在余甘中发现数学、感受数学的美之数列问题

该高中数学作业设计方案针对高二基础较弱学生，结合惠安余甘产业全链条素材，设计数列习题覆盖核心知识点，分基础题排查漏洞、中档题巩固方法、拓展题对接高考，实现分层教学。 通过余甘种植产量、加工订单等真实情境培养数学建模，选择题组区分等差等比强化数学抽象，解答题累加法求通项、裂项相消求和训练数学运算，配套分层评价量表科学诊断学情，提升学习兴趣与能力。

2026 年泉州市普通高中作业设计评选 在余甘中发现数学、感受数学的美之数列问题 参赛教师：蔡 伟 阳 学 校：惠安嘉惠中学 指导教师：陈 木 海 联系电话：13505977635 余甘（余甘子/油甘果）简介 一、基础名称与分类 学名：余甘子（Phyllanthus emblica L.），俗称油甘、油柑、牛甘果、滇橄榄、庵摩勒，属叶下珠科叶下珠属落叶小乔木，和柑橘、橄榄并非同类植物 。 名字由来：鲜果入口酸涩，咽下后满口回甘，故称“余甘”，东汉古籍《异物志》已有记载，国内栽培史超1800年。 二、外形与生长分布 1. 植株：树高3–23米，叶片细小两列排列，雌雄同株； 2. 果实：球形，直径1–2厘米，成熟果皮黄绿/浅黄，果肉半透明，果核坚硬；秋冬至初春成熟采收 ； 3. 产地：原产印度、东南亚；国内主产福建、广东、广西、云南、海南，多生长在向阳山地、丘陵疏林 。 三、风味与营养 口感：先涩后甜，鞣质带来涩感，唾液分解后释放清甜； 核心营养：高维C、多酚、黄酮、有机酸、硒、钾；维C含量远超普通柑橘，抗氧化能力突出，被称作“生命之果” 。 四、药用功效（药食同源） 列入《中国药典》，是国家认定药食两用食材，根、叶、果均可入药 。 1. 性味归经：甘、酸、涩，凉；归肺、胃经； 2. 中医作用：清热凉血、生津利咽、消食解腻、润肺止咳；适合咽喉干痛、烟酒过多、积食腹胀、口干上火； 3. 现代价值：抗氧化、护肠胃、辅助调节血脂血压、抗炎抑菌； 4. 禁忌：性偏凉，脾胃虚寒、易腹泻人群不宜多食。 五、常见食用方式 1. 鲜食：洗净直接嚼食； 2. 腌制：甘草、盐、糖渍油甘，潮汕经典小吃； 3. 加工：果脯、果酱、含片、果汁、茶饮、泡酒； 4. 煲汤：搭配瘦肉、雪梨炖汤，解腻润喉； 5. 特色吃法：云南蘸辣椒盐食用。 六、文化与用途 1. 传统民俗：闽粤地区中秋拜月供果，民间常备润喉小吃； 2. 传统医药：藏药、少数民族常用药材，根治胃痛高血压，叶子外用缓解湿疹水肿； 3. 经济价值：鲜果、加工品、提取物广泛用于食品、保健品行业。 余甘对惠安经济的影响 惠安余甘是当地地理标志支柱产业，全县种植规模超 3 万亩，年产值超 3 亿元。产业形成种植、深加工、文旅全链条，开发余甘蜜饯、余甘茶等产品，带动四千余户果农稳定增收，村集体年收入大幅提升。依托采摘研学、直播电商拓宽销路，创新绿色金融扶持产业，同步将水土保持生态价值转化经济收益，优化县域经济结构，成为乡村振兴、带动农民致富的核心特色产业。 学生情况简介 对于二级达标校的高二学生来说，数学基础差，关键是对数学的学习积极性不足，对数学基本上没有兴趣，为了进一步激发学生的学习数学的兴趣，更好的掌握数学知识，改善对数学的认知，有效的提高数学成绩，让学生展开对本地余甘产业的调研，适当引导学生加入数学问题，让他们感受到数学无处不在，无所不能，感受数学的“美”，发现同学们通过调研了解了社会经济情况，又学到了数学知识，学习数学的兴趣也提高，对数学逐渐有了好感，成绩也在提高，好处多多！ 基于学情特点，本次作业设计的设计总理念是：题目不在于有多难、多有技巧，适合本校学生情况才是最好的作业！为了更好的让学生掌握数列基础知识点，部分题目的数据做了适当调整（有可能不是特别科学），部分题目也省去单位。 《在余甘中发现数学、感受数学的美之数列问题》 适用教材：人教 A 版高中数学选择性必修二 第四章《数列》 适用对象：高二完成数列整章新授课学生（基础较弱的） 使用场景：课后巩固书面作业 一、整体设计思路 学生对于数列学习普遍存在两大学习痛点：一是只会机械套用公式，面对实际文字情境无法提炼等差、等比模型；二是综合题型中​与​转化、递推处理、不等式证明缺乏完整解题逻辑，和新高考 “以真实情境为载体，考查数学建模” 的考查方向存在脱节。为了更好激发学生学习数列的兴趣及巩固数列知识，让学生参与调研，结合本地惠安紫山镇余甘特色农业产业，以果树种植、鲜果分拣、蜜饯加工、余甘茶经营、药用深加工完整产业链作为统一素材载体设计整套习题，依托本地农业真实产业数据及学生调研数据简化建模，兼顾乡土资源育人价值与数学知识训练。对标 2026 年全国 Ⅰ 卷数列考查特点设计习题：弱化繁琐大数计算，强化文字信息提取与模型转化；设置多分类讨论题型，训练学生严谨逻辑；压轴设问采用不等式综合证明，同时依托习题分层设置实现课堂诊断、学情评价功能：基础题型排查概念认知漏洞，中档题型巩固常规解题方法，拓展设问对接高考综合思维，便于课后快速区分学困生、中等生与优等生，针对性开展分层补差、培优。 整套作业仅设置两大题：第一题为选择题组，含 2 道单选题、1 道多选题；第二题为非选择题组，设置 2 道填空题、1 道解答题（内含 4 个梯度设问）。习题难度由浅入深逐层递进，覆盖数列全章核心内容：等差、等比数列定义与基本量运算、前n项和与通项互化、累加法求递推通项、裂项相消求和、数列单调性与最值、等比求和及数列不等式证明，尽可能覆盖本章绝大多数考点。 整套作业素材均取材惠安本地余甘产业新闻、乡镇农业种植统计资料及学生调研数据原创题，情境统一连贯，实现乡土文化、乡村振兴素材与数列知识深度融合。（作业中的数据仅供参考） 二、试题 惠安紫山镇是本地余甘核心种植区，“惠安余甘” 获评国家地理标志农产品，当地现有规模化余甘果园三万余亩。近年当地持续引种甜型余甘新品种，同步发展余甘蜜饯、养生余甘茶、药用原料深加工产业，依托特色林果产业带动农户增收。下列题目均围绕果园种植、鲜果加工、工厂产能等实际产业数据建立数列模型。 （一）选择题组（共 3 小题，2 道单选题 + 1 道多选题） 当地某种植合作社 2021 年栽种普通余甘果树 1200 棵，自 2022 年起每年固定补充甜余甘幼苗；果园每年鲜果总产量记为数列（n=1对应 2021 年，产量单位：吨）；蜜饯加工厂每月成品订单产量构成等比数列。 1.（单选题）合作社每年新增甜余甘树苗 300 棵，记第n年年末果园果树总数量为，下列说法正确的是（ ） A. 是首项 1200，公比 300 的等比数列 B. 是首项 1200，公差 300 的等差数列 C. 为单调递减无穷数列 D. 第 4 年年末果树总量 设计意图：基础题，学生最易混淆等差、等比数列核心特征，本题通过逐年固定增量的实际场景，区分 “公差” 与 “公比”，纠正 “增长量等同于公比” 典型错误，同时考查等差数列定义、通项简单求值、数列单调性判断及数学运算、数学抽象的核心素养。 2.（单选题）已知果园鲜果年产量数列的前n项和，则 2024 年（对应n=4）当年产出鲜果重量为（ ） A.24 B.15 C.11 D.8 设计意图：中等题，是本章必考基础方法，学生常混淆 “前n年总产量” 与 “第n年当年产量”，本题借助产业产量情境强化二者区别，规范求和转通项的计算步骤；重点训练学生数据处理、基础运算能力；考查数据分析、数学运算等核心素养； 3.（多选题）蜜饯加工厂月度订单产量为等比数列，其中首月订单​千克，第三个月订单千克，在不考虑实际意义的情况下，下列结论成立的是（ ） A. 数列公比q=2或q=−2 B. 第五个月订单产量千克 C. 若仅考虑正向产能，前六个月订单总产量千克 D. 若公比q=−2，该数列为单调递增数列 设计意图：中等题，对标 2026 全国 Ⅰ 卷多选题考查逻辑，设置等比数列公比正负分类讨论，让学生理解正负公比下数列增减性差异，同时训练等比数列前n项和计算，培养分类讨论严谨思维；重点训练学生的分类讨论、逻辑推理能力；也考查等比数列通项、前n项和、摆动数列单调性判定；考查逻辑推理、数学运算等核心素养。 （二） 非选择题组（2 道填空题 + 1 道解答题，解答题含 4 小问） 4.合作社工人每日分级分拣一级余甘果，单日分拣数量构成等差数列，满足，已知第三天分拣量，则首日分拣量。 设计意图：基础题，反向运用等差数列通项公式，由已知项逆向求解首项，训练学生公式灵活变形能力，夯实基础；重点训练学生的逆向推导、公式变形运算的能力；考查数学运算等核心素养。 5.线下余甘茶门店每年利润增量满足递推关系：，，该门店前四年累计总利润。 设计意图：中等题，累加法是递推数列入门核心方法，本题借助逐年利润增量的情境，让学生自主累加求出通项，再求和，熟悉递推数列基础转化思路；重点训练学生的递推转化、分组求和运算的能力； 考查累加法求通项、自然数数列求和等知识；考查逻辑推理、数学运算等核心素养。 6.当地药用深加工车间逐年扩大生产规模，记第n年药用余甘加工总量为，已知该数列前n项和满足关系式：。 (1) 求数列的通项公式； (2) 合作社每年依据药用加工产量向果农发放专项补贴，补贴分配数列满足，求数列前n项和 ​； (3) 统计农户单户年均收入构成数列，且，求农户年均收入第几年开始盈利； (4) 合作社计划从每年收益中抽取固定资金投入余柑药用价值研发，设抽取资金构成新数列{}，且，求数列{}的前项和，是否存在当正整数,使得当时​恒成立，若存在，求出，若不存在，请说明理由。 设计意图：（1）基础题，已知 求是数列常见题型，训练学生作差消去推导通项的标准步骤，同时规范等差数列证明书写格式；重点训练学生的代数式化简、逻辑证明能力；还考查 ​与互化、等差数列判定、通项求解；培养学生的逻辑推理等核心素养。 （2）中等题，裂项相消法是数列求和重要方法，借助补贴分配的实际背景降低题型枯燥感，训练学生裂项变形、逐项消去化简的运算能力；考查裂项相消求和；培养学生的数学运算等核心素养。 （3）中等题，将数列视作特殊定义域的二次函数，借助单调性寻找数列最值，贴合 2026 全国 Ⅰ 卷结合函数分析数列性质的考查方向，同时让学生结合产业场景理解最值的实际意义；训练学生的函数转化、单调性分析的能力；还考查数列单调性、数列最值求解的能力；培养学生的直观想象、数据分析等核心素养。 (4) 基础+提高题，本题考查数列分组求和与不等式恒成立，考查运算、推理与建模能力，贴合新高考“多想少算”导向，分层落实数列核心考点。，锻炼综合逻辑推理能力；培养学生的逻辑推理、数学建模等核心素养。 三、参考答案与评分标准 大题一 选择题组（每题 10 分；单选唯一正确，多选全对得 10分，漏选得4分，有错选得 0 分） 1. 答案：B 解析：每年固定新增树苗 300 棵，后项减前项为定值，为首项 1200、公差 300 的等差数列；，D 选项数值计算错误。 2. 答案：C 解析：当年产量为前后两年总和差值 3. 答案：ABC 解析：由得，，，A 正确； ，B 正确； 时，，C 正确； 时，数列正负交替，为摆动数列，不单调递增，D 错误。 大题二 非选择题组 4. 填空题（12 分） 答案：14 解析：。 5. 填空题（13 分） 答案：28 解析： ； 。 6. 解答题（总分45分，(1) 10分，(2) 12 分，(3) 11 分，(4) 12 分） (1) 解：已知 ​ ① 当n≥2时，​ ② 由①−②得：， 移项因式分解：， 加工产量，故，即，所以数列公差d=1。 因此数列 评分标准：作差化简得到递推关系 4 分；利用产量正负舍去负根、得出公差 2 分；验证首项 2 分；正确写出通项 2 分；未检验n=1扣 2 分。 (2) 解： 评分标准：正确完成分式裂项 4 分；逐项消去化简 4 分；写出最终求和结果 4 分；裂项变形错误直接扣 4 分。 (3) 解：由，代入得， 所以，农户年均收入第四年开始盈利； 评分标准： 求出得4分，得到得5分，得到第四年得2分。 (4) 证明：设抽取资金构成新数列，且，则前n项和为： 当时​恒成立。 评分标准：求出得5分，求出得7分，过程不完整酌情扣分。 五、学情分层评价量表（课后批改诊断使用） 评价维度 合格（70 分以下） 良好（70—89 分） 优秀（90—100 分） 分值占比 基础概念运用 等差、等比定义易混淆，Sn​求单项计算频繁出错 能区分递增、递减、摆动数列，分类讨论无遗漏 可自主梳理文字情境，快速转化标准数列表达式 通项与求和运算 等差、等比基础求和计算基本正确 熟练使用累加法、裂项相消两类常规求和方法 面对综合递推条件，可自主选择合适求和、构造方法 数列实际应用 能套用通项简单判断增减趋势 结合二次函数、不等式分析数列最值，计算规范 能结合余甘产业情境解释最值对应的生产、经济意义 逻辑推理与证明 基础题型步骤完整，无大面积跳步 代数式变形规范，分类讨论逻辑完整 不等式放缩思路清晰，证明书写贴合高考答题规范 总分 100 分：70 分以下学生数列基础概念存在明显漏洞，课后需单独一对一梳理公式、补差训练；70~89 分学生基础方法掌握到位，后续重点强化递推综合题与证明题型训练；90 分以上学生综合解题能力较强，可补充同类型高考数列压轴变式拓展提升。 六、作业设计总结 1. 情境本土化，原创无照搬：整套习题统一依托惠安余甘本土特色产业设计，种植、加工、农户增收多维度串联情境，融合地方乡土资源与乡村振兴德育，所有试题自主建模改编，无现成教辅原题。 2. 考点覆盖全面，梯度清晰：完整覆盖第四章数列全部主干知识点，从基础概念计算、常规求和到高考综合证明层层递进，兼顾课堂基础巩固与高考思维衔接。 3. 完全契合参评硬性规范：题量、题型、试题结构严格遵照赛事要求，配套完整设计说明、参考答案、分层评价量表，满足参评材料全部规范要求。 4. 贴合 2026 全国 Ⅰ 卷数列命题趋势：弱化机械重复计算，强化文字情境建模、分类讨论、不等式综合证明，遵循 “多思考、少运算” 的新高考命题特点，日常课后使用既能巩固新知，也能长期对接高考训练。 果实 3 学科网（北京）股份有限公司 $