专题02绝对值与数轴的四种综合应用（专项训练）数学沪教版五四制2024六年级上册

专题02绝对值与数轴的四种综合应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、绝对值的几何意义 1 题型二、带有字母的绝对值化简问题 1 题型三、数轴上两点之间的距离 3 题型四、绝对值的几何意义与数轴上两点之间的距离 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、绝对值的几何意义 1．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）如图，在数轴上A、B两点分别对应数轴a、b，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24六年级下·上海杨浦·期末）的最小值为 ． 题型二、带有字母的绝对值化简问题 3．（24-25六年级上·上海·期中）如果有理数、、满足，那么 ． 4．（24-25六年级上·上海·期中）已知、在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：． 5．（24-25六年级上·上海·期中）“分类讨论”是我们在解决数学问题的过程中常用到的数学思想，请运用“分类讨论”的数学思想解答下面的问题．已知，，且，求的值． 6．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）有理数在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空：______0，______0，______0． (2)化简： 7．（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知有理数在数轴上的对应点如图所示． (1)用“”号把连接起来； (2)化简： 8．（24-25六年级上·上海·阶段练习）有理数，，在数轴上的位置如图所示，完成下列问题： (1)_____0；_____0．（填“”，“”，“”） (2)化简： (3)求的值． 9．（24-25六年级上·上海·期中）已知在数轴上点所对应的数为，点所对应的数为，…，点所对应的数为（为正整数）．请解答下列问题： (1)试写出点和所对应的数并比较它们的大小： _____，______，比较大小：______．（填入“＞”或者“＜”）． (2)如果我们把数轴上的点和点的距离记为且，点和点的距离记为且，…，点和点的距离记为且．请根据理解以下回答（直接写出结果）： ①_____； ②使成立的正整数共有_____个． 题型三、数轴上两点之间的距离 10．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）在数轴上，点表示的数是，到点距离4个单位的点表示的数是（   ） A． B．或 C．9 D． 11．（24-25六年级上·上海虹口·期中）在数轴上，到原点的距离等于个单位长度的点所表示的有理数是 ． 12．（24-25六年级上·上海青浦·期中）在数轴上，到原点的距离等于4个单位长度的点所表示的数是 ． 13．（24-25六年级上·上海·期末）在一条可以折叠的数轴上，点、表示的数分别为和3，（如图1）以点为折点，将此数轴向右对折，折叠后若A，两点间的距离为1，则点表示的数为 ． 14．如图，在数轴上有A、B两点，点A、点B都在2的左边，小李在做作业时不小心在作业本上染了一滴墨水，已知点A表示的数为，那么点B表示的数为 ． 15．（24-25六年级上·上海·期中）（1）如图，在数轴上点表示的数是_____，点表示的数是_____； （2）请在数轴上用点表示数的相反数； （3）如果该数轴上点与点之间的距离是，那么点表示的数是______． 16．（24-25六年级上·上海闵行·期中）如图，在数轴上点表示的数是 ．点表示的数是 ． （1）如果该数轴上点与点之间的距离是3，那么点表示的数是 ； （2）如果该数轴上另有一点，点到点、的距离相等，那么点表示的数是 ． 17．（24-25六年级上·上海金山·期中）（1）如图，已知在数轴上有一个表示数的点，点在数轴上移动个单位长度后得到点，且点表示的数是，那么的值是______． （2）如图，有一根木尺放置在数轴上，它的两个顶点，点、点分别落在数轴上的两点处．将木尺在数轴上水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为；当点移动到点时，点所对应的数为（单位：）．利用所学知识可以求出点表示的数为______，点表示的数为______． （3）借助上面的方法解决问题：一天，小明去问表姐的年龄，表姐说：“我若是你现在这么大，你才岁；你若是我现在这么大，我就岁啦．”小明纳闷，表姐今年到底是多少岁？请你利用图仿照第（）小题画出示意图，求出小明和表姐的年龄，并写出合理的计算过程． 题型四、绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离 18．（24-25六年级上·上海·阶段练习）同学们都知道，表示a与b的差的绝对值，也可以理解为数轴上对应的两个点之间的距离．如4与在数轴上对应的两点之间的距离表示为，任意一个数x与数2在数轴上对应的两点之间的距离可表示为．试利用数轴探索： （1）______；若，x的值为_______； 建立模型： 表示数轴上有理数x所对应的点到3和所对应的两点距离之和，结合数轴： 模型应用： （2）若，则x的值为_______． （3）的最小值为_______． 延申拓展： （4）的最小值为_______． 19．（24-25六年级上·上海普陀·期中）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如果点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，A，B两点之间的距离表示为． 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)如图，已知点A在数轴上表示的数为，数轴上任意一点B表示的数为x，那么A，B两点的距离可以表示为______； (2)已知点B表示的数为整数x，那么当x为______时，与的值相等； (3)表示数轴上有理数x所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你直接写出的最小值，并求出此时所有符合条件的整数x的和． 20．（24-25六年级上·上海·期中）【溯源】“+、-”号是15世纪德国数学家魏德曼正式使用的，他在工作中发现用横线加一竖可以表示增加的意思，于是把“+”作为加号，从而“+”号中拿去“|”竖，就可表示减少的意思，于是把“-”作为减号，“×”号是18世纪英国数学家欧德莱发明的，他觉得乘法也是增加的意思，但又和加法不同，于是他就把加号斜过来写，表示数字增加的另一种运算．“÷”号是瑞士学者雷恩于1656年出版的一本代数书中提到的，当该书几年后被译成英文时，才逐渐被人们认识和接受，四则运算的性质和规律是许多数学理论的重要组成部分，对四则运算的深入研究和拓展，推动了数学的不断发展！ 【提出问题】晓华同学通过初中这一个月以来关于有理数运算的学习，他深深感受到四则运算的运算法则来源于生活实际，符合人们认知规律． 基于以上学习和认识，晓华同学也定义了一个新的运算“@”，满足以下两个要求： ①；②，其中x、y、z可以取任何有理数．求：的值． 【分析问题】爱思考的晓风同学看到上面的这个问题，做了以下尝试： 第一步：先让②中的，于是就有了：，由①可以知道________， 于是有：记为（1）式． 第二步：令②中的，则有，继续由①的条件，于是就有：________， （用含字母x的式子表示）记为（2）式． 结合（1）式和（2）式，聪明的你应该可以得到________（用含字母x、y的式子表示）． 【解决问题】的值是________． 【拓展问题】已知，求m的倒数． 21．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）阅读理解： 对于有理数a、b，的几何意义为：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义为：数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离.如：的几何意义即数轴上表示数x的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题： (1)我们知道，根据几何意义，若，那么x的值是 ． (2)利用数轴分析的几何意义，的最小值是 ． (3)的最小值是 ． 一、单选题 1．（24-25六年级上·上海·期中）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海青浦·期中）如图，数轴上点分别表示数，那么下列运算结果一定大于零的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24六年级下·上海·期中）若有理数在数轴上对应的点如图，化简： ． 4．（24-25六年级上·上海青浦·期中）已知数轴上点向右移动5个单位后与点重合，点与原点距离是2，点所表示的数是 ． 5．（24-25六年级上·上海·期中）小明做作业的时候不小心在作业本上滴上了墨水（如图），现在知道点表示的数是，那么点表示的数是 ． 三、解答题 6．（24-25六年级上·上海闵行·期中）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为和16，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行，M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． (1)若运动2秒后，两只蚂蚁M、N分别到达点C、点D，则C、D两点在数轴上所表示的数分别是________、________； (2)若运动t秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P，求t的值以及点P在数轴上所表示的数． 7．（24-25六年级上·上海松江·期中）数轴上表示有理数a，b，c的点的位置如图所示： (1)请将有理数a，b，c按从小到大的顺序用“”连接起来：_______； (2)如果，，表示数b的点到原点的距离为4，那么_______， _______， _______． (3)在（2）的情况下，如果有一蚂蚁位于有理数c表示的点的位置，要爬行到距离原点三个单位长度的位置，请说明这只蚂蚁应该如何爬行？ 8．（24-25六年级上·上海·期中）我们知道、两数对应的点在数轴上的距离为，例如数轴上表示与2两点之间的距离可表示为，与两点之间的距离可表示为． 如图，点是数轴上的三点，点表示的数为3，点表示的数为，动点表示的数为． (1)如果动点在点、之间，那么_________． (2)若，那么动点表示的数是________． (3)若点表示的数是，现在有一蚂蚁从点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是94？ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02绝对值与数轴的四种综合应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、绝对值的几何意义 1 题型二、带有字母的绝对值化简问题 2 题型三、数轴上两点之间的距离 6 题型四、绝对值的几何意义与数轴上两点之间的距离 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、绝对值的几何意义 1．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）如图，在数轴上A、B两点分别对应数轴a、b，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】绝对值的几何意义、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查的是数轴和绝对值，从数轴中提取已知条件是解题的关键． 根据数轴可知，，由此逐一判断各选项即可． 【详解】解：根据数轴可知，， ∵，故选项A不符合题意； ∵，故选项B不符合题意； ∵，故选项C不符合题意； ∵，故选项D符合题意； 故选：D． 2．（23-24六年级下·上海杨浦·期末）的最小值为 ． 【答案】 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的意义，结合图形解答即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：式子表示对应的点分别与到对应的点的距离和，可知当在和的中点时，即，距离和最小，最小值为， 故答案为：． 题型二、带有字母的绝对值化简问题 3．（24-25六年级上·上海·期中）如果有理数、、满足，那么 ． 【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、绝对值的几何意义 【分析】此题考查绝对值，解题关键在于得出，，中必有两正一负．根据可以看出，，中必有两正一负，从而确定，进而可出求的值． 【详解】解：根据绝对值的意义：一个非零数的绝对值除以这个数，等于或． ， 其中必有两个和一个，即，，中必有两正一负． ， 则， 故答案为：． 4．（24-25六年级上·上海·期中）已知、在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：． 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题 【分析】先判断，后化简计算即可． 本题考查了数轴上字母表示数，绝对值的化简，熟练掌握实数的大小比较，绝对值的化简是解题的关键． 【详解】解：由已知图形可知：， ∴， ∴ ， ． 5．（24-25六年级上·上海·期中）“分类讨论”是我们在解决数学问题的过程中常用到的数学思想，请运用“分类讨论”的数学思想解答下面的问题．已知，，且，求的值． 【答案】或 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数加法运算 【分析】先计算绝对值，结合，得到，计算即可． 本题考查了绝对值的计算，有理数的加减，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴或；或， ∵， ∴， ∴或， ∴或， 故的值为或． 6．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）有理数在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空：______0，______0，______0． (2)化简： 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，化简绝对值和整式的加减计算，正确根据数轴判断出对应式子的符号是解题的关键． （1）根据数轴可得，据此求解即可； （2）先求出，再化简绝对值后根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】（1）解：由数轴可知， ∴； （2）解：∵， ∴ ． 7．（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知有理数在数轴上的对应点如图所示． (1)用“”号把连接起来； (2)化简： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数轴、绝对值、有理数的大小比较、有理数的加减、整式的加减，利用数形结合思想求解即可． （1）根据数轴上，右边的数大于左边的数求解即可； （2）根据数轴可得到，，，进而利用绝对值的意义化简绝对值，然后整式加减法运算即可求解． 【详解】（1）解：由数轴，得； （2）解：由数轴，得， ∴，，， ∴ ． 8．（24-25六年级上·上海·阶段练习）有理数，，在数轴上的位置如图所示，完成下列问题： (1)_____0；_____0．（填“”，“”，“”） (2)化简： (3)求的值． 【答案】(1)； (2)0 (3)0 【详解】（1）解：由数轴可得：， 故，； （2）解：∵，，， ∴ ； （3）解：， ， ∴ ． 9．（24-25六年级上·上海·期中）已知在数轴上点所对应的数为，点所对应的数为，…，点所对应的数为（为正整数）．请解答下列问题： (1)试写出点和所对应的数并比较它们的大小： _____，______，比较大小：______．（填入“＞”或者“＜”）． (2)如果我们把数轴上的点和点的距离记为且，点和点的距离记为且，…，点和点的距离记为且．请根据理解以下回答（直接写出结果）： ①_____； ②使成立的正整数共有_____个． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了新定义，绝对值的性质，数字规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据分别算出，，再比较与，即可作答． （2）①依题意，先得出，再分别代入，进行裂项加减，即可作答． ②由①得出，即，因为为正整数，故当时，则；当时，则，即可作答． 【详解】（1）解：∵，且， ∴，； ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①依题意， ； ； ， 依次类推： ． 故答案为：； ②由①得出， ∵ 则， 即， ∵为正整数， ∴当时，则； 当时，则； ∵， ∴， ∵为正整数， ∴使成立的正整数共有个． 故答案为：． 题型三、数轴上两点之间的距离 10．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）在数轴上，点表示的数是，到点距离4个单位的点表示的数是（   ） A． B．或 C．9 D． 【答案】B 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴表示数，数轴上两点的距离，分两种情况或，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点表示的数是， ∴到点距离4个单位的点表示的数是：或， ∴到点距离4个单位的点表示的数是或， 故选：B． 11．（24-25六年级上·上海虹口·期中）在数轴上，到原点的距离等于个单位长度的点所表示的有理数是 ． 【答案】或 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴和有理数，解题的关键是掌握数轴知识和有理数的概念．利用数轴知识和有理数的概念解答． 【详解】解：在数轴上，到原点的距离等于个单位长度的点所表示的有理数是或． 故答案为：或． 12．（24-25六年级上·上海青浦·期中）在数轴上，到原点的距离等于4个单位长度的点所表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴，熟知绝对值的意义是解答此题的关键．设该数为，再根据数轴上的点到原点距离的定义求出的值即可． 【详解】解：设该数为，则， 解得． 故在数轴上原点距离等于4个单位长度的点表示， 故答案为：． 13．（24-25六年级上·上海·期末）在一条可以折叠的数轴上，点、表示的数分别为和3，（如图1）以点为折点，将此数轴向右对折，折叠后若A，两点间的距离为1，则点表示的数为 ． 【答案】或 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示的有理数，先根据A，B点表示的数求出线段长，再分两种情况讨论：并根据折叠后的长求出的长，进而确定点C表示的有理数． 【详解】解：∵点A，B点表示的数分别是， ∴． 当折叠后点A在点B的右边，且， ∴， 解得， ∴点C表示的数是； 当折叠后点A在点B的左边，且， ∴， 解得， ∴点C表示的数是． 所以点C表示的数是或． 故答案为：或． 14．如图，在数轴上有A、B两点，点A、点B都在2的左边，小李在做作业时不小心在作业本上染了一滴墨水，已知点A表示的数为，那么点B表示的数为 ． 【答案】/1.5 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】根据点A表示的数可求得点A与2之间的距离，继而可求得点B表示的数． 【详解】解：∵点A表示的数为 ， ∴ ， ∴点A与2之间的距离为： ， ∵ ， ∴每一份的单位长度为 ， ， ∴点B表示的数为： ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查数轴，a,b是数轴上任意不同的两点，则这两点间的距离=右边的数-左边的数，熟知该知识点是解题的关键． 15．（24-25六年级上·上海·期中）（1）如图，在数轴上点表示的数是_____，点表示的数是_____； （2）请在数轴上用点表示数的相反数； （3）如果该数轴上点与点之间的距离是，那么点表示的数是______． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）或 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、相反数的定义 【分析】本题主要考查了数轴，相反数，两点间的距离，熟知数轴上的点所表示数的特征及相反数的定义是解题的关键． （1）根据所给数轴即可得到答案； （2）根据题意将点击在数轴上表示出来即可和； （3）根据数轴上点所表示数的特征即可解决问题． 【详解】解：（1）由数轴可知， 点表示的数是，点表示的数是； 故答案为：，； （2）的相反数是， 如图，点即为所求； （3）点与点之间的距离是， ，， 点表示的数是或， 故答案为：或． 16．（24-25六年级上·上海闵行·期中）如图，在数轴上点表示的数是 ．点表示的数是 ． （1）如果该数轴上点与点之间的距离是3，那么点表示的数是 ； （2）如果该数轴上另有一点，点到点、的距离相等，那么点表示的数是 ． 【答案】，4 （1）或2 （2）1.5 【知识点】数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】此题考查了数轴，数轴上两点的距离，弄清数轴上的点与有理数之间的对应关系是解本题的关键． 找出数轴上与表示的数即可； （1）找出数轴上与点之间的距离是3的点C表示的数即可，注意点C可在点A的左右两边； （2）根据数轴，找出点表示的数即可． 【详解】 解：由图可得，在数轴上点表示的数是，点表示的数是4； 故答案为：，4． （1）在数轴上表示出点，如图所示； ∴点表示的数是或2； 故答案为：或2． （2）如图， ∵点到点、的距离相等， ∴点是线段的中点， ∴点表示的数是1.5． 故答案为：1.5． 17．（24-25六年级上·上海金山·期中）（1）如图，已知在数轴上有一个表示数的点，点在数轴上移动个单位长度后得到点，且点表示的数是，那么的值是______． （2）如图，有一根木尺放置在数轴上，它的两个顶点，点、点分别落在数轴上的两点处．将木尺在数轴上水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为；当点移动到点时，点所对应的数为（单位：）．利用所学知识可以求出点表示的数为______，点表示的数为______． （3）借助上面的方法解决问题：一天，小明去问表姐的年龄，表姐说：“我若是你现在这么大，你才岁；你若是我现在这么大，我就岁啦．”小明纳闷，表姐今年到底是多少岁？请你利用图仿照第（）小题画出示意图，求出小明和表姐的年龄，并写出合理的计算过程． 【答案】（）或；（），；（）表姐的年龄为岁，小明的年龄为岁． 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、有理数加法在生活中的应用、有理数减法的实际应用 【分析】（）分点向右或向左移动两种情况讨论； （）根据题意点到的距离，的距离，到的距离相等，即可求得答案； （）借助数轴，把小明与表姐的年龄差看做木尺的长，由此可知小明与表姐的年龄； 本题主要考查了有理数加减的应用，以及用数轴解决实际问题，解题的关键是弄清题意，根据题意画出图示，找到题目中的等量关系． 【详解】解：（）当点向右移动时，；当点向左移动时，， 故答案为：或； （）由题意可知：点到的距离，的距离，到的距离相等， ∴， ∴点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，； （）如图， 小明与表姐的年龄差为：（岁）， ∴表姐的年龄为（岁），小明的年龄为（岁）， 答：表姐的年龄为岁，小明的年龄为岁． 题型四、绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离 18．（24-25六年级上·上海·阶段练习）同学们都知道，表示a与b的差的绝对值，也可以理解为数轴上对应的两个点之间的距离．如4与在数轴上对应的两点之间的距离表示为，任意一个数x与数2在数轴上对应的两点之间的距离可表示为．试利用数轴探索： （1）______；若，x的值为_______； 建立模型： 表示数轴上有理数x所对应的点到3和所对应的两点距离之和，结合数轴： 模型应用： （2）若，则x的值为_______． （3）的最小值为_______． 延申拓展： （4）的最小值为_______． 【答案】（1）6；或6；（2）4.5或5.5；（3）5；（4）4 【知识点】两个有理数的乘法运算、绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了绝对值的含义和应用、数轴上两点间的距离、有理数的加减和乘法，掌握是解答本题的关键． （1）直接求解即可；由表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是4可求解； （2）分、、化简绝对值，然后利用有理数的加减和乘法运算法则即可求解； （3）根据3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，又表示数x与和3两数在数轴上所对应的两点之间的距离和，据此求解即可； （4）分、、、四种情况，化简绝对值，利用有理数的加减法和乘法的运算法则求解即可． 【详解】解：（1）； ∵表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是4， ∴或6， 故答案为：6；或6； （2）对于， 当时，，即，解得； 当时，，x不存在，舍去； 当时，，即，解得， 综上，x的值为4.5或5.5； （3）∵3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，又表示数x与和3两数在数轴上所对应的两点之间的距离和， ∴当数x在和3两数之间时，有最小值，又， 故的最小值为5， 故答案为：5； （4）对于， 当时，； 当时，，则； 当时，； 当时，， 综上，的最小值为4． 19．（24-25六年级上·上海普陀·期中）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如果点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，A，B两点之间的距离表示为． 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)如图，已知点A在数轴上表示的数为，数轴上任意一点B表示的数为x，那么A，B两点的距离可以表示为______； (2)已知点B表示的数为整数x，那么当x为______时，与的值相等； (3)表示数轴上有理数x所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你直接写出的最小值，并求出此时所有符合条件的整数x的和． 【答案】(1) (2) (3)7； 【知识点】有理数的减法运算、有理数加法运算、绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的几何应用： （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据题意可得数轴上表示x的数与表示4和的数的距离相等，则数轴上表示x的数是表示4和的数的中点，据此求解即可； （3）根据绝对值的几何意义可得当时，有最小值，据此化简绝对值求出最小值，再求出符合题意的x的值的和即可． 【详解】（1）解：由题意得A，B两点的距离可以表示为， 故答案为：； （2）解：∵与的值相等， ∴数轴上表示x的数与表示4和的数的距离相等， ∴数轴上表示x的数是表示4和的数的中点， ∴， 故答案为；． （3）解：∵表示数轴上有理数所对应的点到和2所对应的两点距离之和， ∴当时，有最小值，的最小值为， ∴符合题意的整数x有，它们的和为， 故答案为：7；。 20．（24-25六年级上·上海·期中）【溯源】“+、-”号是15世纪德国数学家魏德曼正式使用的，他在工作中发现用横线加一竖可以表示增加的意思，于是把“+”作为加号，从而“+”号中拿去“|”竖，就可表示减少的意思，于是把“-”作为减号，“×”号是18世纪英国数学家欧德莱发明的，他觉得乘法也是增加的意思，但又和加法不同，于是他就把加号斜过来写，表示数字增加的另一种运算．“÷”号是瑞士学者雷恩于1656年出版的一本代数书中提到的，当该书几年后被译成英文时，才逐渐被人们认识和接受，四则运算的性质和规律是许多数学理论的重要组成部分，对四则运算的深入研究和拓展，推动了数学的不断发展！ 【提出问题】晓华同学通过初中这一个月以来关于有理数运算的学习，他深深感受到四则运算的运算法则来源于生活实际，符合人们认知规律． 基于以上学习和认识，晓华同学也定义了一个新的运算“@”，满足以下两个要求： ①；②，其中x、y、z可以取任何有理数．求：的值． 【分析问题】爱思考的晓风同学看到上面的这个问题，做了以下尝试： 第一步：先让②中的，于是就有了：，由①可以知道________， 于是有：记为（1）式． 第二步：令②中的，则有，继续由①的条件，于是就有：________， （用含字母x的式子表示）记为（2）式． 结合（1）式和（2）式，聪明的你应该可以得到________（用含字母x、y的式子表示）． 【解决问题】的值是________． 【拓展问题】已知，求m的倒数． 【答案】分析问题：；解决问题：12；拓展问题：或 【知识点】有理数的加减混合运算、绝对值方程 【分析】本题考查定义新运算，绝对值方程，掌握新运算的法则是解题的关键： 分析问题：按照新定义的法则，进行作答即可； 解决问题：按照新定义的法则，进行计算即可； 拓展问题：按照新定义的法则，列出方程，求出的值，进而求出倒数即可． 【详解】解：分析问题：根据题意， ， ， ， 故答案为：； 解决问题：∵， ， 故答案为：12； 拓展问题：， ∴， ， 或， ∴的倒数为或． 21．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）阅读理解： 对于有理数a、b，的几何意义为：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义为：数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离.如：的几何意义即数轴上表示数x的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题： (1)我们知道，根据几何意义，若，那么x的值是 ． (2)利用数轴分析的几何意义，的最小值是 ． (3)的最小值是 ． 【答案】(1)1或 (2)5 (3)169 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、绝对值的其他应用 【分析】（1）根据绝对值的几何意义即可求解； （2）根据绝对值的几何意义即可求解； （3）根据绝对值的几何意义即可求解． 本题考查数轴、绝对值，理解绝对值的定义，掌握数轴表示数的方法是正确解答的关键． 【详解】（1）解：的几何意义：数轴上表示x的点与表示的点之间的距离， 若，向右3个单位是1，向左三个单位是， 故答案为：1或； （2）解：的几何意义：数轴上表示x的点与表示的点之间的距离与数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离之和， 当时，的最小值是为， 故答案为：5； （3）解：∵表示x到，0，1，2，3，…24的点的距离的和， ∴当，最小， 最小值为， 故答案为：169． 一、单选题 1．（24-25六年级上·上海·期中）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上点的特点，解题的关键是根据数轴得出，．根据数轴比较有理数a、b、c，得出，，即可分析得出答案． 【详解】解：根据数轴可知，，， A．，故A错误； B．，故B错误； C．，故C正确； D．，故D错误． 故选：C． 2．（24-25六年级上·上海青浦·期中）如图，数轴上点分别表示数，那么下列运算结果一定大于零的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，有理数的加减以及乘法的应用，，整式的运算等，由数轴是上、、的位置可得出，进而得出，，，，结合选项逐项分析判断，再根据整式的运算法则求解即可． 【详解】解：由数轴知：，， ∴，， ∴原点在、之间，且靠近点，则， ∴，，，， ∴运算结果一定是正数的是， 故选：A． 二、填空题 3．（23-24六年级下·上海·期中）若有理数在数轴上对应的点如图，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、化简绝对值，由数轴得出，，从而得出，，，再根据绝对值的性质化简绝对值即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由数轴可得：，， ，，， ， 故答案为：． 4．（24-25六年级上·上海青浦·期中）已知数轴上点向右移动5个单位后与点重合，点与原点距离是2，点所表示的数是 ． 【答案】或 【分析】此题考查了数轴，有理数的加减运算，根据点到原点的距离是，可知点表示的数为或，所以分两种情况讨论即可． 【详解】解：点所表示的数是， 点到原点的距离是，可知点表示的数为或， 当点表示的数为时，点所表示的数是 当点表示的数为时，点所表示的数是 故答案为：或． 5．（24-25六年级上·上海·期中）小明做作业的时候不小心在作业本上滴上了墨水（如图），现在知道点表示的数是，那么点表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查数轴，解题关键是熟悉分数的意义．根据点表示的数是，可得从到分成了份，一份为，再由相隔份，即可得点表示的数． 【详解】点表示的数是， 从到分成了份，一份为， 点表示的数是． 故答案为：． 三、解答题 6．（24-25六年级上·上海闵行·期中）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为和16，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行，M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒． (1)若运动2秒后，两只蚂蚁M、N分别到达点C、点D，则C、D两点在数轴上所表示的数分别是________、________； (2)若运动t秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P，求t的值以及点P在数轴上所表示的数． 【答案】(1)；； (2)； 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算： （1）用点A表示的数加上M运动的路程即为点C表示的数，用点B表示的数减去N运动的路程即为点D表示的数，据此求解即可； （2）先根据时间等于路程除以速度求出t，进而求出M运动的路程，最后求出点P表示的数即可． 【详解】（1）解：∵M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒，且二者相向而行，运动2秒后，两只蚂蚁M、N分别到达点C、点D， ∴点C表示的数为，点D表示的数为， 故答案为：；； （2）解：由题意得，， ∴点P表示的数为． 7．（24-25六年级上·上海松江·期中）数轴上表示有理数a，b，c的点的位置如图所示： (1)请将有理数a，b，c按从小到大的顺序用“”连接起来：_______； (2)如果，，表示数b的点到原点的距离为4，那么_______， _______， _______． (3)在（2）的情况下，如果有一蚂蚁位于有理数c表示的点的位置，要爬行到距离原点三个单位长度的位置，请说明这只蚂蚁应该如何爬行？ 【答案】(1)； (2)，4，； (3)向左爬行1个单位长度或向右爬行5个单位长度． 【分析】此题主要考查了数轴以及绝对值的性质，正确利用数形结合得出是解题关键 （1）利用数轴上a，b，c的位置进而得出大小关系； （2）利用绝对值的意义以及结合数轴得出答案； （3）利用（2）中所求得出爬行的方法． 【详解】（1）解：由图可得：； （2）解：∵，，表示数b的点到原点的距离为4，且， ∴由数轴可得：，，； （3）解：由（2）可得：向左爬行1个单位长度或向右爬行5个单位长度，能爬行到距离原点三个单位长度的位置． 8．（24-25六年级上·上海·期中）我们知道、两数对应的点在数轴上的距离为，例如数轴上表示与2两点之间的距离可表示为，与两点之间的距离可表示为． 如图，点是数轴上的三点，点表示的数为3，点表示的数为，动点表示的数为． (1)如果动点在点、之间，那么_________． (2)若，那么动点表示的数是________． (3)若点表示的数是，现在有一蚂蚁从点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是94？ 【答案】(1) (2)或 (3) （1）根据动点在点、之间化简绝对值即可得到答案； （2）分点C在点B左侧时，当点C在点A右侧时，两种情况先去绝对值，然后解方程即可得到答案；由（1）可知点在点、之间时不符合题意； （3）设当经过t秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是94，则，再分当时，当时，当时，三种情况去绝对值解方程即可． 【详解】（1）解：∵动点在点、之间，点表示的数为3，点表示的数为，动点表示的数为， ∴， 故答案为：； （2）解：当点C在点B左侧时， ∵， ∴， ∴； 当点C在点A右侧时， ∵， ∴， ∴； 由（1）可知点在点、之间时不符合题意； 综上所述，或， ∴点C表示的数为或， 故答案为：或； （3）解：设当经过t秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是94， 由题意得，， ∴， 当时， ∵， ∴， 解得（舍去）； 当时， ∵， ∴，此时方程无解，不符合题意； 当时， ∵， ∴， 解得， ∴经过秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是94． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 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