专题07 有理数的求值问题五类集训（计算题专项训练）数学沪教版五四制新教材六年级上册

**基本信息** 聚焦有理数求值核心，通过相反数、倒数、绝对值等概念的条件组合，系统训练符号判断与分类讨论能力，强化运算与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |训练1-5|50题|结合相反数、倒数、绝对值条件求值，含符号判断、多解讨论|从概念（相反数a+b=0、倒数cd=1）到性质应用（绝对值非负性、符号关系），构建"条件分析-分类讨论-代数运算"逻辑链|

专题07 有理数的求值问题五类训练（计算题专项训练） 【沪教版五四制新教材】 训练1 有理数的求值问题 1．已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，x的绝对值等于5，y是最大的负整数，求4x2﹣cd+6（a+b）﹣y2026的值． 【解答】解：∵a与b互为相反数，c与d互为倒数，x的绝对值等于5，y是最大的负整数， ∴a+b＝0，cd＝1，x＝±5，y＝﹣1， ∴原式＝4×（±5）2﹣1+6×0﹣（﹣1）2026＝100﹣1+0﹣1＝98． 2．若|a|＝5，|b|＝3，若|a+b|＝a+b，求的值． 【解答】解：∵|a|＝5，|b|＝3， ∴a＝±5，b＝±3， ∵|a+b|＝a+b， ∴a+b≥0， ∴a＝5，b＝﹣3或a＝5，b＝3， 则或； 即的值为或． 3．已知|a|＝5，|b|＝3，且ab＞0，a+b＜0，求a+b的值． 【解答】解：∵|b|＝3，|a|＝5， ∴b＝±3，a＝±5， ∵a+b＜0，ab＞0， ∴b＝﹣3，a＝﹣5， ∴a+b＝（﹣5）+（﹣3）＝﹣8． 4．若|a|＝5，|b|＝3． （1）若a＞0，b＜0，求a+b的值； （2）若|a+b|＝a+b，求a﹣b的值． 【解答】解：（1）∵|a|＝5，|b|＝3，a＞0，b＜0， ∴a＝5，b＝﹣3， ∴a+b＝5﹣3＝2； （2）∵|a|＝5，|b|＝3，|a+b|＝a+b， ∴a＝5，b＝3或a＝5，b＝﹣3， ∴a﹣b＝5﹣3＝2或a﹣b＝5﹣（﹣3）＝8， 即a﹣b的值为2或8． 5．若|x|＝3，|y|＝1，且|x+y|＝x+y，求2x﹣y的值． 【解答】解：∵|x|＝3，|y|＝1， ∴x＝3或x＝﹣3，y＝1或y＝﹣1， ∵|x+y|＝x+y， ∴x+y≥0， 当x＝﹣3，y＝1时， x+y＝﹣2＜0， 不满足题意； 当x＝3，y＝﹣1时， x+y＝2＞0， 满足题意， 此时2x﹣y＝2×3﹣（﹣1）＝7； 当x＝3，y＝1时， x+y＝4＞0，满足题意， 此时2x﹣y＝2×3﹣1＝5； 当x＝﹣3，y＝﹣1时， x+y＝﹣4＜0， 不满足题意； 综上所述，2x﹣y＝5或7． 6．已知|2a﹣6|与（b+2）2互为相反数． （1）求a、b的值； （2）求﹣b+a的倒数． 【解答】解：（1）由题意可得：， 解得a＝3，b＝﹣2； （2）将a＝3，b＝﹣2代入﹣b+a得： ﹣b+a＝﹣（﹣2）+3＝2+3＝5， ∴5的倒数是， ∴﹣b+a的倒数是． 7．已知：a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2． （1）填空：a+b＝　 　 ，cd＝　 　 ，x＝　 　 ； （2）求（a+b）x2+（﹣cd）200的值． 【解答】解：（1）∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2， a+b＝0，cd＝1，x＝±2． 故答案为：0；1；±2． （2）∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2， a+b＝0，cd＝1，x2＝4， ∴（a+b）x2+（﹣cd）200＝0×4+（﹣1）200＝1． 8．已知：|a|＝3，|b|＝5． （1）求a﹣b的最小值； （2）当a﹣b取得最小值时，若c，d互为相反数，m，n互为倒数，求的值． 【解答】解：（1）∵|a|＝3，|b|＝5， ∴a＝±3，b＝±5， 当a＝3，b＝5时，a﹣b＝3﹣5＝﹣2， 当a＝3，b＝﹣5时，a﹣b＝3﹣（﹣5）＝8， 当a＝﹣3，b＝5时，a﹣b＝﹣3﹣5＝﹣8， 当a＝﹣3，b＝﹣5时，a﹣b＝﹣3﹣（﹣5）＝2， ∵8＞2＞﹣2＞﹣8， ∴a﹣b的最小值为﹣8； （2）∵c，d互为相反数， ∴c+d＝0， ∵m，n互为倒数， ∴mn＝1， 当a﹣b的最小值为﹣8时，原式 ＝0﹣1+8 ＝7． 9．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值等于2．求： （1）6﹣2a﹣2b+3cd的值． （2）的值． 【解答】解：根据题意得：a+b＝0，cd＝1，m＝±2， （1）原式＝6﹣2（a+b）+3cd＝9； （2）原式＝﹣2+m，当m＝2时，原式＝0；当m＝﹣2时，原式＝﹣4． 10．我们在学习绝对值时知道了． （1）若a＜1，则|a﹣1|＝　 ； （2）若a，b都不为0，求的值； （3）若abc＜0，a+b+c＝0，求的值． 【解答】解：（1）根据绝对值的性质化简可得：|a﹣1|＝1﹣a； 故答案为：1﹣a； （2）分三种情况：a，b都为正或a，b都为负或a，b一正一负如下： 当a，b都为正时，， 当a，b都为负时，， 当a，b一正一负时，， 综上，的值为0或±2； （3）因为a+b+c＝0，abc＜0． 所以b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，a，b，c两正一负， 不妨假设a＞0，b＞0，c＜0， 所以原式 ＝﹣1﹣1+1 ＝﹣1． 训练2 有理数的求值问题 1．已知a和﹣3互为相反数，b和c互为倒数，d是负数且d的绝对值为，求． 【解答】解：由题意得，a＝3，bc＝1，． 所以． 2．已知a、b互为倒数，c、d互为相反数，|m|＝3．求的值． 【解答】解：根据题意可知，ab＝1，c+d＝0； ∵|m|＝3， ∴m＝±3， ∴或， 综上所述，的值为0或﹣2． 3．已知|a+5|+|b﹣3|+|c+2|＝0，求ab﹣bc﹣ac的值． 【解答】解：∵|a+5|+|b﹣3|+|c+2|＝0， ∴a+5＝0，b﹣3＝0，c+2＝0， 解得b＝3 c＝﹣2 a＝﹣5； 原式＝（﹣5）×3﹣3×（﹣2）﹣（﹣5）×（﹣2） ＝﹣19． 4．若|a|＝3，|b|＝1，|c|＝5，且|a+b|＝a+b，|a+c|＝﹣（a+c），求a﹣b+c的值． 【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝1，|c|＝5，且|a+b|＝a+b，|a+c|＝﹣（a+c）， ∴a＝3，b＝±1，c＝﹣5， ∴a﹣b+c＝3﹣1+（﹣5）＝﹣3，或a﹣b+c＝3+1+（﹣5）＝﹣1． 5．已知|a|＝2，|b|＝5． （1）若ab＜0，求a+b的值； （2）若|a﹣b|＝b﹣a，求a﹣b的值． 【解答】解：（1）根据题意可知，a＝2，b＝﹣5或a＝﹣2，b＝5， ∴a+b＝2+（﹣5）＝﹣3或a+b＝﹣2+5＝3； （2）∵|a﹣b|＝b﹣a≥0， ∴a≤b， ∵|a|＝2，|b|＝5， ∴a＝﹣2，b＝5或a＝2，b＝5， ∴a+b＝﹣2+5＝3或a+b＝2+5＝7． 6．若a，b互为相反数，且a，b均不为0，c，d互为倒数，m到原点的距离为2个单位长度． （1）的值为　 　 ； （2）求的值． 【解答】解：（1）∵a，b互为相反数，且a，b均不为0， ∴b＝﹣a， ∴， 故答案为：﹣1； （2）∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m到原点的距离为2个单位长度， ∴a+b＝0，cd＝1，|m|＝2， ∴m2＝4， ∴原式＝02026+4﹣12025 ＝0+4﹣1 ＝3． 7．若|a|＝7，|b|＝3． （1）ab＜0求a+b的值； （2）若|a﹣b|＝﹣（a﹣b），求a+b的值． 【解答】解：（1）∵|a|＝7，|b|＝3，ab＜0， ∴a＝±7，b＝±3，a，b异号， ∴a＝7，b＝﹣3或a＝﹣7，b＝3， 当a＝7，b＝﹣3时，a+b＝7﹣3＝4； 当a＝﹣7，b＝3时，a+b＝﹣7+3＝﹣4， ∴a+b的值为4或﹣4； （2）∵|a﹣b|＝﹣（a﹣b）， ∴a﹣b≤0， ∴a≤b， ∴a＝﹣7，b＝±3， 当a＝﹣7，b＝3时，a+b＝﹣7+3＝﹣4； 当a＝﹣7，b＝﹣3时，a+b＝﹣7﹣3＝﹣10， ∴a+b的值为﹣4或﹣10． 8．在数﹣5，1，﹣3，5，﹣2中，最大的数是a，绝对值最小的数是b． （1）求a，b的值； （2）若|x﹣2a|+|y+b|＝0，求x和y的值． 【解答】解：（1）有理数在数轴上表示如下： ∴﹣5＜﹣3＜﹣2＜1＜5，|1|＜|﹣2|＜|﹣3|＜|﹣5|＝|5|， ∴最大的数是5，绝对值最小的数1， ∴a＝5，b＝1； （2）由条件可知x﹣2a＝0，y+b＝0， ∵a＝5，b＝1， ∴x﹣10＝0，y+1＝0， ∴x＝10，y＝﹣1． 9．已知a、b、c在数轴上对应的点如图所示， （1）化简：2|b﹣c|﹣|b+c|+|a﹣c|﹣|a﹣b|； （2）若（c+4）2与|a+c+10|互为相反数，且b＝|a﹣c|，求（1）中式子的值． 【解答】（1）解：观察数轴可知a＜c＜0＜b，且|a|＞|c|＞|b| ∴b﹣c＞0，b+c＜0，a﹣c＜0，a﹣b＜0 ∴原式＝2（b﹣c）+（b+c）+（c﹣a）+（a﹣b） ＝2b 故化简结果为2b． （2）解：∵（c+4）2与|a+c+10|互为相反数， ∴（c+4）2+|a+c+10|＝0 ∴c+4＝0，a+c+10＝0 ∴c＝﹣4，a＝﹣6 而b＝|a﹣c|，∴b＝2 ∴2b＝4 故（1）式的值为4． 10．已知a、b、c都是非零有理数， （1）若满足|abc|＝﹣abc，求的值． （2）若满足ab＞0，ac＞0，求的值． 【解答】解：（1）∵|abc|＝﹣abc， ∴abc＜0， ∴a，b，c中有1个或3个负数， ①当a，b，c中有1个负数时，1+1﹣1＝1， ②当a，b，c中有3个负数时，1﹣1﹣1＝﹣3， ∴原式的值为1或﹣3； （2）∵ab＞0，ac＞0， ∴a，b，c三个数同号， ①当a，b，c均为正数时，1+1+1﹣1＝2， ②当a，b，c均为负数时，1﹣1﹣1﹣（﹣1）＝﹣2， ∴原式的值为±2． 训练3 有理数的求值问题 1．若a和b互为相反数，c和d互为倒数，m的绝对值为2，n为最大的负整数，求代数式（a+m+b）2﹣n2025+（cd）2026的值． 【解答】解：由条件可得a+b＝0，cd＝1，|m|＝2，n＝﹣1， ∴m2＝4， 原式＝m2﹣（﹣1）2025+12026 ＝4﹣（﹣1）+1 ＝4+1+1 ＝6． 2．已知|a|＝4，|b|＝6． （1）当|a+b|＝﹣（a+b）时，求a+b的值； （2）当|a+（﹣b）|＝a﹣b时，求a﹣b的值． 【解答】解：∵|a|＝4，|b|＝6， ∴a＝±4，b±6， （1）∵|a+b|＝﹣（a+b）， ∴a+b≤0， ∴a＝4，b＝﹣6或a＝﹣4，b＝﹣6， ∴a+b＝﹣2或﹣10； （2）∵|a+（﹣b）|＝|a﹣b|＝a﹣b≥0， ∴a≥b， ∴a＝±4，b＝﹣6， ∴a﹣b＝10或﹣2． 3．已知|a|＝3，b的倒数是，2c+6＝0，且ab＜0，求ab﹣ac+bc的值． 【解答】解：由条件可得：a＝±3，b＝﹣2，c＝﹣3， ∵ab＜0， ∴a＝3， ∴ab﹣ac+bc＝3×（﹣2）﹣3×（﹣3）+（﹣2）×（﹣3）＝9． 4．已知a、b互为相反数且a≠0，c、d互为倒数，（m﹣1）2＝4，求的值． 【解答】解：由条件可知a+b＝0，cd＝1， ∵a≠0， ∴， ∵（m﹣1）2＝4， ∴m﹣1＝±2， ∴m＝3或m＝﹣1， 当m＝3时，， 当m＝﹣1时，． 综上分析可知代数式的值为1或﹣3． 5．已知|x+4|+|y﹣7|+|z﹣3|＝0． （1）求x，y，z的值； （2）求|x|+|y|+|z|的值． 【解答】解：（1）∵|x+4|+|y﹣7|+|z﹣3|＝0， 又∵|x+4|≥0，|y﹣7|≥0，|z﹣3|≥0， ∴x+4＝0，y﹣7＝0，z﹣3＝0， 解得x＝﹣4，y＝7，z＝3； （2）由（1）得x＝﹣4，y＝7，z＝3， ∴|x|+|y|+|z|＝|﹣4|+|7|+|3|＝4+7+3＝11+3＝14． 6．已知|x|＝3，|y|＝7． （1）若xy＜0，求x+y的值． （2）若|x+y|＝|x|+|y|，求x+y的值． 【解答】解：（1）∵|x|＝3， ∴x＝±3， ∵|y|＝7， ∴y＝±7， ∵xy＜0， ∴x与y异号， ∴当x＝3，y＝﹣7时，x+y＝3+（﹣7）＝﹣4， 当x＝﹣3，y＝7时，x+y＝﹣3+7＝4， 综上可得：x+y的值为﹣4或4； （2）∵|x|＝3，|y|＝7， ∴x＝±3，y＝±7， ∵|x+y|＝|x|+|y|， ∴若x＝3，y＝7，则x+y＝3+7＝10， 若x＝﹣3，y＝﹣7，则x+y＝﹣3+（﹣7）＝﹣10， ∴x+y的值为10或﹣10． 7．若有理数x、y满足|x|＝3，|y+1|＝4，且|x+y|＝﹣（x+y），求|x|+|y|的值． 【解答】解：∵|x|＝3，|y+1|＝4， ∴x＝3或﹣3，y＝3或﹣5， ①当x＝3，y＝3时，|x+y|＝6≠﹣（x+y）＝﹣6（舍去）， ②当x＝3，y＝﹣5时，|x+y|＝2＝﹣（x+y）， 则|x|+|y|＝8； ③当x＝﹣3，y＝3时，|x+y|＝0＝﹣（x+y）＝0， 则|x|+|y|＝6； ④当x＝﹣3，y＝﹣5时，|x+y|＝8＝﹣（x+y）＝8， 则|x|+|y|＝8； 综上所述，|x|+|y|＝6或8． 8．已知|x﹣2|+|y+3|＝0． （1）求x，y的值； （2）已知|x+y+z|＝5，求z的值． 【解答】解：（1）∵|x﹣2|+|y+3|＝0， 又∵|x﹣2|≥0，|y+3|≥0， ∴x﹣2＝0，y+3＝0， ∴x＝2，y＝﹣3； （2）∵|x+y+z|＝5， ∴x+y+z＝±5， 由（1）知x＝2，y＝﹣3， ∴z＝5﹣2﹣（﹣3）＝5﹣2+3＝6或z＝﹣5﹣2﹣（﹣3）＝﹣5﹣2+3＝﹣4， 即z的值为6或﹣4． 9．已知． （1）直接写出m所有可能取值； （2）若m＝1，a＞0，|a|＝|b|，求b+c的值． 【解答】（1）解：①a、b、c同正时，； ②a、b、c同负时，； ③a、b、c两正一负时，不妨设a、b为正，c为负，； ④a、b、c一正两负时，不妨设a、b为负，c为正，； 故答案为：m的值为3或1或﹣3或﹣1； （2）已知 m＝1，且a＞0， 则， 因此， 由于两个数的和为0， 故其中一个为1，另一个为﹣1． 若，则b＞0，此时，即c＜0． 由|b|＝|c|得b＝﹣c， 故b+c＝0； 若， 则b＜0，此时，即c＞0． 由|b|＝|c|得﹣b＝c，故b+c＝0． 综上，b+c＝0． 答：b+c的值为0． 10．在化简|a|时，可以这样分类：当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a．用这种方法解决下列问题： （1）已知a，b是有理数，当ab＞0时，试求的值； （2）已知a，b是有理数，当abc＜0时，试求的值． 【解答】解：（1）由题知， 因为ab＞0， 则当a＞0，b＞0时， 1+1＝2； 当a＜0，b＜0时， 1+（﹣1）＝﹣2， 综上所述，的值为±2； （2）由题知， 因为abc＜0， 当a，b，c中有两个正数，一个负数时（不妨令c为负数）， 1+1+（﹣1）+（﹣1）＝0； 当a，b，c都是负数时， （﹣1）+（﹣1）+（﹣1）+（﹣1）＝﹣4， 综上所述，的值为0或﹣4． 训练4 有理数的求值问题 1．已知a、b互为倒数，c、d互为相反数，n的绝对值是2，m是最大的负整数，求代数式的值． 【解答】解：∵a、b互为倒数， ∴ab＝1， ∵c、d互为相反数， ∴d+c＝0， ∵n的绝对值是2， ∴n＝±2， ∵m是最大的负整数， ∴m＝﹣1， ∴原式＝2×（﹣1）（﹣1）×4 ＝﹣2﹣3﹣4 ＝﹣9． 2．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2． （1）求出a+b，cd，m的值． （2）求的值． 【解答】解：（1）∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2， ∴a+b＝0，cd＝1，m＝±2； （2）由（1）知：a+b＝0，cd＝1，m＝±2， ∴|a+b|＝0， ∴当m＝2时，原式， 当m＝﹣2时，原式， ∴的值为5或﹣11． 3．已知|x|＝5，|y﹣4|＝1． （1）若|x﹣y|＝y﹣x，求x+y的值． （2）若|x+y|＝|x|+|y|，求x+y的值． 【解答】解：（1）根据题意可知，x＝±5，y﹣4＝±1，则y＝5或y＝3， 又∵|x﹣y|＝y﹣x， ∴x﹣y≤0， 即x≤y， ∴x＝5，y＝5或x＝﹣5，y＝5或x＝﹣5，y＝3， 当x＝5，y＝5时，x+y＝5+5＝10； 当x＝﹣5，y＝5时，x+y＝﹣5+5＝0； 当x＝﹣5，y＝3时，x+y＝﹣5+3＝﹣2． ∴x+y的值为10或0或﹣2； （2）由（1）可知：x＝5或x＝﹣5，y＝5或y＝3， ∵|x+y|＝|x|+|y|， ∴x与y同号， 当x＝5，y＝5时，x+y＝5+5＝10； 当x＝5，y＝3时，x+y＝5+3＝8； ∴x+y的值为10或8． 4．对于有理数x，y，若0，求的值． 【解答】解：根据题意可知，x，y异号， 则xy＜0， ∴， 当x＞0时，y＜0，则，， ∴ ＝﹣1+（﹣1）+1 ＝﹣1， 当x＜0时，y＞0，则，， ∴ ＝﹣1+1+（﹣1） ＝﹣1． 5．已知a2＝16，|b|＝9，|c|＝4，且ab＜0，bc＞0，求a﹣b﹣（﹣c）的值． 【解答】解：∵|c|＝4，a2＝16，|b|＝9， ∴a＝±4，c＝±4，b＝±9， ∵bc＞0，ab＜0， ∴a与b是异号，b与c是同号， ∴当a＝4时，则b＝﹣9，c＝﹣4， 故a﹣b﹣（﹣c）＝a﹣b+c＝4﹣（﹣9）+（﹣4）＝9； ∴当a＝﹣4时，则b＝9，c＝4， 故a﹣b﹣（﹣c）＝a﹣b+c＝﹣4﹣9+4＝﹣9； 综上：a﹣b﹣（﹣c）的值为9或﹣9． 6．已知|a|＝2，|b|＝4， ①若，求a﹣b的值； ②若|a﹣b|＝﹣（a﹣b），求ab的值． 【解答】解：①∵|a|＝2，|b|＝4， ∴a＝±2，b＝±4， ∵， ∴a、b异号， ∴a＝2，b＝﹣4或a＝﹣2，b＝4， 当a＝2，b＝﹣4时，a﹣b＝2﹣（﹣4）＝2+4＝6； 当a＝﹣2，b＝4时，a﹣b＝﹣2﹣4＝﹣2+（﹣4）＝﹣6； 综上，a﹣b的值是6或﹣6； ②∵|a|＝2，|b|＝4， ∴a＝±2，b＝±4， ∵|a﹣b|＝﹣（a﹣b）， ∴a﹣b≤0， ∴a≤b， ∴a＝2，b＝4或a＝﹣2，b＝4， 当a＝2，b＝4时，ab＝2×4＝8； 当a＝﹣2，b＝4时，ab＝﹣2×4＝﹣8； 综上，ab的值是8或﹣8． 7．已知a与﹣3互为相反数，b与2互为倒数． （1）a＝　 　 ；b＝　　 ． （2）当|m﹣a|+（b+n）2＝0时，求nm的值． 【解答】解：（1）∵a与﹣3互为相反数，b与2互为倒数． ∴； 故答案为：3；． （2）由题（1）可知， 由绝对值的非负性、平方数的非负性得： 解得：， 将m和n的值代入得：． 8．有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，解答下列问题： （1）化简：|a﹣b|﹣|b+c|+|﹣a+c|； （2）求的值． 【解答】解：（1）因为a＞0＞c＞b， 所以b+c＜0，a﹣b＞0，a﹣c＞0， 所以|a﹣b|﹣|b+c|+|a﹣c| ＝a﹣b﹣[﹣（b+c）]+a﹣c ＝a﹣b+b+c+a﹣c ＝2a． （2）因为a＞0＞c＞b， 所以|c|＝﹣c，|a|＝a，|b|＝﹣b， 所以原式＝1﹣1﹣1+1＝0， 9．已知|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离请试着探索： （1）找出所有符合条件的整数x，使|x+4|+|x﹣2|＝6，这样的整数是　 　 ； （2）利用数轴找出，当|x+3|+|x﹣2|＝9时，x的值是　 　 ； （3）利用数轴找出，当|x+7|+|x﹣4|取最小值时，x的范围是　 　 ． 【解答】解：（1）|x+4|表示x与﹣4两点间距离，|x﹣2|表示x与2两点间的距离， 根据数轴可得到：当x位于﹣4到2之间，则与﹣4和2的距离之和为6， ∴﹣4≤x≤2， ∴整数有﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2， 故答案为：﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2； （2）|x+3|表示x与﹣3两点间的距离，|x﹣2|表示x与2两点间的距离， 根据数轴可得到，当x为﹣5或4时，则与﹣3和2两点间的距离之和为9， ∴当|x+3|+|x﹣2|＝9时，x的值为﹣5或4， 故答案为：﹣5或4； （3）|x+7|表示x与﹣7两点间距离，|x﹣4|表示x与4两点间的距离， 根据数轴可得到：当x位于﹣7到4之间，则与﹣7和4的距离之和为11，此时距离最短， ∴﹣7≤x≤4， 故答案为：﹣7≤x≤4． 10．如图，数轴上相邻两点之间的距离为1个单位长度，现有四个点A，B，C，D所表示的数分别为a，b，c，d． （1）若点C为原点，则b＝　 　 ，a﹣d＝　 　 ； （2）若点B为原点，P为数轴上一点，其所表示的数为p，且|p﹣a|+|p﹣c|＝8，求p的值； （3）E为线段AD上一点，其所表示的数为e，则|e﹣a|+|e﹣b|+|e﹣c|+|e﹣d|的最大值为　 　 ，最小值为　 　 ． 【解答】解：（1）若点C为原点，则b＝﹣2，a＝﹣5，d＝1， ∴a﹣d＝﹣6， 故答案为：﹣2；﹣6． （2）∵点B为原点，在a＝﹣3，c＝2， |p﹣a|+|p﹣c|＝|p+3|+|p﹣2|＝8， 当﹣3≤p≤2时，|p+3|+|p﹣2|＝（p+3）﹣（p﹣2）＝5≠8； 当p＜﹣3时，|p+3|+|p﹣2|＝﹣（p+3）﹣（p﹣2）＝﹣2p﹣1＝8，解得p＝﹣4.5； 当p＞2时，|p+3|+|p﹣2|＝（p+3）+（p﹣2）＝2p+1＝8，p＝3.5， 综上，若点B为原点，P为数轴上一点，其所表示的数为p，且|p﹣a|+|p﹣c|＝8，则p的值为﹣4.5或3.5； （3）E为线段AD上一点，其所表示的数为e， 由（2）知|e﹣a|+|e﹣d|＝AE+DE＝AE＝6， 当E在点A处时|e﹣b|+|e﹣c|＝AB+AC＝3+5＝8， 此时|e﹣b|+|e﹣c|取得最大值8， 所以|e﹣a|+|e﹣b|+|e﹣c|+|e﹣d|得最大值为14； 当E在BC之间时，|e﹣b|+|e﹣c|＝BE+EC＝BC＝2， 此时|e﹣b|+|e﹣c|取得最小值2， 所以|e﹣a|+|e﹣b|+|e﹣c|+|e﹣d|得最小值为8； 故答案为：14；8． 训练5 有理数的求值问题 1．已知（m﹣2）2与|n﹣4|互为相反数． （1）求m，n的值； （2）若p是最小正整数，求（﹣m﹣n﹣p）n﹣mp的值． 【解答】解：（1）∵（m﹣2）2与|n﹣4|互为相反数， ∴（m﹣2）2+|n﹣4|＝0， ∵（m﹣2）2≥0，|n﹣4|≥0， ∴（m﹣2）2＝0，|n﹣4|＝0， ∴m﹣2＝0，n﹣4＝0， ∴m＝2，n＝4； （2）∵p是最小正整数， ∴p＝1， 由（1）知m＝2，n＝4， ∴﹣m﹣n﹣p＝﹣2﹣4﹣1＝﹣2+（﹣4）+（﹣1）＝﹣7，n﹣mp＝4﹣2×1＝4﹣2＝2， ∴（﹣m﹣n﹣p）n﹣mp＝（﹣7）2＝49． 2．若a，b互为相反数，且a≠0，c，d互为倒数，|m|＝3，求的值． 【解答】解：∵a，b互为相反数，且a≠0，c，d互为倒数，|m|＝3， ∴a+b＝0，1，cd＝1，m＝±3， 当m＝3时， ＝2025（a+b）+（﹣1）2025+3﹣（﹣1） ＝2025×0+（﹣1）+3+1 ＝0+（﹣1）+3+1 ＝3； 当m＝﹣3时， ＝2025（a+b）+（﹣1）2025+（﹣3）﹣（﹣1）＝2025×0+（﹣1）+（﹣3）+1 ＝0+（﹣1）+（﹣3）+1 ＝﹣3； 由上可得，的值为3或﹣3． 3．已知a，b，c为有理数，a2＝25，|b+2|＝4，c3＝﹣27，且a+b＞0，bc＜0，求（b+c）a的值． 【解答】解：由条件可知：a＝±5，b+2＝4或﹣4，c＝﹣3， ∴b＝2或﹣6， ∵a+b＞0，bc＜0， ∴b＝2，a＝5， ∴（b+c）a＝（2﹣3）5＝（﹣1）5＝﹣1． 4．若|a|＝2，|b|＝3，|c|＝8，|a+b|＝﹣（a+b），|b+c|＝b+c，计算a+b﹣c的值． 【解答】解：由题意可得：a＝±2，b＝±3，c＝±8，a+b≤0，b+c≥0， ∴a＝±2，b＝﹣3，c＝8， ∴①当a＝2，b＝﹣3，c＝8时， ∴a+b﹣c＝2+（﹣3）﹣8＝﹣9； ②当a＝﹣2，b＝﹣3，c＝8时， ∴a+b﹣c＝﹣2+（﹣3）﹣8＝﹣13； 综上可得：a+b﹣c的值为﹣9或﹣13． 5．已知|x+1|＝4，（y﹣1）3＝﹣8，且|y﹣x|＝x﹣y，求|x+y|的值． 【解答】解：由条件可知x+1＝±4，y﹣1＝﹣2． ∴x＝3或﹣5，y＝﹣1． ∵|y﹣x|＝x﹣y， ∴y≤x． ∴x＝3，y＝﹣1． ∴|x+y|＝|3﹣1|＝2． 6．已知|x|＝3，|y|＝2，|z|＝5，且|x+y|＝x+y，|y﹣z|＝z﹣y，求x﹣y+z的值． 【解答】解：∵|x|＝3，|y|＝2，|z|＝5， ∴x＝±3，y＝±2，z＝±5， 又∵|x+y|＝x+y，|y﹣z|＝z﹣y， ∴x+y≥0，y﹣z≤0， ∴x＝3，y＝±2，z＝5， ∴原式＝3﹣2+5＝6；或原式＝3+2+5＝10． 综上，x﹣y+z的值为6或10． 7．|a+b+2|与（2ab﹣1）4互为相反数，求代数式1的值． 【解答】解：∵|a+b+2|与（2ab﹣1）4互为相反数， ∴， 解得，a+b＝﹣2，ab＝0.5， ∴1 ． 8．已知|a|＝4，|b|＝3． （1）若a＜0，b＜0，求a+b的值； （2）若|a+b|＝a+b，求ab的值； （3）若|a﹣b|＝|a|+|b|，求（a+b）3的值． 【解答】解：（1）由条件可知a＝±4，b＝±3， ∵a＜0，b＜0， ∴a＝﹣4，b＝﹣3， ∴a+b＝﹣4+（﹣3）＝﹣7； （2）由条件可知a＝±4，b＝±3， ∵|a+b|＝a+b， ∴a+b≥0， ∴当a＝4，b＝﹣3时，ab＝4×（﹣3）＝﹣12， 当a＝4，b＝3时，ab＝4×3＝12， 综上所述，ab＝±12； （3）由条件可知a＝±4，b＝±3， ∵|a﹣b|＝|a|+|b|， ∴a，b异号， ∴当a＝4，b＝﹣3时，（a+b）3＝（4﹣3）3＝1， 当a＝﹣4，b＝3时，（a+b）3＝（﹣4+3）3＝﹣1， 综上所述，（a+b）3＝±1． 9．数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|，数轴上表示数a的点与表示数b的点距离记作|a﹣b|． （1）数轴上表示x和3的两点A和B之间的距离是　 　 ；如果|AB|＝2，那么x为　 　 ； （2）当x满足条件　 　 时，|x+1|+|x﹣3|取最小值，最小值是　 　 ； （3）当x满足条件 　 时，|x+1|+|x﹣3|+|x+7|取最小值，最小值是　 　 ； （4）|x+1|+2|x﹣3|的最小值是　 　 ； （5）的最小值是　 　 ． 【解答】解：（1）∵AB＝2， ∴|x﹣3|＝2， ∴x＝5或x＝1； 故答案为：|x﹣3|；5或1； （2）|x+1|+|x﹣3|＝|x﹣（﹣1）|+|x﹣3|表示x到﹣1，3这两个数的距离的和， 当﹣1≤x≤3时，到这两个数的距离的和最小， 最小值为|x+1|+|x﹣3|＝x+1+3﹣x＝4； 故答案为：﹣1≤x≤3；4； （3）|x+1|+|x﹣3|+|x+7|＝|x+7|+|x+1|+|x﹣3|表示到﹣7，﹣1，3这三个数的距离的和， 当x取中间数﹣1时，到三个数的距离的和最小， 最小值为|﹣1﹣（﹣7）|+|3﹣（﹣1）|＝6+4＝10； 故答案为：x＝﹣1；10； （4）|x+1|+2|x﹣3| ＝|x+1|+|x﹣3|+|x﹣3| 同理（3）得：当x＝3时，|x+1|+|x﹣3|+|x﹣3|取最小值4， （5）原式 ， 同理（3）得：当x＝2时，， 即的最小值是． 10．已知a、b、c、d是有理数，且a+b+c+d＝0，abcd＜0，求的值． 【解答】解：∵a+b+c+d＝0， ∴a+b+c＝﹣d，a+b+d＝﹣c，a+c+d＝﹣b，b+c+d＝﹣a， ∵abcd＜0， ∴a、b、c、d四数中有1个负数或3个负数， ∴原式＝﹣1+1+1+1＝2， 或原式＝﹣1﹣1﹣1+1＝﹣2． 综上所述，原式＝2或﹣2． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 有理数的求值问题五类训练（计算题专项训练） 【沪教版五四制新教材】 训练1 有理数的求值问题 1．已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，x的绝对值等于5，y是最大的负整数，求4x2﹣cd+6（a+b）﹣y2026的值． 2．若|a|＝5，|b|＝3，若|a+b|＝a+b，求的值． 3．已知|a|＝5，|b|＝3，且ab＞0，a+b＜0，求a+b的值． 4．若|a|＝5，|b|＝3． （1）若a＞0，b＜0，求a+b的值； （2）若|a+b|＝a+b，求a﹣b的值． 5．若|x|＝3，|y|＝1，且|x+y|＝x+y，求2x﹣y的值． 6．已知|2a﹣6|与（b+2）2互为相反数． （1）求a、b的值； （2）求﹣b+a的倒数． 7．已知：a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2． （1）填空：a+b＝　 　 ，cd＝　 　 ，x＝　 　 ； （2）求（a+b）x2+（﹣cd）200的值． 8．已知：|a|＝3，|b|＝5． （1）求a﹣b的最小值； （2）当a﹣b取得最小值时，若c，d互为相反数，m，n互为倒数，求的值． 9．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值等于2．求： （1）6﹣2a﹣2b+3cd的值． （2）的值． 10．我们在学习绝对值时知道了． （1）若a＜1，则|a﹣1|＝　 ； （2）若a，b都不为0，求的值； （3）若abc＜0，a+b+c＝0，求的值． 训练2 有理数的求值问题 1．已知a和﹣3互为相反数，b和c互为倒数，d是负数且d的绝对值为，求． 2．已知a、b互为倒数，c、d互为相反数，|m|＝3．求的值． 3．已知|a+5|+|b﹣3|+|c+2|＝0，求ab﹣bc﹣ac的值． 4．若|a|＝3，|b|＝1，|c|＝5，且|a+b|＝a+b，|a+c|＝﹣（a+c），求a﹣b+c的值． 5．已知|a|＝2，|b|＝5． （1）若ab＜0，求a+b的值； （2）若|a﹣b|＝b﹣a，求a﹣b的值． 6．若a，b互为相反数，且a，b均不为0，c，d互为倒数，m到原点的距离为2个单位长度． （1）的值为　 　 ； （2）求的值． 7．若|a|＝7，|b|＝3． （1）ab＜0求a+b的值； （2）若|a﹣b|＝﹣（a﹣b），求a+b的值． 8．在数﹣5，1，﹣3，5，﹣2中，最大的数是a，绝对值最小的数是b． （1）求a，b的值； （2）若|x﹣2a|+|y+b|＝0，求x和y的值． 9．已知a、b、c在数轴上对应的点如图所示， （1）化简：2|b﹣c|﹣|b+c|+|a﹣c|﹣|a﹣b|； （2）若（c+4）2与|a+c+10|互为相反数，且b＝|a﹣c|，求（1）中式子的值． 10．已知a、b、c都是非零有理数， （1）若满足|abc|＝﹣abc，求的值． （2）若满足ab＞0，ac＞0，求的值． 训练3 有理数的求值问题 1．若a和b互为相反数，c和d互为倒数，m的绝对值为2，n为最大的负整数，求代数式（a+m+b）2﹣n2025+（cd）2026的值． 2．已知|a|＝4，|b|＝6． （1）当|a+b|＝﹣（a+b）时，求a+b的值； （2）当|a+（﹣b）|＝a﹣b时，求a﹣b的值． 3．已知|a|＝3，b的倒数是，2c+6＝0，且ab＜0，求ab﹣ac+bc的值． 4．已知a、b互为相反数且a≠0，c、d互为倒数，（m﹣1）2＝4，求的值． 5．已知|x+4|+|y﹣7|+|z﹣3|＝0． （1）求x，y，z的值； （2）求|x|+|y|+|z|的值． 6．已知|x|＝3，|y|＝7． （1）若xy＜0，求x+y的值． （2）若|x+y|＝|x|+|y|，求x+y的值． 7．若有理数x、y满足|x|＝3，|y+1|＝4，且|x+y|＝﹣（x+y），求|x|+|y|的值． 8．已知|x﹣2|+|y+3|＝0． （1）求x，y的值； （2）已知|x+y+z|＝5，求z的值． 9．已知． （1）直接写出m所有可能取值； （2）若m＝1，a＞0，|a|＝|b|，求b+c的值． 10．在化简|a|时，可以这样分类：当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a．用这种方法解决下列问题： （1）已知a，b是有理数，当ab＞0时，试求的值； （2）已知a，b是有理数，当abc＜0时，试求的值． 训练4 有理数的求值问题 1．已知a、b互为倒数，c、d互为相反数，n的绝对值是2，m是最大的负整数，求代数式的值． 2．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2． （1）求出a+b，cd，m的值． （2）求的值． 3．已知|x|＝5，|y﹣4|＝1． （1）若|x﹣y|＝y﹣x，求x+y的值． （2）若|x+y|＝|x|+|y|，求x+y的值． 4．对于有理数x，y，若0，求的值． 5．已知a2＝16，|b|＝9，|c|＝4，且ab＜0，bc＞0，求a﹣b﹣（﹣c）的值． 6．已知|a|＝2，|b|＝4， ①若，求a﹣b的值； ②若|a﹣b|＝﹣（a﹣b），求ab的值． 7．已知a与﹣3互为相反数，b与2互为倒数． （1）a＝　 　 ；b＝　　 ． （2）当|m﹣a|+（b+n）2＝0时，求nm的值． 8．有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，解答下列问题： （1）化简：|a﹣b|﹣|b+c|+|﹣a+c|； （2）求的值． 9．已知|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离请试着探索： （1）找出所有符合条件的整数x，使|x+4|+|x﹣2|＝6，这样的整数是　 　 ； （2）利用数轴找出，当|x+3|+|x﹣2|＝9时，x的值是　 　 ； （3）利用数轴找出，当|x+7|+|x﹣4|取最小值时，x的范围是　 　 ． 10．如图，数轴上相邻两点之间的距离为1个单位长度，现有四个点A，B，C，D所表示的数分别为a，b，c，d． （1）若点C为原点，则b＝　 　 ，a﹣d＝　 　 ； （2）若点B为原点，P为数轴上一点，其所表示的数为p，且|p﹣a|+|p﹣c|＝8，求p的值； （3）E为线段AD上一点，其所表示的数为e，则|e﹣a|+|e﹣b|+|e﹣c|+|e﹣d|的最大值为　 　 ，最小值为　 　 ． 训练5 有理数的求值问题 1．已知（m﹣2）2与|n﹣4|互为相反数． （1）求m，n的值； （2）若p是最小正整数，求（﹣m﹣n﹣p）n﹣mp的值． 2．若a，b互为相反数，且a≠0，c，d互为倒数，|m|＝3，求的值． 3．已知a，b，c为有理数，a2＝25，|b+2|＝4，c3＝﹣27，且a+b＞0，bc＜0，求（b+c）a的值． 4．若|a|＝2，|b|＝3，|c|＝8，|a+b|＝﹣（a+b），|b+c|＝b+c，计算a+b﹣c的值． 5．已知|x+1|＝4，（y﹣1）3＝﹣8，且|y﹣x|＝x﹣y，求|x+y|的值． 6．已知|x|＝3，|y|＝2，|z|＝5，且|x+y|＝x+y，|y﹣z|＝z﹣y，求x﹣y+z的值． 7．|a+b+2|与（2ab﹣1）4互为相反数，求代数式1的值． 8．已知|a|＝4，|b|＝3． （1）若a＜0，b＜0，求a+b的值； （2）若|a+b|＝a+b，求ab的值； （3）若|a﹣b|＝|a|+|b|，求（a+b）3的值． 9．数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|，数轴上表示数a的点与表示数b的点距离记作|a﹣b|． （1）数轴上表示x和3的两点A和B之间的距离是　 　 ；如果|AB|＝2，那么x为　 　 ； （2）当x满足条件　 　 时，|x+1|+|x﹣3|取最小值，最小值是　 　 ； （3）当x满足条件 　 时，|x+1|+|x﹣3|+|x+7|取最小值，最小值是　 　 ； （4）|x+1|+2|x﹣3|的最小值是　 　 ； （5）的最小值是　 　 ． 10．已知a、b、c、d是有理数，且a+b+c+d＝0，abcd＜0，求的值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $