第一章特殊平行四边形章末训练2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级上册特殊平行四边形章末同步练，以“基础巩固-能力提升-综合拓展”分层，覆盖菱形、矩形、正方形性质与判定，通过概念辨析、性质应用到动态综合问题，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|菱形、矩形、正方形基本性质与判定|选择1菱形对角线性质、填空11菱形角度计算，直接考查概念，夯实基础| |能力提升|性质的灵活应用与简单证明|选择3正方形全等求角度、解答19正方形对角线证明，结合几何直观，培养推理能力| |综合拓展|动态问题与多知识点综合|选择8动点最小值、填空16坐标系中最小值，涉及模型意识，提升创新思维|

第一章特殊平行四边形章末训练2026-2027学年 北师大版九年级上册 一、选择题 1.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是() A.对角相等 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直 【答案】D 2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，且AD=4,则BC=() B D A.6 B.8 C.9 D.10 【答案】B 3.如图，在正方形ABCD中，E是DC上一点，F为BC延长线上一点，∠BBC-7O°，且 △BCE≌△DCR.连接ER,则∠ED的度数是() 9 A.10° B.15° C.20° D.25° 【答案】D 4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AC=16,BD=12,则菱形AB 边上高DH的长度为( D H 96 48 A. B. e兽 号 D.1 【答案】B 5.如图，在正方形ABCD中，AB=3,延长BC至B,使CE=2,连接AE,CF平分 ∠DCE交AE于点F,连接DF,则DF的长为() B A.5 32 B. D 85 【答案】C 6.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E,使DE=AD,连接EB,FC,DB,添加一 个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是() y B A.AB=BE B.BE⊥DC C.∠ADB=90° D.CB⊥DE 【答案】B. 7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,过点O作F⊥AC交AD于点B,交BC于 点F.己知AB=4,△A0E的面积为5，则DE的长为() E D B C A.2 B.V5 c.6 D.3 【答案】D. 8.如图，在Rt△ABC中，AC=6,BC=8,D为斜边AB上一动点，DE L BC,DF⊥AC,垂足分 别为RR则线段F的最小值为( ) D E C 2 4 A.6 B.5 C.5 D.5 【答案】D 9.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O,正方形ABCO与正方形ABCD的边长相等， 且正方形ABCO绕点O旋转，已知AB=2,则旋转过程中两个正方形重叠部分的面 积为( A.2 B.2 C.1 D.无法确定 【答案】C 10.如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD交于点O,E为CD延长线上的一点， 且DB=CD连接BE分别交AC,AD于点F,G,连接OG:则下列结论：①OG=)B, ②∠FOG=30°；③S四边形oDEG=S四边形ABOG;④由点A,B,D,E构成的四边形是菱形.其中 正确的个数是( F A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】A 二、填空题 11.如图，在菱形ABCD中，若∠ABC=60°，则∠CBD度数为 【答案】30°/30度 12如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在BC,AD上，AF=EC,不添加任何字母与 辅助线，添加一个适当的条件，使四边形AECF是菱形. D 【答案】AE=AF(答案不唯一) 13.如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC,分别交AB,CD于点 RF,连接PRPD,若AE-2,PF-9,则图中阴影面积为一· y D E 【答案】18. 14如图，P是正方形ABCD的对角线BD上的一点，PE⊥AD于点B,连接CP,若 AE=1,PC=V10,则点D到CP的距离为 D B 6V10 【答案】 5 15.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P 分别作AC和BD的垂线，垂足分别为RF.求P卧PF-一· 12 【答案】5 16.如图，在平面直角坐标系中，己知正方形AB0C,A(4,4),点D为x轴上一动点，以 AD为边在AD的右侧作等腰RtAADE,∠ADE=90°，连接CE,则CE的最小值为， B 【答案】2√2 三、解答题 17.如图，在△ABC中，AB-AC,点DB分别为BCAC中点，连接DE并延长至点R,使得 EF=DB,连接AD AF CF,求证：四边形ADCF为矩形. E B D 【答案】证明见解析. 【解答】证明：，点DE分别为BCAC中点， ∴.AE=EC,BD=DC, .EF=DE, ∴.四边形ADCF是平行四边形， .AB=AC,BD=DC, ∴.AD⊥BC, .∠ADC=90°， ,∴.ADCF是矩形. 18.如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°，BD=6,求： (1)∠BAD的度数. (2)若DH⊥BC,求线段AC和DH的长. 【答案】(1)60° (2)AC=6V3,DH=3V3 【详解】(1)解：四边形ABCD是菱形， ∴.∠DCA=∠BCA,∠DCB=∠BAD, ,∠ACD=30°， ∴.∠BCD=2×30°=60°， ∴.∠BAD=60°： (2)解：，四边形ABCD是菱形， AC L BD.OB=7BD=3.BC=DC=AB,AC=2AO. ,∠ACD=30, 1 ∴AB=DC=2D0=6 A0=VAB2-0B2=V62-32=33, ,AC=2A0=6V3: ,BD=6, 菱形ABCD的面积=AC~BD×63×6=1B3, 1 :DH⊥BC,且BC=AB=6, ∴，菱形ABCD的面积=BC·DH=6DH, .6DH=18V3, DH=33 19.如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点，且EF⊥BD,交DC于点F. (1)求证：DE=EF: (2)若BC=BE,求证：DE=CF. E B 【答案】(1)证明：，四边形ABCD为正方形 ∴.∠C=90°，BC=CD ∴.∠CBD=∠CDB=45 EF⊥BD ∴，∠g=∠BEF=90 .∠DFE=∠CDB=45 .DE=EF: (2)证明：连接BF D E 在Rt△BEF和Rt△BCF中 BC=BE BF=BF ∴，Rt△BEF≌Rt△BCF|HL ∴.CF=EF=DE 20.如图，在菱形ABCD中，两条对角线相交于点O,F是边CD的中点，连接OF并延长到 E,使FB=OR,连接CB,DB. (1)求证：四边形OCD是矩形： (2)若∠DAB=60°，菱形ABCD的面积为8√3，求矩形0CBD的周长. 【答案】(1)略(2)4+4V3. 【解答】(1)证明：，四边形ABCD是菱形， ∴.ACL BD, ∴.∠D0C=90°， .CF=DF,EF=OF, ∴，四边形OCED是平行四边形， ,∠D0C=90°， ∴.四边形OCED是矩形： (2)解：，四边形ABCD是菱形， ∴.AB=AD,AC⊥BD,AO=CO,B0=DO, ,∠DAB60°， ∴.△ABD是等边三角形， ∴.AD=BD=AB,∠DA0=∠BA0=30°， ∴.AD=20D, 设OD=k,则AD=2k, ∴.BD=2k, 在Rt△AOD中， 40-VAD2-0D2-V(2k)2-k2-W3k,40-2W3k 1 :S菱形D=2ACBD, 1 2×2kX2√3k=8V3, ∴2=4， ,>0, .k=2, .C0=2N3,00=2, 矩形0C8D的周长=2(00+00)=2(2+2V3)=4+4√3 21.四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AD‖BC,OA=OC,AB=BC. D H E ① ② (1)如图1，求证：四边形ABCD是菱形： (2)如图2，AB=AC,CH⊥AD于点H,交BD于点E,连接AE,点G在AB上，连接 EG交AC于点F,若∠FEC=75°，在不添加任何辅助线的情况下直接写出四条与线段 CE相等的线段（线段CE除外）· 【答案】(1)见解析 (2)AG,AE,FC,DE 【详解】(1)AD‖BC ,∠DAC=∠ACB ,OA=OC,∠AOD=∠BOC ∴，△AOD≌△BOCASA ∴.AD=BC ∴，四边形ABCD是平行四边形 .AB=BC ,四边形ABCD是菱形： (2),四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O, .点A和点C关于BD所在直线对称 ∴.AE=CE: .AB=AC.AB=BC ∴，AB=BC=AG=AD=CD ,△ABC,△ACD是等边三角形 ,∠ABC=∠ACB=∠BAC=∠ACD=∠ADG=∠CAD=60 .CH⊥AD,OD⊥AC ÷.∠ACH=∠HCD=∠ODC=1×60=30 ∴.CE=DE: ,∠FEC=75° ,∠AFG=∠CFE=180°-∠FEC-∠FCE=75° .∠CFE=∠FEC ..CF=CE; .AE=CE ∴，∠EAC=∠ECA=30 ∴，∠AEC=180°-∠EAC-∠ECA=120° .∠AEG=∠AEC-∠FEC=45° ,∠AGF=180°-∠BAC-∠AFG=45° ∴.∠AGF=∠AFG ..AG=AE ∴.AG=CE: 综上所述，与线段CE相等的线段有AG,AE,FC,DE, 第一章特殊平行四边形章末训练2026-2027学年 北师大版九年级上册 一、选择题 1.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A．对角相等 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，且AD＝4，则BC＝（　　） A．6 B．8 C．9 D．10 3.如图，在正方形ABCD中，E是DC上一点，F为BC延长线上一点，∠BEC＝70°，且△BCE≌△DCF．连接EF，则∠EFD的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 4.如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，，则菱形边上高的长度为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在正方形中，，延长至E，使，连接平分交于点F，连接，则的长为（　　）    A． B． C． D． 6.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　） A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE 7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F．已知AB＝4，△AOE的面积为5，则DE的长为（　　） A．2 B． C． D．3 8．如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．则线段EF的最小值为（       ） A．6 B． C．5 D． 9.如图，正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等，且正方形绕点旋转，已知，则旋转过程中两个正方形重叠部分的面积为（   ） A．2 B． C．1 D．无法确定 10．如图，菱形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连接分别交，于点，连接．则下列结论：①；②；③；④由点构成的四边形是菱形．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在菱形中，若，则度数为 ． 12.如图，在矩形中，点，分别在，上，，不添加任何字母与辅助线，添加一个适当的条件 ，使四边形是菱形． 13．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E、F，连接PB、PD，若AE＝2，PF＝9，则图中阴影面积为 　 　． 14.如图，P是正方形的对角线上的一点，于点E，连接，若，，则点D到的距离为 ． 15.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E、F．求PE+PF＝　　． 16.如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，，点为轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接，则的最小值为 ． 三、解答题 17.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别为BC、AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接AD、AF、CF，求证：四边形ADCF为矩形． 18．如图，四边形是菱形，，求： (1)的度数． (2)若，求线段和的长． 19.如图，是正方形对角线上的一点，且，交于点． (1)求证：； (2)若，求证：． 20.如图，在菱形ABCD中，两条对角线相交于点O，F是边CD的中点，连接OF并延长到E，使FE＝OF，连接CE，DE． （1）求证：四边形OCED是矩形； （2）若∠DAB＝60°，菱形ABCD的面积为，求矩形OCED的周长． 21.四边形的对角线，相交于点O，，，． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，，于点H，交于点E，连接，点G在上，连接交于点F，若，在不添加任何辅助线的情况下直接写出四条与线段相等的线段（线段除外）． 学科网（北京）股份有限公司 $