甘肃兰州市第五十一中学2026-2027学年第一学期高三8月月考数学试卷

兰州市第五十一中学2027届高三8月月考试卷参考答案 数学 第I卷(58分) 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C ) A C B B D 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.） 题号 9 10 11 答案 AC BC ACD 第Ⅱ卷(92分) 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 题号 12 13 14 答案 25 -280 1183 四、解答题（本大题共5小题，共77分.） 15.(13分)1)25,35)年龄段占总体比例为： 453 15010 则抽取人数为：30×3 =9； 10 (2)油题可得150人的平均年龄为：30×45 +40×55+50×50=30x3+40×1+ 1121 +50× 150 °150 150 10 30 33 附P4小高品P(到品名Pa)品百 注意到P(A)·P(B)≠P(AB),则事件A与事件B不相互独立. 16.(15分)1)由m⊥n,则m·n=0,即m~n=2 cos AcosC((tan Atan C-1)-1=2 sin AsinC-2 cos AcosC-1 -2cm4+0-1=20-10,c0s2号又Bc00,a号 因品g片4品c-岛 14 sinA+sinC=3 14 14 3 即5a+5c=1W5, 14 14 14 ,a+c=l3,又B=a+e-2 ne oB,即T=a+c2-2cos号所以ac=40, 3 17.(15分1)连接AC、BD交于O,连接A,C1、B,D交于O,如图，上下底面为正方形，由正棱台性 质，可狗ACC,且AG=2W5AC=4N5A0=4C=AC所以四边带AC01为平行四边花， 所以AA/OC1,因为AA丈平面BC1D,OC,C平面BCD,所以AA∥平面BC,D. 由正棱台性质，OO,与上下底面均垂直，则OO,=3, 1 -1x1×42x3=8: 所以V4aD='kD=-n=a-ACm=2×3 (②)如图所示建立空间直角坐标系，A4=2,可知4=（√2,02）， B0,2V2,0),D0,-2W2.0）,C,(-V2,0②)，4B=(-V2,2V2,-V2） BD=(0,-4W2,0)CB=(2,2W2,-V2),=(1,0,-1),,=(10,1),41n, 平面ABD与平面C,BD所成的角为90°. 18.Q7分)【解折1①)对于双曲线r:号-)=1，a=V5,b=5,c=V+6=2,所以双曲线 22 2 离心率e=二 =√2. e为点是的中点所改在B5到》代A双线方在芝-三-1：行如固 (22 22 8 8 解得m=±3-√3，又点B在双曲线的右支上，所以m+√3>0，即m>-√3，所以m=3-√3，所以 直线1的斜率为 0-1 12+3 3-√5-525-33 (1)当直线斜率为0时，易知F,A与FB共线，不符合题意； 当直线斜率不为0时，设直线1方程为x=y+m,设A(x,片)，B(x,乃)，则A(-x,乃)， 联立 2之1，整理得(r-1y+30+m2-2=0, x=ny+m △=(2mm)}2-4(-1(m2-2）=4(m2+2n2-2>0(*)且2-1≠0， -2120 +3= 7-所二子.因为(20，R20. n2-1 所以FA=(-x+2,为)=(-y,-m+2,y),FB=(x-2,乃)=(y,+m-2,y), 所以A·FB=(-y-m+2)(y,+-2)+y3=0, 即(-n2+1M%-n(m-2)(y+乃)）-(m-2)=0, 即(+1m-2）_nm-2-2mm-(m-2y=0 n2-1 n2-1 整理得m--2m+1=0,即r=m-2+1,代入内中得3m2-4m>0,又m>0,所以1>3 4 又因为n2-1≠0，即m2-2m+1-1≠0，所以m≠0且m≠2，综上，m的取值范围为 22+） 19a7分X0油f()-名2a∈R,当a=1时，f=1,f0=0, 故f(x)的图象在(1，f(1)处的切线方程为y=-(x-1),即x+y-1=0. (a)由∫(x)=g-2(aeR),当a≤0时，令f(x)<0,f(y在(0，+0)上递减，f(y)最多-个零点， 与题意不符： 当a0时，令r-0,则号则当xf>0:当日*了0， 所以()在单调递，在+ a 上单调递减， fs=f=alng-a--a1h》gf)-,)=- 放f(到有两个零点，即f(ea=a1+h}0,a心手 2 (3)由于g(x)=x-2e+2a=f(e),所以y=f(x)与y=g(x)的零点个数相同. 依题意共有4个不同的零点，所以f(x)与g(x)各有两个零点. 不妨设y=g(x)的两个零点为x,x(x<x),y=f(x)的两个零点为为，(<x4), 则有发=n西<h号<血=： f(s)=a血x3-2x3+2a=0 l血=2-2 因为 /(c)=alnx,-2x+2a=0得 2 ，① 1nx4=二x4-2 所以名-ny名s-飞.e 又nx<x,则x=nx3<x3,x3=nx4<x4,若四个零点成等差数列，则有两种情况： (1)当x<x2<x3<x时，即nx3,x4,x3,x4成等差数列，则有h5-血hx4=x3-x4,③ 由②③得u=2, 代入①得lnx=53-2,1x4=x4-2,④ nx,+5=2ln,@ 又 Inx+x=2x 2x3-2=2x4-4 将④代入⑤式可得 →x4=x3+1, 2x4-2=2x3 由等差数列性质及龙=+L,可得龙一为=血x-血x=1,从而有n车=1 1 e 可得-，解得F。一，。一这与@矛盾，故实数a不存在： (2)当1<x3<x2<x4时，即nx3,x3,nx4,x4成等差数列，则lnx-lhx4=53-x4,③ 由②③得a=2,同理得hx=x3-2,hx4=x4-2,④ n+nx4=2,© 又〈 x3+x4=2nx4 将④代入⑥式可得 x+x4-4=2X4=为+4， 3+x4=2x4-4 4 4e4 代入③可得x:=e,解得5。'。一 这与④矛盾，故实数a不存在. 综上所述，不存在实数使得四个零点成等差数列.兰州市第五十一中学2027届高三8月月考试卷 数学 第I卷(58分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确 的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1.从高三某班抽取10名同学，他们的数学成绩如下：95,90,71,76,85,88,72,91,92,65（单位： 分)，则这10名同学数学成绩的第70百分位数是( ) A.90 B.91 C.90.5 D.91.5 2.在复平面内，复数z=， 对应的点位于( 1+i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知集合A={y=x},B={yy=x},则AnB=() A.[0,+∞) B. C.R D.{(0.0)} 4.记S为公比g=1的等比数列a}的演以项，若首项4=-子鸟则a-( A.-1 月 C.1 D.2 5.已知a,b为非零向量，则“存在实数元，使a=b”是“a+b=+b”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.过点(0，-2)与圆(x-4)2+(y-2)}=4相切的两条直线的夹角为a,则sina=() A.6 B. 3 C. D.vio 4 4 4 4 7.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形，PA=2,PC与平面ABCD所 成角的大小为6，且tamn0=4y5 则四棱锥P-ABCD的外接球表面积为( 3 A. 27π B. 22T D.13n 4 3 C.19n 4 4 8.已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)+f(x-2)=0,且f(-1)=2,则 f0)+f(2)+…+f(2026)=() A.4 B.2 C.0 D.-2 第1页共4页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9已知函数fx)=in2x- 2cos2x,则( ) A.函数f(x)的最小正周期为元 B.函数/（心）在0好上单调递减 C.函数f(x)的图象关于 (石0]对称D.将函数f(y)的图象向左平移号个单位符到奇函数 10.已知正方体ABCD-AB,C,D的棱长为2，点P是侧面BCC,B上的一个动点（含边界），点E和点F分 别是棱CC和A4的中点，则() A.平面DEF截该正方体所得的截面图形是正方形 D B B.平面DEF⊥平面BDDB, E C.若AP=V5,则点P的轨迹长度为 2 D.若点P在BB上，则PD+PE的最小值为√17 B 11.已知抛物线y°=2px(p>0)的焦点F(1,0),A,B为抛物线上的两个动点，M为线段AB的中点，N(3,2), 则() A.p=2 B.若AF+BF=10,则点M到准线的距离为4 C.AN+AF的最小值为4 D.若正-2历，则=号 第Ⅱ卷(92分) 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12.已知双曲线C:xy2-1的一条渐近线为x-V2y=0,则C的焦距为 3. 1-引x+2的展开式中合y项的系数是 14.一列火车从A城使往B城，铁路上有20个车站（包括起点站A和终点站B).火车上附有一节邮政车厢， 每停靠一站都要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又装上该站发往后面各站的邮袋各一个.设从 第n站出发，邮政车厢内的邮袋数为a,(1≤n≤20)，则数列{a}的最大值为 第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下： 年龄 剪纸 摄影 画画 人数 [25,35) 8 45 [35,45) 10 55 [45,55) 6 50 (1)现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在[25,35)岁的有多少人？ (2)该兴趣班150人的平均年龄是多少？ (3)现从150人中任意抽选1人，记抽到的学员年龄在35,45)为事件A,记抽到学员爱好摄影为事件 B.事件A与B是否独立？请说明理由. 16.(15分)在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且m=(2 cos Acos C,-1),n=(tan Atan C-l,1), ⊥ (①)求B的大小： ②若b=7,A+si血C=135,求△4BC的面积. 14 17.(15分)如图所示，正四棱台ABCD-ABC1D,其中AB=4,AB,=2. (1)证明：AA∥平面BCD;若棱台高为3，求三棱锥A,-BCD的体积. D A B (2)当A4=2时，求平面ABD与平面C,BD所成的角. D B 第3页共4页 18.Q7分已知双曲线r:号二=1，过点Mm0)作不垂直于x轴的直线1交双曲线r于4、B两点. 22 (I)求双曲线Γ的离心率： (2)若点A(√3,1)，点B在双曲线的右支上，且B是AM的中点，求直线1的斜率； (3)若>0，乃，F分别是双曲线T的左右焦点，A是A关于y轴的对称点，若存在直线1使得 F,AF,B=0,求的取值范围. 19.(17分)已知函数f(x)=anx-2x+2a(a∈R), (①)当a=1时，求函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程： (2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围： (3)设g(x)=ax-2e"+2a,若函数y=f(x)与y=g(x)共有4个不同的零点，是否存在实数a, 使得这4个零点在调整顺序后成等差数列，若存在，求出4的值；若不存在，请说明理由. 第4页共4页