第1章 有理数（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材沪教版五四制六年级上册

**基本信息** 《第1章 有理数》高效培优单元强化卷，90分钟100分，通过选择、填空、解答题梯度设计，融合时代热点（如抗美援朝电影票房）、文化传承（算筹）及实际应用（核酸检测成本），全面覆盖有理数概念、运算、数轴等核心知识，适配单元复习，提升抽象能力、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/12|有理数分类、非负整数、绝对值|基础概念辨析，如第1题考有理数范围| |填空题|12/36|运算、绝对值性质、数轴折叠、算筹|融入算筹文化（第16题）、票房变化（第14题）等情境| |解答题|7/52|混合运算、新定义运算、绝对值几何意义|综合应用如第25题结合核酸检测成本，体现模型意识与应用能力|

第1章 有理数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C C A D C A 2、 填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7． 8． 9．5 10． 11． 12．0 13． 14．242 15．或（答案不唯一） 16． 17． 18．或 三、解答题（本大题共7小题，19-21每题6分，22-24每题8分，第25题10分，共52分） 19．【答案】 【详解】解： ． 20．【答案】10 【详解】解： ． 21．【答案】 【详解】解：由流程图得，， 当输入时，， ∵， ∴第二次输入， 当时，，输出， ∴输出的结果是． 22．【答案】5250元 【详解】星期一的价格：（元） 星期二的价格：（元 星期三的价格：（元 星期四的价格：（元 星期五的价格： （元 本周赚的钱： （元 答：小明的爸爸在本周的买卖中共赚了5250元钱． 23．【答案】(1)， (2)①；②不满足交换律，不一定成立 【详解】（1）解：由条件可知，， ，． 故答案为：，； （2）解：①； ②， ， 所以不一定成立． 24．【答案】(1)11 (2) (3)点A对应的数为，点B对应的数为 【详解】（1）解：由题知，因为折叠后数2与数对应的点重合， 则折痕经过的点表示的数为0， 所以此时数与数11对应的点重合． 故答案为：11； （2）解：因为折叠后数3与数对应的点重合， 则折痕经过的点表示的数为， 因为，， 所以此时数0与数对应的点重合． 故答案为：； （3）解：因为A、B两点之间的距离为9， 则， 因为折痕经过的点表示的数为， 则，， 所以点A对应的数为，点B对应的数为． 25．【答案】(1)数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；或； (2)，，，0,1； (3)，7； (4)实验室P建在点B处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是元． 【详解】（1）解：由题意可知， 式子在数轴上的几何意义是：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离； 表示数轴上与有理数的点之间的距离等于6的点，由数轴可知为： 或， 故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；或， （2）表示数轴上x到与x到1的距离之和最小， 所以x应该在与1之间的线段上， 所以x可以取整数，，，0,1 故答案为：，，，0,1 （3）表示数轴上x到、x到与x到1的距离之和最小， 所以x应该在与1之间的线段上， 且当是，x到、x到与x到1的距离之和最小， 最小值为到1的距离为7； 故答案为：，7； （4）A、B、C在数轴上分别表示，1,3，P表示x， 使总运输和包装成本最低 即最小， x在1时，最小； x在1与3之间的线段上最小 所以x在1时最小，最小值为 所以实验室P建在点B处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 有理数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1．下列关于有理数的说法，错误的是（      ） A．0是整数 B．负分数是有理数 C．有理数包括正有理数和负有理数 D．1 是最小的正整数 【答案】C 【分析】本题考查有理数的概念，有理数包括正有理数，负有理数和0，有理数是分数和整数的统称，0也是整数，1是最小的正整数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、0是整数，原说法正确，不符合题意； B、负分数是有理数，原说法正确，不符合题意； C、有理数包括正有理数、负有理数和0，原说法错误，符合题意； D、1 是最小的正整数，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 2．在，，，，，中，非负整数有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】非负整数指大于或等于0的整数，只需逐个判断给出的数，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：是负整数，不符合；是分数，不是整数，不符合；是大于等于的整数，符合；是负小数，不符合；是负分数，不符合；是大于的整数，符合； ∴ 符合条件的非负整数共有个． 3．绝对值小于3的整数有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．无数个 【答案】A 【详解】解：设满足条件的整数为， ∵是整数，且， ∴， ∴绝对值小于3的整数有，共5个． 4．下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方运算，根据乘方的定义计算每个选项，即可判断正误． 【详解】解：对选项A， ， A错误； 对选项B， ， B错误； 对选项C， ， C错误； 对选项D， ， D正确． 5．下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．和2 B．和2 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查相反数的定义，需先化简各选项中的数，再根据定义判断． 【详解】解：选项A：，与2相等，不是相反数； 选项B：，与2相等，不是相反数； 选项C：，2与绝对值相等、符号相反，互为相反数； 选项D：，，两数相等，不是相反数． 故选：C． 6．已知的位置如图，下面选项中结果最大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据数轴确定的取值范围取一个值，分别代入代数式求值，再进行比较即可． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， 则，即结果最大的是． 2、 填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．计算：______________ ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据有理数乘法法则，异号两数相乘得负，再计算分数乘法即可解答． 【详解】解：原式． 故答案为：． 8．的计算结果是____________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方运算，根据乘方的意义计算即可． 【详解】解：． 故答案为 ． 9．计算：______． 【答案】5 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先计算平方运算，再计算减法，即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 10．比较大小：_______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】先计算右边的绝对值，然后比较两个负数的大小：绝对值越大，这个负数的实际值就越小． 【详解】解：， ∵， ∴， 即． 11．计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 先将除法转化为乘法，再计算乘法即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12．绝对值小于3.5的所有有理数的乘积为___________． 【答案】0 【分析】本题考查绝对值的性质及有理数的乘法运算，由于绝对值小于3.5的有理数中包含0，根据有理数乘法法则，0与任何数相乘都得0，因此乘积为0． 【详解】解：∵绝对值小于3.5的有理数包括0， ∴所有有理数的乘积为0． 故答案为：0． 13．已知且，，，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法法则，有理数减法，求一个数的绝对值，由，可知和异号，结合可得为负数，为正数；再根据和确定，，最后计算的值即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：因为， 所以和异号， 又因为， 所以为负数，为正数； 因为，， 所以，， 所以， 故答案为：． 14．以全新视角呈现抗美援朝战争的电影《志愿军：浴血和平》在2025年国庆档口碑稳居第一．月8日，该电影在上海某片区的票房收入为180万元，接下来7天的票房变化情况如表：（注：正数表示比前一天增加的票房，负数表示比前一天减少的票房）这7天中，票房收入最高的当天票房是_________万元． 日期 9日 日 日 日 日 日 日 票房变化（万元） 0 【答案】242 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的加减运算，根据正负数的意义，逐日计算票房收入，并比较得出最高值． 【详解】解：10月9日票房：万元； 10月10日票房：万元； 10月11日票房：万元； 10月12日票房：万元； 10月13日票房：万元； 10月14日票房：万元； 10月15日票房：136+4=140万元． 比较上述票房，最高为10月12日的242万元． 故答案为：242． 15．如图，现有5张卡片写着不同数，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算，从中选取4张卡片（每张卡片上的数只能用一次），使这4张卡片上的数运算结果为24，写出一个符合要求的等式为___________． 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，理解题意是解决本题的关键． 任意取出4张卡片，进行计算得出结果即可． 【详解】解：由题意得，可以用、、、这四个数来构造等式： 则 ； 或者用、、、构造： 则 ， 故答案为：或． 16．如表，算筹是我国古代的计算工具，采用纵、横两种摆法表示数字，规则为“一纵十横，百立千僵”，即个位纵式、十位横式、百位纵式、千位横式，依此类推．古人在个位数字上画斜线表示该数为负数．例如：“”表示数字“”． 现有算筹“”和“”，将它们所表示的数求和，得到的数是_______． 【答案】 【分析】本题考查算筹计数法的规则应用，正负数的加减运算，理解算筹的纵横规则是解题关键． 根据算筹计数法的规则，将算筹转化为数字，然后进行求和计算． 【详解】 解：根据题意可知，表示，表示， 则． 故答案为：． 17．如图，将一张印有数轴的纸条翻折，使得表示的点与表示1的点重合，此时，表示数字的点与表示数字______的点重合（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴的翻折，掌握中点公式是解题的关键．数轴翻折后，表示的点与表示1的点重合，则数轴沿中点翻折，根据重合的数中点是即可解答． 【详解】解：由题意得数轴沿和1的中点翻折， 设与表示数字的点重合的是表示数字b的点， 则， 解得， 故答案为． 18．机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过3秒后，甲、乙之间的距离为4个单位长度，那么此时甲所在位置表示的数为___________． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上两点距离，有理数的混合运算的应用，理解题意是解决本题的关键． 根据题意得出乙所在位置表示的数为，进而根据甲、乙之间的距离是，得出甲所在位置表示的数，即可求解． 【详解】解：乙的速度是平均每秒个单位长度， 经过3秒后，乙所在位置表示的数为， 经过3秒后，甲、乙之间的距离是， 此时甲所在位置表示的数是或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共7小题，19-21每题6分，22-24每题8分，第25题10分，共52分） 19．计算：； 【答案】 【详解】解： ． 20．计算：． 【答案】10 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是做题的关键．根据有理数的混合运算顺序和相应的运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 21．如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的为时，最后输出的结果是多少？（写出计算过程） 【答案】 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，先根据流程图求出运算结果，再把代入计算即可求解，看懂流程图是解题的关键． 【详解】解：由流程图得，， 当输入时，， ∵， ∴第二次输入， 当时，，输出， ∴输出的结果是． 22．小明的爸爸周日买进某种蔬菜10000斤，每斤2.5元，进入批发市场后共占5个摊位，每个摊位最多能容纳2000斤该品种的蔬菜，每个摊位的市场管理费为每天25元．下表为本周内该蔬菜每天的批发价格比前一天的涨跌情况（购进当日该种蔬菜的批发价格为每斤2.7元，表示比前一天涨0.3元，-0.1表示比前一天跌0.1元）． 星期 一 二 三 四 五 与前一天的价格涨跌情况元 当天的交易量斤 2500 2000 3000 1500 1000 在销售过程中小明的爸爸采用逐天减少摊位个数的方法来降低成本，增加收益，他在本周的买卖中共赚了多少钱？ 【答案】5250元 【分析】根据当天与前一天的价格涨跌情况分别求出每天的蔬菜单价，根据“总价＝单价×数量”求出每天的销售额，用5天的销售总额减去5天的摊位费和蔬菜的进货成本即是本周的盈利． 【详解】星期一的价格：（元） 星期二的价格：（元 星期三的价格：（元 星期四的价格：（元 星期五的价格： （元 本周赚的钱： （元 答：小明的爸爸在本周的买卖中共赚了5250元钱． 23．新定义运算． 已知，是有理数，且． (1)________，________． (2)借助有理数的运算，我们定义了一种关于有理数，的新运算“*”：，例如． ①求的值． ②请判断这种新运算“*”是否满足交换律？通过计算探究是否一定成立？ 【答案】(1)， (2)①；②不满足交换律，不一定成立 【分析】本题考查了有理数的混合运算以及绝对值的非负性和偶次方的非负性，掌握理解新运算的定义是解题关键． （1）根据绝对值的非负性和偶次方的非负性即可求解． （2）①根据题中的新定义结合（1）中数字进行计算即可． ②求出和比较即可． 【详解】（1）解：由条件可知，， ，． 故答案为：，； （2）解：①； ②， ， 所以不一定成立． 24．数轴是非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，当数轴或数轴上的点动起来，我们会发现数字也相应发生有趣的变化．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： (1)若折叠后数2与数对应的点重合，则此时数与数______对应的点重合； (2)若折叠后数3与数对应的点重合，则此时数0与数______对应的点重合； (3)若按照（2）的方式折叠后，数轴上有A、B两点也重合，且A、B两点之间的距离为（点B在点A的右侧），求点A和点B对应的数． 【答案】(1)11 (2) (3)点A对应的数为，点B对应的数为 【分析】本题主要考查数轴上两点间的距离，解此题的关键在于根据题意先找出对称中心，然后根据距离对称中心的距离求得对应点． （1）根据对称的知识，若2表示的点与表示的点重合，则对称中心是原点，从而找的对称点； （2）根据题意找到对称中心，从而求得0的对应点； （3）因为A、B两点之间的距离为9，所以A，B两点与对称中心的距离为，且点B在A点的右侧，从而得到结果． 【详解】（1）解：由题知，因为折叠后数2与数对应的点重合， 则折痕经过的点表示的数为0， 所以此时数与数11对应的点重合． 故答案为：11； （2）解：因为折叠后数3与数对应的点重合， 则折痕经过的点表示的数为， 因为，， 所以此时数0与数对应的点重合． 故答案为：； （3）解：因为A、B两点之间的距离为9， 则， 因为折痕经过的点表示的数为， 则，， 所以点A对应的数为，点B对应的数为． 25．【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的几何意义是____________________________________，若，则x的值为_________； (2)当|取最小值时，x可以取整数_________； (3)当x=_________时，的值最小，最小值为_________； 【解决问题】 (4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧5km，右侧1km，右侧3km．A小区有居民人，B居民区有居民人，C居民区有居民人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个核酸检测实验室P，用于接收这3个小区的全员核酸样本．若核酸样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 【答案】(1)数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；或； (2)，，，0,1； (3)，7； (4)实验室P建在点B处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是元． 【分析】（1）结合题意直接可以得出在数轴上的几何意义，表示数轴上与有理数的点之间的距离等于6的点，结合数轴找到点即可； （2）表示数轴上x到与x到1的距离之和最小，x应该在与1之间的线段上，找到满足条件的点即可； （3）表示数轴上x到、x到与x到1的距离之和最小，x应该在与1之间的线段上，当是，x到、x到与x到1的距离之和最小， （4）A、B、C在数轴上分别表示，1,3，P表示x，使总运输和包装成本最低即最小，分析在点B处才能使总运输和包装成本最低． 【详解】（1）解：由题意可知， 式子在数轴上的几何意义是：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离； 表示数轴上与有理数的点之间的距离等于6的点，由数轴可知为： 或， 故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；或， （2）表示数轴上x到与x到1的距离之和最小， 所以x应该在与1之间的线段上， 所以x可以取整数，，，0,1 故答案为：，，，0,1 （3）表示数轴上x到、x到与x到1的距离之和最小， 所以x应该在与1之间的线段上， 且当是，x到、x到与x到1的距离之和最小， 最小值为到1的距离为7； 故答案为：，7； （4）A、B、C在数轴上分别表示，1,3，P表示x， 使总运输和包装成本最低 即最小， x在1时，最小； x在1与3之间的线段上最小 所以x在1时最小，最小值为 所以实验室P建在点B处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是元． 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义、距离之和的最小值以及实际应用；熟练掌握绝对值的几何意义、数形结合是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 有理数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1．下列关于有理数的说法，错误的是（      ） A．0是整数 B．负分数是有理数 C．有理数包括正有理数和负有理数 D．1 是最小的正整数 2．在，，，，，中，非负整数有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．绝对值小于3的整数有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．无数个 4．下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 5．下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．和2 B．和2 C．和 D．和 6．已知的位置如图，下面选项中结果最大的是（     ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．计算：______________ ． 8．的计算结果是____________． 9．计算：______． 10．比较大小：_______．（填“”“”或“”） 11．计算：_____． 12．绝对值小于3.5的所有有理数的乘积为___________． 13．已知且，，，则的值是_____． 14．以全新视角呈现抗美援朝战争的电影《志愿军：浴血和平》在2025年国庆档口碑稳居第一．月8日，该电影在上海某片区的票房收入为180万元，接下来7天的票房变化情况如表：（注：正数表示比前一天增加的票房，负数表示比前一天减少的票房）这7天中，票房收入最高的当天票房是_________万元． 日期 9日 日 日 日 日 日 日 票房变化（万元） 0 15．如图，现有5张卡片写着不同数，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算，从中选取4张卡片（每张卡片上的数只能用一次），使这4张卡片上的数运算结果为24，写出一个符合要求的等式为___________． 16．如表，算筹是我国古代的计算工具，采用纵、横两种摆法表示数字，规则为“一纵十横，百立千僵”，即个位纵式、十位横式、百位纵式、千位横式，依此类推．古人在个位数字上画斜线表示该数为负数．例如：“”表示数字“”． 现有算筹“”和“”，将它们所表示的数求和，得到的数是_______． 17．如图，将一张印有数轴的纸条翻折，使得表示的点与表示1的点重合，此时，表示数字的点与表示数字______的点重合（用含的代数式表示） 18．机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过3秒后，甲、乙之间的距离为4个单位长度，那么此时甲所在位置表示的数为___________． 三、解答题（本大题共7小题，19-21每题6分，22-24每题8分，第25题10分，共52分） 19．计算：； 20．计算：． 21．如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的为时，最后输出的结果是多少？（写出计算过程） 22．小明的爸爸周日买进某种蔬菜10000斤，每斤2.5元，进入批发市场后共占5个摊位，每个摊位最多能容纳2000斤该品种的蔬菜，每个摊位的市场管理费为每天25元．下表为本周内该蔬菜每天的批发价格比前一天的涨跌情况（购进当日该种蔬菜的批发价格为每斤2.7元，表示比前一天涨0.3元，-0.1表示比前一天跌0.1元）． 在销售过程中小明的爸爸采用逐天减少摊位个数的方法来降低成本，增加收益，他在本周的买卖中共赚了多少钱？ 星期 一 二 三 四 五 与前一天的价格涨跌情况元 +0.3 -0.1 +0.25 +0.2 -0.5 当天的交易量斤 2500 2000 3000 1500 1000 23．新定义运算． 已知，是有理数，且． (1)________，________． (2)借助有理数的运算，我们定义了一种关于有理数，的新运算“*”：，例如． ①求的值． ②请判断这种新运算“*”是否满足交换律？通过计算探究是否一定成立？ 24．数轴是非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，当数轴或数轴上的点动起来，我们会发现数字也相应发生有趣的变化．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： (1)若折叠后数2与数对应的点重合，则此时数与数______对应的点重合； (2)若折叠后数3与数对应的点重合，则此时数0与数______对应的点重合； (3)若按照（2）的方式折叠后，数轴上有A、B两点也重合，且A、B两点之间的距离为（点B在点A的右侧），求点A和点B对应的数． 25．【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的几何意义是________________________，若，则x的值为_________； (2)当|取最小值时，x可以取整数_________； (3)当x=_________时，的值最小，最小值为_________； 【解决问题】 (4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧5km，右侧1km，右侧3km．A小区有居民人，B居民区有居民人，C居民区有居民人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个核酸检测实验室P，用于接收这3个小区的全员核酸样本．若核酸样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $