精品解析：黑龙江绥化市第七中学2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

绥化市第七中学2026-2027学年度第一学期开学考试 高三数学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知，若，则（　　） A. B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 4. 的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知定义域为R的奇函数在单调递增，且，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则实数的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 设，则（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的函数满足：，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数，关于函数的结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 的解集为 10. 已知定义在上的偶函数在上单调递增，则可能为（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 函数的单调递减区间为和 D. 不等式的解集为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一扇形的圆心角为2，周长为8，则该扇形的面积为_________ 13. 曲线在点处的切线方程为______． 14. 函数的单调递增区间是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间及在上的值域； （2）若为锐角且，求的值. 16. （1）计算：． （2）计算：； 17. 已知幂函数在上单调递增. （1）求实数的值； （2）求关于的不等式的解集. 18. 已知函数． （1）当时，求该函数的取值范围； （2）若，则方程有解，求实数的取值范围． 19. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的单调区间； （3）若，求函数的零点个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绥化市第七中学2026-2027学年度第一学期开学考试 高三数学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，由复数的运算及虚部的概念可得结果. 【详解】设，则， 由，可得，化简得， 从而，即，所以，的虚部为. 故选：B. 2. 已知，若，则（　　） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由，得，进而根据集合的包含关系列式求解即可. 【详解】由，得， 根据集合中元素的互异性可得，所以或，解得. 此时，满足题意. 故选：C 3. 已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，确定的关系及范围，进而分析抛物线的特征判断. 【详解】依题意，反比例函数图象与直线交于点，且， 则，函数为， 抛物线的对称轴为在直线的右侧，选项B不满足； 当时，，即抛物线过点，选项D不满足； 当时，，选项C不满足，选项A符合题意. 故选：A 4. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式以及倍角公式求解即可. 【详解】原式. 故选：A 5. 已知定义域为R的奇函数在单调递增，且，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和单调性列不等式，解不等式可得到x的取值范围是. 【详解】因为在上单调递增，且， 所以，，当时，当时， 又因为是定义域为R的奇函数，所以在上单调递增， 所以，当时，当时， 再根据是定义域为R的奇函数，可以得到， 综上所述，当时，，当时，； 因为，所以，或， 解得. 故选：D 6. 已知，则实数的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性可得大小关系. 【详解】因为，故， 而， 而， 故， 故选：D. 7. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性与0及1比较即可得出大小关系． 【详解】，，所以， 故选：B 8. 定义在上的函数满足：，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由解析式画出的图象，恰有3个零点转化为的图象和直线恰有3个交点，结合图象找到临界情况即可得出的范围. 【详解】由题意作出的大致图象如图中曲线所示： 恰有3个零点，的图象和直线恰有3个交点， 过定点， 当直线过点时，此时斜率为， 当直线过点时，此时斜率为， 结合图象可知当，即时，函数的图象和直线恰有3个交点，即. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数，关于函数的结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 的解集为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式直接计算求解可判断答案. 【详解】，故A选项错误；，故B选项正确； 当时，，解得，当时，，解得， 即的解集为，故C选项错误； 当时，，解得，当时，，解得， 综上，的解集为，故D选项正确； 故选：BD. 10. 已知定义在上的偶函数在上单调递增，则可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由定义域判断A，由复合函数的单调性判断B，根据函数的定义域、奇偶性、单调性判断CD. 【详解】的定义域为，不是，不符合题意，故A错误； 令，则在上函数单调递增，且，而单调递减， 由复合函数的单调性知在上单调递减，故B错误； 的定义域为，且，所以函数为偶函数， 又当时，单调递增，故C正确； ，所以函数的定义域为，且，函数为偶函数， 当时，，由幂函数性质知，函数为增函数，故D正确. 故选：CD 11. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 函数的单调递减区间为和 D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由于是定义在上的奇函数，所以，经验证此时满足题意，所以A选项正确. 则当时，， 当时，，， 所以B选项错误. 由上述分析可知，由此画出的图象如下图所示， 由图可知，的单调递减区间为和，C选项正确. 不等式的解集为，D选项正确. 故选：ACD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一扇形的圆心角为2，周长为8，则该扇形的面积为_________ 【答案】4 【解析】 【分析】借助扇形周长公式与面积公式计算即可得. 【详解】设该扇形的半径为，圆心角为，母线为， 则， 依题意，得， 所以该扇形的面积为. 故答案为：4. 13. 曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据导数的几何意义，求出直线的斜率，再利用点斜式方程求出切线方程． 【详解】曲线，，切线的斜率为， 又当时，，切线过点， 曲线在处的切线方程是：，即. 14. 函数的单调递增区间是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的定义域，利用换元法，设，，则是由和复合而成的， 利用复合函数的单调性的求解方法求解即可得到所求. 【详解】的真数大于，即， 或， 的定义域为， 设，， 则是由和复合而成的， 为上的单调递减函数， 要求的单调递增区间， 就是求在和范围内的单调递减区间， 的开口向上，对称轴为， 在范围内是单调递减函数， 的单调递增区间为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间及在上的值域； （2）若为锐角且，求的值. 【答案】（1）单调递增区间为，值域为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解. （2）由（1）的信息，利用同角公式及差角余弦公式求解. 【小问1详解】 依题意，函数 由，解得， 所以函数的单调递增区间为； 由，得，， 所以当的值域为. 【小问2详解】 由（1）知，，由，得， 由，得，所以，， 所以 . 16. （1）计算：． （2）计算：； 【答案】（1）；（2）8. 【解析】 【分析】（1）根据指数幂运算法则化简计算即可； （2）根据对数运算法则化简计算即可. 【详解】（1）原式 ； （2）原式. 17. 已知幂函数在上单调递增. （1）求实数的值； （2）求关于的不等式的解集. 【答案】（1） （2）当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；;当时，不等式解集为. 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的概念，结合时，幂函数在上单调递增即可解题； （2）根据一元二次不等式的解集的求法，对分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 因为函数为幂函数， 所以，解得或. 当时，，在上单调递增，符合题意； 当时，，在上单调递减，不符合题意； 所以. 【小问2详解】 由（1）知，由， 得. 当，即时，不等式无解； 当，即时，不等式解为； 当，即时，不等式解为. 综上可得， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解为. 18. 已知函数． （1）当时，求该函数的取值范围； （2）若，则方程有解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，利用换元的思想转化为求二次函数的值域问题即可； （2）将问题转化为在上有解，进行参变分离，利用对勾函数的单调性进行求解． 【小问1详解】 ， 令， 所以， 因为，所以 所以该函数的取值范围为 【小问2详解】 由（1）知在上有解， 即在上有解， 所以． 由对勾函数的单调性可知，在上单调递增， 的值域是 所以的取值范围为． 19. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的单调区间； （3）若，求函数的零点个数. 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递减，在上单调递增. 当时，在上单调递增. 当时，在上单调递增. （3）两个零点 【解析】 【分析】（1）先求函数在该点的函数值和导数值，再利用导数的几何意义，即可求切线方程. （2）对函数求导，解出临界点，再根据参数的取值分类讨论其单调性，即可得解. （3）将零点问题转化为函数与直线的交点个数问题，结合（2）中得到的函数单调性，分析函数的最小值以及函数在区间端点（极限情况）的函数值，即可判断交点个数，从而得到零点个数. 【小问1详解】 由已知，则，， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由已知，且. 令，解得. 当时，在上单调递减，在上单调递增. 当时，，此时在上单调递增. 当时，，此时在上单调递增. 【小问3详解】 要求函数的零点个数，即求函数与直线的交点个数. 由（2）知，当时，在上单调递减，在上单调递增. 若，则在上单调递减，在上单调递增. 所以，又，所以， 又当和时，， 所以函数与直线有两个交点，故函数有两个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $