3.1　导数的概念、意义及运算 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“导数的概念、意义及运算”专题，依据课标要求和高考评价体系，系统梳理了导数定义、几何意义、基本公式、四则运算及复合函数求导等核心考点，通过真题分析明确切线方程、公切线问题等高频题型占比，构建完整知识网络与解题体系。 课件亮点在于“真题训练+方法归纳+素养提升”策略，如结合2024新高考Ⅰ卷切线问题，剖析“定义法求导”“切点设参法”等技巧，培养学生数学思维与建模能力，特设易错点警示（如区分“在点”与“过点”切线），助力学生掌握得分关键，教师可据此精准突破考点，实现高效复习。

3.1　导数的概念、意义及运算 第三章 2027 课标要求 1.通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与思想. 2.体会极限思想. 3.通过函数的图象直观理解导数的几何意义. 4.能根据导数的定义求函数y=c(c为常数), y=x,y=x2,y=x3, 的导数. 5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数;能求简单的复合函数(限于形如f(ax+b))的导数. 6.会使用导数公式表. 备考指导 导数是高中数学的重点,而求给定函数的导数则是解决导数问题的基本工具.复习本节时,要熟记导数公式表和导数的运算法则,能准确求出一般函数及复合函数的导数.此外,导数的几何意义也是一个重要考点,要理解其含义并会应用其解题,需注意判断已知点是否为切点. 内容索引 01 02 03 第一环节　必备知识落实 第二环节　关键能力形成 第三环节　学科素养提升 第一环节　必备知识落实 【知识筛查】 对于函数y=f(x),设自变量x从x0变化到x0+Δx,相应地,函数值就从f(x0)变化到f(x0+Δx),这时,x的变化量为Δx,y的变化量为Δy=f(x0+Δx)-f(x0). 温馨提示曲线的切线不一定与曲线只有一个交点,可以有两个甚至多个交点. 3.基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]'= f'(x)±g'(x) ; (2)[f(x)g(x)]'= f'(x)g(x)+f(x)g'(x) ; 5.复合函数的导数 (1)定义:一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)). (2)求导法则:一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'= yu'·ux' . 1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数. 【知识巩固】 1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”. (1)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率.(　　) (2)求f'(x0)时,可先求f(x0),再求f'(x0).(　　) (3)曲线的切线与曲线只有一个公共点.(　　) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(　　) (5)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与过点P(x0,y0)的切线相同.(　　) × × × × × 2.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t s后的位移为 ,那么速度为零的时刻是(　　) A.0 s B.1 s末 C.2 s末 D.1 s末和2 s末 D 3.若f(x)=ln x+x3,则 =(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 D 4.函数y=sin 3x的导函数是　　　　　.  5.曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为　　　　　.  y'=3cos 3x 设y=sin u,u=3x,则yx'=yu'·ux'=(sin u)'·(3x)'=cos u·3=3cos 3x. y=3x 由题意可知y'=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,得k=y'|x=0=3. 故曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为y=3x. 第二环节　关键能力形成 能力形成点1 导数的运算 能力形成点1 能力形成点2 解题心得导数常见形式及具体求导的方法 连乘形式 先展开化为多项式形式,再求导 三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导 分式形式 先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导 根式形式 先化为分数指数幂的形式,再求导 对数形式 先化为和、差形式,再求导 复合函数 先确定复合关系,再由外向内逐层求导,必要时可换元 能力形成点1 能力形成点2 对点训练1 (1)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)=x2+3xf'(2)+ln x,则f'(2)的值等于 (　　) D 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点2 导数几何意义的应用 命题角度1 求切线方程 例2　已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4. (1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程. 解 (1)∵f'(x)=3x2-8x+5,∴f'(2)=1. 又f(2)=-2, ∴曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y+2=x-2,即x-y-4=0. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点1 能力形成点2 命题角度2 求切点坐标 A 能力形成点1 能力形成点2 命题角度3 由曲线的切线(斜率)求参数的值(范围) 例4　若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=　　　　　.  1-ln 2 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点1 能力形成点2 解题心得1.求解切线方程要点:(1)明确曲线在某点处的切线与过某点的切线的差异.曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).(2)若求过某点的切线方程,需先设定切点坐标,再依据已知点在切线上这一条件进行求解. 2.已知切线方程(斜率)求切点的常规思路:(1)先对函数求导.(2)令导数等于切线的斜率,进而求出切点的横坐标.(3)将切点的横坐标代入函数解析式,求出切点的纵坐标. 3.已知切线方程(斜率)求参数的值(取值范围)的关键 利用函数的导数等于切线斜率这一关系列出方程. 能力形成点1 能力形成点2 对点训练2 (1)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为(　　) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x D (方法一)∵f(x)=x3+(a-1)x2+ax,∴f'(x)=3x2+2(a-1)x+a. 又f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x)恒成立, 即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax恒成立,∴a=1,∴f'(x)=3x2+1,∴f'(0)=1, ∴曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x. (方法二)∵f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数, ∴f'(x)=3x2+2(a-1)x+a为偶函数,∴a=1, 即f'(x)=3x2+1,∴f'(0)=1,∴曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x. 能力形成点1 能力形成点2 C 能力形成点1 能力形成点2 (3)(2024新高考Ⅰ,13)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,则a=　　　　.  ln 2 由y=ex+x,得y'=ex+1.当x=0时,y'=2.∴曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线方程为y-1=2(x-0),即y=2x+1.∴直线y=2x+1是曲线y=ln(x+1)+a的切线.由y=ln(x+1)+a,得y'=.设直线y=2x+1与曲线y=ln(x+1)+a相切于点(x0,y0),则=2,∴x0=-.将x0=-代入y=2x+1,得y0=2×(-)+1=0.∴ln(-+1)+a=0,∴a=ln 2. 能力形成点1 能力形成点2 第三环节　学科素养提升 两曲线的公切线问题 求曲线的公切线问题是近年高考的热点题型之一.学生解决单一曲线的切线问题相对熟练,但公切线问题则需要加强训练.求两曲线的公切线问题的一般解题思路如下. 设曲线C1:y=f(x)在点A(x1,f(x1))处的切线为l1:y-f(x1)=f'(x1)(x-x1),整理得到l1:y=f'(x1)x-f'(x1)x1+f(x1). 设曲线C2:y=g(x)在点B(x2,g(x2))处的切线为l2:y-g(x2)=g'(x2)(x-x2),整理得到l2:y=g'(x2)x-g'(x2)x2+g(x2). 由于l1与l2是相同直线(即曲线y=f(x)与y=g(x)的公切线),故有f'(x1)=g'(x2),且-f'(x1)x1+f(x1)=-g'(x2)x2+g(x2)(即斜率相等,在y轴上的截距相等),从而可求解一些与公切线有关的问题. 解题心得解决两曲线公切线问题的两种方法 A 本 课 结 束 y=,y= 1.平均变化率 我们把比值,即叫做函数y=f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率. 2.导数的概念 (1)导数的定义:如果当Δx→0时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称y=f(x)在x=x0处可导,并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数(也称为瞬时变化率),记作f'(x0)或y',即f'(x0)=. (2)导函数:当x变化时,y=f'(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y',即f'(x)=y'=. (3)导数的几何意义 函数y=f(x)在x0处的导数f'(x0)的几何意义,就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率k,即k=f'(x0)=. 原函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f'(x)=0 f(x)=xα(α∈R,且α≠0) f'(x)=αxα-1 f(x)=sin x f'(x)=cos x f(x)=cos x f'(x)=-sin x f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)=axln a f(x)=ex f'(x)=ex f(x)=logax(a>0,且a≠1) f'(x)= f(x)=ln x f'(x)= (3)(g(x)≠0). 2.熟记以下结论:(1)=-; (2)(ln|x|)'=; (3)=-(f(x)≠0); (4)[af(x)±bg(x)]'=af'(x)±bg'(x). s=t3-t2+2t ∵s=t3-t2+2t,∴v=s'=t2-3t+2.令v=0, 则t2-3t+2=0,解得t1=1,t2=2.故选D. 由题意f'(x)=+3x2,所以f'(1)=1+3=4, 所以=2=2f'(1)=8. 例1　分别求下列函数的导数: (1)y=exsin x; (2)y=x; (3)y=x-sin cos ; 解 (1)y'=(ex)'sin x+ex(sin x)'=exsin x+excos x. (2)∵y=x3+1+,∴y'=3x2- (3)∵y=x-sin cos =x-sin x, ∴y'='=1-cos x. A.2 B.-2 C. D.- 因为f(x)=x2+3xf'(2)+ln x, 所以f'(x)=2x+3f'(2)+ 令x=2,则f'(2)=2×2+3f'(2)+, 即2f'(2)=-,得f'(2)=-故选D. (2)求下列函数的导数: ①y=x2sin x;②y=ln x+; ③y=;④y=ln(2x-5). 解 ①y'=(x2)'sin x+x2(sin x)'=2xsin x+x2cos x. ②y'='=(ln x)'+'= ③y'='==- ④令u=2x-5,y=ln u, 则yx'=yu'·ux'=2=2=, 即y'= (2)设曲线与经过点A(2,-2)的切线相切于点P(x0,-4+5x0-4). ∵f'(x0)=3-8x0+5, ∴切线方程为y-(-2)=(3-8x0+5)(x-2), 又切线过点P(x0,-4+5x0-4), ∴-4+5x0-2=(3-8x0+5)(x0-2), 整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得x0=2或x0=1. ∴经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程为x-y-4=0或y+2=0. 例3　设a∈R,函数f(x)=ex+ae-x的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是,则切点的横坐标为(　　) A.ln 2 B.-ln 2 C. D.- 函数f(x)=ex+ae-x的导函数是f'(x)=ex-ae-x. 因为f'(x)是奇函数,所以f'(x)=-f'(-x), 即ex-ae-x=-(e-x-aex),则ex(1-a)=e-x(a-1), 所以(e2x+1)(1-a)=0,解得a=1, 所以f'(x)=ex-e-x. 令ex-e-x=,解得ex=2或ex=-(舍去), 所以x=ln 2. 对函数y=ln x+2求导,得y'=,对函数y=ln(x+1)求导,得y'= 设直线y=kx+b与曲线y=ln x+2相切于点P1(x1,y1), 与曲线y=ln(x+1)相切于点P2(x2,y2),则y1=ln x1+2,y2=ln(x2+1). 由点P1(x1,y1)在切线上,得y-(ln x1+2)=(x-x1), 由点P2(x2,y2)在切线上,得y-ln(x2+1)=(x-x2). 因为这两条直线表示同一条直线y=kx+b, 所以 解得x1=,所以k==2,b=ln x1+2-1=1-ln 2. (2)曲线y=xe-2x+1在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 (　　) A.e B. C. D. 对函数y=xe-2x+1求导得y'=e-2x+1-2xe-2x+1=(1-2x)e-2x+1, 所以曲线y=xe-2x+1在点处的切线斜率为y'|x=1=-, 所以曲线y=xe-2x+1在点处的切线方程为y-=-(x-1),即y=-x+, 直线y=-x+交x轴于点A(2,0),交y轴于点B, 因此,所求三角形的面积为2 典例　已知曲线f(x)=x3+ax+在点(0,f(0))处的切线与曲线g(x)=-ln x相切,则a的值为　　　　　.  答案:- 解析:由f(x)=x3+ax+,得f'(x)=3x2+a. ∵f'(0)=a,f(0)=, ∴曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y-=ax. 设直线y-=ax与曲线g(x)=-ln x相切于点(x0,-ln x0),∵g'(x)=-, ∴将②代入①,得ln x0=, ∴x0=,∴a=-=-. 方法1 利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切,列出方程(组)求解 方法2 设公切线l在曲线y=f(x)上的切点P1(x1,f(x1)),在曲线y=g(x)上的切点P2(x2,g(x2)),则f'(x1)=g'(x2)= 变式训练 若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切,则a等于(　　) A.-1或- B.-1或 C.-或- D.-或7 因为y=x3,所以y'=3x2. 设过点(1,0)的直线与曲线y=x3相切于点(x0,), 则在该点处的切线斜率为k=3, 所以切线方程为y-=3(x-x0),即y=3x-2 又点(1,0)在切线上,所以x0=0或x0= 当x0=0时,切线方程为y=0. 由y=0与y=ax2+x-9相切,可得a=-; 当x0=时,切线方程为y=x-, 由y=x-与y=ax2+x-9相切,可得a=-1. 综上,a的值为-1或- $