第七单元 倍数与因数（教学设计）2026-2027学年北师大版五年级数学上册

该小学数学教学设计聚焦倍数与因数、2/3/5的倍数特征、质数与合数、最大公因数与最小公倍数等核心知识。通过运动会队形、密码箱等情境导入，从具体乘法算式抽象概念，逐步探究特征、质数、公因数公倍数，最后整理形成知识网络，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料特色在于情境化与探究式结合，如用百数表探索倍数特征、埃拉托色尼筛法找质数，培养数学眼光（抽象能力）和数学思维（推理意识），通过集合图、短除法发展数学语言（模型意识）。帮助学生发展有序思考和归纳能力，为教师提供结构化教学流程和丰富活动设计，提升课堂效率。

第七单元　倍数与因数 第1课时　倍数与因数 教材第89～90页的内容。 1．结合运动会队形的情境，认识倍数和因数，理解倍数与因数的意义，会判断一个数是不是另一个数的倍数，会找一个数的全部因数。 2．经历从具体情境中抽象出倍数和因数概念的过程，以及探索找一个数的因数的方法的过程，发展抽象概括能力和有序思考的能力。 3．感受数学知识之间的内在联系，体会数学概念的严谨性，激发学习数学的兴趣。 理解倍数和因数的意义，掌握找一个数的倍数和因数的方法。 理解倍数和因数是相互依存的关系；掌握有序、不遗漏地找一个数的因数的方法。 一、情境导入 师：同学们，学校要开运动会了，两个班的同学分别排成了下面的两种队形。我们一起来看看。(出示教材情境图) 师：仔细观察，你能列出算式算一算两个班各有多少人吗？ 生：左图是4行9列，可以列式9×4＝36(人)。 生：右图是7行5列，可以列式5×7＝35(人)。 师：观察这两个乘法算式，乘数与积之间有什么关系呢？今天我们就来研究这种关系——倍数与因数。 二、互动新授 1．认识倍数和因数 师：在算式9×4＝36中，36是9和4的倍数，9和4是36的因数。 师：谁能结合5×7＝35这个算式，说一说谁是谁的倍数，谁是谁的因数？ 生：35是5和7的倍数，5和7是35的因数。 师：说得很好。那如果老师只说“5是因数，35是倍数”，这样说对吗？ 生：不对，应该说清楚谁是谁的因数，谁是谁的倍数。 师：对，倍数和因数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数，必须说清楚谁是谁的倍数，谁是谁的因数。 师：我们只在自然数(零除外)范围内研究倍数和因数。 2．找一个数的倍数 师：知道了倍数和因数的关系，我们来看看下面哪些数是7的倍数。(出示：7、14、17、25、77)请大家先独立思考，再与同伴交流。 生：7是7的倍数，因为7＝7×1。 生：14是7的倍数，因为14÷7＝2。 生：17不是7的倍数，因为17÷7＝2……3。 生：25不是7的倍数，因为25÷7＝3……4。 生：77是7的倍数，因为77＝7×11。 师：大家判断得很准确。找一个数的倍数，可以用这个数分别乘1、2、3……得到；也可以用这个数去除，没有余数的就是它的倍数。 3．找一个数的因数 师：刚才我们学会了判断一个数是不是另一个数的倍数，那你能找出18的全部因数吗？想一想，试一试。 生：我想乘法算式：18＝1×18，18＝2×9，18＝3×6，所以18的因数有1、2、3、6、9、18。 生：我想除法算式：18÷1＝18，18÷2＝9，18÷3＝6，能整除的除数和商都是18的因数，也是1、2、3、6、9、18。 师：两位同学的方法都很好。用乘法想时，关键看哪两个自然数相乘等于18；用除法想时，按顺序从1开始除，能整除的除数和商都是因数。这样一对一对地找，按顺序写，才不会遗漏。 师：18的因数共有6个，从小到大依次是1、2、3、6、9、18。 三、巩固练习 完成教材第90页“练一练”。 学生独立完成，指名汇报，集体订正。 四、课堂小结 师：通过今天的学习，你有什么收获？ 学生自由发言，教师总结：今天我们结合运动会队形的情境，认识了倍数和因数，知道了它们是相互依存的关系；还学会了用乘法或除法有序地找一个数的因数。希望大家在后面的学习中继续探索数的奥秘。 五、课后练习 完成学生用书相应练习。 倍数与因数 9×4＝36　　5×7＝35 36是9和4的倍数　35是5和7的倍数 9和4是36的因数　5和7是35的因数 相互依存，不能单独说 7的倍数：7、14、77……(用乘法或除法判断) 18的因数：1、2、3、6、9、18(一对一对，按顺序找) 本节课通过运动会队形的情境引入，帮助学生从具体的乘法算式中抽象出倍数和因数的概念。在教学中要特别强调倍数与因数的相互依存关系，学生初学时容易单独说“某个数是因数”或“某个数是倍数”。在找一个数的因数时，引导学生体会乘法算式和除法算式之间的内在联系。 第2课时　探索2，5的倍数特征 教材第91～92页的内容。 1．经历在百数表中探索2，5的倍数特征的过程，理解2，5的倍数特征，能判断一个数是不是2或5的倍数。 2．了解奇数、偶数的含义，能判断一个非零自然数是奇数还是偶数。 3．在观察、猜测和讨论的过程中，发展分析问题和解决问题的能力，提高探究意识。 理解2，5的倍数特征，能判断一个数是不是2或 5的倍数。 理解2，5的倍数特征只与个位数字有关，探索并归纳其规律。 一、情境导入 1．回顾旧知 师：同学们，上节课我们学习了倍数和因数。谁能说一说，怎样判断一个数是不是另一个数的倍数？ 生：可以用除法，没有余数就是倍数；也可以用乘法，看这个数能不能表示成另一个数乘一个自然数。 2．引入新课 师：这些方法都很好，但如果要判断一个很大的数是不是2或5的倍数，比如123456是不是2的倍数，用除法计算就比较麻烦。其实，2和5的倍数是有明显特征的，今天我们就一起来探索2，5的倍数特征。 二、互动新授 1．探索5的倍数特征 师：请同学们拿出百数表，在百数表中圈出5的倍数。圈好后，仔细观察，你发现了什么？ 生：我发现5的倍数末尾只有0或5。 生：我发现5的倍数都在第5列和第10列，也就是个位是5和0的数。 师：这个发现可靠吗？谁能用更多的数来验证一下？ 生：我任意写几个数试试：65×5＝325，个位是5；132×5＝660，个位是0。 生：我算算看：5×1＝5，5×2＝10，5×3＝15，5×4＝20……积的个位总是0或5。 师：通过举例验证，我们更加确信：个位上是0或5的数，都是5的倍数。 2．探索2的倍数特征 师：刚才我们发现了5的倍数特征，现在请同学们从百数表中找出2的倍数，说一说这些数有什么特征。 生：2的倍数个位上是2、4、6、8、0。 生：我写一组算式验证：2×1＝2，2×2＝4，2×3＝6，2×4＝8，2×5＝10，2×6＝12……积的个位上总是2、4、6、8、0。 师：很好，个位上是2，4，6，8，0的数都是2的倍数。 师：自然数中，是2的倍数的数是偶数，不是2的倍数的数是奇数。 师：请大家想一想，0是偶数吗？ 生：0是偶数，因为0÷2＝0，没有余数，0是2的倍数。 师：对，0也是偶数。 3．综合运用 师：根据我们发现的2和5的倍数特征，请同学们在下面的数中分别找出2，5的倍数。(出示：28、45、53、80、75、34、95) 生：2的倍数有28、80、34，因为它们的个位是8、0、4。 生：5的倍数有45、80、75、95，因为它们的个位是5或0。 师：观察一下，哪些数既是2的倍数，又是5的倍数？ 生：80既是2的倍数，又是5的倍数。 师：为什么80既是2的倍数又是5的倍数？ 生：因为80的个位是0，0既是2的倍数特征里的数字，也是5的倍数特征里的数字。 师：说得好。个位上是0的数，既是2的倍数，也是5的倍数。 三、巩固练习 完成教材第92页“练一练”。 学生独立完成，指名汇报，集体订正。 四、课堂小结 师：通过今天的学习，你有什么收获？ 学生自由发言，教师总结：今天我们通过百数表探索了2和5的倍数特征，知道了判断一个数是不是2或5的倍数，只需要看个位上的数字就可以了。还认识了偶数和奇数。希望大家能灵活运用这些知识解决实际问题。 五、课后练习 完成学生用书相应练习。 探索2，5的倍数特征 5的倍数特征：个位上是0或5 2的倍数特征：个位上是2，4，6，8，0 2的倍数→偶数(0也是偶数) 不是2的倍数→奇数 既是2的倍数又是5的倍数：个位上是0 本节课通过百数表这一直观工具，引导学生自主探索2和5的倍数特征。学生在圈画、观察、猜测、验证的过程中，经历了完整的数学探究过程。教学中要注意引导学生从“发现现象”到“归纳规律”再到“举例验证”，培养学生的数学思维。同时，要强调判断2和5的倍数只需要看个位数字，与十位及更高位无关，帮助学生建立正确的数学概念。在介绍奇数和偶数时，要特别强调0也是偶数，纠正学生可能存在的认知误区。 第3课时　探索3的倍数特征 教材第93～94页的内容。 1．结合百数表，探索3的倍数特征，能判断一个数是不是3的倍数。 2．经历观察、猜想、验证、归纳的过程，发展推理能力和归纳能力。 3．感受数学规律的奇妙，激发探究数学规律的兴趣。 掌握3的倍数特征，能判断一个数是不是3的倍数。 理解3的倍数特征的本质，区分3的倍数特征与2、5的倍数特征的不同。 一、情境导入 1．创设情境 师：我们研究了2，5的倍数特征，说一说，3的倍数有什么特征呢？ 2．明确问题 师：我猜个位上是3，6或9的数是3的倍数。 生：不一定，13就不是3的倍数。 师：3×1＝3，3×2＝6，3×3＝9，3×4＝12，… 生：个位上的数没什么规律啊…… 师：看来3的倍数特征和2、5的不一样，我们一起去百数表中找找规律吧。 二、互动新授 1．探索3的倍数特征 (出示教材第93页百数表) 师：请在百数表中接着圈出3的倍数，你发现了什么？ 生：我发现3的倍数在一条条斜线上。 师：你知道吗？这些数各个数位上的数字之和都是3的倍数。 生：是这样吗？我找几个数看看： 12，1＋2＝3； 15，1＋5＝6； 18，1＋8＝9；21，… 生：2022年，北京市和张家口市联合举办了冬奥会，2＋0＋2＋2＝6，是3的倍数，2022＝3×674，确实是3的倍数，太神奇啦！ 2．验证规律 (出示教材第94页练习) 师：根据上面的发现，在下面的数中圈出3的倍数，并与同伴交流。 师：判断时，要先想一想3的倍数特征，再…… 生：56：5＋6＝11，不是3的倍数。 生：87：8＋7＝15，是3的倍数。 生：36：3＋6＝9，是3的倍数。 生：65：6＋5＝11，不是3的倍数。 生：60：6＋0＝6，是3的倍数。 生：128：1＋2＋8＝11，不是3的倍数。 生：453：4＋5＋3＝12，是3的倍数。 三、巩固练习 完成教材第94页练一练。 学生独立完成，同桌互相检查，集体订正。 四、课堂小结 师：通过今天的学习，你有什么收获？ 学生自由发言，教师总结：3的倍数特征是各个数位上的数字之和是3的倍数。这与2、5的倍数特征不同，3的倍数特征要看所有数位上的数字之和。 五、课后练习 完成学生用书相应练习。 探索3的倍数特征 3的倍数特征： 各个数位上的数字之和是3的倍数 本节课通过引导学生观察百数表中3的倍数的排列规律，让学生经历猜想、验证、归纳的完整探究过程。学生在发现3的倍数特征与2、5的倍数特征不同时，产生了认知冲突，激发了探究欲望。教学中要注意引导学生从特殊到一般，逐步归纳出3的倍数特征。 第4课时　最大公因数和最小公倍数 教材第95～96页的内容。 1．结合具体情境，理解公因数和最大公因数、公倍数和最小公倍数的含义，能找出两个数的公因数和公倍数。 2．经历探索最大公因数和最小公倍数的过程，发展数感和推理能力。 3．感受数学与生活的联系，培养合作交流的能力。 理解公因数和最大公因数、公倍数和最小公倍数的含义，能找出两个数的最大公因数和最小公倍数。 掌握用短除法求最大公因数和最小公倍数的方法，理解其原理。 一、情境导入 师：(出示教材第95页情境图)密码是12和18相同因数中最大的。密码是4和6相同倍数中最小的。 师：淘气密码箱的密码是多少？笑笑的呢？ 二、互动新授 1．认识公因数和最大公因数 出示教材第95页图片 师：我们先分别找出12，18的因数…… 生：12的因数：1，2，3，4，6，12 生：18的因数：1，2，3，6，9，18 师：12和18的相同因数是它们的公因数，其中最大的一个是它们的最大公因数。 师：12和18的公因数有1，2，3，6。 生：12和18的最大公因数是6。 师：所以淘气的密码是6。 2．认识公倍数和最小公倍数 出示教材第95页图片 师：笑笑密码箱的密码是多少？想一想，做一做。 生：我先分别写出100以内4和6的倍数，再…… 生：100以内4的倍数：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，… 生：100以内6的倍数：6，12，18，24，30，36，42，48，… 师：4和6的相同倍数是它们的公倍数，其中最小的一个是它们的最小公倍数。 生：4和6的公倍数有12，24，36，48，… 生：4和6的最小公倍数是12。 生：哇，密码是12。 3．用集合图表示公因数和公倍数 师：奇思用下面的方法表示公因数和公倍数，你能看懂吗？ 师：(出示集合图)12的因数：1，2，3，4，6，12；18的因数：1，2，3，6，9，18。中间重叠部分就是12和18的公因数。 师：12和18的公因数有1，2，3，6。 生：12和18的最大公因数是6。 师：4的倍数：4，8，12，16，20，24，…；6的倍数：6，12，18，24，30，…。中间重叠部分就是4和6的公倍数。 师：4和6的公倍数有12，24，36，… 生：4和6的最小公倍数是12。 4．短除法 出示教材第96页“你知道吗” 师：求两个数的最大公因数和最小公倍数，还可以用右面的方法。 师：(出示短除法)18和24的最大公因数是2×3＝6，它们的最小公倍数是2×3×3×4＝72。你知道其中的道理吗？ 师：最大公因数就是把所有的除数相乘。 生：最小公倍数就是把所有的除数和最后的商相乘。 三、巩固练习 完成教材第96页练一练。 学生独立完成，同桌互相检查，集体订正。 四、课堂小结 师：通过今天的学习，你有什么收获？ 学生自由发言，教师总结：几个数公有的因数叫作公因数，其中最大的一个叫作最大公因数；几个数公有的倍数叫作公倍数，其中最小的一个叫作最小公倍数。可以用列举法和短除法来求最大公因数和最小公倍数。 五、课后练习 完成学生用书相应练习 最大公因数和最小公倍数 12和18的公因数：1，2，3，6 12和18的最大公因数：6 4和6的公倍数：12，24，36，… 4和6的最小公倍数：12 本节课通过密码箱的情境引入，让学生在解决问题的过程中理解公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数的概念。学生在找公因数和公倍数的过程中，逐步掌握了有序思考的方法。教学中要注意引导学生理解短除法的原理，帮助学生建立清晰的数学概念。 第5课时　质数与合数 教材第97～98页的内容。 1．结合具体情境，理解质数和合数的含义，能判断一个数是质数还是合数。 2．经历探索质数和合数的过程，发展数感和推理能力。 3．了解质数在密码技术中的应用，感受数学的价值。 理解质数和合数的含义，能判断一个数是质数还是合数。 理解质数和合数的本质区别，掌握判断质数和合数的方法。 一、情境导入 1．创设情境 师：(出示教材第97页情境图)用12个小正方形拼成一个长方形，有几种拼法？在下面的方格纸上画一画，并与同伴交流。 2．明确问题 师：可以拼成“1×12”“2×6”和“3×4”这三种长方形。 师：用2，3，…，11个小正方形分别可以拼成几种长方形？完成下表，你有什么发现？ 二、互动新授 1．探索规律 (出示教材表格) 师：2个小正方形：1种(1×2)，因数：1，2。 师：3个小正方形：1种(1×3)，因数：1，3。 师：4个小正方形：2种(1×4、2×2)，因数：1，2，4。 师：5个小正方形：1种(1×5)，因数：1，5。 师：6个小正方形：2种(1×6、2×3)，因数：1，2，3，6。 师：7个小正方形：1种(1×7)，因数：1，7。 师：8个小正方形：2种(1×8、2×4)，因数：1，2，4，8。 师：9个小正方形：2种(1×9、3×3)，因数：1，3，9。 师：10个小正方形：2种(1×10、2×5)，因数：1，2，5，10。 师：11个小正方形：1种(1×11)，因数：1，11。 师：12个小正方形：3种(1×12、2×6、3×4)，因数：1，2，3，4，6，12。 师：5个小正方形只能拼成一种长方形，5的因数只有1和5两个。 师：有的数的因数只有2个，如2，3，5，…；有的数的因数不止2个…… 2．认识质数和合数 出示教材第98页定义 师：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。 师：一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫作合数。 师：1既不是质数，也不是合数。 师：2～12中，质数有2，3，5，7，11，合数有4，6，8，9，10，12。 三、巩固练习 完成教材第98页练一练。 学生独立完成，同桌互相检查，集体订正。 四、课堂小结 师：通过今天的学习，你有什么收获？ 学生自由发言，教师总结：只有1和它本身两个因数的数叫质数；除了1和它本身还有别的因数的数叫合数。1既不是质数也不是合数。 五、课后练习 完成学生用书相应练习。 质数与合数 质数：只有1和它本身两个因数 合数：除了1和它本身还有别的因数 1既不是质数，也不是合数 本节课通过用小正方形拼长方形的情境，让学生在操作中发现质数和合数的特征。学生在拼摆的过程中，逐步理解了质数和合数的本质区别。教学中要注意引导学生从具体到抽象，逐步建立质数和合数的概念。 第6课时　寻找质数 教材第99页的内容。 1．结合百数表，能用筛选法找出1～100中的质数，理解筛选法的原理。 2．经历观察、筛选、验证的过程，发展推理能力和归纳能力。 3．了解埃拉托色尼筛法，感受古代数学家的智慧，激发学习数学的兴趣。 能用筛选法找出1～100中的质数，理解筛选法的原理。 理解筛选法的原理，能准确找出1～100中的所有质数。 一、情境导入 1．创设情境 师：(出示百数表)在百数表中，怎样找出1～100中的所有质数？与同伴交流。 2．交流讨论 生：可以一个数一个数试一下…… 生：可以在百数表中先划掉2，3，5的倍数…… 二、互动新授 1．筛选法 (出示教材第99页百数表) 师：请在百数表中圈出所有的质数，并与同伴交流。 生：我先划掉1，再划掉2的倍数，但2要除外，然后划掉3的倍数…… 生：还要划掉5的倍数…… 师：做完要检查一下是否找全了…… 师：(引导学生逐步划掉)1既不是质数也不是合数，划掉。 师：2是质数，保留。划掉2的倍数(4，6，8，10，…)。 师：3是质数，保留。划掉3的倍数(6，9，12，15，…)。 师：5是质数，保留。划掉5的倍数(10，15，20，25，…)。 师：7是质数，保留。划掉7的倍数(14，21，28，35，…)。 师：剩下的数就是质数。 2．认识埃拉托色尼筛法 (出示教材第99页“你知道吗”) 师：上面寻找质数的方法，是两千多年前希腊数学家埃拉托色尼发明的。它好像一个筛子，把1和合数筛去后，剩下的便是质数了。 三、巩固练习 尝试找出101～200中的所有质数。 学生独立完成，同桌互相检查，集体订正。 四、课堂小结 师：通过今天的学习，你有什么收获？ 学生自由发言，教师总结：用筛选法找质数时，先划掉1，然后依次划掉2，3，5，7，…的倍数(本身除外)，剩下的就是质数。这种方法是两千多年前希腊数学家埃拉托色尼发明的。 五、课后练习 完成学生用书相应练习。 寻找质数 埃拉托色尼筛法： 1．划掉1 2．划掉2的倍数(2除外) 3．划掉3的倍数(3除外) 4．划掉5的倍数(5除外) 5．划掉7的倍数(7除外) 剩下的就是质数 本节课通过筛选法找质数的活动，让学生经历完整的探究过程。学生在划掉倍数的过程中，逐步理解了筛选法的原理，感受了古代数学家的智慧。教学中要注意引导学生有序操作，培养学生的耐心和细致的学习态度。 第7课时　整理与复习 教材第100～101页的内容。 1．通过整理与复习，进一步理解倍数与因数及其相关知识，形成知识网络。 2．经历整理知识的过程，发展归纳总结能力和解决问题的能力。 3．感受数学知识的系统性，培养反思和总结的习惯。 整理本单元知识，形成知识网络，能灵活运用所学知识解决问题。 理解知识之间的联系，能综合运用所学知识解决实际问题。 一、回顾与交流 1．我的收获 师：关于因数与倍数，你学习了哪些内容？尝试整理一下，并与同伴交流。 (出示教材第100页表格) 倍数与最小公倍数： 找倍数就是做乘法，如2的1倍是2，2的2倍是4…… 2的倍数：2，10，14，36，… 3的倍数：3，12，45，123，… 5的倍数：5，10，25，90，… 4的倍数：4，8，12，16，… 3与4的最小公倍数：12 因数与最大公因数： 找因数要一对一对按顺序来找，如12＝1×12，12＝2×6，… 6的因数：1，2，3，6 8的因数：1，2，4，8 最大公因数：2 质数与合数： 质数：2，3，5，7，… 合数：4，8，9，10，… 1既不是质数，也不是合数。 2．我的问题 师：有最大的质数吗？ 师：没有最大的质数，质数有无限多个。 二、巩固与应用 完成教材第100～101页“巩固与应用”。 学生独立完成，指名汇报，集体订正。 三、课堂小结 师：通过本单元的整理和复习，你有什么新的收获？ 学生自由发言，教师总结：本单元我们学习了倍数与因数、2，3，5的倍数特征、质数与合数、最大公因数和最小公倍数等知识。这些知识之间有着密切的联系，希望大家能灵活运用所学知识解决实际问题。 四、课后练习 完成学生用书相应练习。 整理与复习 倍数与因数 2，3，5的倍数特征 质数与合数 最大公因数和最小公倍数 知识联系：因数→倍数→公因数→公倍数 本节课通过整理与复习，帮助学生梳理本单元的知识，形成知识网络。学生在回顾和总结的过程中，加深了对知识的理解。教学中要注意引导学生发现知识之间的联系，培养学生的归纳总结能力。 学科网（北京）股份有限公司 $