北京市八一学校2026-2027学年高三上学期开学摸底考试数学试题

北京市八一学校2027届高三开学摸底考试 数学 2026.08 本试卷共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分（选择题　共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．在复平面内，复数对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若，则 A． B． C． D． 4．已知双曲线的一个焦点是，渐近线为，则的方程是 A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，则的最大值为 A． B． C． D． 6．如图，在正方体中，点是平面内一点，且平面，则的最大值为 A． B． C． D． 7．已知函数，则 A．在上是减函数，且曲线存在对称轴 B．在上是减函数，且曲线存在对称中心 C．在上是增函数，且曲线存在对称轴 D．在上是增函数，且曲线存在对称中心 8．设，是非零向量，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．设是首项为正数，公比为的无穷等比数列，其前项和为．若存在无穷多个正整数，使，则的取值范围是 A． B． C． D． 10．在中，，当时，的最小值为．若，，其中，则的最大值为 A． B． C． D． 第二部分（非选择题　共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11．在的展开式中，的系数为________．（用数字作答） 12．设，函数．若曲线关于直线对称，则的一个取值为________． 13．已知函数，则的定义域是________；的最小值是________． 14．已知抛物线． ①则的准线方程为________； ②设的顶点为，焦点为．点在上，点与点关于轴对称．若平分，则点的横坐标为________． 15．中国传统数学中开方运算暗含着迭代法，清代数学家夏鸾翔在其著作《少广缒凿》中用迭代法给出一个“开平方捷术”，用符号表示为：已知正实数，取一正数作为的第一个近似值，定义则，，…，，…是的一列近似值．当，时，给出下列四个结论： ①； ②； ③，； ④，． 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题13分） 在中，，． （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度． 条件①：；条件②：的周长为；条件③：的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17．（本小题14分） 如图，在四棱锥中，，，，侧面底面，是的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）已知，，，求二面角的余弦值． 18．（本小题13分） 生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹．为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下： 跑步软件一 跑步软件二 跑步软件三 跑步软件四 中学生 80 60 40 20 大学生 30 20 20 10 假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响． （Ⅰ）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率； （Ⅱ）采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人．记为这3人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为； 样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为； ，，，，，，，的方差为，写出，，的大小关系．（结论不要求证明） 19．（本小题15分） 已知椭圆：的离心率为，且经过点． （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）过点的直线交于点，（点，与点不重合）．设的中点为，连接并延长交于点．若恰为的中点，求直线的方程． 20．（本小题15分） 已知函数，其中． （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）当且时，判断与的大小，并说明理由． 21．（本小题15分） 给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列：，，…，满足如下三个性质： ①，，且； ②； ③与不同时在数对序列中． （Ⅰ）当，时，写出所有满足的数对序列； （Ⅱ）当时，证明：； （Ⅲ）当为奇数时，记的最大值为，求． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三开学摸底考试——数学参考答案 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1．C 2．A 3．B 4．D 5．D 6．C 7．D 8．A 9．B 10．C 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11．12 12．3（答案不唯一） 13． 14． 15．①④ 三、解答题（共6小题，共85分） 16．（本小题13分） 解：（Ⅰ）在中，因为， 2分 又，所以．因为，所以． 3分 因为，所以 5分 （Ⅱ）选择条件①不符合要求，得0分；选择条件②或③ 6分 选择条件②：因为中，，，， 所以，即为等腰三角形，其中． 7分 因为，所以．所以． 9分 设点为线段的中点，在中，． 因为中， 11分 ，所以，即边上的中线的长度为． 13分 选择条件③：因为中，，，， 所以，即为等腰三角形，其中． 7分 因为的面积为，即， 所以． 9分 设点为线段的中点，在中，． 因为中， 11分 ，所以，即边上的中线的长度为． 13分 17．（共14分） 解：（Ⅰ）取的中点，连接，． 因为是的中点，所以，． 又因为，，所以且． 所以四边形为平行四边形．所以． 2分 又因为平面，平面， 所以平面． 4分 （Ⅱ）取的中点，连接．因为，所以． 又因为侧面底面，且平面平面，平面， 所以平面． 6分 如图，在平面中，作， 则，，， 建立空间直角坐标系． 7分 连接，在中，因为，，所以． 在中，因为，，所以． 8分 所以，，，，，． 所以，． 设平面的法向量是，则即 9分 令，则，．于是． 10分 因为平面，所以是平面的法向量． 11分 所以． 13分 由题知，二面角为钝角，所以其余弦值为． 14分 18．（共13分） 解：（Ⅰ）记“这2人都最喜爱使用跑步软件一”为事件， 则． 3分 （Ⅱ）因为抽取的8人中最喜爱跑步软件二的人数为， 4分 所以的所有可能取值为，，． 5分 ，，． 8分 所以的分布列为 故的数学期望． 10分 （Ⅲ）． 13分 19．（共15分） 解：（Ⅰ）由题设， 3分 解得，． 4分 所以椭圆的方程为． 5分 （Ⅱ）若直线与轴重合，则点与原点重合，符合题意， 此时直线的方程为． 6分 若直线与轴不重合，设其方程为． 由得． 8分 设，，则． 9分 所以，． 10分 因为是的中点， 所以，． 11分 因为， 12分 所以． 整理得． 13分 解得． 14分 但此时直线经过点，不符合题意，舍去． 综上，直线的方程为． 15分 20．（共15分） 解：（Ⅰ）当时，，所以． 1分 所以，． 3分 所以曲线在点处的切线方程为． 4分 （Ⅱ）的定义域为，且． 6分 令，得． 与的情况如下： 8分 所以的单调递增区间为；单调递减区间为和． 10分 （Ⅲ）当且时，，证明如下： 令，则． 设，则． 12分 所以当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 从而，即． 所以的单调递增区间为和． 14分 当时，，即； 当时，，即． 综上，当且时，． 15分 21．（共15分） 解：（Ⅰ），，，或，，． 4分 （Ⅱ）因为和不同时出现在中，故，所以，，，，，每个数至多出现5次． 又因为，所以只有，对应的数可以出现5次， 故． 9分 （Ⅲ）当为奇数时，先证明． 因为和不同时出现在中，所以． 当时，构造，，恰有项，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1． 对奇数，如果可以构造一个恰有项的序列，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1， 那么对奇数而言，可按如下方式构造满足条件的序列： 首先，对于如下个数对集合：，，，，…，，，， 每个集合中都至多有一个数对出现在序列中，所以． 其次，对每个不大于的偶数，将如下4个数对并为一组： ，，，， 共得到组，将这组数对以及，，按如下方式补充到的后面， 即：，，，，，，…， ，，，，，． 此时恰有项，所以． 综上，当为奇数时，． 15分 学科网（北京）股份有限公司 $