2.3 实数 讲义2026-2027学年苏科版数学八年级上册

本讲义聚焦初中数学“实数”核心知识点，系统梳理无理数的定义与类型、实数的分类及性质、与数轴的对应关系、大小比较、无理数估算及计算器使用，构建从有理数到实数的数系扩展学习支架。 资料以题型为框架，通过解题知识梳理与典例变式训练，培养学生抽象能力与运算能力。如无理数判断结合具体实例发展数学眼光，实数与数轴对应渗透几何直观，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升应用意识。

2.3 实数 内 容 导 航 题型1 无理数 题型2 实数 题型3 实数的性质 题型4 实数与数轴 题型5 实数大小比较 题型6 估算无理数的大小 题型7 计算器—基础知识 题型8 计算器—数的开方 考 点 演 练 题型1 无理数 解｜题｜知｜识 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： 　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 比如4＝4.0，0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如1.414213562． 　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数． 无理数常见的三种类型 （1）开不尽的方根，如等． （2）特定结构的无限不循环小数， 如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． （3）含有π的绝大部分数，如2π． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 【典例1】在实数中，无理数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：0.31，0.101001001是有限小数，属于有理数． 在实数中，是无理数的是，，共2个． 故选：B． 【变式1】下列实数中，是无理数的是（　　） A． B． C．0. D． 【答案】B 【解答】解：是分数，0.是无限循环小数，2是整数，它们不是无理数， 是无限不循环小数，它是无理数， 故选：B． 【变式2】下列各数中，属无理数的是（　　） A． B． C． D．﹣1.414 【答案】C 【解答】解：A、是有理数，故本选项不符合题意； B、，是有理数，故本选项不符合题意； C、是无理数，故本选项不符合题意； D、﹣1.414是有理数，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式3】实数，，0，，1.010010001…中，无理数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：无理数有，，1.010010001...，共3个． 故选：C． 题型2 实数 解｜题｜知｜识 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （2）实数的分类： 实数： 或 实数： 【典例1】下列说法中，正确的是（　　） A．无限不循环小数都是无理数 B．分数都是无理数 C．无理数都是循环小数 D．无限小数都是无理数 【答案】A 【解答】解：A、无限不循环小数都是无理数，故A正确； B、有理数是整数与分数的统称，故B错误； C、无限不循环小数是无理数，故C选项错误； D、无限循环小数是有理数，故D选项错误． 故选：A． 【变式1】下列说法不正确的是（　　） A．4的平方根是±2 B．正数、零和负数都有立方根 C．只有非负数才有平方根 D．﹣27的立方根是 【答案】D 【解答】解：A．4的平方根是±2，故A不符合题意； B．正数、零和负数都有立方根，故B不符合题意； C．只有非负数才有平方根，故C不符合题意； D．﹣27的立方根是﹣3，故D符合题意； 故选：D． 【变式2】在，，，0.3030030003，，3.14中，有理数有几个（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解答】解：，0.3030030003，，3.14是有理数． 故选：C． 【变式3】把下列各数填入相应的集合内． ﹣2，，，0，3.14，86%，﹣2014，5，，1.21221222122221… 整数集合{ 　 　 …}； 分数集合{ 　 　 …}； 无理数集合{ 　 　 …}． 【答案】﹣2，0，5； ，，3.14，86%； ，1.21221222122221…． 【解答】解：整数集合{﹣2，0，5…}； 分数集合{ ，，3.14，86%…}； 无理数集合{，1.21221222122221……}； 故答案为：﹣2，0，5； ，，3.14，86%； ，1.21221222122221…． 题型3 实数的性质 解｜题｜知｜识 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a． 实数的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 【典例1】下列表格中关于有理数“2”的描述，说法错误的序号是（　　） 相反数 倒数 绝对值 平方根 2 ①﹣2 ② ③2 ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【解答】解：2的相反数是﹣2， 2的倒数是， 2的绝对值是2， 2的平方根为， 故答案为：D． 【变式1】的算术平方根的相反数是（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【答案】B 【解答】解：4， 4的算术平方根是2． 2的相反数是﹣2． 故选：B． 【变式2】实数﹣π的相反数是（　　） A．﹣π B． C．π D． 【答案】C 【解答】解：实数﹣π的相反数是π， 故选：C． 【变式3】2的绝对值为　 　 ． 【答案】2 【解答】解：2的绝对值为2． 故答案为：2． 题型4 实数与数轴 解｜题｜知｜识 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 【典例1】如图，正方形ABCD的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且AD＝AE，则点E所表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵正方形ABCD的面积为7， ∴， ∵AD＝AE， ∴， ∵点A表示的数为1，且点E在点A的左侧， ∴E点所表示的数为． 故选：D． 【变式1】下列说法正确的是（　　） A．的算术平方根是9 B．无理数和有理数统称为实数 C．立方根等于它本身的数是0和1 D．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 【答案】B 【解答】解：因为9，所以的算术平方根即是9的算术平方根， 所以3， 故A错误； 有理数和无理数统称为实数，故选B； 立方根等于它本身的数是0和±1，故C错误； 数轴上的每一个点都有一个实数与它对应，故D错误． 故选：B． 【变式2】如图，长方形ABCD的边AD在数轴上，若点A与数轴上表示数﹣1的点重合，点D与数轴上表示数﹣4的点重合，AB＝1，以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E，则点E表示的数为 　 ． 【答案】． 【解答】解：在长方形ABCD中，AD＝﹣1﹣（﹣4）＝3，AB＝CD＝1， ∴， 则点A到该交点的距离为， ∵点A表示的数为﹣1， ∴该点表示的数为：， 故答案为：． 【变式3】如图，已知Rt△ABC中，BC＝1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为　 ． 【答案】1 【解答】解：由勾股定理得，AC， ∴AD＝AC， ∵点A表示的数是1， ∴点D表示的数是﹣（1）＝1． 故答案为：1． 题型5 实数大小比较 解｜题｜知｜识 实数大小比较 （1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 【典例1】下列四个实数中，比﹣2大的无理数是（　　） A．0 B．﹣1 C． D． 【答案】C 【解答】解：0，﹣1是有理数，故选项A、B不符合题意； ∵， 是无理数， 故答案为：C． 【变式1】在，0，﹣5，6这四个数中，绝对值最小的数是（　　） A．0 B． C．﹣5 D．6 【答案】A 【解答】解：∵||，|0|＝0，|﹣5|＝5，|6|＝6， ∵05＜6， ∴绝对值最小的数是0． 故选：A． 【变式2】在四个数中，最小的数是（　　） A．﹣2 B．0 C．π D． 【答案】A． 【解答】解：∵﹣20＜π， ∴最小的数是：﹣2． 故选：A． 【变式3】比较大小： 　 　 4．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】＜ 【解答】解：∵4， ∴4， ∴4． 故答案为：＜． 题型6 估算无理数的大小 解｜题｜知｜识 估算无理数大小要用逼近法． 思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 【典例1】已知：3a+1的立方根是﹣2，2b﹣1的算术平方根是3，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求2a﹣b的平方根． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵3a+1的立方根是﹣2， ∴3a+1＝﹣8， 解得，a＝﹣3， ∵2b﹣1的算术平方根是3， ∴2b﹣1＝9， 解得，b＝5， ∵， ∴67， ∴的整数部分为6， 即，c＝6， 因此，a＝﹣3，b＝5，c＝6， （2）当a＝﹣3，b＝5，c＝6时， 2a﹣b6﹣56＝16， 2a﹣b的平方根为±±4． 【变式1】阅读并解答：为了求的整数部分与小数部分，聪明的小明这样思考： ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： （1）求的整数部分与小数部分各是多少？ （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的平方根． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵， ∴的整数部分为4，的小数部分为， （2）∵， ∴的整数部分为2， 的小数部分为， ∵， 即， ∴的整数部分为b＝3， 则 ∴的平方根为±1 【变式2】已知：2x﹣1和4x+3是m的两个不同的平方根，2y+2是的整数部分． （1）求x，y，m的值． （2）求1+4y的平方根． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意得，2x﹣1+4x+3＝0， 解得， ∴， ∴； ∵，即， ∴的整数部分是3， ∴2y+2＝3， 解得， 故答案为：，，， （2）把代入，， 3的平方根是， 故答案为：． 【变式3】已知m﹣2的立方根是3，n+1的算术平方根是2，d是的整数部分． （1）求m，n，d的值； （2）求m﹣4n+d的平方根． 【答案】（1）m的值为29，n的值为3，d的值为5； （2）m﹣4n+d的平方根是． 【解答】解：（1）由条件可知m﹣2＝33＝27， ∴m＝27+2＝29． ∵n+1 的算术平方根是 2， ∴n+1＝22＝4， ∴n＝4﹣1＝3． ∵d 是 的整数部分，且 52＝25＜29＜36＝62， ∴ 的整数部分 d＝5． （2）由条件可知m﹣4n+d＝29﹣4×3+5＝29﹣12+5＝22， ∴m﹣4n+d 的平方根是 ． 题型7 计算器—基础知识 解｜题｜知｜识 （1）计算器的面板是由键盘和显示器组成． （2）开机键和关机键各是AC/ON，OFF，在使用计算器时要按AC/ON键，停止使用时要按OFF键． （3）显示器是用来显示计算时输入的数据和计算结果的装置．键上的功能是第一功能，直接输入，下面对应的是第二功能，需要切换成才能使用． （4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”． （5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx2被开方数ENTE． （6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE． （7）部分标准型具备数字存储功能，它包括四个按键：MRC、M﹣、M+、MU．键入数字后，按M+将数字读入内存，此后无论进行多少步运算，只要按一次MRC即可读取先前存储的数字，按下M﹣则把该数字从内存中删除，或者按二次MRC． 注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作． 【典例1】有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动减去x，同时B区就会自动加上x，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是2和m（如图所示）． （1）第一次按键后，A区显示的结果为　 ，B区显示的结果为 　 ； （2）若第二次按键后A、B两区显示的代数式的乘积为M． ①将代数式M化简，并求当x＝2，m＝1时，代数式M的值； ②若代数式M的值与m的取值无关，求x的值． 【答案】（1）2﹣x，m+x； （2）①﹣4x2+（4﹣2m）x+2m，﹣10； ②1． 【解答】解：（1）由题意可得， 第一次按键后，A区显示的结果为2﹣x，B区显示的结果为m+x， 故答案为：2﹣x，m+x； （2）①由题意可得： M＝（2﹣x﹣x）（m+x+x） ＝（2﹣2x）（m+2x） ＝2m+4x﹣2mx﹣4x2， ＝﹣4x2+（4﹣2m）x+2m， 当x＝2，m＝1时，M＝﹣4×22+（4﹣2×1）×2+2×1＝﹣10； ②由①知：M＝2m+4x﹣2mx﹣4x2＝﹣4x2+2m（1﹣x）+4x， ∵代数式M的值与m的取值无关， ∴1﹣x＝0， 解得x＝1， 即代数式M的值与m的取值无关，此时x的值为1． 题型8 计算器—数的开方 解｜题｜知｜识 正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是： 当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍． 【典例1】用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： n 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若，，则（　　） A．41.4 B．13.1 C．414 D．131 【答案】A 【解答】解：由表格可知，被开方数的小数点（向右或向左）移动两位，其算术平方根的小数点相应地向相同方向移动一位， ∵4.14， ∴41.4． 故选：A． 【变式1】如图，某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能． ①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根；②：将荧幕显示的数变成它的倒数； ③：将荧幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键． 若一开始输入的数据为10，那么第2018步之后，显示的结果是（　　） A． B．100 C．0.01 D．0.1 【答案】C 【解答】解：根据题意得：102＝100，0.01，0.1； 0.12＝0.01，100，10；… ∵2018＝4×504+2， ∴按了第2018下后荧幕显示的数是0.01． 故选：C． 【变式2】利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若5.06，1.60，则 　 　 ． 【答案】0.506． 【解答】解：根据表格，可得如下规律：被开方数的小数点每移动两位，对应的算术平方根的小数点同方向移动一位． ∵5.06， ∴0.506． 故答案为：0.506． 【变式3】按要求填空： （1）填表： a 0.0004 0.04 4 400 　 　 　 　 　 　 　 　 （2）根据你发现规律填空： 已知：2.683，则　 　 ，　　 　 ； 已知：0.06164，61.64，则x＝　　 　 ． 【答案】0.02；0.2；2；20；26.38；0.02638；3800 【解答】解：（1）0.02，0.2，2，20； 填表如下： a 0.0004 0.04 4 400 0.02 0.2 2 20 （2）2.683×10＝26.83， 2.683×10﹣2＝0.02683； ∵0.06164，61.64，61.64＝0.06164×10﹣3 ∴x＝3800． 故答案为：0.02、0.2、2、20；26.83、0.02683；3800． 过 关 验 收 1．下列各数是无理数的是（　　） A． B．3.14 C．2.5 D． 【答案】A 【解答】解：A．无限不循环小数，是无理数，故符合题意； B．3.14是有限小数，属于分数另一种形式，属于有理数，故不符合题意； C．2.5是有限小数，属于分数另一种形式，属于有理数，故不符合题意； D．，化简后是整数，属于有理数，故不符合题意． 故选：A． 2．在实数，11，0.010010001…（每两个1之间依次增加一个0），，（﹣3）2中，无理数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解答】解：（﹣3）2＝9是有理数， 无理数有：0.010010001…（每两个1之间依次增加一个0），，共2个， 故选：C． 3．在下列实数，，，﹣134.070070007…（相邻两个7之间依次多一个0）中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：在，，，﹣134.070070007…（相邻两个7之间依次多一个0）中，无理数有，，﹣134.070070007…（相邻两个7之间依次多一个0），共3个． 故选：C． 4．下列说法正确的是（　　） A．4的平方根是2 B．2是4的平方根 C．负数有2个平方根 D．正数只有1个平方根 【答案】B 【解答】解：A、4的平方根是±2，故A不符合题意； B、2是4的平方根，故B符合题意； C、负数没有平方根，故C不符合题意； D、正数有2个平方根，故D不符合题意； 故选：B． 5．下列说法：（1）﹣5是25的平方根；（2）任何数都有立方根；（3）一个正数的两个平方根之和为0；（4）的算术平方根是2；（5）平方根等于它本身的数是0和1；（6）无限小数一定是无理数．其中错误的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：25的平方根有5和﹣5，故（1）正确； 任何数都有立方根，故（2）正确； 一个正数的两个平方根互为相反数，和为0，故（3）正确； 2，2的算术平方根是，故（4）不正确； 1的平方根是1和﹣1，故（5）不正确； 无限不循环小数是无理数，故（6）不正确； ∴错误的有：（4）、（5）、（6）； 故选：C． 6．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出﹣50653的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为103＝1000，1003＝1000000，所以是两位数； ②其次观察了立方数：13＝1，23＝8，33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，73＝343，83＝512，93＝729；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为33＝27，43＝64，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： （1）　　 　； （2）若，则x＝　　 　　 ； （3）已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵103＝1000，1003＝1000000， ∴是两位数． ∵13＝1，23＝8，33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，73＝343，83＝512，93＝729；的个位数字是9． ∵将117649往前移动3位小数点后约为117，因为33＝27，43＝64，53＝125，所以的十位数字应为4， ∴117649的立方根是49，． ∵两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数， ∴49． 故答案为：﹣49； （2）∵0， ∴1﹣2x＝﹣5，解得x＝3； （3）∵2＝x， ∵x﹣2， ∴x﹣2＝0，x﹣2＝﹣1或x﹣2＝1，解得x＝2，1或3； ∵与互为相反数， ∴3y﹣1＝2x﹣1，即 当x＝2时，3y﹣1＝3，解得y； 当x＝1时，3y﹣1＝1，解得y； 当x＝3时，3y﹣1＝5，解得y＝2． 故答案为：3；x＝2时，y；x＝1时，y；x＝3时，y＝2． 7．已知某正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a+2，b+1的立方根为﹣2，c与﹣2互为相反数． （1）求a，b，c的值； （2）求a﹣b+2c的平方根． 【答案】（1）a＝3，b＝﹣9，c＝2； （2）±4． 【解答】解：（1）根据题意得，3a﹣14+a+2＝0， 解得a＝3， ∵b+1的立方根为﹣2， ∴b+1＝﹣8， ∴b＝﹣9， ∵c与﹣2互为相反数， ∴c＝2； （2）由（1）得a＝3，b＝﹣9，c＝2， ∴a﹣b+2c＝3﹣（﹣9）+2×2＝3+9+4＝16， ∵16的平方根是±4， ∴a﹣b+2c的平方根是±4． 8．如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个矩形，以表示3的点为圆心，以矩形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点P表示的数是（　　） A．5.2 B． C． D． 【答案】C 【解答】解：圆的半径， ∴点P表示的数为3， 故选：C． 9．如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段AB的中点，则点A表示的数（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由条件可知：， ∴点A表示的数是：， 故选：D． 10．如图，面积为S的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1．若点E在数轴上的位置如图所示，点A分别到点E与到点B的距离相等，则S的可能值为（　　） A．S＝2 B．S＝4 C．S＝8 D．S＝10 【答案】C 【解答】解：∵3＜OE＜4，OA＝1， ∴2＜AE＜3， ∵AB＝AE， ∴2＜AB＜3， ∵S＝AB2， ∴4＜S＜9． 故选：C． 11．比较大小：　　 　 2（填“＜”，“＝”或“＞”）． 【答案】＜ 【解答】解：∵2， ∴2， 故答案为：＜． 12．估计的值在（　　） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】D 【解答】解：∵56， ∴的值在5和6之间． 故选：D． 13．估计在哪两个相邻整数之间（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵， ∴34， 故选：C． 14．比大且比小的整数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解答】解：∵， 即， ∵， 即， ∴比大且比小的整数是3， 故选：B． 15．如果，那么整数a＝ 　　 ． 【答案】3． 【解答】解：∵9＜13＜16， ∴， 即， ∴， ∴a＝3． 故答案为：3． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 实数 内 容 导 航 题型1 无理数 题型2 实数 题型3 实数的性质 题型4 实数与数轴 题型5 实数大小比较 题型6 估算无理数的大小 题型7 计算器—基础知识 题型8 计算器—数的开方 考 点 演 练 题型1 无理数 解｜题｜知｜识 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： 　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 比如4＝4.0，0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如1.414213562． 　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数． 无理数常见的三种类型 （1）开不尽的方根，如等． （2）特定结构的无限不循环小数， 如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． （3）含有π的绝大部分数，如2π． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 【典例1】在实数中，无理数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】下列实数中，是无理数的是（　　） A． B． C．0. D． 【变式2】下列各数中，属无理数的是（　　） A． B． C． D．﹣1.414 【变式3】实数，，0，，1.010010001…中，无理数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型2 实数 解｜题｜知｜识 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （2）实数的分类： 实数： 或 实数： 【典例1】下列说法中，正确的是（　　） A．无限不循环小数都是无理数 B．分数都是无理数 C．无理数都是循环小数 D．无限小数都是无理数 【变式1】下列说法不正确的是（　　） A．4的平方根是±2 B．正数、零和负数都有立方根 C．只有非负数才有平方根 D．﹣27的立方根是 【变式2】在，，，0.3030030003，，3.14中，有理数有几个（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3】把下列各数填入相应的集合内． ﹣2，，，0，3.14，86%，﹣2014，5，，1.21221222122221… 整数集合{ 　 　 …}； 分数集合{ 　 　 …}； 无理数集合{ 　 　 …}． 题型3 实数的性质 解｜题｜知｜识 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a． 实数的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 【典例1】下列表格中关于有理数“2”的描述，说法错误的序号是（　　） 相反数 倒数 绝对值 平方根 2 ①﹣2 ② ③2 ④ A．① B．② C．③ D．④ 【变式1】的算术平方根的相反数是（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【变式2】实数﹣π的相反数是（　　） A．﹣π B． C．π D． 【变式3】2的绝对值为　 　 ． 题型4 实数与数轴 解｜题｜知｜识 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 【典例1】如图，正方形ABCD的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且AD＝AE，则点E所表示的数为（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列说法正确的是（　　） A．的算术平方根是9 B．无理数和有理数统称为实数 C．立方根等于它本身的数是0和1 D．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 【变式2】如图，长方形ABCD的边AD在数轴上，若点A与数轴上表示数﹣1的点重合，点D与数轴上表示数﹣4的点重合，AB＝1，以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E，则点E表示的数为 　 ． 【变式3】如图，已知Rt△ABC中，BC＝1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为　 ． 题型5 实数大小比较 解｜题｜知｜识 实数大小比较 （1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 【典例1】下列四个实数中，比﹣2大的无理数是（　　） A．0 B．﹣1 C． D． 【变式1】在，0，﹣5，6这四个数中，绝对值最小的数是（　　） A．0 B． C．﹣5 D．6 【变式2】在四个数中，最小的数是（　　） A．﹣2 B．0 C．π D． 【变式3】比较大小： 　 　 4．（填“＞”、“＜”或“＝”） 题型6 估算无理数的大小 解｜题｜知｜识 估算无理数大小要用逼近法． 思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 【典例1】已知：3a+1的立方根是﹣2，2b﹣1的算术平方根是3，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求2a﹣b的平方根． 【变式1】阅读并解答：为了求的整数部分与小数部分，聪明的小明这样思考： ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： （1）求的整数部分与小数部分各是多少？ （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的平方根． 【变式2】已知：2x﹣1和4x+3是m的两个不同的平方根，2y+2是的整数部分． （1）求x，y，m的值． （2）求1+4y的平方根． 【变式3】已知m﹣2的立方根是3，n+1的算术平方根是2，d是的整数部分． （1）求m，n，d的值； （2）求m﹣4n+d的平方根． 题型7 计算器—基础知识 解｜题｜知｜识 （1）计算器的面板是由键盘和显示器组成． （2）开机键和关机键各是AC/ON，OFF，在使用计算器时要按AC/ON键，停止使用时要按OFF键． （3）显示器是用来显示计算时输入的数据和计算结果的装置．键上的功能是第一功能，直接输入，下面对应的是第二功能，需要切换成才能使用． （4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”． （5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx2被开方数ENTE． （6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE． （7）部分标准型具备数字存储功能，它包括四个按键：MRC、M﹣、M+、MU．键入数字后，按M+将数字读入内存，此后无论进行多少步运算，只要按一次MRC即可读取先前存储的数字，按下M﹣则把该数字从内存中删除，或者按二次MRC． 注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作． 【典例1】有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动减去x，同时B区就会自动加上x，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是2和m（如图所示）． （1）第一次按键后，A区显示的结果为　 ，B区显示的结果为 　 ； （2）若第二次按键后A、B两区显示的代数式的乘积为M． ①将代数式M化简，并求当x＝2，m＝1时，代数式M的值； ②若代数式M的值与m的取值无关，求x的值． 题型8 计算器—数的开方 解｜题｜知｜识 正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是： 当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍． 【典例1】用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： n 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若，，则（　　） A．41.4 B．13.1 C．414 D．131 【变式1】如图，某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能． ①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根；②：将荧幕显示的数变成它的倒数； ③：将荧幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键． 若一开始输入的数据为10，那么第2018步之后，显示的结果是（　　） A． B．100 C．0.01 D．0.1 【变式2】利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若5.06，1.60，则 　 　 ． 【变式3】按要求填空： （1）填表： a 0.0004 0.04 4 400 　 　 　 　 　 　 　 　 （2）根据你发现规律填空： 已知：2.683，则　 　 ，　　 　 ； 已知：0.06164，61.64，则x＝　　 　 ． 过 关 验 收 1．下列各数是无理数的是（　　） A． B．3.14 C．2.5 D． 2．在实数，11，0.010010001…（每两个1之间依次增加一个0），，（﹣3）2中，无理数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．在下列实数，，，﹣134.070070007…（相邻两个7之间依次多一个0）中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列说法正确的是（　　） A．4的平方根是2 B．2是4的平方根 C．负数有2个平方根 D．正数只有1个平方根 5．下列说法：（1）﹣5是25的平方根；（2）任何数都有立方根；（3）一个正数的两个平方根之和为0；（4）的算术平方根是2；（5）平方根等于它本身的数是0和1；（6）无限小数一定是无理数．其中错误的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 6．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出﹣50653的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为103＝1000，1003＝1000000，所以是两位数； ②其次观察了立方数：13＝1，23＝8，33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，73＝343，83＝512，93＝729；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为33＝27，43＝64，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： （1）　　 　； （2）若，则x＝　　 　　 ； （3）已知，且与互为相反数，求x，y的值． 7．已知某正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a+2，b+1的立方根为﹣2，c与﹣2互为相反数． （1）求a，b，c的值； （2）求a﹣b+2c的平方根． 8．如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个矩形，以表示3的点为圆心，以矩形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点P表示的数是（　　） A．5.2 B． C． D． 9．如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段AB的中点，则点A表示的数（　　） A． B． C． D． 10．如图，面积为S的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1．若点E在数轴上的位置如图所示，点A分别到点E与到点B的距离相等，则S的可能值为（　　） A．S＝2 B．S＝4 C．S＝8 D．S＝10 11．比较大小：　　 　 2（填“＜”，“＝”或“＞”）． 12．估计的值在（　　） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 13．估计在哪两个相邻整数之间（　　） A． B． C． D． 14．比大且比小的整数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 15．如果，那么整数a＝ 　　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $