第一章丰富的图形世界 单元检测卷 2026-2027学年北师大七年级上册数学

**基本信息** 北师大七年级上册数学第一章单元卷，以空间观念与几何直观为核心，通过文化情境与实践操作题设计，覆盖立体图形认知、展开折叠等知识点，适配单元复习巩固与核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/24|立体图形识别、展开图判断、三视图应用|如第2题旋转形成几何体，考查空间观念| |填空题|5/15|点线面体关系、正方体展开图、三视图体积|如第9题结合中华武术解释几何原理，体现文化传承| |解答题|8/61|三视图作图、欧拉公式、包装盒制作实践|如19题探究无盖长方体容积变化，培养模型意识与应用能力|

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡笔 2026-2027学年北师大新教材七年级上册数学 第一章丰富的图形世界单元检测卷 建议用时：90分钟，满分：100分 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1.下列立体图形，其中圆柱体是() 2.如图，将直角三角形绕直角边所在直线1旋转一周，得到的立体图形是() B 3.如图，在下面的四个图形中，折叠后不能围成正方体的是() 4.下列说法错误的是() A.棱柱的侧面都是长方形 B.正方体所有棱长都相等 试卷第1页，共19页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 C.棱柱的侧面可能是平行四边形 D.棱柱的上、下底面形状相同 5.如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方 体的最少个数与最多个数分别是() 左视图 俯视图 A.7、8 B.7、9 C.8、9 D.9、10 6.如图，往一个有盖的长方体水杯中持续注入一些水，注水的过程中，可盖上盖子将水杯 任意放置，水平面形状不可能是() A.七边形 B.五边形 C.四边形 D.三角形 7.如图1是一个小正方体的侧面形展开图，小正方体从图2中右边所示的位置依次翻到第 1格，第2格，第3格，这时小正方体朝上一面的字是() 中国 城 江苏 盐 盐城 图1 图2 A.中 B.国 C.江 D.苏 8.下列说法中正确的是() A.从一个八边形的某个顶点出发共有6条对角线 B.用一个平面去截一个长方体，截面形状可以是五边形 C.如果一个多边形的各边相等，那么它的各个角也相等 D.把弯曲的公路改直，就能缩短路程，这个实例体现的几何事实是两点确定一条直线 二、填空题（每小题3分，共15分） 9.中华武术是中国传统文化之一，是独具民族风貌的武术文化体系.从数学的角度，“枪 试卷第2页，共19页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 挑一条线”可解释为。 一；“棍扫一大片”可解释为。 10.从正面、左面、上面三个不同方向观察同一物体时看到的某物体的形状如图所示，根 据图中提供的数据计算该几何体的体积为 cm3 2cm cm 2cm-> ←-2cm -2cm 从正面看 从左面看 从上面看 11.如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中“创”字所在的面相对的面上标的字 是 创 建 魅 力 洮 南 12.一个正方体的六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，从三个不同的方向看到的情形 如图1所示，图2为这个正方体的侧面展开图，则图中的x表示的数字是 2 9 4 图1 图2 13.一个几何体何体由若干大小相同的小立方块搭成，图中所示的分别是从它的正面、上 面看到的形状图，这个几何体至少是 个小立方块搭成的，至多是 个 小立方块搭成的 从正面看 从上面看 三、解答题（12+6+7+8+8+8+10+10=61分) 14.如图是由一些棱长都为2cm的小正方体组合成的简单几何体. 试卷第3页，共19页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 里危先今笔 从正面看 从正面看 从左面看 从上面看 备用图 (1)请在下面方格中分别画出这个几何体从三个不同的方向（正面、左面和上面）看到的视 图； (2)求该几何体的表面积（包括底部）； (3)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从上面看到的视图和从左面看到的视 图不变，最多可以再添加 块小正方体， 15.如图是长方体包装盒的展开图.具体数据如图所示，且长方体盒子的长是宽的2倍. 96cm 高 ② 宽 ③ ⑤ ⑥ 57cm 长 ① ④ (1)展开图的6个面分别标有如图所示的序号，若将展开图重新围成一个包装盒，则相对的 面分别是①与 ，②与 ③与 (2)若设长方体的宽为xcm,则长方体的长为 cm,高为 cm: (用含x的式子 表示) (3)求这种长方体包装盒的体积. 16.【问题背景】用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状如图所示，在 从上面看到的形状图中，小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数， a 从正面看 从上面看 (I)【初步探究】a、b、c各表示几？ (②)【深入探究】这个几何体最少由几个小立方块搭成？最多由几个小立方块搭成？ (3)能搭出满足条件的几何体共有几种情况？其中从左面看这个几何体的形状图共有几种？ 试卷第4页，共19页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 里危光今笔 请画出其中的任意一种， 17.十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数()、面数(F)、棱数() 之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式.请你观察图中几种简单多面体模型，解 答下列问题： 四面体 正方体 八面体 十二面体 (1)根据图中的多面体模型，填写表格中的空格： 多面体 顶点数() 面数(F) 棱数(E) 四面体 6 正方体 8 6 八面体 8 12 十二面体 20 12 30 (2)根据上面的表格，猜想顶点数()、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是 (用所给的字母表示). (3)若一个多面体的面数比顶点数少14，且有48条棱，则这个多面体的面数是 (4)有一个玻璃饰品的外形是简单多面体，它共有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该 多面体的面数为x,求x的值. 18.十八世纪伟大的数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(v),面数(，棱数() 之间存在一个有趣的数量关系：v+f-=2,这就是著名的欧拉定理.而正多面体，是指 多面体的各个面都是形状大小完全相同的正多边形，虽然多面体的家族很庞大，可是正多 面体的成员却仅有五种，它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面 体，那今天就让我们来了解下这几个立体图形中的“天之骄子”： 试卷第5页，共19页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 图1 图2 图3 (1)如图1，正四面体共有 个顶点， 条棱. (2)如图2，正六面体共有一个顶点， 条棱 (3)如图3是某个方向看到的正八面体的部分形状（虚线被隐藏），正八面体每个面都是正 三角形，每个顶点处有四条棱，那么它共有 个顶点， 条棱 (4)当我们没有正12面体的图形时，我们可以根据计算了解它的形状：我们设正12面体每 n(n≥3) 边形，每个顶点处有 m(m≥3) 个面都是正 条棱，则共有12n÷2=6m条棱，有 12n÷m=12 个顶点.欧拉定理得到方程，+12-61=2，且，”均为正整数 m 去掉分母后：12n+12m-6nm=2m, 将n看作常数移项：12m-6m-2m=-12n, (10-6n)m=-12n 合并同类项： -12n.12n 化系数为1：m= 10-6n6n-10 12m=12n-20+20_12m-20+20-26m-10）+20。=2+20 变形：m=6n-10 6n-10 6n-106n-106n-106n-10 6n-10 20 分析：m(m≥3)，n(n≥3)均为正整数，所以6n-10是正整数，所以n=5,m=3,即 12n=20 6n=30’m 因此正12面体每个面都是正五边形，共有30条棱，20个顶点. 请依据上面的方法或者根据自己的思考得出：正20面体共有条棱； 个顶点. 19.综合与实践 生活中很多物品的包装盒都可以近似看作长方体，小华在学习了数学活动“制作包装盒” 这节课时，用一张正方形的纸片制作一个无盖长方体盒子，按照如图所示的方式，将正方 形的四个角剪掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，做成了一个无盖的长方体 试卷第6页，共19页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 盒子并进行如下探究： (I)如果原正方形纸片的边长为acm,剪去的正方形的边长为bcm,则折成的无盖长方体盒 子的高为 _cm,底面积为_cm,请你用含a,b的代数式来表示这个无盖长方体 纸盒的容积 cm3 (2)如果a=20cm,剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取lcm,2cm, 3cm,4cm,5cm,6cm,7cm,8cm,9cm,10cm 时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将 计算的结果填入下表： 剪去正方形的边长单 1 3 4 5 8 9 10 位：cm 50 容积（单位：cm3) 324 512 384 252 128 36 0 0 (3)观察绘制的统计表，你会发现，随着剪去的小正方形的边长的增大， 所折无盖长方体盒 子的容积如何变化？() A.一直增大B.一直减小C.先增大后减小D.先减小后增大 (4)现在需要对无盖长方体盒子的所有外表面（包括底面）进行涂色，当a=20cm,b=5cm时， 需要涂色的面积是多少？ 20.问题情景：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动. ()下列图形中，是无盖正方体的表面展开图的是 (填序号) ① ② ③ ④ 试卷第7页，共19页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 a(cm) (2)综合实践小组利用边长为 的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1 为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒)，其中a=30cm,b=5cm. 图1 图2 ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子.方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长 为b(©m)的小正方形，再沿虚线折合起来.则长方体纸盒的底面积为_cm2; ②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒.方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长 为b(©m)的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来.则该长方体纸盒的 体积为 cm: ③制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的一倍： (3)若有盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平 面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为； (4)若无盖（缺长宽为6,4的长方形底面）长方体的长、宽、高分别为6、4、3，将它的 表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最小外围周长为 试卷第8页，共19页苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 · 2026-2027学年北师大新教材七年级上册数学 · 第一章丰富的图形世界单元检测卷 · 建议用时：90分钟，满分：100分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．下列立体图形，其中圆柱体是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】常见的几何体 【分析】此题考查认识立体图形．圆柱是由上下两个平行且大小一样的圆面和一个侧面（曲面）组成的立体图形，直接根据圆柱体的几何特点解答即可． 【详解】解：根据圆柱的特点可知选项C中的图形是圆柱． 故选：C． 2．如图，将直角三角形绕直角边所在直线l旋转一周，得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题考查了点、线、面、体，面动成体，根据题意作出图形，即可进行判断． 【详解】解：直角三角形绕它的直角边旋转一周可形成圆锥， 故选：A． 3．如图，在下面的四个图形中，折叠后不能围成正方体的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正方体几种展开图的识别 【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图的常见形式作答即可． 【详解】解：由展开图可知： A、符合“二，二，二” 基本形式，能围成正方体，故不符合题意； B、符合“一，四，一” 基本形式，能围成正方体，故不符合题意； C、符合“一，四，一” 基本形式，能围成正方体，故不符合题意； D、有“田”字格，不能折成正方体，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体．能组成正方体的“一，四，一” “三，三”“二，二，二”“一，三，二”的基本形式要记牢，注意只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图． 4．下列说法错误的是（    ） A．棱柱的侧面都是长方形 B．正方体所有棱长都相等 C．棱柱的侧面可能是平行四边形 D．棱柱的上、下底面形状相同 【答案】A 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】本题主要考查立体图形的认识，根据棱柱的定义逐一进行判断即可． 【详解】解：A、斜棱柱的侧面是平行四边形，不一定是长方形，故原说法错误，符合题意； B、正方体所有棱长都相等，原说法正确，不符合题意； C、棱柱的侧面可能是平行四边形，原说法正确，不符合题意； D、棱柱的上、下底面形状相同，原说法正确，不符合题意． 故选：A． 5．如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的最少个数与最多个数分别是（   ） A．7、8 B．7、9 C．8、9 D．9、10 【答案】A 【知识点】已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 【分析】本题主要考查了小正方体组成的几何体的三视图，根据左视图可确定上面一层最少有2个小正方体，根据俯视图可确定下面一层有5个小正方体，上面一层最多有3个小正方体，据此可得答案． 【详解】解：由左视图可知，该几何体有上下两层，上面一层最少有2个小正方体， 由俯视图可知，该几何体下面一层有5个小正方体，且上面一层最多有3个小正方体， ∴所需的小正方体的最少个数为，最多个数为， 故选：A． 6．如图，往一个有盖的长方体水杯中持续注入一些水，注水的过程中，可盖上盖子将水杯任意放置，水平面形状不可能是（   ） A．七边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【答案】A 【知识点】截一个几何体 【分析】本题考查了长方体的截面，长方体有六个面，用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，因此截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形，即可得到答案，解题的关键是熟练掌握面面相交得到线． 【详解】解：∵长方体有六个面，用一个平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， ∴注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， ∴所得水平面形状可能是三角形、四边形、五边形和六边形，不可能出现七边形， 故选：A． 7．如图1是一个小正方体的侧面形展开图，小正方体从图2中右边所示的位置依次翻到第1格，第2格，第3格，这时小正方体朝上一面的字是（    ） A．中 B．国 C．江 D．苏 【答案】B 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】先根据翻转的方向确定底面上的字，再由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点得出朝上一面的字即可得答案． 【详解】由题意可知正方体翻转到3时，“盐”字在底面， ∵正方体表面展开图相对面之间一定相隔一个正方形， ∴“盐”字的对面是“国”字， ∴小正方体朝上一面的字是“国”， 故选：B． 【点睛】本题考查正方体相对两个面上的文字，熟练掌握正方体的表面展开图相对面之间一定相隔一个正方形的特点并解结合实际操作是解题关键． 8．下列说法中正确的是（　　） A．从一个八边形的某个顶点出发共有6条对角线 B．用一个平面去截一个长方体，截面形状可以是五边形 C．如果一个多边形的各边相等，那么它的各个角也相等 D．把弯曲的公路改直，就能缩短路程，这个实例体现的几何事实是两点确定一条直线 【答案】B 【知识点】截一个几何体、两点之间线段最短、多边形对角线的条数问题 【分析】本题考查多边形的相关概念，以及两点之间线段最短的实际应用，根据边形对角线为条，即可判断A项，根据立体图形截面的特点，即可判断B项，根据多边形的特点，即可判断C项，根据对两点之间线段最短的理解，即可判断D项． 【详解】解：A、从一个八边形的某个顶点出发共有5条对角线，所以A项错误，不符合题意． B、用一个平面去截一个长方体，截面形状可以是五边形，所以B项正确，符合题意． C、如果一个多边形的各边相等，那么它的各个角不一定相等，例如：菱形各边相等，但各角不相等，所以C项错误，不符合题意． D、把弯曲的公路改直，就能缩短路程，这个实例体现的几何事实是两点之间线段最短，所以D项错误，不符合题意． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 9．中华武术是中国传统文化之一，是独具民族风貌的武术文化体系．从数学的角度，“枪挑一条线”可解释为________；“棍扫一大片”可解释为________． 【答案】 点动成线 线动成面 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题考查点、线、面、体．从运动的观点来看点动成线，线动成面，面动成体，再结合题意即可求解． 【详解】解：枪挑一条线即为点动成线，棍扫一大片即为线动成面， 故答案为：点动成线，线动成面． 10．从正面、左面、上面三个不同方向观察同一物体时看到的某物体的形状如图所示，根据图中提供的数据计算该几何体的体积为______．    【答案】 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题主要考查从不同方向看几何体，求几何体体积，根据从正面、左面、上面三个不同方向观察该几何体为圆柱，再结合圆柱体积公式计算求解即可． 【详解】解：从正面、左面、上面三个不同方向观察该几何体为圆柱； 故答案为：． 11．如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中“创”字所在的面相对的面上标的字是________． 【答案】南 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“创”与面“南”相对，面“建”与面“力”相对，面“魅”与面“洮”相对． 故答案为：南 12．一个正方体的六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，从三个不同的方向看到的情形如图1所示，图2为这个正方体的侧面展开图，则图中的表示的数字是________． 【答案】 【知识点】正方体相对两面上的字、从不同方向看几何体 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的数字，从不同方向看几何体，熟练掌握正方体的展开图特点是解题关键． 先根据图1可得数字1所在面的相对面上的数字是5，数字4所在面的相对面上的数字是2，则可得数字6所在面的相对面上的数字是3，再根据图2可得标有的面与标有数字2的面是相对面，由此即可得解． 【详解】解：由图1可知，与标有数字1的面相邻的面上的数字有， ∴数字1所在面的相对面上的数字是5， 同理可得：数字4所在面的相对面上的数字是2， ∴数字6所在面的相对面上的数字是3， 由图2可知，标有的面与标有数字2的面是相对面， ∴． 故答案为：． 13．一个几何体何体由若干大小相同的小立方块搭成，图中所示的分别是从它的正面、上面看到的形状图，这个几何体至少是__________个小立方块搭成的，至多是__________个小立方块搭成的． 【答案】 6 8 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，根据从正面看到的图形和从上面看到的图形可知该几何体靠右边的两列各有一个立方块，左边这列最小有4个立方块，最多有6个立方块，据此可得答案． 【详解】解：从正面看，有两层，三列，其中左边一列有两层，右边两列只有一层，从上面看，有三列，其中右边两列各1个立方块，结合从正面看到的，右边两列各有1个立方块，左边这列，上下两层，最多6块，最少4块， ∴这个几何体至少是个小立方块搭成的，至多是个小立方块搭成的， 故答案为：6；8． 三、解答题（12+6+7+8+8+8+10+10=61分） 14．如图是由一些棱长都为的小正方体组合成的简单几何体． (1)请在下面方格中分别画出这个几何体从三个不同的方向（正面、左面和上面）看到的视图； (2)求该几何体的表面积（包括底部）； (3)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从上面看到的视图和从左面看到的视图不变，最多可以再添加_______块小正方体． 【答案】(1) 如图所示： (2) (3)6 【知识点】已知三视图求侧面积或表面积、从不同方向看几何体、已知三视图求最多或最少的小立方块的个数、求小立方块堆砌图形的表面积 【分析】本题考查了作图三视图，用到的知识点为：计算几何体的表面积应有顺序的分为相对的面进行计算不易出差错；三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． （1）从上面看得到从左往右3列正方形的个数依次为2，1，1，1；从正面看得到从左往右3列正方形的个数依次为1，3，1，1；从左面看得到从左往右2列正方形的个数依次为3，1；依此画出图形即可； （2）有顺序的计算上下面，左右面，前后面的表面积之和即可； （3）根据保持这个几何体的左视图和俯视图不变，可知添加小正方体的个数． 【详解】（1）略 （2） ． 故该几何体的表面积（包括底部）是． （3）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从上面看到的视图和从左面看到的视图不变，最多可以再添加6块小正方体． 如图： 故答案为：6； 15．如图是长方体包装盒的展开图．具体数据如图所示，且长方体盒子的长是宽的2倍． (1)展开图的6个面分别标有如图所示的序号，若将展开图重新围成一个包装盒，则相对的面分别是①与_______，②与_______，③与_______； (2)若设长方体的宽为xcm，则长方体的长为_______cm，高为_______cm；（用含x的式子表示） (3)求这种长方体包装盒的体积． 【答案】(1)：⑤；④；⑥； (2)2x，； (3)这种长方体包装盒的体积是． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、列代数式、几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的体积 【分析】（1）根据长方体的展开图判断其相对面即可． （2）根据长、宽、高的关系，用含x的式子表示长和高即可． （3）根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：展开图的6个面分别标有如图所示的序号，若将展开图重新围成一个包装盒，则相对的面分别是①与⑤，②与④，③与⑥． （2）设长方体的宽为，则长方体的长为，高为 ． （3）∵长是宽的2倍， ∴， 去分母得：， 整理得：， 解得：， ∴这种长方体包装盒的体积， 答：这种长方体包装盒的体积是． 【点睛】本题考查了长方体的展开图问题，掌握长方体的展开图、长方体的体积公式、解一元一次方程的方法是解题的关键． 16．【问题背景】用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状如图所示，在从上面看到的形状图中，小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数． (1)【初步探究】、、各表示几？ (2)【深入探究】这个几何体最少由几个小立方块搭成？最多由几个小立方块搭成？ (3)能搭出满足条件的几何体共有几种情况？其中从左面看这个几何体的形状图共有几种？请画出其中的任意一种． 【答案】(1)，，； (2)这个几何体最少由9个小立方块搭成；这个几何体最多由11个小立方块搭成； (3)满足条件的几何体共有种情况，其中从左面看到的形状图共有种， 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，利用空间想象解题是关键． （1）根据图形作答即可； （2）由图形可知，第一列最少有一个位置是2个小正方，最多有三个位置是2个小正方，第二列和第三列小正方体的数量固定，分别为2、3，即可作答； （3）根据第一列小正方体的数量以及排列方式可知，满足条件的几何体共有种情况，其中从左面看到的形状图共有种，再分别画出图形即可． 【详解】（1）解：由图形可知，，，． （2）解：由图形可知，第一列最少有一个位置是2个小正方体，最多有三个位置是2个小正方体，第二列和第三列小正方体的数量固定，分别为2、3， 则这个几何体最少由个小立方块搭成；这个几何体最多由个小立方块搭成． （3）解：根据第一列小正方体的数量以及排列方式可知，满足条件的几何体共有种情况，其中从左面看到的形状图共有种， 当，或，时，从左面看到的形状图如图①所示． 当，或，时，从左面看到的形状图如图②所示． 当，时，从左面看到的形状图如图③所示． 当，或时，从左面看到的形状图如图④所示．    17．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察图中几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据图中的多面体模型，填写表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 正方体 8 6 八面体 8 12 十二面体 20 12 30 (2)根据上面的表格，猜想顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是______（用所给的字母表示）． (3)若一个多面体的面数比顶点数少14，且有48条棱，则这个多面体的面数是______． (4)有一个玻璃饰品的外形是简单多面体，它共有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体的面数为，求的值． 【答案】(1)12；6 (2) (3)18 (4) 【知识点】列代数式、几何体中的点、棱、面、其他问题(一元一次方程的应用)、图形类规律探索 【分析】本题主要考查立体图形的相关概念，图形规律的探索，列代数式，实际问题与一元一次方程，熟练掌握以上知识点是做题的关键． （1）观察图形即可得出答案； （2）观察图形和表格即可得出规律； （3）根据（2）中的关系式，代入即可求值； （4）根据题意可列方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：观察图形，正方体的棱数为12，正八面体的顶点数为6． 故答案为：12；6． （2）解：观察图形和表格可以看出：顶点数＋面数－棱数， 即． 故答案为：． （3）解：由题意得，， 解得，． 故答案为：18． （4）解：因为该多面体的顶点数，且每个顶点处有3条棱， 所以该多面体的棱数． 因为， 所以， 解得，． 答：的值为． 18．十八世纪伟大的数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（v），面数（f），棱数（e）之间存在一个有趣的数量关系：，这就是著名的欧拉定理．而正多面体，是指多面体的各个面都是形状大小完全相同的正多边形，虽然多面体的家族很庞大，可是正多面体的成员却仅有五种，它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，那今天就让我们来了解下这几个立体图形中的“天之骄子”： (1)如图1，正四面体共有______个顶点，_______条棱． (2)如图2，正六面体共有______个顶点，_______条棱． (3)如图3是某个方向看到的正八面体的部分形状（虚线被隐藏），正八面体每个面都是正三角形，每个顶点处有四条棱，那么它共有_______个顶点，_______条棱． (4)当我们没有正12面体的图形时，我们可以根据计算了解它的形状：我们设正12面体每个面都是正边形，每个顶点处有条棱，则共有条棱，有个顶点．欧拉定理得到方程：，且m，n均为正整数， 去掉分母后：， 将n看作常数移项：， 合并同类项：， 化系数为1：， 变形：． 分析：均为正整数，所以是正整数，所以，即，． 因此正12面体每个面都是正五边形，共有30条棱，20个顶点． 请依据上面的方法或者根据自己的思考得出：正20面体共有_____条棱；_______个顶点． 【答案】(1)4；6 (2)8；12 (3)6；12 (4)30；12 【知识点】几何体中的点、棱、面、解一元一次方程（三）——去分母、图形类规律探索 【分析】（1）根据面数×每面的边数÷每个顶点处的棱数可求点数，用顶点数×每个顶点的棱数÷2即可的棱数； （2）用正六面体有六个面×每个面四条棱÷每个顶点处有三条棱可得正六面体共8个顶点，用8个顶点数×每个顶点处有3条棱÷2正六面体共有=12条棱； （3）正八面体每个面都是正三角形，每个顶点处有四条棱，用八个面×每个面有三棱÷每个顶点处有四条棱，它共有6个顶点，利用顶点数×每个顶点处有四条棱÷2可得正八面体12条棱； （4）正20面体每个面都是正n边形，每个顶点处有m条棱，则共有条棱，有个顶点．欧拉定理得到方程：，且m，n均为正整数，可求，变形：，求正整数解即可． 【详解】（1）解：如图1，正四面体又四个面，每个面有三条边，每个顶点处有三条棱，共有个顶点， ∵共有4个顶点，每个顶点处有3条棱，每两点重复一条， ∴正四面体共有条棱． 故答案为4；6； （2）解：如图2，正六面体有六个面，每个面四条棱，每个顶点处有三条棱，共有个顶点， ∵正六面体共8个顶点，每个顶点处有3条棱，每两点重复一条， ∴正六面体共有条棱． 故答案为：8；12； （3）解：如图3正八面体每个面都是正三角形，每个顶点处有四条棱，有八个面，每个面有三棱，每个顶点处有四条棱，共有个顶点， ∵正八面体共有6个顶点，每个顶点处有4条棱， ∴正八面体共有条棱． 故答案为：6；12； （4）解：正20面体每个面都是正n边形，每个顶点处有m条棱，则共有条棱，有个顶点． ∴由欧拉定理得到方程：，且m，n均为正整数， 去掉分母后：， 将n看作常数移项：， 合并同类项：， 化系数为1： ， 变形： ． ∵均为正整数， ∴是正整数， ∴，即，． ∴正20面体共有30条棱；12个顶点． 故答案为：30；12． 【点睛】本题主要考查了正多面体顶点数，面数和棱数的关系，图形类的规律探索，解一元一次方程，正确理解题意是解题的关键． 19．综合与实践 生活中很多物品的包装盒都可以近似看作长方体，小华在学习了数学活动“制作包装盒”这节课时，用一张正方形的纸片制作一个无盖长方体盒子，按照如图所示的方式，将正方形的四个角剪掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，做成了一个无盖的长方体盒子并进行如下探究： (1)如果原正方形纸片的边长为，剪去的正方形的边长为，则折成的无盖长方体盒子的高为______cm，底面积为______，请你用含的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积______． (2)如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取，时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将计算的结果填入下表： 剪去正方形的边长单位：cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 容积（单位：） 324 512 500 384 252 128 36 0 (3)观察绘制的统计表，你会发现，随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？（    ） A．一直增大    B．一直减小    C．先增大后减小    D．先减小后增大 (4)现在需要对无盖长方体盒子的所有外表面(包括底面)进行涂色，当时，需要涂色的面积是多少？ 【答案】(1)，，； (2)，； (3)C； (4) 【知识点】列代数式、由展开图计算几何体的表面积、由展开图计算几何体的体积、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查长方体的展开图、表面积计算及代数式的实际应用，核心是理解折叠后长方体的长、宽、高与原正方形边长的数量关系． （1）根据长方体的展开图，直接推导盒子的高、底面边长，进而得到底面积和容积的代数式； （2）将给定的和的值代入容积公式，通过有理数运算得出结果； （3）观察表格中容积随剪去正方形边长的变化数据，总结变化趋势； （4）涂色面积可通过“原正方形面积减去4个剪去的小正方形面积”快速计算，或直接计算长方体各外表面的面积之和． 【详解】（1）解：由折叠过程可知，无盖长方体盒子的高等于剪去的正方形边长，即； 底面为正方形，其边长为原正方形边长减去2个剪去正方形的边长，即，故底面积为； 容积为底面积与高的乘积，即； 故答案为：，，； （2）解：当，时，容积； 当，时，容积； 故表格中依次填，； （3）解：观察表格数据：剪去正方形边长从1到3时，容积逐渐增大；从3到时，容积逐渐减小，因此容积随剪去正方形边长的增大先增大后减小， 故选：C； （4）解：原正方形纸片的面积为， 剪去的4个小正方形的总面积为， 需要涂色的面积． 答：需要涂色的面积是． 20．问题情景：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)下列图形中，是无盖正方体的表面展开图的是______；（填序号）    (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．其中，．    ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面积为______； ②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为______； ③制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的______倍； (3)若有盖长方体的长、宽、高分别为、、，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为______； (4)若无盖（缺长宽为，的长方形底面）长方体的长、宽、高分别为、、，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最小外围周长为______． 【答案】(1)①③④ (2)①；②；③ (3) (4) 【知识点】几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的体积、正方体几种展开图的识别 【分析】（1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成求解； （2）①根据长方形面积公式即可得解； ②根据长方体的体积公式即可得解； ③分别求出无盖盒子的体积和有盖盒子体积，即可求解； （3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，可得答案； （4）根据边长最短的都剪，边长最长的不剪，据此可得答案． 【详解】（1）解：根据构成，②只能折成个面，①③④才能折成一个无盖正方体纸盒， 故选：①③④； （2）①长方体纸盒的底面面积为， ∴长方体纸盒的底面积为， 故答案为：； ②长方体纸盒的底面积为， ∴该长方体纸盒的体积为， 故答案为：； （2）由（1）可知：无盖盒子的体积：， 有盖盒子的体积：， ∵， ∴制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的倍， 故答案为：； （3）如图所示，    ∴该长方体表面展开图的最大外围周长为， 故答案为：； （4）    ∴该长方体表面展开图的最小外围周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． 试卷第18页，共19页 试卷第19页，共19页 学科网（北京）股份有限公司 $