专题01 有理数的巧算（高效培优专项训练）数学新教材沪教版五四制六年级上册

**基本信息** 以六大巧算方法为核心，构建从基础运算律到高阶技巧的系统化训练体系，突出运算能力与推理意识的培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |活用运算律|10题（含材料阅读）|乘法分配律等运算律的灵活应用|从运算律概念到变式应用，强化规则理解| |凑整法|8题|将数拆分为整十/百数与补数的和差|基于数的组成，简化复杂计算| |拆分法|8题（含数形结合）|数式拆分转化为可简算形式|结合代数变形与几何直观，培养转化思想| |裂项相消法|5题（含类比探究）|分式拆分为差式实现相消|从分数裂项迁移到代数裂项，发展推理意识| |倒序相加法|5题（含高斯求和）|对称项组合简化求和|基于数列对称性，培养创新算法| |错位相减法|5题（含棋盘摆米）|错位相减消去中间项|针对等比数列求和，构建数学模型|

专题01 有理数的巧算 题型一 有理数的巧算——活用运算律 题型二 有理数的巧算——凑整法 题型三 有理数的巧算——拆分法 题型四 有理数的巧算——裂项相消法 题型五 有理数的巧算——倒序相加法 题型六 有理数的巧算——错位相减法 题型一：有理数的巧算——活用运算律 1．下列算式中，可以用乘法分配律简算的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A． 该算式运用了乘法的交换律，因此A选项不正确； B． 该算式运用了乘法的分配律，因此B选项正确； C． 该算式没有运用乘法的分配律，因此C选项不正确； D． 该算式没有运用乘法的分配律，因此D选项不正确． 2．下列变形中，运用运算律正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、乘法分配律，逐一判断变形是否正确即可． 【详解】解：对选项A，，变形错误； 对选项B，根据乘法交换律与结合律，可得，变形正确； 对选项C，，变形错误； 对选项D，根据乘法分配律，得，变形错误． 3．下列各式运用运算律不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的乘法运算律进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，应用乘法交换律正确，故该选项不符合题意； B、，应用乘法结合律正确，故该选项不符合题意； C、，应用乘法结合律正确，故该选项不符合题意； D、，该等式应用乘法分配律错误，漏乘，故该选项符合题意． 4．在用运算律计算时，题目变形合理的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 又 原式可变形为 ． 5．用简便方法计算： （1）____． （2）_______． 【答案】 【分析】（1）利用加法交换律、结合律，先凑整再进行计算即可； （2）提取公因数，括号内小数先合并得到31，约分后直接得结果． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 6．计算： 【答案】 【详解】解： ． 7．计算： 【答案】 【分析】利用加法交换律和结合律，将互为相反数的项结合，将分数统一转化为小数形式后再进行简便计算． 【详解】， 原式 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用乘法交换律调整计算顺序，简化运算即可； （2）利用乘法分配律展开计算，简化运算即可； （3）利用乘法分配律展开计算，注意符号变化； （4）利用乘法交换律调整计算顺序，约分后计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 9．请在下列括号里填写运算的依据：     （                    ）     （                    ）     （                    ） ． 【答案】 乘法交换律；乘法结合律；乘法分配律 【分析】根据每一步运算的变形形式，对应有理数乘法的运算律判断填空即可. 【详解】略 10．【材料阅读】计算：． 解法一：原式 ． 解法二：原式的倒数为． ． 所以，原式． 【解法评价】 （1）你认为上述正确的解法是______；(填“解法一”或“解法二”) 【解法应用】 （2）利用上述正确的解法计算：． 【答案】（1）解法二； （2） 【分析】（1）除法没有分配律，解法一错误使用了分配律，解法二通过倒数转化为乘法，运用乘法分配律计算是正确的； （2）先计算原式的倒数，将除法转化为乘法后利用乘法分配律计算，最后取倒数得到原式的结果． 【详解】（1）解：解法一中将拆分为的做法不符合运算法则，除法不满足分配律，是错误的； 解法二先求原式的倒数，利用乘法分配律计算出倒数的值，再取倒数得到原式的结果，运算过程符合法则，是正确的． 正确的解法是解法二． （2）解：原式的倒数为， ． 原式． 题型二：有理数的巧算——凑整法 1.计算： (1)． (2)． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 2.计算： (1)． (2)． 【详解】 （1）解：原式= ． （2）解：原式 3．计算：． 【详解】解： ． 4．计算：． 【详解】解： ）（拆项法） 【注意括号前的符号，多数情况下写成+（）】 5．计算 (1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．计算：． 【详解】解： ． 7．计算： (1)； (2) (3)； 【详解】 （1）解： （2）解： （3）解： ． 8．计算： (1)； (2) ． 【详解】（1）解： （2） 题型三：有理数的巧算——拆分法 1．对于两个数，M=2008×20092009，N=2009×20082008．则（　　） A．M=N B．M＞N C．M＜N D．无法确定 【答案】A 【详解】解：根据数的分成和乘法分配律，可得 M=2008×（20 090 000+2009） =2008×20 090 000+2008×2009 =2008×2009×10001 N=2009×（20 080 000+2008） =2009×2008×10001， 所以M=N． 故选A． 2．计算： 【答案】 【详解】解： ． 3．计算： 【答案】 【详解】解： 4．计算：； 【答案】 【详解】解： ． 5．计算：； 【答案】278 【详解】解： ； 6．请你参考下面黑板上老师的板书，计算下列各题． 利用运算律计算： 例1：； 例2：． (1)； (2)． 【答案】(1)11988 (2)99900 【分析】（1）将所求式子变形为，再结合有理数的混合运算法则计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，再结合乘法运算律计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．黑板上有一道题：计算，嘉嘉和淇淇给出了两种不同的解法． 嘉嘉： 原式 淇淇： 原式 _________________ _________________ _________________ (1)请将淇淇的解法补充完整； (2)计算：． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 8．数形结合是一种重要的数学思想方法，以形助数更直观．例如：计算时，可以用图形来解释：把一个面积为1的正方形拆分成两个面积为的长方形；接着把其中一个面积为的长方形拆分成两个面积为的长方形；再把其中一个面积为的长方形拆分成两个面积为的长方形．所以，阴影部分的面积：．利用这个图形思路计算：____． 【答案】 【分析】根据图形中的思路可得阴影部分的面积等于总面积减去空白的面积，然后利用找到的规律计算求解即可． 【详解】解：∵图中阴影部分的面积为． ∴可得出阴影部分的面积等于总面积减去空白的面积， ∴可以看成是把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形；接着把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的长方形；再把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的长方形．．．一直等分成两个面积为的长方形， ∴． 故答案为：． 题型四：有理数的巧算——裂项相消法 1．阅读材料，回答问题． 类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如： ，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（）计算：______； 【理解运用】（）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（）探究并计算：． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）利用裂项法解答即可求解； （）把算式转化为，再利用裂项法解答即可求解； （）用裂项的方法变形为，进而计算即可求解； 本题考查了有理数的混合运算，掌握裂项法是解题的关键． 【详解】解：（）， 故答案为：； （） ； （） ． 2．计算： ①； ②． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题中裂项方法是解答的关键． （1）根据题中例子可写出相应的等式； （2）①根据式子特点，采用裂项的方法进行计算即可； ②将原式变形，然后采用裂项方法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，猜想， 故答案为：； （2）解：① ； ② ． 3．计算： 解： ． 4．用裂项法求和 (1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．用裂项法求和：．（写出解题过程） 【答案】 【分析】本题考查了异分母分数的加减法以及裂项相消法求和，根据题意用裂项法进行求和，即，，进行计算即可得出结论； 【详解】解：， ， ， ， ． 题型五：有理数的巧算——倒序相加法 1．高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设，① 则，② ①＋②，得（两式左右两边分别相加，左边等于2S，右边等于50个51的和），所以， 则．③ 所以． 我们把这种解答方法可以称为“倒序相加法”请解答下面的问题： (1)请你运用“倒序相加法”计算：． (2)猜想：______． 【详解】（1）解：设 则 ，得 所以， 所以； （2）解：记，则， ∴， 解得，， 故答案为：； 2．（1）计算：． (2)计算： 【详解】（1）解：设，① 则，② 得． 所以，则， 所以； （3）解：设，① 则，② 得． 所以，则， 所以． 3．一条沿途有n个站点的高铁线上，单向行驶的“和谐号”列车，需要印多少种车票______． 【答案】 【分析】此题考查了规律型：数字的变化类，正确找出数字的变化规律是解题的关键．根据题意，一条沿途有n个站点的高铁线上，则单向行驶的“和谐号”列车需要种车票，根据“倒序相加法”即可求解． 【详解】解：由题意得：需要种车票， 设①， 则②， ①②，得．（①②两式左右两端分别相加，左端等于，右端等于个n的和）， ， ， 故答案为：． 4. 在数学活动课上，同学们对三角形点阵中前行的点数计算进行探究活动：如图1是一个三角点阵，从上到下有无数行，其中第一行有个点，第二行有个点……第行有个点…… 你能计算图（1）中共有多少个点吗？ 【答案】， 【详解】解：如图2，将一个正立的三角点阵倒立，再与正立的原图形的三角点阵拼成一个平行四边形点阵，三角形点阵点数和为平行四边形点阵数量的一半． 所以图（1）中点数共有个。 5．在求的结果时，小明发现，便可很容易得到这些加数的和，具体方法如下： 假设：①， 又有： ②， ①＋②，得：， 所以，所以． 计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握解题的规律是解题的关键．利用题干中的方法解答即可． 【详解】解：设①， ∴②， ①＋②得： ． ∴． ∴． 题型六：有理数的巧算——错位相减法 1．阅读材料，回答问题． 材料一：因为，所以． 材料二：求的值． 解：设①， ①两边同时乘以3得，则② 用得， 所以， 即， 所以． 这种方法我们称为“错位相减法”． (1) 填空：_________，_________； (2) 计算 【答案】(1)，（2） 【详解】（1）解：，； （2）设①，则②， 得，． 2. 计算：． 解：设①， 则②， 得， ． 3. （1）求的值； （2）计算的值． 【答案】（1）；（2） 【详解】 （1）解：令，则， ∴， 解得，， ∴． （2）解：令，则， ∴， 解得，， ∴的值为． 4. “棋盘摆米”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了． ①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放_________粒米（用幂表示）； ②设国王输给阿基米德的总米粒数为S，求S． 【答案】①；② 【详解】①∵第一格放一粒米，第二格放二粒即粒，第三格放四粒即粒，第四格放八粒即粒，， ∴国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放粒； ②由题意可得：， ∴， 两式相减可得：； 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01有理数的巧算 参考答案 题型一：有理数的巧算——活用运算律 1.B 2.B 3.D 4.B 5.-7 29 6.【详解】解：38+(-22)+(+62)+(-78) =[38+(-78)]+[(-22)+(+62)] =-40+40 =0 7.【详解1-3是375， 原式=（-6.37)+(-3.75)+6.37+2.75 =[(-6.37)+6.37]+[(-3.75)+2.75] =0+(-1) =-1 8. 【详解】(1)解： （》x(到 =（(5 =6×5 =30. 2解：30个} =30×30x =15-10 =5 1/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：025-x(36) =x(-36)-号x(-36) =-9+24 =15 4解：8（引6 8x6() 引 9.乘法交换律；乘法结合律；乘法分配律 10.【答案】(1)解法二： 1 (2)-14 【并解】(：解法-中名50：传)拆分为0-日0：子50：日的假法不行合运第法：除 4 法不满足分配律，是错误的： 解法二先求原式的倒数，利用乘法分配律计算出倒数的值，再取倒数得到原式的结果，运算过程符合法则， 是正确的。 ∴·正确的解法是解法二 ②解：原的做刘后+导引 13,22 (614+3x(42) =名(42)(-42)+号x(←2)-号(42 =-7+9-28+12 =(-7-28)+(9+12) =-35+21 =-14. 2/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11 原式=-414 题型二：有理数的巧算一一凑整法 1.【详解】(1)解：原式=27-15+23-35 =(27+23)+(-15-35) =50-50 =0 (2)解：原式=0.25-3-13 7 4 =-2-3 =-5. 2.【详解】 1-3+5-1-1 (4)解：原式24624 6 =04(-+g 2.3.11 (2)解：原式=-3+262 十 =(+-8 3. 【详解】解：（-2.1)+(-3.2)-(-2.4)-(4.3) =-2.1-3.2+2.4+4.3 =（-2.1-3.2)+(2.4+4.3) =-5.3+6.7 3/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =1.4 4. 【详解解：(6)+(-2兮(+3)-月 =o(2-3 (拆项法) =-6-2+3 1_2 33 =-5-1 =-6 5. 【详解】(4)解： 0-2(3227 2 44 （分3好到 =-8+6 =-2 (2)解： （2列 =0.4-1.5-2.25+2.75 =-1.1-2.25+2.75 =-3.35+2.75 =-0.6 6. 【详辩1解：-15+0号(8-（到 -15+9g(-8) 2 5 3 .2 =-15+9二-8+ 55 =e15-8+92+3 55 =-23+10 =-13」 4/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.【详解】 ay解：e12sr( 523.7 4444 > = 4 (2)解：（-34)+(+8)+(+5)+(-23) =-34+8+5-23 =-44 a)解：（2)+》引+8 93.5,7 4466 =-3+2 =-1. 8.【详解】(1)解：（-8)+10--2+(-) =-8+10-2-1 =-1 2（++ 151,2 3663 1,251 =3366 =1-1 =0 题型三：有理数的巧算一一 拆分法 1.A 23 2.【详解)解：1200+ +35 20002000 47 200 +.+100199 2000 1 =1+ 0+2+3 345 7 -+4+ 20002000 20002000 0+.+100+199 2000 =(1+2+3+4+..+100)+( 735土7+ ,199 2000200020002000 2000 5/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =1+100)×100÷2+( 1.199 ×100÷2 20002000 200 =101×100÷2+ ×100÷2 2000 1 =10100÷2+ -×100÷2 10 =5050+5 =5055 3.【详解】解：19.98×68+199.8×4.2-1998×0.1 =199.8×6.8+199.8×4.2-199.8×1 =199.8×(6.8+4.2-10 =199.8×10 =1998 4. 【详解】解 99163x-99x6 =999×16-+999× 1 5 999x6 5 =999×164_1-63 05505 =999×10 =9990 5.【详解】解：23×2.78+27.8×5.9+180×0.278 =23×2.78+2.78×59+18×2.78 =2.78×(23+59+18) =2.78×100 =278: 6.【详解】(1)解：999×12 =(1000-1)×12 =12000-12 =11988: =999×1181-999×-999x18 5 5 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ×999 5 =(118-18)×999 =99900 7.【答案】(1)见解析 2)-29g7 【鲜解】(a)解：=72x()6(8) 1 =-576+ ②解：层式0和6) =50×(6)- 1 ×(-6) 48 1 =-300+ 8 -2907 8 255 8.【答案】256 11.1 17 【详解】解：：图中阴影部分的面积为2+4+8188 二=1- .∴，可得出阴影部分的面积等于总面积减去空白的面积， 1,1,1.1,1,1,11 “2+4+8+6+32+64+128+256可以看成是把一个面积为1的正方形等分成两个面积为2的长方形： 十 接着把其中一个面积为)的长方形等分成两个面积为4的长方形：再把其中一个面积为4的长方形等分成 1 两个面积为。的长方形.··一直等分成两个面积为256的长方形， 1,1,111+1+1+1 :2+4+8+i6+32+64+128256 1-1=255 256256" 255 故答案为：256· 7/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型四：有理数的巧算—一裂项相消法 3 .50 1.【答案】(1)4：（2)20：（3)101 11.1 =1-++5-1-13 【详解】解：（1)1×2+2×3+3×412+23+34 144 故答案为：4： 111 1 （2)20+30+42++ 90 =1+1, 1 4×55×66×7 9×10 1111,11,,11 Γ455667+叶 910 11 410 52 2020 3 20: 11+1+1 （3)1x33x55×7T7x9 +…+ 99×101 1 1.11,1111.,11 21-3+35+57+79 一十 十 99101 =x1-1 1 2101 1100 2101 50 101 11 2.【答案】nn+1 99 1010 (2)①100：②6069 111 【详解】(1)解：根据题意，猜想n×m+Dnn+1, 11 故答案为：nn+1 8/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1+1+1 1 (2)解：①1×22×33×4 +…+ 99×100 --2I0 =1-1+11+1111 2233499100 1 =1- 100 100 1 11 1 ②3x5+-5x7+-7× +…+-2021×2023 品品+ 2 2021×2023 非 11 20212023 6 12020 =-26069 、 1010 6069 3解+品品品品玩 引台传*H+传后引8 =1+ 111,1,111,1,111,1,1 十一十 十一十 2233445566778 1*8 1 9 8· 1 1,1 4.【详解】（①解：37十7×11x15++ 55×59 传》传+好s可】 得片品对动 9/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1、56 =4177 s14 -177: 111111 (2)解：-315356399143 =传动】 -传g》+g》品 1.12 =-213 6 【照2x)》 5. 11(1 1 2×3×422×33×4, 11(11 3×4×523x44×5 … 1「1 17 99×100x101299×100100×101 1 1 1 十…十 .1×2×32×3×43×4×5 99×100×101 1111111 1 1 十…十 21×22×32×33×43×44×5 99×100100×101 111,11,11 1 1 =2×1×22×32x33×43×44×5 +…十 99×100100×101 111150×101-15049 =2×2100×101)厂2100x10120200 10113 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型五：有理数的巧算一一 倒序相加法 1.【详解】(1)解：设s=1+2+3+.+100① 则s=100+99+98+..+1② ①+②，得2s=101+101+101+.+101 1 所以25=100×101，s= ×100×101=5050③ 所以1+2+3+.+100=5050， (2)解：记S=1+2+3+..+n,则S=n+(n-1)+(n-2)+.…+1, .2S=n(n+1), 解得，S=n(n+1) 2 n(n+1) 故答案为： 2 2.【详解】(1)解：设S=100+101+102+…+200,① 则S=200+199+198+…+100,② ①+②得2S=300+300+300++300. 所以2S=101×300,则S=(101×300)÷2=15150 所以100+101+102+…+200=15150： (3)解：设S=1+3+5+7+9+…+99,① 则S=99+97+95+…+1,② ①+②得2S=100+100+100+…+100 所以2S=50×100,则S=(50×100)÷2=2500 所以1+3+5+7+9+.+99=2500 3 n(n-1) 2 【答案】+) 2 【详解】解：如图2，将一个正立的三角点阵倒立，再与正立的原图形的三角点阵拼成一个平行四边形点 ,n(n+1), 阵，三角形点阵点数和为平行四边形点阵数量的一半。所以图(1)中点数共有2个。 11/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 n+1个 n行 。。·0\●。 图2 1011 5.【答案】-2 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握解题的规律是解题的关键.利用题干中的方法 解答即可 【联1解：区4传引后子引传号引如 2一+…+ 2022 2023/①， 2 1 (20232023 +… 20232023②， ①+②得： 2A=1-(1+1)+(1+1+1)-(1+1+1+1)+…-(1+1+…+1) =1-2+3-4+.-2022 =-1-1--1 =-1011. A-1011 2· 引居+引传引@器 1011 2 题型六：有理数的巧算一一 错位相减法 1.【答案】(1)5，a7(2)22021-1 【详解】(1)解：5×5=5，a2.a3=a: (2)设S=1+2+22++22019+2200①，则2S=2+2++22020+201②， ②-①得2S-S=S=22021-1,S=1+2+22+.…+22019+22020=22021-1. 2.解：设S=11+112+113+…+112024①， 则11S=112+113+.+112025②， ②-①得11S-S=10S=11225-11, 12113 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S=1+1P+1P++11m4_5-山 10· 3.【详解】 (1)解：令S=1+3+32+3+…+30,则3S=3+32+33+…+310+3101, ∴3S-S=3101-1, 解得，了=31 2 1+3+32+33+…+310=301-1 2 （2解：令T=(+(+(+(2++(,则 (” 4.【答案】①2：②S=24-1 【详解】①第一格放一粒米，第二格放二粒即2粒，第三格放四粒即2粒，第四格放八粒即2粒，， ∴，国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放2粒： ②由题意可得：S=1+2+22+2+…+2, .2S=2+22+23+…+23+2, 两式相减可得：S=24-1: 13113 专题01 有理数的巧算 题型一 有理数的巧算——活用运算律 题型二 有理数的巧算——凑整法 题型三 有理数的巧算——拆分法 题型四 有理数的巧算——裂项相消法 题型五 有理数的巧算——倒序相加法 题型六 有理数的巧算——错位相减法 题型一：有理数的巧算——活用运算律 1．下列算式中，可以用乘法分配律简算的是（     ）． A． B． C． D． 2．下列变形中，运用运算律正确的是（     ） A． B． C． D． 3．下列各式运用运算律不正确的是（     ） A． B． C． D． 4．在用运算律计算时，题目变形合理的为（     ） A． B． C． D． 5．用简便方法计算： （1）____． （2）_______． 6．计算： 7．计算： 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．请在下列括号里填写运算的依据：     （                    ）     （                    ）     （                    ） ． 10．【材料阅读】计算：． 解法一：原式 ． 解法二：原式的倒数为． ． 所以，原式． 【解法评价】 （1）你认为上述正确的解法是______；(填“解法一”或“解法二”) 【解法应用】 （2）利用上述正确的解法计算：． 题型二：有理数的巧算——凑整法 1.计算： (1)． (2)． 2.计算： (1)． (2)． 3．计算：． 4．计算：． 5．计算 (1)； (2)． 6．计算：． 7．计算： (1)； (2) (3)； 8．计算： (1)； (2) ． 题型三：有理数的巧算——拆分法 1．对于两个数，M=2008×20092009，N=2009×20082008．则（　　） A．M=N B．M＞N C．M＜N D．无法确定 2．计算： 3．计算： 4．计算：； 5．计算：； 6．请你参考下面黑板上老师的板书，计算下列各题． 利用运算律计算： 例1：； 例2：． (1)； (2)． 7．黑板上有一道题：计算，嘉嘉和淇淇给出了两种不同的解法． 嘉嘉： 原式 淇淇： 原式 _________________ _________________ _________________ (1)请将淇淇的解法补充完整； (2)计算：． 8．数形结合是一种重要的数学思想方法，以形助数更直观．例如：计算时，可以用图形来解释：把一个面积为1的正方形拆分成两个面积为的长方形；接着把其中一个面积为的长方形拆分成两个面积为的长方形；再把其中一个面积为的长方形拆分成两个面积为的长方形．所以，阴影部分的面积：．利用这个图形思路计算：____． 题型四：有理数的巧算——裂项相消法 1．阅读材料，回答问题． 类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如： ，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（）计算：______； 【理解运用】（）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（）探究并计算：． 2．计算： ①； ②． 3．计算： 4．用裂项法求和 (1)； (2)． 5．用裂项法求和：．（写出解题过程） 题型五：有理数的巧算——倒序相加法 1．高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设，① 则，② ①＋②，得（两式左右两边分别相加，左边等于2S，右边等于50个51的和），所以， 则．③ 所以． 我们把这种解答方法可以称为“倒序相加法”请解答下面的问题： (1)请你运用“倒序相加法”计算：． (2)猜想：______． 2．（1）计算：． (2)计算： 3． 一条沿途有n个站点的高铁线上，单向行驶的“和谐号”列车，需要印多少种车票______． 4． 在数学活动课上，同学们对三角形点阵中前行的点数计算进行探究活动：如图1是一个三角点阵，从上到下有无数行，其中第一行有个点，第二行有个点……第行有个点…… 你能计算图（1）中共有多少个点吗？ 5．在求的结果时，小明发现，便可很容易得到这些加数的和，具体方法如下： 假设：①， 又有： ②， ①＋②，得：， 所以，所以． 计算：． 题型六：有理数的巧算——错位相减法 1．阅读材料，回答问题． 材料一：因为，所以． 材料二：求的值． 解：设①， ①两边同时乘以3得，则② 用得， 所以， 即， 所以． 这种方法我们称为“错位相减法”． (1) 填空：_________，_________； (2) 计算 2. 计算：． 3. （1）求的值； （2）计算的值． 4. “棋盘摆米”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了． ①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放_________粒米（用幂表示）； ②设国王输给阿基米德的总米粒数为S，求S． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $