江苏南京航空航天大学附属高级中学2025-2026学年第二学期期末考试高二数学

**基本信息** 以数学建模竞赛调查、立体几何证明、概率比赛模型等真实情境为载体，融合数学思维与应用能力考查，体现数学眼光、思维与语言的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、空间向量、概率、函数性质|基础概念辨析，如空间法向量条件判断| |多选题|3/18|函数图像、面面平行、立体几何动点|选项分层，如正方体中动点轨迹与体积| |填空题|3/15|命题否定、二项分布、数学期望|情境创新，如64点集的随机变量期望| |解答题|5/77|统计案例、函数单调性、立体几何、导数应用、概率分布|综合应用，如数学建模竞赛独立性检验与分布列（15题）、四棱锥二面角求解（17题）、比赛积分概率模型（19题）|

南航附中2025—2026学年度第二学期期末考试 高 二 数 学 2026.6 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2.空间直角坐标系中，已知，，，则“”是“为平面的法向量”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知随机变量，且，则的值为（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.7 D．0.35 4.若，，，则（    ） A． B． C． D． 5.已知定义在上的函数满足：为奇函数，且，则（     ） A．-2 B．0 C．1 D．2 6.若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中第6项系数为（   ） A．1120 B． C． D．448 7.甲、乙两人进行3局2胜制的围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记“甲以获胜”为事件A，“乙获胜”为事件B，则（    ） A． B． C． D． 8．已知不等式恒成立，则的最大值为 （ ） A． B． C． D． 二．多选题（每小题6分，共18分） 9.已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数可能是（   ） A． B． C． D． 10.以下条件能够判断平面与平面平行的是（    ） A．平面内有两条直线与平面平行 B．两不同平面，平行于同一个平面 C．平面内的任意一条直线与平面无公共点 D．夹在平面与平面间的两条平行线段相等 11.棱长为2的正方体中，点为的中点，为侧面内一动点（含边界），且满足面，则下面正确的是（） A．点的轨迹长度为 B．三棱锥的体积为 C．直线与平面所成角的正切值最大是2 D．存在点使平面平面 三．填空题（每小题5分，共15分） 12.命题的否定是________. 13.已知离散型随机变量X服从二项分布，且，，则的最小值为______. 14.设为空间中64个点构成的集合，点，记样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望值___________ . 四．解答题（共77分） 15.（13分）某中学为了解高二年级学生对“数学建模竞赛”的参与意愿与性别是否有关，现从学校中随机抽取了100名学生进行调查，得到如下列联表： 性别 愿意参与 不愿意参与 合计 男生 女生 合计 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为“愿意参与数学建模竞赛与性别有关联”？ (2)从样本中“愿意参与”的学生中按性别采用分层抽样的方法抽取11人，再从这11人中随机抽取3人作为竞赛种子选手，记3人中女生的人数为，求的分布列和数学期望． 附：， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 16.（15分）已知函数为奇函数． (1)求的值并证明的单调性； (2)若在区间上有解，求实数的取值范围． 17.（15分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，O为的中点． (1)求证：； (2)求二面角的正弦值； (3)若平面，求出的值． 18.（17分）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)讨论函数的零点的个数； (3)对于任意的恒成立，求的取值范围. 19.（17分）某次比赛中，甲乙二人进入决赛并争夺冠军，比赛没有平局，每局比赛结果相互独立． (1)若比赛规则为：①每局比赛后，胜者获得3分，负者获得1分；②连续2局获胜或积分率先达到11分者可获得冠军，比赛结束．已知在单局比赛中，甲乙获胜的概率均为．求甲乙决出冠军时比赛局数的分布列与数学期望； (2)若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．已知甲乙进行了局比赛且甲胜了11局，试给出的估计值表示局比赛中甲胜的局数，以使得最大的的值作为的估计值）． (3)随着比赛的进行，对于高手而言，越到后面，在单局比赛中获胜的概率越大．设比赛共进行局，若甲在第局比赛中获胜的概率为，同时主办方决定最终奖金的计算根据每一局的胜负情况，第局的胜者得奖金元，负者0元．记随机变量为比赛结束时甲获得的总奖金数，求（用表示） 参考公式：对任意随机变量，有． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 南航附中2025—2026学年度第二学期期末考试 高 二 数 学 一、单选题 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 2.空间直角坐标系中，已知，，，则“”是“为平面的法向量”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 3．已知随机变量，且，则的值为（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.7 D．0.35 【答案】B 4.若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 5.已知定义在上的函数满足：为奇函数，且，则（     ） A．-2 B．0 C．1 D．2 【答案】A 6.若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中第6项系数为（   ） A．1120 B． C． D．448 【答案】C 7.甲、乙两人进行3局2胜制的围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记“甲以获胜”为事件A，“乙获胜”为事件B，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先分别求出事件和事件的概率，再根据条件概率公式计算即可. 【详解】甲以获胜意味着前两局比赛甲胜一局，第三局甲胜，前两局甲胜一局的情况有种，根据独立事件概率乘法公式，所以甲以获胜的概率为. 由对立事件概率公式可得. 事件表示甲没有以获胜且乙获胜，乙获胜有两种情况： 情况一：乙以获胜，其概率为. 情况二：乙以获胜，则前两局乙胜一局，第三局乙胜，其概率为. 根据互斥事件概率加法公式可得. . 8．已知不等式恒成立，则的最大值为 （ ） A． B． C． D． 变形为， 构造，定义域为， 则在上恒成立， 所以在单调递增， 故，两边平方后变形得到， 构造，， 则，当时，，当时，， 故在处取得极小值，也是最小值， 可知，故， 的最大值为； 二．多选题 9.已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 10.以下条件能够判断平面与平面平行的是（    ） A．平面内有两条直线与平面平行 B．两不同平面，平行于同一个平面 C．平面内的任意一条直线与平面无公共点 D．夹在平面与平面间的两条平行线段相等 【答案】BC 11.棱长为2的正方体中，点为的中点，为侧面内一动点（含边界），且满足面，则下面正确的是（） A．点的轨迹长度为 B．三棱锥的体积为 C．直线与平面所成角的正切值最大是2 D．存在点使平面平面 【答案】BD 【分析】对于A，通过证明面面平行，进而可得线面平行，进而确定点P的轨迹；对于B，利用等体积法即可判断；对于C，作出线面角，通过分析可知当最短时，最大；对于D，当点为的中点时，平面平面，用向量法证明即可. 【详解】对于A，分别取的中点、，连接、， 分别为的中点，， ∵，且，∴四边形为平行四边形， ，，， 平面，平面，平面， 分别为的中点，，， 又，，，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面， ，平面，∴平面平面， 为侧面内一动点且满足平面， ∴动点的轨迹为，此时平面，∴恒有平面， ，故错误. 对于，，点到平面的距离为正方体的棱长， ∴，故正确. 对于，分别取、的中点M，N，过作平面，连接， 显然点H落在MN上，则为直线与平面所成的角， ，当最短时，最大，显然当时， 最短，由题知是直角边长为1的等腰直角三角形，，故 ，故错误. 对于，当点为的中点时，平面平面，下面证明. 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 为的中点，， ， ， ， ， ，平面，平面 平面，平面平面，故D正确. 三．填空题 12.命题的否定是________. 【答案】 13.已知离散型随机变量X服从二项分布，且，，则的最小值为______. 【答案】 14.设为空间中64个点构成的集合，点，记样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望值___________ . 【答案】 四．解答题 15.某中学为了解高二年级学生对“数学建模竞赛”的参与意愿与性别是否有关，现从学校中随机抽取了100名学生进行调查，得到如下列联表： 性别 愿意参与 不愿意参与 合计 男生 女生 合计 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为“愿意参与数学建模竞赛与性别有关联”？ (2)从样本中“愿意参与”的学生中按性别采用分层抽样的方法抽取11人，再从这11人中随机抽取3人作为竞赛种子选手，记3人中女生的人数为，求的分布列和数学期望． 附：， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)愿意参与数学建模竞赛与性别无关联； (2)的概率分布列为： . 【分析】（1）直接根据零假设进行独立性检验得出. （2）先由分层抽样选出人中，男生6人，女生5人，从中选出3人中女生的人数服从超几何分布解得. 【详解】（1）零假设：愿意参与数学建模竞赛与性别无关. 根据小概率值的独立性检验，我们没有充分的证据推断不成立， 即认为愿意参与数学建模竞赛的意愿与性别无关. （2）根据分层抽样的性质可知：愿意参与的学生中男生与女生的比例为. 因此选出人中，男生人数为人，女生人数为人 由题意可知：，服从超几何分布，，. ， ， 所以这3人中女生人数的概率分布列为： . 16.已知函数为奇函数． (1)求的值并证明的单调性； (2)若在区间上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据奇函数的性质求参数即可. （2）根据函数单调性的定义和指数函数的单调性证明即可. （3）根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得，     此时，则，满足题意， 故实数的值为． 可得， 任取，且， 则， 因为，且指数函数在定义域上单调递增， 所以，即， 又因为，所以， 因此，即，         故根据函数单调性的定义得，函数在上单调递增． （2）由（1）可得，要使得在区间上有解， 只需，         而当时，，所以，     所以，所以， 故实数的取值范围为． 17.如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，O为的中点． (1)求证：； (2)求二面角的正弦值； (3)若平面，求出的值． 【答案】(1)证明：因为为等边三角形，且为的中点，所以， 又因为平面平面，平面，且平面平面， 所以平面，因为平面，所以. (2) (3) 【分析】（1）先证得，再由面面垂直的性质，证得平面，结合线面垂直的性质，即可证得； （2）取的中点，连接，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）由平面，得到，即，利用向量数量积的计算公式，列出方程，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：取的中点，连接，因为四边形为等腰梯形，所以， 由（1）知平面，因为平面，所以, 以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 又由平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为，可得， 因为，所以. 所以二面角的正弦值为. （3）解：因为平面，且平面，所以，即， 又因为， 所以，即， 因为，所以或（舍去）， 所以实数的值为. 18.已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)讨论函数的零点的个数； (3)对于任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是 (2)当时，函数无零点；当或时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点. (3) 【分析】（1）先求定义域，求导，令，求可得单调区间； （2）参变分离，研究，的单调性，分类讨论进而可求解； （3）参变分离，构造函数，求其单调性，最终求出极值，最值，求得实数的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为，.. 所以，的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）定义域为，由分离参数，得. 令， 函数的零点的个数即为与直线的交点个数即为原函数零点个数. 求导得，，令，解得. 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 所以，. 又因为，所以，当时，；当时，， 又时，. 当时，与直线无交点，即函数无零点； 当或时，与直线有一个交点，则函数有一个零点； 当时，与直线有两个交点，则函数有两个零点. 综上所述：当时，函数无零点； 当或时，函数有一个零点； 当时，函数有两个零点. （3）设，则在上为增函数， 而，，故在有唯一解. 而由题设可得任意的恒成立. 令，则， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，所以，所以，当且仅当时取到等号， 所以当时，有， 当且仅当，也就是当时取等号. 所以，当且仅当时取等号. 所以，故的取值范围是. 19.某次比赛中，甲乙二人进入决赛并争夺冠军，比赛没有平局，每局比赛结果相互独立． (1)若比赛规则为：①每局比赛后，胜者获得3分，负者获得1分；②连续2局获胜或积分率先达到11分者可获得冠军，比赛结束．已知在单局比赛中，甲乙获胜的概率均为．求甲乙决出冠军时比赛局数的分布列与数学期望； (2)若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．已知甲乙进行了局比赛且甲胜了11局，试给出的估计值表示局比赛中甲胜的局数，以使得最大的的值作为的估计值）． (3)随着比赛的进行，对于高手而言，越到后面，在单局比赛中获胜的概率越大．设比赛共进行局，若甲在第局比赛中获胜的概率为，同时主办方决定最终奖金的计算根据每一局的胜负情况，第局的胜者得奖金元，负者0元．记随机变量为比赛结束时甲获得的总奖金数，求（用表示） 参考公式：对任意随机变量，有． 【答案】(1)分布列见解析，； (2)14 (3) 【分析】（1）讨论极端情况，若刚开始连胜，则局结束，若一直没有连胜，则最多比赛局，再具体讨论每种情况，利用独立事件和互斥事件的概率公式即可解决. （2）每场比赛是相互独立的，则服从二项分布 ，求出，再求最值即可. （3）由题意，求出第局获得的奖金期望，再求和即可. 【详解】（1）由比赛规则知，1局比赛后，甲乙双方共获得4分，若比赛进行了4局还未结束， 则双方共计16分，此时双方均为8分，则第5局比赛后必定有一人积分可达到11分， 因此比赛次数不会超过5，比赛共进行了局，则， 记随机事件“第i局比赛中甲获胜”，， ， ， ， ． 所以X的分布列为： X 2 3 4 5 P 数学期望. （2）依题意，，， 记，已知， 则， 由，得， 即时，，时，， 则当时，最大，所以n的估计值为14． （3）设第局获得奖金为，则， 由于，则. 学科网（北京）股份有限公司 $