北京市八一学校2026-2027学年高三上学期开学摸底考试数学试题

北京市八一学校2027届高三开学摸底考试 数学 2026.08 本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷 上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 (1)已知集合A={x-1<x<3),B={x|x2≥4}，则AUB= (A)(-1,+∞) (B)(-1,2] (C)(-o,-2]U(-1,t∞) (D)(-∞，-2]U(-1,3) (2)在复平面内，复数：2对应的点位于 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 (3)若0<a<1,则 (A)aia (B)2°<3 (C)log.o (D)sina>cosa (4)已知双曲线C的一个焦点是F(0,2),渐近线为y=±√5x,则C的方程是 (A)-上=1 3 c)-苦=1 D)芳-=l (5)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,1),B(2,I),动点P满足PA.PB=0,则 IOPI的最大值为 (A)1 (B)√2 (C)2 (D)2+1 高三数学第1页（共6页） (6)如图，在正方体ABCD-ABC,D,中，点E是平面A,B,CD,内一点，且EB∥平面ACD, 则tan∠DED的最大值为 (A)2 (B)1 2 (C)5 (D)2 (7)已知函数=n兰则 (A)f(x)在(-L,1)上是减函数，且曲线y=f(x)存在对称轴 (B)f(x)在(-1,1)上是减函数，且曲线y=f(x)存在对称中心 (C)f(x)在(-1,1)上是增函数，且曲线y=f(x)存在对称轴 (D)f(x)在(-1,1)上是增函数，且曲线y=f(x)存在对称中心 (8)设a,b是非零向量，则“|a<|b1”是“|abl<|b2”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (9)设{an}是首项为正数，公比为q的无穷等比数列，其前n项和为Sn,若存在无穷 多个正整数k,使S,≤0，则9的取值范围是 (A)(-o,0) (B)(-o,-1] (C)【-1,0) (D)(0,1) (10)在△ABC中，AB=AC=4√2，当∈R时，|AB+1BC1的最小值为4.若 =恋，亚=m20孤+cs30aC,其中0e管1， 则|MP!的最大值为 (A)2 (B)4 (C)2N5 (D)4N2 高三数学第2页（共6页） 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 (11)在(x-√2)4的展开式中，x2的系数为·（用数字作答） (12)设0>0，函数fx)=sin@x.若曲线y=f(x)关于直线x=T对称，则o的一个取值 为 (13)已知函数f(x)=2l0g2x-log2(x-4),则f(x)的定义域是：f(x)的最小值是 (14)已知抛物线C:y2=8x. ①则C的准线方程为： ②设C的顶点为O,焦点为F.点P在C上，点Q与点P关于y轴对称.若QF 平分∠PFO,则点P的横坐标为 (15)中国传统数学中开方运算暗含着迭代法，清代数学家夏鸾翔在其著作《少广缒凿》 中用迭代法给出一个“开平方捷术”，用符号表示为：已知正实数N,取一正数4 N n为奇数， a 作为√N的第一个近似值，定义an+1= 则a1,a2,…,an,…是√N a,+al,n为偶数 2 的一列近似值.当N=10,4=3时，给出下列四个结论： ①a>10, ②a44>10； ③3n≥2，a-1<azl: ④n≥2，Ian-10l<|an-1-101. 其中所有正确结论的序号是 高三数学第3页（共6页） 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (16)(本小题13分) 在△ABC中，a=V5c,A= 3 (I)求C的大小： (IⅡ)在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求出 AC边上的中线的长度， 条件①：a=2b:条件②：△ABC的周长为4+2W3:条件③：△ABC的面积为√3. 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条 件分别解答，按第一个解答计分， (17)(本小题14分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥DC,∠ABC=90°，AB=2DC,侧面PBC⊥底面 ABCD,E是PA的中点. (I)求证：DE∥平面PBC; (II)已知AB=BC=2,AP=2√2，PB=PC,求二面角E-BD-C的余弦值. 高三数学第4页（共6页） (18)(本小题13分) 生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对 跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使 用的一款跑步软件，结果如下： 跑步软件一 跑步软件二 跑步软件三 跑步软件四 中学生 80 60 40 20 大学生 30 20 20 10 假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响. (I)从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最 喜爱使用跑步软件一的概率： (Ⅱ)采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3 人.记X为这3人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求X的分布列和数学期望： (Ⅲ)记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为x,x2,x,x,，其方差为： 样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，y2,,y4,其方差为s子； x,,为，x4,乃，y2,乃3，y4的方差为s,写出s,s,S子的大小关系.（结论不要求证明） (19)（本小题15分) 已知椭圆E: +岁=1(a>b>0)的离心率为5， 且经过点C(2,)· 2 (I)求E的方程： (Ⅱ)过点N(O,I)的直线交E于点A,B（点A,B与点C不重合)，设AB的中点为M,连接 CM并延长交E于点D.若M恰为CD的中点，求直线AB的方程. 高三数学第5页（共6页） (20)(本小题15分) 已知函数f)=c，其中a>0. （I)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f()处的切线方程： (Ⅱ)求f(x)的单调区间： (Ⅲ)当，<3且xx>0时，判断fx)-x)与-上的大小，并说明理由. x x2 (21)(本小题15分) 给定正整数N≥3，己知项数为m且无重复项的数对序列A:(x,y),(x,y2),…,(xmym) 满足如下三个性质： ①x,y∈{1,2，，N},且x≠y(i=1,2,…,m): ②x1=y=1,2,…,m-1): ③(p,q)与(g,p)不同时在数对序列A中， (I)当N=3,m=3时，写出所有满足x=1的数对序列A: (Ⅱ)当N=6时，证明：m≤13； (Ⅲ)当N为奇数时，记m的最大值为T(W),求T(N)· (考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效) 高三数学第6页（共6页） 2027届高三开学摸底考试一一数学参考答案 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） (1)C （2)A (3)B (4)D (5)D (6)C (7)D (8)A (9)B (10)C 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） (11)12 (12)3（答案不唯一) (13)(4,+∞) 4 (14)x=-2 2 (15)①④ 三、解答题（共6小题，共85分） (16)(本小题13分) 解：（I)在△ABC中，因为a sin 4 sinC’…2分 又a=V5c,所以sinA=V5sinC,因为A=2π ，所以snC= 2…3分 因为0<C<骨，所以C=君 6 .5分 （Ⅱ)选择条件①不符合要求，得0分；选择条件②或③…6分 选择条件②：因为△ABC中，A红，C=,A+B+C=元D 6 所以B=君，即△ABC为等腰三角形，其中b=c.…7分 因为a=5b,所以a+b+c=√5b+2b=4+2W5.所以b=2.9分 设点D为线段AC的中点，在△ABD中，AD=1· 因为△ABD中，BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos.∠BAD…I1分 BD2=22+12-2×2x1×cos2=7,所以BD=万，即AC边上的中线的长度为万.…13分 3 选择条件®：因为△ABC中，A红，C,A+B+CE元 所以B=兀，即△ABC为等腰三角形，其中b=C,…7分 6 n2r=5, 因为△ABC的面积为5，即SMc=bcsin号 2 3 所以b=c=2.…9分 设点D为线段AC的中点，在△ABD中，AD=1. 因为△ABD中，BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos.∠BAD…11分 BD2=22+12-2×2x1xcos2=7,所以BD=万，即AC边上的中线的长度为万.…13分 3 (17)(共14分) 解：(I)取PB的中点F,连接CF,EF 因为E是PA的中点，所以EF∥AB,AB=2EF, 又因为AB∥DC,AB=2DC,所以EF∥DC且EF=DC. 所以四边形CDEF为平行四边形.所以DE∥CF,…2分 又因为DEt平面PBC,CFc平面PBC, 所以DE∥平面PBC.4分 高三数学答案第1页（共4页） (Ⅱ)取BC的中点O,连接PO.因为PB=PC,所以PO⊥BC, 又因为侧面PBC⊥底面ABCD,且平面PBC∩平面ABCD=BC,POC平面PBC, 所以PO⊥平面ABCD.6分 如图，在平面ABCD中，作Oy∥BA, 则PO⊥BC,PO⊥Oy,Oy⊥BC, 建立空间直角坐标系0-.…7分 连接AO,在Rt△ABO中，因为AB=2,BO=1,所以AO=√5， 在Rt△PAO中，因为AP=22,A0=5,所以P0=√5.…8分 所以4《-20，-10,0cua0,DLL0,PO0-分9. 所以E=(兮19.D=2,10. *+y* 1 设平面EDB的法向量是m=k,),则m·B正=0即 2 22=0…9分 m-BD=0, 2x+y=0. 令x=1,则y=-2,=5.于是m=(L,-2,√⑤).…10分 因为PO⊥平面ABCD,所以n=(O,O,1)是平面BDC的法向量.…11分 所以cos(m,)=mn=5-6 …13分 |mlnl2√24 由题知，二面角E-BD-C为钝角，所以其余弦值为- 14分 4 (18)(共13分) 解：(I)记“这2人都最喜爱使用跑步软件一”为事件A, 则P(A)= 80303 00×80-20 …3分 ()因为抽取的8人中最喜爱跑步软件二的人数为8×20=2， …4分 80 所以X的所有可能取值为0,1,2. …5分 P(X=0)= c14 P(X=D-CCi_15 C28 Px=2)=C3C=3 C28 …8分 所以X的分布列为 X 0 1 2 5 15 P 3 14 28 故X的数学期塑EX=0x5+1x15+2x3=3 …10分 14 28 284 (Ⅲ)s<s<s好. …13分 高三数学答案第2页（共4页) (19)(共15分) a2 解：（I)由题设， a2-b2=c2, 3分 41 a+R=1, 解得a2=8,b2=2. …4分 所以椭圆E的方程为号+上=1、 …5分 82 (Ⅱ)若直线AB与y轴重合，则点M与原点重合，符合题意， 此时直线AB的方程为x=0. …6分 若直线AB与y轴不重合，设其方程为y=kx+1. 由=+。得4k2+x+8-4=0. …8分 x2+4y2=8 设A(x,乃)，B(x2,2),则x+为= -8k …9分 4k2+1 所以x,=当+龙=二4k 242+’=c+1= 4k2+11 …10分 因为M是CD的中点， 2 以x0=2xw-飞号48米-2，b2yw-%=4+ …11分 因为x2+4y%=8, …12分 所以鲜2+ -1)2-8=0. 4k2+1 整理得43+k=0. …13分 解得k=0. …14分 但此时直线AB经过点C,不符合题意，舍去. 综上，直线AB的方程为x=0. …15分 (20)(共15分) 解：（I)当a=1时，)=，所以f=-e x2 …1分 所以f()=e,f'()=0 3分 所以曲线y=f(x)在点(1，f(I)处的切线方程为y-e=0. …4分 （Ⅱ)fy的定义域为(-o,0U(0,+),且f)=@r-e …6分 令f=0,得x=1 f'(x)与f(x)的情况如下： (-∞，0) 0,马 a 台+四) f'(x) 0 f(x) ▣ ▣ 月 …8分 所以∫(x)的单调递增区间为（二，+o):单调递减区间为(-∞，0）和(0，-) …10分 高三数学答案第3页（共4页） ()当x<且x龙>0时，x)-)<1-1 ,证明如下： X12 令8=)-士，则g=@-pe+1 x2 设h(x)=(ax-1)ex+1,则h'(x)=a2xe“. …12分 所以当xe(-o,0)时，h(x)<0:当xe(0,+o)时，h(x)>0. 所以h(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增， 从而h(x)>h0)=0,即g'(x)>0. 所以g(x)的单调递增区间为(-∞，0)和(0，+o). …14分 当0<<时，8)<8)，即fx)-x)<-1 X X2 当<<0时，g)<g),即fx)-j0x)<- x X2 综上，当<5且x名>0时，fx)-f)<- …15分 (21)(共15分) 解：（I)A:(1,2),(2,3),(3,1),或A:(1,3),(3,2),(2,1). …4分 (Ⅱ)因为(p,9)和(g,p)不同时出现在A中，故m≤C=15,所以1,2,3,4,5,6每个数至多出现5次. 又因为x1=y,(《=1,2,…,m-1),所以只有x,ym对应的数可以出现5次， 故m≤号x(4×4+2×5)=13. …9分 (Ⅲ)当N为奇数时，先证明T(N+2)=T(N)+2N+1. 因为(9)和(9，p)不同时出现在A中，所以TW≤C号=W-)。 当N=3时，构造A:(1,2),(2,3),(3,1)恰有C号项，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1. 对奇数N,如果可以构造一个恰有C项的序列A,且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1， 那么对奇数N+2而言，可按如下方式构造满足条件的序列A': 首先，对于如下2N+1个数对集合：(1，N+1),(N+1,1)},{,N+2),(N+2,1)》,(2,N+1),(N+1,2)}, {(2,N+2),(N+2,2)},…,(N,N+1),(N+1,N)},(N,N+2),(N+2,N)},(N+1,N+2),(N+2,N+1)}, 每个集合中都至多有一个数对出现在序列A'中，所以T(N+2)≤T(W+2N+1. 其次，对每个不大于N的偶数i∈{2,4，…，N-1),将如下4个数对并为一组： (N+1,i),(,N+2),(N+2,i+1),(i+1,N+1), 共得到W-组，将这V_组数对以及(L,N+,(N+1,N+2,(N+2,)按如下方式补充到A的后面， 2 即：A,(1,N+1),(N+1,2),(2,N+2),(N+2,3),(3,N+1), (N+1,N-1),(N-1,N+2),(N+2,N),(N,N+I),(N+1,N+2),(N+2,1). 此时恰有T(W)+2N+1项，所以T(N+2)=T(N)+2N+1. 综上，当N为奇数时，T(W)=(T(N-T(N-2)》+(T(N-2)-T(N-4)++(T(5)-T(3》+T(3) =[2(N-2)+1]+[2(W-4)+1]++(2×3+1)+3=NW-1). …15分 高三数学答案第4页（共4页)