重庆市南开中学校2027届高三年级质量检测（一）开学考试数学试卷

重庆南开中学高2027届高三年级质量检测（一） 数学试题 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 某地区2021至2025年农村家庭人均纯收入（单位：万元）的数据如下表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代号 1 2 3 4 5 人均纯收入 2.9 3.3 4.5 4.8 据此求得关于的线性回归方程为，则上表中实数的值为（ ） A. 3.4 B. 3.5 C. 3.6 D. 3.7 5. 设双曲线（，）的左焦点到两条渐近线的距离之和为，为该双曲线的半焦距，若，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 若，，，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数（，）的图像关于点对称，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 8. 设定义在上的可导函数的导函数为，且满足，，若不等式有且只有一个正整数解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 已知实数满足，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 10. 已知袋中有4个小球，其中个红球，个黑球，这些球除颜色外没有其他差异．记，，且，，，，是公差为的等差数列．现每次从袋中不放回地随机取一个球观察颜色，记事件为“前两次取到的小球均是黑球”，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，直线与曲线相切于不同两点和，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，的单调递增区间为 B. 的值可以为0 C. 若的导函数的图象关于点对称，则，，成等差数列 D. 直线的斜率为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 记的展开式的二项式系数和为，的展开式各项系数和为，则______． 13. 定义在上的函数满足：①，②，，．则______． 14. 已知实数、满足且，则的最小值为______． 四、解答题（本大题共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图所示，在直三棱柱中，为棱的中点，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16. 已知，． （1）当时，求在区间上的最值； （2）若在处取得极大值，求实数的取值范围． 17. 已知椭圆：的离心率为且经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）斜率为1的直线与椭圆交于异于的两点、，设直线、的斜率分别为、，请写出与之间的等量关系，并证明你的结论． 18. 已知全集，中有个元素，、为全集的任意元子集，设集合所含元素个数为． （1）当，时 ①求的概率； ②求随机变量的分布列； （2）求随机变量的期望．（结果用，表示） 19. 已知函数，，记，为自然对数的底数． （1）若为增函数，求实数的最小值； （2）若有三个零点，，． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：． 重庆南开中学高2027届高三年级质量检测（一） 数学试题 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】C 二、多选题（本题共3小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】1936 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】90 四、解答题（本大题共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1）不妨设，则，． 连接AD，由直棱柱的性质知，四边形为矩形，又D为的中点， 故，于是，所以， 又，，平面ABD， 所以平面ABD，由平面ABD，故． 又平面ABC，平面ABC，故， 又＝，平面，故平面 （2）． 【16题答案】 【答案】（1）． （2）． 【17题答案】 【答案】（1） （2）与的等量关系为：． 依题意不过点,故设的方程为，与联立得， 且， 设，则，， ， 上式中分子为， 故，证毕. 【18题答案】 【答案】（1）① ② 3 4 5 6 （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2） （ⅰ） （ⅱ）法一：因为， 故，又，有唯一的正零点，所以， 由，得， 故， ， 又，，故，，故① 令，，单调递减， 所以，于是，即有② 由①②得，即有，证毕！ 法二： 由，得，， ， 故， 同理，设， ，令， ，故单调递增，又， 于是当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增． 由洛必达法则得， 所以， 令， 当时，因，，，故，单调递减； 当时，，令， ，在单调递减， ，又，故； ，故． 所以，在单调递减． 又，故， 即，故得证！ 法三： ， 由，得，， ， 故 ， 同理， 令， ，故在和单调递增． 又由洛必达法则得，，， 因，故， ，所以， 因，故，， 所以，所以，故得证！ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $