专题03 绝对值的综合应用（高效培优专项训练）数学新教材沪教版五四制六年级上册

**基本信息** 以“概念-性质-应用”为主线，系统整合绝对值代数意义、几何意义等五大模块，通过分层题型构建从基础到综合的解题方法体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数意义|10题|定义化简、数轴对应关系分析|从绝对值基本定义出发，结合数轴实现数与形的初步转化| |几何意义|5题|距离公式转化、动点问题建模|将代数表达式转化为几何距离，培养几何直观与应用意识| |非负性|6题|非负数性质应用、最值分析|基于绝对值非负性，延伸至代数式求值与动态问题推理| |化简与分类讨论|6题|参数分类、多情况分析|综合代数意义与非负性，强化分类讨论的推理意识| |零点分段法|3题|零点确定-区间划分-分段化简|针对复杂绝对值化简，形成可迁移的程序化解题步骤|

专题03 绝对值的综合应用 题型一 绝对值的代数意义 题型二 绝对值的几何意义 题型三 绝对值的非负性 题型四 绝对值的化简与分类讨论 题型五 零点分段法 题型一：绝对值的代数意义 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则化简的结果为（     ） A． B． C． D． 3．当时，化简的结果为（     ） A． B． C． D． 4．若，则的可能取值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 5．当时，代数式的值是________． 6．如图，已知有理数在数轴上的位置，则____． 7．若，化简：_____． 8．若，，且，求的值． 9．有理数、在数轴上如图， (1)在数轴上表示、； (2)用、或填空：______，______，______，______ (3)试用连接，0，， 10．阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身、负数的绝对值等于它的相反数，所以当时；当时． 如下面一组等式：，． 根据以上阅读内容完成： (1)的结果是__________ (2)计算：． (3)若数轴上表示数的点位于与2之间．求的值． 题型二：绝对值的几何意义 1．（25-26六年级上·山东淄博·期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，如：表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．若，请利用数轴求出所有符合条件的整数的和（    ） A． B． C． D． 2．大家知道，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：．根据以上信息，回答下列问题： (1)点A、B在数轴上分别表示实数x和． ①用代数式表示A、B两点之间的距离； ②如果，求x的值． (2)直接写出代数式的最小值及相应的x的取值范围． 3．阅读材料： 距离能够产生美，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能形成量感，进而掌握世界尺度．“数轴”是数形结合的重要工具，在数轴上，两点的距离等于对应两数之差的绝对值．如：数轴上表示2和5的两点的距离为；再如，数轴上表示x和2的两点的距离为（若为正，距离即为；若非正，距离即为）． 依据上述材料，解答下列问题： 如图，已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，点O为原点，点A与点O的距离为3，点B与点O的距离为7． (1)填空：a的值为_________，b的值为_________，点A与点B的距离为_________； (2)若点M，N为数轴上两个动点，点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；点N同时从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒． ①填空：点M表示的数是_________，点N表示的数是_________（均用含t的代数式表示）； ②当t为何值时，点M与点N的距离为2个单位长度？ 4．（25-26六年级上·上海普陀·期末）利用数轴和绝对值的知识我们可以研究两点之间的距离．线段的计算和角的计算也有密切关联，借助对数轴的研究，可以迁移到角度的研究． 【观察】已知数轴上有两点． （1）如图，点表示的数是，点表示的数是，线段的长度是，可以理解为；如图，点表示的数是，点表示的数是，线段的长度是，可以理解为_____________． 【归纳】（2）由此小华得出结论：若点表示的数是，点表示的数是，则与两点之间的距离_____________． （3）若点表示的数是，点表示的数是，，则，得_____________． 【迁移】小华根据数轴的定义结合圆规设计了一种“曲形数轴”用来解决角度问题．如图，标记射线表示，规定顺时针方向为正方向，选取为单位长度．例如：射线表示，射线表示，则可以得到． （4）若射线表示，射线表示，则_____________（用含，的式子表示）； 【应用】如图，已知，，，射线，同时绕点以秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒； （5）当秒时，_____________ （6）当时，求出的值． 5．（25-26六年级上·上海松江·期末）综合与实践 问题情境 某学校校车负责在一条笔直公路沿线接送A、B、C三个小区学生上学．公路可看作一条数轴，A、B、C三个小区在数轴上对应的数分别为、3、7（单位：百米）如图所示．学校计划在公路上设立一个接送点P，学生从小区步行到P点集合，再一起乘校车去学校． （1）初步探究 ①若将接送点P设在的中点处．则点P在数轴上对应的数是______； ②数轴上两点之间的距离可以用这两个点表示的数的差的绝对值表示．例如： A、B之间距离可以表示为：或，B、C之间距离可以表示为：或．在①的条件下，A、B、C到P点的距离之和为______． （2）优化方案 ①设点P对应的数为x，用含x的代数式表示三个小区到点P的距离之和S．②学校希望S最小，请说明接送点P在数轴上的位置，并直接写出此时S的值． 答：①______． ②接送点P应设在_______，S的值是______． （3）问题解决 在（2）优化方案的基础上，校车从学校出发，以的速度到P点接学生，学校到接送点P的路程．校车出发的同时，小海以的速度从A小区出发到接送点P，走到路程的一半时发现有学习工具落在家里，他立即原速返回，找工具花了4分钟，再赶往接送点P．小海能否在校车到达之前到达P点？若能，通过计算说明理由．若不能，试计算，小海取完工具后要想与校车同时到达P点，他取完工具后的速度应为多少？ 题型三：绝对值的非负性 1．若，那么等于（　　） A．4 B． C．2 D． 2．若，则的值为（    ）． A．2 B． C．1 D． 3．若为有理数，且式子存在最大值，则该最大值是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 4．已知有理数满足：．如图，线段在直线上运动点B在点C的左侧），．下列结论中正确的是（　　） ①； ②当点B与点O重合时，点C恰好为线段的中点； ③当点B与点A重合时，若点P是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若点M为线段的中点，点N为线段的中点，则线段的长度不变． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 5．已知与互为相反数，求的值． 6．如图，点在数轴上表示的数分别为，且．点为数轴上一点，且点表示的数为． (1)若，试求的值； (2)若，试求的值； (3)若点对应的数为，且点三点在数轴上同时向右运动，点的速度分别是4个单位长度/秒、3个单位长度/秒、2个单位长度/秒，设点运动的时间为秒，当点时，求的值． 题型四：绝对值的化简与分类讨论 1．若，则的值为（   ） A．0或1 B．或 C． D． 2．（25-26六年级上·上海青浦·期中）对于有理数，，若，则的值是______． 3．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）代数式的几何意义是“数轴上x所对应的点与 2所对应的点之间的距离，求的最小值是5，则__________ ． 4．（24-25六年级上·上海青浦·期中）解方程： 5．已知，若，求的值． 6．已知，甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，甲数，乙数在数轴上位于原点的两侧，且甲数和乙数表示的两点的距离为8． (1)求甲乙两数各是多少？ (2)数轴上有一个点丙，它到甲，乙的距离相等，求点丙所表示的数是多少？ (3)一只昆虫A从甲表示的数出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只昆虫B从乙表示的数出发也向右运动．最终两只昆虫相遇于数轴上的C处，C表示的数是16．求昆虫B的速度是多少？ 题型五：零点分段法 1．阅读下列材料． 我们知道，现在我们利用这一结论来化简含绝对值的代数式． 例如：化简代数式． 可令和，分别求得和（这里称，2分别为与的零点值）． 在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：；；． 从而在化简代数式时，可分以下三种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 所以 通过以上阅读，解决下列问题： (1)的零点值是______； (2)化简； (3)直接写出的最大值． 2．化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为和的零点值。数轴上零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，分别如下： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ⑤当时，原式． 综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题： (1)化简代数式； (2)的最大值是 ．（请直接写出结果） 3．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）阅读理解： 对于有理数a、b，的几何意义为：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义为：数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离.如：的几何意义即数轴上表示数x的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题： (1)我们知道，根据几何意义，若，那么x的值是 ． (2)利用数轴分析的几何意义，的最小值是 ． (3)的最小值是 ． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 绝对值的综合应用 参考答案 题型一：绝对值的代数意义 1．C 2．B 3．A 4．D 5．1 6．． 7．-1 8．【答案】或． 【分析】本题考查了绝对值的性质有理数的减法运算，根据绝对值的性质可得，，然后进一步确定，从而可得当，时；当，时，再计算即可，熟练掌握绝对值的有关概念和性质是解题的关键． 【详解】由，则， ∵，， ∴，， 则当，时， ； 当，时， ， 综上可知：的值为或． 9．【答案】(1) 与在数轴上的位置如下图： (2)，，， (3) 【详解】（1）解：略． （2）由图可知：， ，，，， 故答案为：，，，； （3），，， ，， ，， ． 10．【答案】(1)7 (2) (3)6 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：7； （2）解：， ； （3）解：由题意得， ∴． 题型二：绝对值的几何意义 1．B 2．【答案】(1)①；②或 (2)最小值是5，x的取值范围是 【详解】（1）解：根据分析，可得①； ②如果，则， 或， 解得或． （2）解：代数式表示数轴上数x所对应的点到4和所对应的两点距离之和， 当时，代数式的最小值是：， 即代数式的最小值是5，x的取值范围是． 3．【答案】(1)；7；10 (2)①，；②或 【详解】（1）解：由点A与点O的距离为3，点B与点O的距离为7， 得到数a可能是3或，数b可能是7或，点A与点B的距离为， 根据图示，得点A在原点的左侧，故数a是一个负数，取；点B在原点的右侧，故数b是一个正数，取7． （2）解：设运动时间为秒． ①根据题意，得,， 由点A表示的数是，点B表示的数是7， 故点M表示的数是，点N表示的数是； ②解：由材料得，点M与点N的距离为． 因为点M与点N的距离为2， 所以，或． 解，得． 解，得． 所以，t的值为或． 4．【答案】（）；（）；（）或；（）；（）；（）当时，的值为或． 【详解】解：（）点表示的数是，点表示的数是，线段的长度是，可以理解为， 故答案为：； （）若点表示的数是，点表示的数是， 则与两点之间的距离， 故答案为：； （）∵， ∴或， ∴或， 故答案为：或； （）∵射线表示，射线表示， ∴， 故答案为：； （）∵，，，射线，同时绕点以秒的速度顺时针旋转， 当秒时，， ∴， 故答案为：； （）由题意得：， 重合前，， ∵， ∴， 解得：； 重合后，， ∵， ∴， 解得：； 综上可得：当时，的值为或． 5．【答案】（1）①；②；（2）①；②处，9；（3）他取完工具后的速度应为米/分钟 【详解】（1）解：①∵A、B、C三个小区在数轴上对应的数分别为、3、7，且接送点P设在的中点处， ∴， 即点P在数轴上对应的数是， 故答案为：； ②依题意，， ∴在①的条件下，A、B、C到P点的距离之和为， 故答案为： （2）解：①∵设点P对应的数为x，用含x的代数式表示三个小区到点P的距离之和S， ∴， 故答案为：； ②由①得， 当时，则， 当时，则， 此时， ∴， 即， 仅当时，， 当时，则， 此时， ∴， 当时，则， 综上：当点P设在处，即B小区处，S取最小值为9， 故答案为：处，9； （3）解：∵校车从学校出发，以的速度到P点接学生，学校到接送点P的路程． ∴校车到达P处的时间：小时分钟， 则， 即A小区到P点距离500米， 则小海走一半回去取东西再往P处的距离为（米）， 依题意，小海走一半回去取东西再往P处的时间：（分钟） ， ∵取东西4分钟， ∴总用时（分钟）， ∵分钟分钟，小海不能在校车到达之前到达P处， 依题意，小海返回A小区取完东西，用时（分钟），再次赶往P处， 则速度为（米/分钟）， ∴他取完工具后的速度应为米/分钟． 【点睛】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，整式的加减运算的应用，有理数的混合运算的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 题型三：绝对值的非负性 1．C 2．A 3．B 4．D 5．【答案】 【详解】解：与互为相反数， ， ，， ，， 解得， 将，代入 ． 6．【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）解：，，且， ，， 点在数轴上表示的数分别为，点表示的数为， ，， ， ， 则或， 解得； （2）解：由（1）知，，， ， ， 当时，，解得； 当时，，方程无解； 当时，，解得； 综上所述，或； （3）解：设点运动的时间为秒， 点三点在数轴上对应的数是，且同时向右运动， 点三点经过秒后在数轴上对应的数为， ，， ， ， 则或， 解得． 题型四：绝对值的化简与分类讨论 1．B 2．-1 3．或． 4．【答案】无解 【分析】本题主要考查绝对值方程，由绝对值的意义可知得到或，解方程即可； 【详解】解： 解得 由绝对值的意义可得， 或， 解得（舍去）或（舍去）， 所以，原方程无解； 5．【答案】 【分析】本题主要考查绝对值 ；根据题意得到，再结合绝对值的计算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 6．【答案】(1)甲数为6，乙数为或甲数为，乙数为2； (2)或2 (3)或个单位/秒 【详解】（1）设乙数为，则甲数为， 根据题意得：或， 解得或， 或， 甲数为6，乙数为或甲数为，乙数为2； （2）∵丙到甲，乙的距离相等， 当甲数为6，乙数为时， 点丙所表示的数是； 当甲数为，乙数为2时， 点丙所表示的数是； （3）设运动的时间为秒，昆虫速度为个单位秒， 当甲数为6，乙数为时， 则昆虫A所在点表示的数是，昆虫所在点表示的数是， 根据题意得， 解得， ， 解得； 当甲数为，乙数为2；时， 则昆虫A所在点表示的数是，昆虫所在点表示的数是， 根据题意得， 解得， ， 解得， 答：昆虫的速度是或个单位长度秒． 题型五：零点分段法 1．【答案】(1)5 (2) (3)最大值为4 【分析】本题考查的是化简绝对值，整式的加减运算． （1）先令，再解方程可得零点值； （2）先令令和，可得和，再分三种情况化简绝对值即可； （3）令和，可得和，再分三种情况化简绝对值，再求解化简后的代数式的值的范围即可得到最大值． 【详解】（1）解：令，解得：， ∴的零点值是． （2）令和，解得和 ①当时，原式 ②当时，原式； ③当时，原式． ∴ （3）令和，解得和， 当时， ； 当时， ， 当时，代数式的值最大，最大为， 当时， ， 综上：的最大值为：4 2．【答案】(1)原式 (2) 【详解】（1）当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 综上所述：原式； （2）当时，原式的最大值； 当时，原式的最大值； ∴的最大值为． 故答案是． 3．【答案】(1)1或 (2)5 (3)169 【详解】（1）解：的几何意义：数轴上表示x的点与表示的点之间的距离， 若，向右3个单位是1，向左三个单位是， 故答案为：1或； （2）解：的几何意义：数轴上表示x的点与表示的点之间的距离与数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离之和， 当时，的最小值是为， 故答案为：5； （3）解：∵表示x到，0，1，2，3，…24的点的距离的和， ∴当，最小， 最小值为， 故答案为：169． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 绝对值的综合应用 题型一 绝对值的代数意义 题型二 绝对值的几何意义 题型三 绝对值的非负性 题型四 绝对值的化简与分类讨论 题型五 零点分段法 题型一：绝对值的代数意义 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，则 ． 2．有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则化简的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴判断 a，b，c 的正负性及绝对值内代数式的符号，去绝对值后合并同类项即可． 【详解】解：由数轴，得 ∴， ∴ ． 3．当时，化简的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从最内层绝对值开始，根据已知判断每层绝对值内式子的正负，再利用绝对值的性质去掉绝对值符号逐步化简． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 将代入原式得， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 因此化简结果为． 4．若，则的可能取值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据含有字母的绝对值化简，解答即可． 本题考查了绝对值的化简，熟练掌握化简是解题的关键． 【详解】解：由，得， ∴， ∴， 故A. ，不符合题意；     B. 0，不符合题意；     C. 2，不符合题意；     D. 4，符合题意； 故选：D． 5．当时，代数式的值是________． 【答案】1 【分析】本题考查了化简绝对值，根据绝对值的定义，结合的条件，化简表达式，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，， 则，． 因此． 故答案为：1 6．如图，已知有理数在数轴上的位置，则____． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，化简绝对值，整式的加减运算，根据数轴判断出的符号，再去绝对值，最后根据整式的加减运算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴ ， 故答案为：． 7．若，化简：_____． 【答案】 【分析】本题考查了带字母的绝对值化简，根据的条件，判断绝对值表达式内的值的正负，从而化简绝对值． 【详解】解：因为，所以， 则，所以．   因此．   故答案为：． 8．若，，且，求的值． 【答案】或． 【分析】本题考查了绝对值的性质有理数的减法运算，根据绝对值的性质可得，，然后进一步确定，从而可得当，时；当，时，再计算即可，熟练掌握绝对值的有关概念和性质是解题的关键． 【详解】由，则， ∵，， ∴，， 则当，时， ； 当，时， ， 综上可知：的值为或． 9．有理数、在数轴上如图， (1)在数轴上表示、； (2)用、或填空：______，______，______，______ (3)试用连接，0，， 【答案】(1) 与在数轴上的位置如下图： (2)，，， (3) 【分析】本题考查了绝对值的性质，利用数轴判断式子的正负，有理数大小比较，掌握有理数大小比较方法，相反数的意义，数形结合的思想是解决本题的关键． （1）根据相反数的几何意义在数轴上表示出、； （2）根据数轴得到，再利用绝对值的意义可得结论； （3）根据数轴得到，，，再判断式子的正负和大小． 【详解】（1）解：略． （2）由图可知：， ，，，， 故答案为：，，，； （3），，， ，， ，， ． 10．阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身、负数的绝对值等于它的相反数，所以当时；当时． 如下面一组等式：，． 根据以上阅读内容完成： (1)的结果是__________ (2)计算：． (3)若数轴上表示数的点位于与2之间．求的值． 【答案】(1)7 (2) (3)6 【分析】本题考查了绝对值的化简，有理数的加减混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用绝对值的概念化简绝对值即可． （2）化简绝对值后消去相等的项求解即可． （3）利用绝对值的概念化简后相加即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：7； （2）解：， ； （3）解：由题意得， ∴． 题型二：绝对值的几何意义 1．（25-26六年级上·山东淄博·期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，如：表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．若，请利用数轴求出所有符合条件的整数的和（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的几何意义与数轴上的距离问题，关键是理解表示数轴上点到和的距离之和，通过计算两点间距离确定的取值范围，再找出整数解求和． 【详解】解：表示数轴上点到和的距离之和． ∵与的距离为， ∴当且仅当在到之间(包括端点)时，距离之和为． 符合条件的整数为． 计算这些整数的和：． 故选：B． 2．大家知道，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：．根据以上信息，回答下列问题： (1)点A、B在数轴上分别表示实数x和． ①用代数式表示A、B两点之间的距离； ②如果，求x的值． (2)直接写出代数式的最小值及相应的x的取值范围． 【答案】(1)①；②或 (2)最小值是5，x的取值范围是 【分析】（1）①，即可得到答案； ②由题意可得：，即可得到答案； （2）代数式表示数轴上数x所对应的点到4和所对应的两点距离之和，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据分析，可得①； ②如果，则， 或， 解得或． （2）解：代数式表示数轴上数x所对应的点到4和所对应的两点距离之和， 当时，代数式的最小值是：， 即代数式的最小值是5，x的取值范围是． 3．阅读材料： 距离能够产生美，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能形成量感，进而掌握世界尺度．“数轴”是数形结合的重要工具，在数轴上，两点的距离等于对应两数之差的绝对值．如：数轴上表示2和5的两点的距离为；再如，数轴上表示x和2的两点的距离为（若为正，距离即为；若非正，距离即为）． 依据上述材料，解答下列问题： 如图，已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，点O为原点，点A与点O的距离为3，点B与点O的距离为7． (1)填空：a的值为_________，b的值为_________，点A与点B的距离为_________； (2)若点M，N为数轴上两个动点，点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；点N同时从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒． ①填空：点M表示的数是_________，点N表示的数是_________（均用含t的代数式表示）； ②当t为何值时，点M与点N的距离为2个单位长度？ 【答案】(1)；7；10 (2)①，；②或 【分析】（1）根据点A与点O的距离为3，点B与点O的距离为7，得到数a可能是3或，数b可能是7或，点A与点B的距离为，求解即可． （2）设运动时间为秒． ①根据题意，得,，则点M表示的数是，点N表示的数是； ②根据题意，得点M与点N的距离为，且点M与点N的距离为2个单位长度，得到，求解即可． 【详解】（1）解：由点A与点O的距离为3，点B与点O的距离为7， 得到数a可能是3或，数b可能是7或，点A与点B的距离为， 根据图示，得点A在原点的左侧，故数a是一个负数，取；点B在原点的右侧，故数b是一个正数，取7． （2）解：设运动时间为秒． ①根据题意，得,， 由点A表示的数是，点B表示的数是7， 故点M表示的数是，点N表示的数是； ②解：由材料得，点M与点N的距离为． 因为点M与点N的距离为2， 所以，或． 解，得． 解，得． 所以，t的值为或． 4．（25-26六年级上·上海普陀·期末）利用数轴和绝对值的知识我们可以研究两点之间的距离．线段的计算和角的计算也有密切关联，借助对数轴的研究，可以迁移到角度的研究． 【观察】已知数轴上有两点． （1）如图，点表示的数是，点表示的数是，线段的长度是，可以理解为；如图，点表示的数是，点表示的数是，线段的长度是，可以理解为_____________． 【归纳】（2）由此小华得出结论：若点表示的数是，点表示的数是，则与两点之间的距离_____________． （3）若点表示的数是，点表示的数是，，则，得_____________． 【迁移】小华根据数轴的定义结合圆规设计了一种“曲形数轴”用来解决角度问题．如图，标记射线表示，规定顺时针方向为正方向，选取为单位长度．例如：射线表示，射线表示，则可以得到． （4）若射线表示，射线表示，则_____________（用含，的式子表示）； 【应用】如图，已知，，，射线，同时绕点以秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒； （5）当秒时，_____________ （6）当时，求出的值． 【答案】（）；（）；（）或；（）；（）；（）当时，的值为或． 【分析】本题考查了数轴，两点间距离，角的和差倍分运算，一元一次方程等知识，利用数形结合建立方程求解是解题的关键． （）根据数轴上两点，表示的数可求解； （）根据题意可得，两点之间的距离； （）解绝对值方程即可求解； （）利用角的和差即可求解； （）当秒时，，然后通过角度和差求解即可； （）分两种情况：重合前，重合后，分别求解即可． 【详解】解：（）点表示的数是，点表示的数是，线段的长度是，可以理解为， 故答案为：； （）若点表示的数是，点表示的数是， 则与两点之间的距离， 故答案为：； （）∵， ∴或， ∴或， 故答案为：或； （）∵射线表示，射线表示， ∴， 故答案为：； （）∵，，，射线，同时绕点以秒的速度顺时针旋转， 当秒时，， ∴， 故答案为：； （）由题意得：， 重合前，， ∵， ∴， 解得：； 重合后，， ∵， ∴， 解得：； 综上可得：当时，的值为或． 5．（25-26六年级上·上海松江·期末）综合与实践 问题情境 某学校校车负责在一条笔直公路沿线接送A、B、C三个小区学生上学．公路可看作一条数轴，A、B、C三个小区在数轴上对应的数分别为、3、7（单位：百米）如图所示．学校计划在公路上设立一个接送点P，学生从小区步行到P点集合，再一起乘校车去学校． （1）初步探究 ①若将接送点P设在的中点处．则点P在数轴上对应的数是______； ②数轴上两点之间的距离可以用这两个点表示的数的差的绝对值表示．例如： A、B之间距离可以表示为：或，B、C之间距离可以表示为：或．在①的条件下，A、B、C到P点的距离之和为______． （2）优化方案 ①设点P对应的数为x，用含x的代数式表示三个小区到点P的距离之和S．②学校希望S最小，请说明接送点P在数轴上的位置，并直接写出此时S的值． 答：①______． ②接送点P应设在_______，S的值是______． （3）问题解决 在（2）优化方案的基础上，校车从学校出发，以的速度到P点接学生，学校到接送点P的路程．校车出发的同时，小海以的速度从A小区出发到接送点P，走到路程的一半时发现有学习工具落在家里，他立即原速返回，找工具花了4分钟，再赶往接送点P．小海能否在校车到达之前到达P点？若能，通过计算说明理由．若不能，试计算，小海取完工具后要想与校车同时到达P点，他取完工具后的速度应为多少？ 【答案】（1）①；②；（2）①；②处，9；（3）他取完工具后的速度应为米/分钟 【分析】（1）①理解题意，结合A、B、C三个小区在数轴上对应的数分别为、3、7，且接送点P设在的中点处，进行列式计算，得点P在数轴上对应的数是；②理解题意，再列式计算，得出A、B、C到P点的距离之和； （2）①先理解题意，列式，即可作答．②结合，再进行分类讨论，化简计算，即可作答． （3）理解题意，算出校车到达P处的时间：小时分钟，以及A小区到P点距离500米，则小海走一半回去取东西再往P处的距离为米， 取东西再往P处的时间为分钟，又因为取东西4分钟，得总用时分钟，因为分钟分钟，小海不能在校车到达之前到达P处，依题意，小海返回A小区取完东西，用时（分钟），再次赶往P处，则速度为（米/分钟），即可作答． 【详解】（1）解：①∵A、B、C三个小区在数轴上对应的数分别为、3、7，且接送点P设在的中点处， ∴， 即点P在数轴上对应的数是， 故答案为：； ②依题意，， ∴在①的条件下，A、B、C到P点的距离之和为， 故答案为： （2）解：①∵设点P对应的数为x，用含x的代数式表示三个小区到点P的距离之和S， ∴， 故答案为：； ②由①得， 当时，则， 当时，则， 此时， ∴， 即， 仅当时，， 当时，则， 此时， ∴， 当时，则， 综上：当点P设在处，即B小区处，S取最小值为9， 故答案为：处，9； （3）解：∵校车从学校出发，以的速度到P点接学生，学校到接送点P的路程． ∴校车到达P处的时间：小时分钟， 则， 即A小区到P点距离500米， 则小海走一半回去取东西再往P处的距离为（米）， 依题意，小海走一半回去取东西再往P处的时间：（分钟） ， ∵取东西4分钟， ∴总用时（分钟）， ∵分钟分钟，小海不能在校车到达之前到达P处， 依题意，小海返回A小区取完东西，用时（分钟），再次赶往P处， 则速度为（米/分钟）， ∴他取完工具后的速度应为米/分钟． 【点睛】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，整式的加减运算的应用，有理数的混合运算的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 题型三：绝对值的非负性 1．若，那么等于（　　） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的非负性，求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴原式． 2．若，则的值为（    ）． A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值和平方数的非负性，解题的关键是利用非负性求出、的值． 通过分析等式中各项的非负性，得出绝对值项和平方项均为零，进而求出和的值，再代入表达式计算． 【详解】解：∵，且左边各项非负， ， ， 代入方程得， 两边减去得， ， 且， ∴， ． 故答案为：A． 3．若为有理数，且式子存在最大值，则该最大值是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【分析】本题考查绝对值非负性，理解题意是解决问题的关键． 由题意可知，当最小时，式子存在最大值，再结合可得当时，取得最大值，为，即可得到答案． 【详解】解：当最小时，式子存在最大值， ， 当时，取得最大值，为， 故选：B． 4．已知有理数满足：．如图，线段在直线上运动点B在点C的左侧），．下列结论中正确的是（　　） ①； ②当点B与点O重合时，点C恰好为线段的中点； ③当点B与点A重合时，若点P是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若点M为线段的中点，点N为线段的中点，则线段的长度不变． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查绝对值和平方非负性，线段的和差．先根据绝对值和平方的非负性求出a，b的值，即可判断①．根据线段的中点的定义判断②．设，根据线段的和差表示出，，即可判断③．根据线段的位置分情况讨论即可判断④． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，故①正确． ∵，， ∴， ∴当点B与点O重合时，点C恰好为线段的中点，故②正确． 当点B与点A重合时， ∵，， ∴ 设， ∴， ， ∴， ， ∴，故③正确． ∵M为线段的中点，N为线段的中点， ∴， 分为五种情况： 第一种情况：当在左侧时，如图： ； 第二种情况：当、在两侧时，如图： ； 第三种情况：当、在线段上时，如图： ； 第四种情况：当B、C在点A两侧时，如图： ； 第五种情况：当和都在右边时，如图： ， ∴在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变，即④正确． 综上所述，结论正确的是①②③④． 故选：D． 5．已知与互为相反数，求的值． 【答案】 【详解】解：与互为相反数， ， ，， ，， 解得， 将，代入 ． 6．如图，点在数轴上表示的数分别为，且．点为数轴上一点，且点表示的数为． (1)若，试求的值； (2)若，试求的值； (3)若点对应的数为，且点三点在数轴上同时向右运动，点的速度分别是4个单位长度/秒、3个单位长度/秒、2个单位长度/秒，设点运动的时间为秒，当点时，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查数轴上两点之间距离的表示及绝对值方程，熟记数轴上两点之间距离表示方法及解绝对值方程的方法是解决问题的关键． （1）由非负数和为零的条件求得，，从而由得到，解方程即可得到答案； （2）由（1）知，，结合，列方程，分类讨论去绝对值求解即可得到答案； （3）根据题意，得到点三点经过秒后在数轴上对应的数为，结合得到方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：，，且， ，， 点在数轴上表示的数分别为，点表示的数为， ，， ， ， 则或， 解得； （2）解：由（1）知，，， ， ， 当时，，解得； 当时，，方程无解； 当时，，解得； 综上所述，或； （3）解：设点运动的时间为秒， 点三点在数轴上对应的数是，且同时向右运动， 点三点经过秒后在数轴上对应的数为， ，， ， ， 则或， 解得． 题型四：绝对值的化简与分类讨论 1．若，则的值为（   ） A．0或1 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的化简，代数式求值，根据已知易得，然后分两种情况：当时，则；当时，则，分别进行计算即可解答，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：， ， 分两种情况： 当时，则， 当时，则， 综上所述，的值为或， 故选：B． 2．（25-26六年级上·上海青浦·期中）对于有理数，，若，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘除法，绝对值的计算，正确确定，的正负号，求出绝对值后化简是求解本题的关键． 由可知与异号，代入表达式计算即可． 【详解】解：， ，异号． 当，时，则； 当，时，则； 综上，的值是． 故答案为： 3．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）代数式的几何意义是“数轴上x所对应的点与 2所对应的点之间的距离，求的最小值是5，则__________ ． 【答案】或 【分析】此题考查了解一元一次方程，数轴，绝对值．代数式表示数轴上点x与点、点、点2之间的距离之和，当取点、点、点2中间点的时候，代数式有最小值，据此分情况讨论，分别求出最小值后列方程解答即可． 【详解】解：代数式表示数轴上点x与点、点、点2之间的距离之和，当取点、点、点2中间点的时候，代数式有最小值， 当时，点为中间点，的最小值在处取得， 此时， 解得； 当时，点为中间点，的最小值在处取得， 此时，此方程无解； 当时，点为中间点，的最小值在处取得， 此时， 解得； 综上，a的值是或． 故答案为：或． 4．（24-25六年级上·上海青浦·期中）解方程： 【答案】无解 【分析】本题主要考查绝对值方程，由绝对值的意义可知得到或，解方程即可； 【详解】解： 解得 由绝对值的意义可得， 或， 解得（舍去）或（舍去）， 所以，原方程无解； 5．已知，若，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值 ；根据题意得到，再结合绝对值的计算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 6．已知，甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，甲数，乙数在数轴上位于原点的两侧，且甲数和乙数表示的两点的距离为8． (1)求甲乙两数各是多少？ (2)数轴上有一个点丙，它到甲，乙的距离相等，求点丙所表示的数是多少？ (3)一只昆虫A从甲表示的数出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只昆虫B从乙表示的数出发也向右运动．最终两只昆虫相遇于数轴上的C处，C表示的数是16．求昆虫B的速度是多少？ 【答案】(1)甲数为6，乙数为或甲数为，乙数为2； (2)或2 (3)或个单位/秒 【分析】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题． （1）设乙数为，则甲数为，根据题意可得或，即可解得答案； （2）根据丙到甲，乙的距离相等，分两种情况分别列式求解即可； （3）设运动的时间为秒，昆虫速度为个单位秒，分两种情况分别列方程求解即可． 【详解】（1）设乙数为，则甲数为， 根据题意得：或， 解得或， 或， 甲数为6，乙数为或甲数为，乙数为2； （2）∵丙到甲，乙的距离相等， 当甲数为6，乙数为时， 点丙所表示的数是； 当甲数为，乙数为2时， 点丙所表示的数是； （3）设运动的时间为秒，昆虫速度为个单位秒， 当甲数为6，乙数为时， 则昆虫A所在点表示的数是，昆虫所在点表示的数是， 根据题意得， 解得， ， 解得； 当甲数为，乙数为2；时， 则昆虫A所在点表示的数是，昆虫所在点表示的数是， 根据题意得， 解得， ， 解得， 答：昆虫的速度是或个单位长度秒． 题型五：零点分段法 1．阅读下列材料． 我们知道，现在我们利用这一结论来化简含绝对值的代数式． 例如：化简代数式． 可令和，分别求得和（这里称，2分别为与的零点值）． 在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：；；． 从而在化简代数式时，可分以下三种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 所以 通过以上阅读，解决下列问题： (1)的零点值是______； (2)化简； (3)直接写出的最大值． 【答案】(1)5 (2) (3)最大值为4 【分析】本题考查的是化简绝对值，整式的加减运算． （1）先令，再解方程可得零点值； （2）先令令和，可得和，再分三种情况化简绝对值即可； （3）令和，可得和，再分三种情况化简绝对值，再求解化简后的代数式的值的范围即可得到最大值． 【详解】（1）解：令，解得：， ∴的零点值是． （2）令和，解得和 ①当时，原式 ②当时，原式； ③当时，原式． ∴ （3）令和，解得和， 当时， ； 当时， ， 当时，代数式的值最大，最大为， 当时， ， 综上：的最大值为：4 2．化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为和的零点值。数轴上零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，分别如下： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ⑤当时，原式． 综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题： (1)化简代数式； (2)的最大值是 ．（请直接写出结果） 【答案】(1)原式 (2) 【分析】（1）根据零点分段法和绝对值的性质，分，，计算即可； （2）分别求出当，时式子的最值，即可得出结果； 【详解】（1）当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 综上所述：原式； （2）当时，原式的最大值； 当时，原式的最大值； ∴的最大值为． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质，分类讨论是解题的关键． 3．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）阅读理解： 对于有理数a、b，的几何意义为：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义为：数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离.如：的几何意义即数轴上表示数x的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题： (1)我们知道，根据几何意义，若，那么x的值是 ． (2)利用数轴分析的几何意义，的最小值是 ． (3)的最小值是 ． 【答案】(1)1或 (2)5 (3)169 【分析】（1）根据绝对值的几何意义即可求解； （2）根据绝对值的几何意义即可求解； （3）根据绝对值的几何意义即可求解． 本题考查数轴、绝对值，理解绝对值的定义，掌握数轴表示数的方法是正确解答的关键． 【详解】（1）解：的几何意义：数轴上表示x的点与表示的点之间的距离， 若，向右3个单位是1，向左三个单位是， 故答案为：1或； （2）解：的几何意义：数轴上表示x的点与表示的点之间的距离与数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离之和， 当时，的最小值是为， 故答案为：5； （3）解：∵表示x到，0，1，2，3，…24的点的距离的和， ∴当，最小， 最小值为， 故答案为：169． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $