辨析与符号判断 （2）偶次幂非负性的综合应用 （3）混合运算中运算律的灵活运用与符号处理 知识点01：有理数乘方的相关概念 1.乘方的定义：求个相同因数的积的运算叫作乘方，记作；乘方的结果叫作幂，其中叫作底数，叫作指数，读作的次方（或的次幂）。 2.特殊规定：一个数可以看作它本身的1次方，指数1通常省略不写。 3.易混辨析 形式 底数 意义 个相乘的积 个相乘的积的相反数 个相乘的积 注意：负数或分数作底数时，必须用括号将底数括起来。 【即学即练】 1．用幂的形式表示“个相乘”（为正整数）的结果是_________． 【答案】 【分析】根据乘方的定义即可写出正确结果． 【详解】解：“个相乘”的结果是． 2．为了简便，可以将记为_____． 【答案】 【分析】n个相同因数相乘可以写成该数的n次方形式，据此进行解答． 【详解】解：根据乘方的定义， n个相同的因数5相乘，记为5的n次方，即． 知识点02：有理数乘方的符号法则 1.正数的任何次幂都是正数。 2.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数（简记为“奇负偶正”）。 3.的任何正整数次幂都是。 4.常用结论 的任何次幂都是；的偶次幂为，奇次幂为。 平方等于它本身的数是和；立方等于它本身的数是和。 1．______． 【答案】 【分析】本题考查了指数幂的运算，解决本题的关键是正确计算正负号． 根据指数运算法则和有理数乘法法则，分别计算各部分的符号和指数，再合并相乘． 【详解】解：． 故答案为：． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 知识点03：偶次幂的非负性 1.性质：任意有理数的偶次幂都是非负数，即对于任意有理数，都有（为正整数），最常用的是。 2.非负数和的性质：若几个非负数（绝对值、偶次幂等）的和为，则每个非负数都等于。 1．若实数a，b满足，则______ 【答案】8 【分析】根据非负数的性质求出a、b的值，代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 2．若，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据非负数的性质列式求出a、b、c的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 知识点04：科学记数法 1.定义：把绝对值大于的数表示成的形式（其中，是正整数），这种记数方法叫作科学记数法。 2.表示方法 确定：将原数的小数点移到左边第一个非零数字后，得到。 确定：等于原数的整数位数减1，也等于小数点向左移动的位数。 3.还原方法：将中的小数点向右移动位，位数不足时补0；还原后数的整数位数为。 1．根据国家卫健委官网统计，截至2021年12月20日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗接近27亿剂次，则27亿用科学记数法表示为________________． 【答案】 【详解】解：27亿． 2．预计2026年中国人形机器人市场规模近元人民币．数据可表示为（     ） A．0.9亿 B．9亿 C．90亿 D．900亿 【答案】C 【分析】将科学记数法表示的数还原，再换算为以亿为单位的数即可得到结果． 【详解】亿． 知识点05：有理数的混合运算 1.运算分级：加减为第一级运算，乘除为第二级运算，乘方为第三级运算。 2.运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 同级运算，按照从左到右的顺序进行； 如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 3.运算技巧：灵活运用加法、乘法的运算律简化计算，注意去括号、添括号时的符号变化。 1．在小学我们学习过加减乘除运算的顺序是“先乘除，后加减，若有括号，先进行括号内的运算”． 对于下面的计算：，运算顺序是怎样的呢？ 【答案】运算顺序为：先算乘方和括号内的减法，接着算除法和乘法，最后从左到右计算加减． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 2．计算题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)3 (2)3.5 (3) (4) (5)0 (6) 【分析】（1）根据有理数的加减法法则计算； （2）根据有理数的加法结合律计算； （3）根据有理数的乘法分配律计算； （4）先算有理数的乘法，再根据有理数的加减法法则计算； （5）先算乘方，再算乘除，最后算加减； （6）先算乘方，再算乘除，最后算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： = ； （3）解： ； （4）解： = ； （5）解： ； （6）解： ． 题型01乘方的概念辨析 明确底数、指数的定义；区分与的底数差异，负数、分数作底数必须加括号；牢记乘方的本质是相同因数的乘法。 【典例1】. 计算可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据有理数幂的意义得：． 【变式1】. 关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 【答案】D 【分析】根据乘方的定义逐一判断选项即可. 【详解】解：A.中，指数是，不是，故A错误； B.，结果不是，故B错误； C.个相加表示为，不是，故C错误； D.符合乘方定义，表示个相乘，故D正确. 【变式2】. 对乘积记法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据乘方定义即可判断； 【详解】解：∵根据乘方定义，个相同因数相乘，记作，其中为底数，为指数， 本题中共有个相同因数相乘， ∴底数为，指数为，正确记法为． 【变式3】. 计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可根据乘法的意义计算，可根据乘方的定义计算，再相加即可得到结果． 【详解】解：． 题型02有理数乘方的运算 先判断底数的正负与指数的奇偶性，按“奇负偶正”确定幂的符号，再计算绝对值的乘方；运算时优先处理乘方的符号，避免混淆。 【典例2】. 计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 【变式1】. 算一算：_____，____，_____，______； 【答案】 【详解】解：，，，． 【变式2】. 计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)8 【详解】（1）解： （2）解： （3）解：； （4）解： 【变式3】. 计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)8 【分析】（1）根据有理数的乘方计算即可； （2）根据负数的奇数次幂是负数，确定符号，再根据有理数的乘方法则求解即可； （3）先确定结果的符号为负，再计算即可； （4）根据，再计算立方即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型03用科学记数法表示大数 先确定（满足），再数原数整数位数，整数位数；带“万”“亿”等计数单位的数，先还原为原数再表示。 【典例3】. 将“”的运算结果用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 【变式1】. 比亚迪是深圳一家著名企业，某年比亚迪新能源汽车销量约为460万辆，同比增长8.2%，其中460万用科学记数法表示为（     ） A．4.6×10⁶ B．4.6×10⁷ C．46×10⁵ D． 【答案】A 【分析】先将单位“万辆”的单位转化为“辆”，再根据科学记数法的规则确定和的值，即可得到结果． 【详解】解：∵ 460万 ， 科学记数法的表示形式为，要求，为整数， 将4600000转化为的形式时，小数点向左移动6位，得，， ∴ 460万用科学记数法表示为． 【变式2】. 近年来我国电影行业发展迅速，电影《哪吒之魔童闹海》风靡全球．据统计，截至2025年5月底，其票房达到约150亿元．数字15000000000用科学记数法表示为________． 【答案】 【详解】解：． 【变式3】. 韩国三星电子某款芯片的运算速度每秒为次，另一种华为新型芯片的运算速度是它的倍，且该新型芯片连续工作秒的总运算次数用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列出总运算次数的算式，再利用同底数幂的乘法法则计算，最后得到符合科学记数法要求的结果． 【详解】解： 三星芯片每秒运算速度为次，华为芯片速度是它的倍，连续工作秒 ， 总运算次数为： 因此结果用科学记数法表示为． 题型04科学记数法的还原 将的小数点向右移动位，位数不足时补0；可通过“整数位数”检验还原结果是否正确。 【典例4】. 2026年省内乡村振兴项目投入资金约元，该科学记数法表示的数还原为原数是（     ） A．21500000 B．215000000 C．2150000 D．2150000000 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法还原原数，根据科学记数法的定义，对于（，为正整数），还原时只需将的小数点向右移动位即可得到原数。 【详解】解：∵题目中给出的科学记数法为，其中， ∴将的小数点向右移动位，得到原数为． 【变式1】. 2026年河南文旅综合收入突破 元， 原数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法还原为原数，根据科学记数法定义，将还原时，只需把的小数点向右移动位即可得到原数． 【详解】中， 将的小数点向右移动位，得到原数为，故选B． 【变式2】. 2025年10月31日神舟二十一号载人飞船采用自主快速交会对接模式，发射后仅用3.5小时与空间站成功对接，其平均速度高达千米/小时，则这个用科学记数法表示的数据原数是（     ）米/小时 A．2764810 B．2764800 C．27648000 D．276480000 【答案】C 【详解】解：千米/小时米/小时． 【变式3】. 2026年厦门市文旅部门数据显示， “五一”期间鼓浪屿等热门景点累计接待市民游客约为人次，下列选项中与 相等的是（     ） A．67300 B．673000 C．6730000 D．67300000 【答案】C 【分析】根据科学记数法的定义，将所给科学记数法展开得到原数，即可选出正确选项． 【详解】∵ ， ∴ ． 题型05有理数混合运算计算 严格遵循“先乘方、再乘除、后加减，括号优先”的顺序；同级运算从左到右，每一步先定结果符号，再计算绝对值。 【典例5】. 计算：_______． 【答案】 【详解】解： ． 【变式1】. 计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： 【变式2】. 计算：． 【答案】 【分析】利用有理数的乘方运算进行运算，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． 【详解】解： 【变式3】. 计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)15 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ； （3）解： ； （4）解：原式 ． 题型06乘方的简便运算 指数相近的幂相乘，逆用乘法结合律，将乘积为1的底数配对结合；同底数幂相加减，提取指数较小的幂，简化计算。 【典例6】. 计算：_________． 【答案】4 【分析】利用积的乘方逆运算解答即可． 【详解】解：． 【变式1】. 计算：． 【答案】 【分析】按照先算乘方，再算乘法，最后算减法的运算顺序，结合初中指数运算规则求解即可． 【详解】解：原式 ． 【变式2】. 计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式3】. 巧算：______． 【答案】 【详解】解： ． 题型07程序框图类混合运算 严格按照程序步骤逐一代入计算，注意判断分支条件；循环类程序需逐次迭代计算，直到满足输出条件。 【典例7】. 如图是一个运算程序示意图，如果第1次输入的x的值是4，则第2次输出的y的值为______． 【答案】 【详解】解：第1次输出结果为：； 第2次输出结果为：． 【变式1】. 图是一个计算程序． (1)按照顺序计算并填写其中的“     ”，并在下面横线上列出综合算式； 综合算式：___________________（仅列算式无需计算）； (2)计算：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据题意计算即可； （2）先计算乘方和绝对值，再计算乘除，最后计算减法． 【详解】（1）解：；；综合算式： （2）解： ． 【变式2】. 定义一种对正整数n的“F”运算： ①当为奇数时，； ②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替重复进行． 例如：取，则：； 若，则第次“”运算的结果是（     ） A．52 B．13 C．4 D．1 【答案】D 【分析】根据题意，写出前几次的运算结果，发现其中的规律，通过计算得出从第6次开始，结果就只有1、4两个数循环出现，进而观察规律即可得结论，从而进行求解． 【详解】解：当时， 则第1次“”运算的结果是：， 第2次“”运算的结果是：， 第3次“”运算的结果是：， 第4次“”运算的结果是：， 第5次“”运算的结果是：， 第6次“”运算的结果是：， 第7次“”运算的结果是：， 第8次“”运算的结果是：， … 观察以上结果，从第6次开始，结果就只有1、4两个数循环出现， 且当次数为奇数时，结果是4，次数为偶数时，结果是1， ∵是偶数， ∴最后结果是1． 【变式3】. 定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为，其中k取使为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取时，则有：，将进行2025次“F运算”的结果是（　　） A．19 B．31 C．62 D．98 【答案】C 【分析】根据题意，依次求出每次“F运算”的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为， 所以第1次“F运算”的结果是， 第2次“F运算”的结果， 第3次“F运算”的结果， 第4次“F运算”的结果， 第5次“F运算”的结果， 第6次“F运算”的结果， 第7次“F运算”的结果， …， 由此可见，从第1次“F运算”的结果开始按152，19，62，31，98，49循环． 因为， 所以第2025次“F运算”的结果62． 题型08乘方符号规律的应用 利用的奇偶次幂规律化简长式子；根据幂的符号反推底数正负与指数奇偶性；多个幂相乘先逐个定符号再计算。 【典例8】. 若一个多项式的值恒为非负数，我们则称这个多项式为“和美多项式”．例如多项式可做如下变形：，∵，∴．∴的值恒为非负数，且当时，多项式有最小值，最小值是2． 根据以上阅读材料，完成下列问题： (1)下列多项式是“和美多项式”的是______；（填序号即可） ①       ②       ③ (2)证明多项式是“和美多项式”，并求出它的最小值． 【答案】(1)①，③ (2)证明见解析，最小值8 【分析】（1）根据“和美多项式”的定义直接根据，即可判断①和②；对③先根据题中的变形方法把原式化为，即可判断； （2）先利用题中的变形方法把原式可化为，然后根据平方的非负性即可解答． 【详解】（1）解：①， ∵， ∴，故①是“和美多项式”； ② ∵， ∴，故②不是“和美多项式”； ③， ∵， ∴， ∴的值恒为非负数，故③是“和美多项式”； （2）解： ， ∵， ∴原式，即原式为“和美多项式”， 当时有最小值，最小值是8． 【变式1】. 阅读材料，解决问题：由…不难发现3的正整数幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到：因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为1；因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． (1)请你仿照材料，分析求出的个位数字及的个位数字； (2)请探索出的个位数字． 【答案】(1)3，2 (2)7 【分析】此题主要是考查乘方的尾数特征，解题关键是发现个位数字的循环规律，根据规律进行计算． （1）此题不难发现：的个位数字是7，9，3，1四个一循环，所以，则的个位数字是3；的个位数字是8，4，2，6四个一循环，所以，则的个位数字是2； （2）分别找出，，的个位数字，然后个位数字相加所得个位数字就是的个位数字． 【详解】（1）解：∵， ∴7的正整数幂的个位数字以7，9，3，1为一个周期循环出现， ∵， ∴的个位数字与的个位数字相同，应为3； ∵， ∴8的正整数幂的个位数字以8，4，2，6为一个周期循环出现．因为， ∴的个位数字与的个位数字相同，应为2； （2）解：∵， ∴2的正整数幂的个位数字以2，4，8，6为一个周期循环出现， ∴的个位数字与相同，是2， 根据（1）可知，的个位数字是7，的个位数字是8，， ∴的个位数字是7． 【变式2】. 观察下面三行数： 2、、8、、32、……① 1、、4、、16、……② 0、6、、18、、66……③ 取每一行的第n个数，依次记为a，b，c． 例如上图中，当时，，，， (1)当时，________，________，________； (2)写出第①行的第n个数________；第②行的第n个数________； (3)是否存在某一列的三个数a，b，c使得？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)128，64， (2)， (3)存在， 【分析】此题考查数字的变化规律，有理数的乘方运算，找出数字的变化规律，得出行之间的运算方法解决问题． （1）根据题干中的数字规律求解即可； （2）利用（1）中的数据找到规律即可； （3）首先得到第③行的第n个数为，然后根据得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵2、、8、、32、……① ∴，，，，… ∴当时，； ∵1、、4、、16、……② ∴，，，，， ∴当时，； ∵0、6、、18、、66……③ ∴，，，，， ∴； （2）解：由（1）可得，第①行的第n个数为； 第②行的第n个数； （3）解：由（1）可得，第③行的第n个数为， ∵ ∴ ∴． 【变式3】. 已知，，，…，． (1)填空：_____，是一个_____（填“正”或“负”）数． (2)计算：． (3)当时，的值为多少？ 【答案】(1)，正 (2) (3) 【分析】（1）根据有理数的乘方，偶数个负数相乘的积是正数得出答案即可； （2）根据乘方的意义，可得，，根据有理数的加法，可得答案； （3）根据乘方的意义，可得，，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解：（1），是一个正数； （2）； （3） ． 【点睛】本题考查了数字的变化规律，掌握乘方的意义，判定负数乘方的计算结果是解决问题的关键. 题型09“24点”趣味运算 围绕24的因数分解，组合数字构造加减乘除乘方运算；每个数字必须且只能使用一次，合理添加括号改变运算顺序。 【典例9】. 游戏“ 点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为 ，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出符合规则的算式． 【答案】（答案不唯一）. 【详解】解：由题意得： （答案不唯一）． 【变式1】. 有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 【答案】 【分析】根据题意和题目中的数字，可以写出一个结果为24的算式，注意本题答案不唯一． 【详解】解： 【变式2】. 学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越越和兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法．两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是，只要其余三个数能算出是或，，，，都可算出，如：可以列出． 兴兴：有时遇到不能用你的方法算出，可以尝试用除以，也能得到哦！如：，，，，可以列出． 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： (1)现给定三个数，，，请从到这些自然数中选一个，使四个数能算出，要求列出算式，并简单说一下你的思考过程． (2)想一想，数字，，，这四个数可以算出吗？如果可以，请列出算式． 【答案】(1) 所选数字为，算式： (2) 可以， 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，在理解有关规则的基础上灵活应用有理数的混合运算法则求解是解题关键； （1）根据运算结果为和已知给定的三个数，筛选出合适的数字； （2）根据已给数字有，按照题干所给方法进行判断即可． 【详解】（1）解：当选时， ∵， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 任选其一即可； （2）答：可以，． 【变式3】. 小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数乘法的法则和乘积最大，计算即可求解； （2）根据有理数除法的法则和商最小，计算即可求解； （3）根据有理数的混合运算法则，计算即可求解． 【详解】（1）解：这2张卡片上数字乘积最大， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，乘积最大， 即， 故答案为：； （2）这2张卡片上数字相除的商最小， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，商最小， 即， 故答案为：； （3）结果为24， 取出的4张卡片上的数字分别为，，，，不可能为0， 则． 故答案为：． 题型10进制转换问题 进制转十进制，按“数位数字的位次幂之和”计算；十进制转进制，用“除取余，倒序排列”的短除法计算。 【典例10】. 生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：，．计算机中常用的十六进制是逢进的计数制，采用数字和字母共个计数符号，满十六进一，它与十进制对应的数如表： 十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … 十六进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 10 11 … 将十六进制数转换为十进制数为____________，十六进制下_______________． 【答案】 【分析】根据题目给出的十六进制与十进制的对应规则，第一空直接按规则将十六进制转换为十进制计算即可，第二空先求出乘积对应的十进制结果，再将十进制结果转换为十六进制即可． 【详解】解：由表格可知，十六进制的对应十进制的， 根据转换规则得； 由表格可知，十六进制的对应十进制，对应十进制， 先计算十进制下的乘积得， 将十进制转换为十六进制得， 由表格可知，十进制对应十六进制的，因此结果为． 【变式1】. 阅读材料完成问题：在中学生涯中，我们常常会遇到等比数列，即，，等，每两个数之间都是2倍数关系，若要求和时，我们可以假设这个求和的结果为： 我们将每一项都乘以2，就可以得到，我们将两个数相减就可以得到．现在有一点M从坐标原点开始运动，第一次向右2个单位，第二次向左4个单位，第三次向右8个单位，第四次向左16个单位，如此循环往复，第n次它距离原点______． 【答案】 个单位 【分析】先根据运动方向表示出点第次运动后的位置表达式，再利用题干给出的错位相减法求和，最后取绝对值得到点到原点的距离. 【详解】解：规定向右运动为正方向，向左运动为负方向，则第次运动后点的位置坐标为： 将①两边同时乘以得： ①+②得：，整理得：， ∵点到原点的距离为位置坐标的绝对值， 故第n次它距离原点. 【变式2】. [阅读材料]：所谓进位制，就是人们规定的一种进位方法．对于任何一种进制——X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位，例如十进制是逢十进一，二进制就是逢二进一，以此类推．为与十进制进行区分，我们常把用X进制表示的数a写成（a）x．类比于十进制我们可以知道：X进制表示的数（1111）x中，右起第一位上的1表示   第二位上的1表示 第三位上的1表示 第四位上的1表 故 即： 转化为了十进制表示的数 如： 即二进制的数1111等于十进制数15． [问题解决]： (1)中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图①所示是一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录采集到的野果数量为______个．（用十进制数表示） (2)如图②，是小明同学的准考证号的二维码的简易编码，（黑色代表1，白色代表0）．其中第一行代表二进制的数字(11000)₂，转换成十进制数为24；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2410072013，其中第四行编码“20”表示考场号为20． （i）图③是小亮同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第四行代表二进制的数字是______，转化成十进制后可知他的考场号是_______；（直接写出答案．） （ii）若本次考试中，“小芳”的准考证号是2417051311，图④是“小芳”自己绘制的二维码简易编码，但在第三、五两行少涂黑了几个小正方形．请你写出计算过程，并帮她在图④中补充完整． 【答案】(1) (2)（i）；；（ii）见解析 【分析】（1）首先明确是满七进一的七进制计数，从右到左对应七进制的位，所以先读取每根绳子上的结数，再根据七进制转十进制的规则，用每一位数字乘对应位的7的幂次后求和． （2）（i）首先明确编码规则是黑色为1、白色为0，从左到右对应二进制的高位到低位，所以先读取图③第四行的颜色得到二进制数，再按二进制转十进制的规则，用每一位数字乘对应位的2的幂次后求和得到考场号．（ii）首先拆分准考证号，找到第三行和第五行对应的十进制数，然后将这两个十进制数分别转化为5位二进制数，再根据二进制数的0、1对应白色、黑色，确定需要涂黑的位置． 【详解】（1）满七进一为七进制，从右到左的结点数依次为：右起第一位（最右）2个，第二位（中间）3个，第三位（最左）1个，转换为十进制： ， 答案：； （2）（i）根据规则，黑色为1，白色为0，图③第四行从左到右为：黑、白、黑、白、黑，即二进制数， 转换十进制： ， 答案：；； （ii）小芳准考证号为，按规则，第一到第五行依次对应两位十进制， 因此第三行对应，第五行对应． 设五位二进制从左到右为，对应十进制为：． ∵， ∴二进制为， 因此需要将第三行左数第3格、第5格涂黑． ∵， ∴ 二进制为， 因此需要将第五行左数第4格、第5格涂黑． 如图所示． 【变式3】. 综合与实践 第十四届国际数学教育大会（ICME-14）的标识融合了中国传统文化中的“洛书”、“河图”和八卦符号．八卦符号由三个“爻”（yáo）组成，其中“”（阳爻）代表1，“”（阴爻）代表0．每个八卦符号对应一个二进制数．为了区分不同的进位制数，常在数的右下角标明基数，如表示二进制数1011，但十进制数一般不标注基数．每一种进制数都可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，不同进制数之间可以相互转换．如： ， ， ， 故， (1)大会标识中的八卦符号如表格所示，请根据以上信息填表： 卦名 兑 乾 艮 离 符号 对应的二进制数 ___ ___ (2)八卦符号共有8种组合：，转换成十进制数后对应0-7，也可以看成八进制数的0-7．大会标识中的记数符号由四个二进制数组成，将它们分别转换为十进制数得到一个四位数：再将这个四位数看作一个八进制数，并将这个八进制数转换为十进制数．这个十进制数就是会议年份．例：乾．请计算出会徽中的“”所对应的年份，并写出具体过程． (3)先秦文献《世本·作篇》中记载“隶首作数”，讲述黄帝的侄子隶首曾用绳子打结来记录牛羊数量．如下图所示，有两农户在从右往左依次排列的绳子上打结，其中农户A选择满m进一，农户B选择满4进一，请问是否存在自然数m，使得两家农户牛羊的数量相同，如果存在，求出m；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)解：所对应的年份为2021年，具体过程如下： 会徽中的“”所对应二进制分别为：，，，， 它们分别转换为十进制分别为： ，， ， ， 这个四位数看作一个八进制数为， 再转化为十进制数为：， 故所对应的年份为2021年． (3)存在，m的值为3 【分析】（1）根据其中“”（阳爻）代表1，“”（阴爻）代表0求解即可； （2）先将会徽表示的二进制表示出来，再转化为十进制表示的四位数，再将这个四位数看作一个八进制数，并将这个八进制数转换为十进制数，由此可解； （3）仿照二进制转化为十进制的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：“艮”表示，“离”表示； （2）略 （3）解：农户A牛羊的数量为， 农户B牛羊的数量为， 令，整理可得， 解得或（舍）， 故存在自然数3，使得两家农户牛羊的数量相同． 一、单选题 1．有理数的值为（     ） A． B．4 C． D．1 【答案】D 【详解】解：． 2．据联合国难民署（UNHCR）统计，月日，因俄乌冲突，乌克兰外流难民已超过万，就增长速度和规模而言，这场难民危机自第二次世界大战以来前所未有．将数据“万”用科学记数法表示应为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，先将“万”转化为普通整数，再按要求写出科学记数法即可． 【详解】解：，将写成（ ，为整数）的形式，可得，小数点向左移动了位，即， 万用科学记数法表示为． 3．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由乘方的定义和乘法的意义，分别化简分子分母即可得到结果． 【详解】解：根据乘方的定义，个相乘可表示为；根据乘法的意义，个相加可表示为， ∴． 二、填空题 4． ____________． 【答案】 【详解】解：． 5．已知，则_____________． 【答案】 【分析】首先由绝对值和平方的非负性得到，求出，然后代入求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴． 6．将二进制数101转化成十进制数这样进行：，即二进制数101转化成十进制数为5．再如：二进制数1101转化成十进制数这样进行：，即二进制数1101转化成十进制数为13．以此类推． （1）将二进制数10011转化成十进制数为___________； （2）将十进制数23转化成二进制数为___________． 【答案】 19 10111 【分析】（1）根据题中给出的示例，二进制数转化为十进制数的方法是将每一位上的数字乘以对应的2的幂次方，然后相加即可； （2）将十进制数转化为二进制数，可采用“除2取余法”，即不断用2去除该数，直到商为0为止，然后将余数倒序排列即可． 【详解】解：（1）由题意知，， ∴将二进制数10011转化成十进制数为19； （2）， ， ， ， ， 将余数从下往上排列，得到：10111， 经检验：， ∴将十进制数23转化成二进制数为10111． 三、解答题 7．计算： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．某种细菌每分钟由1个分裂成2个． (1)经过，1个细菌分裂成多少个？这些细菌再继续分裂，共分裂成多少个？ (2)你还能提出什么问题？ 【答案】(1)经过，1个细菌分裂成个，再继续分裂，共分裂成个 (2)经过多长时间，1个细菌能分裂成64个？（答案不唯一） 【详解】（1）解：由题意，经过，1个细菌分裂成个，再继续分裂，共分裂成个； （2）略 9．如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据流程图规则列式计算即可； （2）根据流程图规则列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得， ∴原式． 1．若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：8个相加，即，8个相乘，即， 则，即， ∴， ∴． 2．若，则的值是________． 【答案】 【分析】根据绝对值与有理数乘方的非负性，求出和的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：，，且， ，， 可得：，， 解得：，， 将，代入， 可得： ． 3．上海举办过第十四届国际数学教育大会（简称），会徽的主题图案（如图）有着丰富的数学元素，展现了中国古代数学的灿烂文明，图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号写出的八进制数字．我们常用的数是十进制数，如；在电子计算机中用的二进制，如二进制中等于十进制的数；八进制数字换算成十进制是_________． 【答案】 【分析】根据题意推断即可求解． 【详解】等于十进制的数． 4．本学期学习的乘法公式可以让我们更好地研究数字运算的规律． (1)填空： ①______； ②______． (2)探究：个位数字是5的三位数平方后，其结果的末尾两个数字有什么规律？请写出该规律并说明理由． (3)受上述探究过程的启发，小亮同学设计了如下数字游戏： ①先请同学甲在心中任意想一个三位数，把它称为“所想数”； ②接着用这个“所想数”连续两次减去其个位数字，把得到的结果称为“过程数”，例如：若“所想数”是567，则“过程数”是； ③将“所想数”与“过程数”相乘，把得到的结果称为“所得数”； ④同学甲说出“所得数”，请同学乙说出①中“所想数”． 两名同学按以上规则玩该数字游戏，若“所得数”是14391，请直接写出“所想数”，不必写解答过程． 【答案】(1) ①；② (2) 规律：个位数字是5的三位数平方后，结果的末尾两个数字是，理由如下： 设这个三位数去掉个位数字5后，得到的整数为，则该三位数可写为，其中，为整数， 计算平方得： ， 是的倍数，末尾两位为， 的末尾两位为，即规律成立 (3) 所想数为 【分析】（1）直接计算平方得到结果即可； （2）将个位为5的三位数用代数式表示，利用完全平方公式展开推导，即可得到末尾数字的规律； （3）根据游戏规则表示出“所想数”和“过程数”，利用平方差公式化简乘积，再根据数的性质求解即可得到原数． 【详解】（1）解：①； ②； （2）略 （3）解： 设“所想数”去掉个位数字后得到的整数为，个位数字为，则“所想数”为，其中，，，为整数， 根据规则，“过程数”为：， “所得数”满足， 由平方差公式得：， 整理得， 的末尾两位是， 的末尾两位是， ∴的末尾两位是， 为0到9的整数，仅当时，满足条件， ∴，即， 是正整数， ， ∴“所想数”为． 5．阅读材料，求值：． 解：设①，将等式两边同时乘以2得： ②， ，得：， 所以， 即， 请你仿照此法计算： (1)； (2)（其中为正整数） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据材料提示，设，结合题意的计算方法求解即可； （2）设，等式两边同时乘以3，结合题意的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：设， ∴， ∴， ； （2）解：设， ∴， ∴， ， ∴． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $