浙江省名校协作体2027届高三9月开学考数学试卷

高三年级数学学科 练习 考生须知： 1．本练习满分150分，练习时长120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在练习纸上的无效； 4．练习结束后，只需上交答题卷． 选择题部分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知为虚数单位，若复数满足，则（ ） A． B．2 C． D． 3．已知同向向量，，则（ ） A．10 B．-10 C．2 D．-2 4．已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则该四棱台的体积为（ ） A． B． C． D． 5．若的展开式中的系数为，则（ ） A．10 B．15 C．-6 D．-12 6．已知函数，关于的不等式有且只有两个正整数解，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，点为第一象限内一点，且，，线段交双曲线于点，设，则（ ） A． B． C． D． 8．定义阶矩阵．设为个矩阵构成的集合．从中随机取一个矩阵，定义随机变量如下：对于中的每个矩阵，令，则的数学期望为（ ） A． B． C．1 D．3 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，是一次随机试验中的两个事件，，，，则下列结论正确的有（ ） A．与相互独立 B． C． D． 10．已知函数，其中，，，为图象上的两点，且的最小值为．是的对称中心，则下列选项正确的是（ ） A． B．在区间上单调递增 C．是奇函数 D．方程在区间上存在3个不同的解 11．如图，点，，，在水平放置的以为球心的半球面上，半球的半径为3，，，两两垂直，则（ ） A．直线平面 B．平面平面 C．六面体体积的最大值为 D．当平面与水平面不平行时，平面与水平面所成的锐二面角的大小可取遍区间 非选择题部分 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12．已知点在圆：上，则圆的半径为 ▲ ． 13．已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于、两点，则的最小值为 ▲ ． 14．在1，2，…，2026中随机选取三个不同的数，则这三个数构成等差数列的概率为 ▲ ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在中，，，分别是角，，所对的边，且满足． （1）求角的大小； （2）若为边上的一点，平分且，求面积的最小值． 16．（15分）某商店在2026年上半年前5个月的销售额如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 销售额（万元） 8.2 12.9 17 21.5 25.4 （1）求销售额（万元）关于月份的一元线性回归方程； （2）若用非线性回归模型拟合上表中的成对数据，得到的经验回归方程的残差平方和为0.56，根据残差平方和的大小，判断该非线性回归模型与（1）中的线性回归模型哪一个拟合效果更好，请说明理由． 参考公式和数据：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别 ，，，． 17．（15分）在三棱锥中，已知是等边三角形，平面平面，． （1）求证：； （2）若，，，且直线与平面所成角的正弦值为，试求实数的值． 18．（17分）已知函数． （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）若函数有两个不同的零点，，且，求的取值范围． 19．（17分）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，正方形的面积为6，．对椭圆上不与，重合的任意点，定义其对应的“对偶直线”如下：设直线交直线于点，直线交直线于点，直线定义为． （1）求椭圆的方程； （2）记点，，到直线的距离分别为，，，求的最大值； （3）平面上是否存在一个定点，满足：对正方形边界上的任一点，总存在椭圆上的两个不同的点，使得直线经过点，且对偶直线与相交于定点．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $高三年级数学学科练习参考答案 命题学校：温州中学衢州二中 审核学校：嘉兴一中 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 C B A B A C C D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 ABD AD ACD 11.【解析】对于A,取AC中点M,由球体的垂径定理有OM垂直平面PAC,而PB也垂直 平面PAC,因此PB∥OM,故PB∥平面OAC; 对于B,把四面体PABC补成长方体，则平面OAB对应平面OAC长方体的两个对角面，不一定 垂直； 对于C,把四面体PABC补成长方体，则OP和平面ABC的交点G满足OG=二OP,故 Vp-PA.PB.PC 3 4 pA+PB+PC_4R=6N5, 1 4 3 43 对于D,由角度变化的连续性，只需证明该二面角可趋近于直角： 如上图，先取PBC是等腰直角三角形，点B,C位于水平面所在的大 圆圆周上，面PBC垂直水平面，此时点A在PBC所在小圆关于球心 O对称的小圆上，然后让P和A互相靠近（极限位置重合在同一个 点A,),最终平面ABC会趋近于一个垂直水平面的大圆，二面角 Ao(Po) 趋于90° 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.2W2: 1 13.9: 14.1350 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15【解析1(1)由正弦定理，有5nC=s血C,于是5cosA=如4， sinA cosA 24+爱-0，于是4+后行所以A= 31 …6分 2）8sc=8w+8ca4D-∠CMD=石8分 .V3bc=2(b+c）…10分 c=26+e小24c:c5当且仅当6-c有时取等号…2分 心-加血受故0C面积的最小值为45…3分 2 33 3 16.【解析】 )元=x0+2+3+4+列=3，…2分 5 =1P+2+3+4华+9=5，…4分 6=298-5x3x17 4.3,…6分 55-5×32 à=-br=17-4.3×3=4.1 故销售额y(万元)关于月份x的回归直线方程为)=4.3x+4.1;…8分 (2)记(1)中线性回归方程的残差平方和为Q, 则0=(y-4.3-41)，…11分 =(-0.2)2+0.22+0+0.22+（0.2=0.16…13分 因为0.16<0.56，所以(1)中所求的线性经验回归方程拟合效果更好.…15分 17.【解析】 (1)取AB中点E,连接DE, D △ABD是等边三角形，∴.DE⊥AB, 又，平面ABD⊥平面ABC,∴.DE⊥平面ABC,∴.DB⊥BC, 又，BC⊥AD,.BC⊥平面ABD, .CB⊥AB.…5分 (2)如图，以B为坐标原点，BC,BA为x轴，y轴，z轴， 建立空间直角坐标系B-z, 因为CB⊥AB,AB=2,CD=3,所以BC=5.得A(0,2,0), C(W5,0,0）,D(0,1,3,…7分 设P(x,少，z),则 cD=（V5,1,5),Cp=(x-5,y,z)=(5,15) 所以p(5-5元元5)，即Bp=(W5-5元，，3) 设n=(x,y,z)为平面ACD的一个法向量， 因为AD=(0,-1,3),Ac=(5,-2,0) 由 2亚-0.得{：=0，取=店，得元-(25⑤9分 n.4c=0 V5x-2y=0 记直线BP与平面ACD所成角为B,则sin8= 71.BP 35 2w5(5-5列+i5+5A3W5 所以 425-5++32 2722-301+7=0…13分 解得2=或 .…15分 39 18.【解析】(1)当a=0时，f(x)=2e-x+2x2nx,于是f(1)=2e-1. f'(d)=2e-3x2+2x(2lnx+1),于是f'I)=2e-1, 于是函数y=f(x)在(1，f(1)处的切线方程为y-(2e-1)=(2e-1(x-1), 即y=(2e-1)x;3分 、2e' （2)由r(≤0，有存在x∈0，+切)使得a≥是-x+2血x成立 令g的12，则g213X…5分 令空1.则阅23花a3: 当x∈(0,2)时，h'(x)<0,h(x)单调递减；当x∈(2，+o)时，h'(x)>0,h()单调递增， 散22②号1>0，…7分 心 于是当x∈(0,2)时，g'(x)<0,g(x)单调递减：当x∈(2，+o)时，g'()>0,g()单调递增， 于是a≥gt的n=g2=号-2-2h2.9分 (3)由f(x)=f(x2),得a=g()=g(x), 而8()=2e -x+2Ihx=2e-r-(-2n0. 令)=x=2nx,则h'(y)=1子 当x∈(0,2)时，h'(x)<0,h(x)单调递减；当x∈(2，+o)时，h(x)>0,h(x)单调递增， 于是h(x)≥h(2)=2-2ln2>0.…11分 令G(t)=2e-t,则G'(t)=2e-1. 当t∈n片，+o)时，G(>0,G单调递增，而2-2血2>0>n 1 故G(1-2lnx)=G(x2-2lnx3)台x1-2nx=x3-2nx3.…13分 令点s2则，=，于是三元-1，名=，且[e,+切 元-1 龄5号：22令团=22.则因=a-2加-克 1 2 2-2n2,则H)=1-元=-1旷≥0，故H(闭单 …15分 于是H()>H)=0,故F'()>0,F()在(0，+∞)单调递增. 又c[e,+o),于是F(a)≥Fe)=e+l e-1 综上，+≥e+11+ 2 .…17分 2 e-1e-1 19.【解析】 )由条件得a5,c=5,放机圆r的方程为兮号-1：…3分 (2)设点P,),则号+号=1，得Q5,253》,RN525, 52 -√5 +v5 2W5y,-2V5y 故直线OR的斜率k=+V5名-5_2h 2W5 x2-5’ 代入性圆方程得-5=昌，故知 21=-4,故直线QR的方程为 5 26 5 x+5)- 25% 化简得Z(P:。+=1,5分 5y% -V5 54 +6 +-1 62 54 24 故d= 4 1_3%2 1 3 V2516 80 V5 80 N3-1 √3y 4 4 d, d3= …7分 V25 16 V2516 1- 3%2 13%2 132 注意d·d2= 16 16 为+ 51、%2 5, 16 1 2516 262 580 25 16 d +d=2do-gR 2 (也可直接去绝对值得到)，…9分 国+ 13g1 V25+16V5-80 因此td=d.+4= 8% 8 dd dd216-3% =16-3 8，当%2=2时取到最大值.…1分 ≤ 【附)直线L(P):o+Y-1的几何背景：过点P作x轴的垂线交直线QR于点P',交x轴于点H, 54 则由O4PH∥R4,得PP=R”-A4H=PE,故Pp=PH OA RA AA OA R （另证：由S△R24=S24得S△R2P=S△A4P,故 P E2 PP.(R-xg)=PH·AA,故Pp'=PH),因此P'(,2y), :等号'￥-1可有作g》-1,放（到）实际上是 58 HO F2/A2 x 将原程圆Γ的级坐标神长2倍后的圆r兮发1在点产 处的切线，且点耳，E2为椭圆T'的焦点.因此有dd,=b2=5. E (3)不存在，…12分 下用反证法证之：设P'',),则(P):+=1,记直线(P与(P)的交点坐标为a,), 54 则匹+=1，+%=1，因此直线g+y=1同时经过点P,P,此即为直线PP方 54 54 54 程.…14分 假设存在定点，先取线段耳R上的任一点SU1-V,则"+0，-1，故对给定的点S, 4 直线LP門与1（円的交点一定落在直线红+《-VBy-1上，注意该直线等价于 4 传)9-10，令片0,9-1=0，得该直线-定经过点 5,45,因此 3,3V3 若存在定点T,则点T坐标只可能为 …16分 现若取线段E,F上的任一点S(t,t+√3)，则同理可得直线L(P)与L(P)的交点一定落在直线 +士加，但电5不定落在该面线上，矛后分 4。 6