空间向量与立体几何：线面角的向量求法、面面角的向量求法讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量与立体几何中“线面角、面面角的向量求法”核心知识点，系统梳理线面角的定义（直线与射影夹角）、取值范围及向量法原理（方向向量与法向量夹角互余），面面角的定义（二面角平面角）、取值范围及向量法原理（法向量夹角相等或互补），并构建从建系写点、求向量到代入公式的标准解题步骤学习支架。 该资料亮点在于知识点解析层次分明，含核心原理、步骤及注意事项，例题与变式训练选用内蒙古、甘肃等地期末真题，注重通过步骤化解题培养数学思维（推理能力、逻辑联系），借助符号运算与模型构建发展数学语言表达。课中辅助教师系统授课，课后学生可通过真题练习查漏补缺，提升立体几何问题解决能力。

空间向量与立体几何：线面角的向量求法、面面角的向量求法讲义 空间向量与立体几何：线面角的向量求法、面面角的向量求法讲义 考点目录 线面角的向量求法 面面角的向量求法 考点一 线面角的向量求法 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 定义与取值范围 直线与平面所成的角，是直线与其在平面内的射影所成的角；规定直线平行于平面或在平面内时，线面角为 ；直线垂直于平面时，线面角为 。 取值范围：，恒为非负的锐角或直角。 1. 向量法核心原理 设直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，直线与平面所成角为 。 线面角 与“方向向量-法向量的夹角”互余，即 ，因此有核心公式： 1. 特殊情形验证 · 直线平行平面 / 直线在平面内：，此时 ，，代入得 ，符合定义； · 直线垂直平面：，此时 ，，代入得 ，符合定义。 二、解题思路（标准步骤） 1. 建系写点：利用几何体中的垂直关系建立空间直角坐标系，写出所有关键点的坐标。 1. 求方向向量：在目标直线上任取两点，用终点坐标减起点坐标，得到直线的方向向量 。 1. 求平面法向量 · 在目标平面内找出两个不共线的向量 ； · 设平面法向量 ，根据 、 列方程组； · 对其中一个变量赋值，求解得到法向量的最简坐标。 1. 代入公式计算：分别计算 、、，代入公式求出 的值。 1. 确定角度：结合线面角 的取值范围，确定角的大小（或用反三角函数表示）。 三、关键注意事项 · 方向向量、法向量的正反方向不影响结果：公式带有绝对值，无论向量方向如何， 的值唯一。 · 法向量可使用最简整数形式：数乘不改变向量夹角，能大幅简化计算。 · 线面角是“直线与射影的夹角”，不是“直线与法向量的夹角”，二者互余，切勿混淆公式误用 。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，，，D，E分别在，上，满足，，将沿折起到的位置，使.      (1)求证：平面； (2)若点M满足，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)因为，，所以， 又因为，则，所以，翻折后， 又因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 又因为，平面， 所以平面. (2) 【分析】(1)折叠保垂直，依靠两组垂直交线证明出线面垂直； (2)依托第一问垂直条件建立空间直角坐标系，确定点坐标，求出平面法向量，套用线面夹角向量公式运算求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，建立如下所示空间直角坐标系，由几何关系知， 所以，则， 设平面的法向量，则， 令，则， 因为在线段上，且，则， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为.    例2．（25-26高二下·甘肃定西·期末）如图，在三棱柱中，平面，，二面角的大小为． (1)若是的中点，证明：平面． (2)若，，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1) 连接交于， 在三棱柱中，侧面是平行四边形， 所以是的中点， 又因为是的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； (2) 【分析】（1）借助三棱柱侧面平行四边形对角线中点性质，结合三角形中位线得到线线平行，再用线面平行判定定理完成证明； （2）由侧棱垂直底面确定二面角平面角，建立空间直角坐标系求出所有点坐标，利用线段比例算出坐标，求出平面法向量后，套用线面角向量公式计算出角度． 【详解】（1）略 （2） 因为平面，平面，平面， 所以，， 所以二面角的平面角， ，，， 在平面内作， 因为平面，平面， 所以，即两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴、轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，即，，， 设， ， 由，得， 所以，解得，即， ，，， 设平面的法向量， 所以，即， 令，得， 设直线与平面所成角为， 所以， 因为，所以， 所以直线与平面所成角的大小为． 例3．（25-26高二下·四川凉山·期末）如图，为直角梯形，，，为的中点，现将沿折起使点至点处，得四棱锥，点为中点．    (1)求证：平面； (2)当二面角为直二面角时，求：直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)    如上图，连接交于，连接， 由题可知：底面是正方形，所以为的中点， 又因为为中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）连接交于，连接，再根据线面平行的判定定理求解即可； （2）建系，求得平面法向量，和直线方向向量，代入夹角公式即可求解. 【详解】（1）略. （2）因为底面是正方形，所以，由二面角为直二面角， 得平面平面，而平面平面，平面， 所以平面，而平面，所以， 又，平面，平面，    以E为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间坐标系，直线与平面所成角为． ，，，， 由图可知为平面的法向量， 则，. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·江西南昌·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，E为的中点． (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)底面为矩形，，又平面，平面， ，又，，平面，平面，又平面， 可知平面平面； (2) 【分析】（1）由线面垂直证明面面垂直即可； （2）建立空间直角坐标系，由线面角的向量公式求解． 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，，两两垂直，以A为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 易知，，，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，令，可得，，可得， ； 因此直线与平面所成角的正弦值为，即余弦值为． 变式2．（25-26高二下·贵州贵阳·期末）如图，已知三棱锥与都是边长为2的等边三角形，是中点. (1)证明:平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)由题意，是边长为2的等边三角形， 过点作于点，连接， 则，又，则，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. (2) 【分析】（1）作，证明，从而证明平面，再根据面面垂直的判定，证明两平面垂直； （2）在第（1）问的基础上，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，两两互相垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则. 变式3．（25-26高二下·河南新乡·期末）如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，． (1)证明：平面平面ABC； (2)若平面ABC，且，连接PD，AD，求直线BP与平面PAD所成角的正弦值． 【答案】(1)如图，取AB的中点，连接PO，CO． 因为是边长为2的等边三角形，为AB的中点， 所以，且．     又因为为AB的中点， 所以，且．     因为，所以，所以．     又平面ABC，所以平面ABC，     又因为平面PAB，所以平面平面ABC. (2) 【分析】（1）取AB的中点，连接PO，CO，证明，，进而可证明平面ABC，可证明平面平面ABC； （2）以为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得平面PAD的一个法向量和直线的方向向量，利用向量法可求得直线BP与平面PAD所成角的正弦值． 【详解】（1）略. （2）由（1）得OB，OC，OP两两互相垂直，故以为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以．     设平面PAD的法向量为， 则即 令，得， 故平面PAD的一个法向量为．     设直线BP与平面PAD所成的角为， 则， 所以直线BP与平面PAD所成角的正弦值为．     考点二 面面角的向量求法 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 定义与取值范围 从一条直线出发的两个半平面组成的图形为二面角，其大小用平面角度量。 取值范围：，可为锐角、直角、钝角。 1. 向量法核心原理 设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，二面角 的大小为 。 二面角的平面角与两个法向量的夹角相等或互补： · 两个法向量一个指向二面角内部、一个指向外部时，； · 两个法向量都指向内部，或都指向外部时，。 · 计算公式： · 正负号由二面角的实际锐钝情况决定。 1. 特殊情形：直二面角 二面角为 （面面垂直） 两个平面的法向量垂直 。 二、解题思路（标准步骤） 1. 建系写点：建立空间直角坐标系，写出两个半平面上所有关键点的坐标。 1. 分别求两个平面的法向量：对每个平面，取两个不共线向量，列方程组求解法向量 、。 1. 计算法向量夹角余弦：代入数量积公式，求出 。 1. 判断二面角锐钝 · 直观观察法：结合立体图形，直接判断二面角是锐角还是钝角； · 方向验证法：在棱上取一点，向两个半平面内部作向量，数量积为正则为锐角，为负则为钝角。 1. 确定最终结果：根据锐钝判断给 赋予对应符号，结合 的范围，得到二面角的大小。 三、关键判断技巧 · 若题目明确说明“锐二面角”“钝二面角”，可直接确定余弦值的符号； · 若未说明类型，必须结合几何体的空间结构判断，不能直接对余弦取绝对值； · 棱锥、棱柱等规则几何体的二面角，通常可通过直观观察快速判断锐钝。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·青海西宁·期末）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，，，为的中点．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)如图，设与的交点为，连接， ∵在三棱柱中，四边形是平行四边形，∴是的中点， 又∵为的中点，∴是三角形的中位线， ∴，又∵平面，平面，∴平面. (2) 【详解】（1）略. （2）∵，，， 平面，∴平面， ∴，又∵侧面为正方形，∴， 以为原点，分别以的方向为轴正方向， 建立空间直角坐标系，则，， ，，，    ∵轴底面，∴取平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，， ，则，化简得， 令，则，即， 设二面角的平面角为，由图可判断为钝角， 则. 例2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，且，，点在线段上，满足：平面 (1)确定点的位置并说明原因； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)连接交于点，连接， 因为底面是矩形，所以是的中点， 已知平面，且平面， 平面平面，所以， 在中，为中点且，因此是的中位线， 故为线段的中点. (2) 【分析】（1）利用线面平行的性质定理推导出线线平行，再结合三角形的中位线确定中点位置 （2）证明面面垂直找到几何体的高并建立空间直角坐标系，通过求两平面法向量的夹角余弦值，最终转化为二面角的正弦值. 【详解】（1）略 （2） 由题意得，且， ，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 取的中点，连接， 因为，所以， 平面平面，所以平面， 在中，，， 在中，， 以为原点，以为轴正方向建系， 则， 且，，， 设平面的法向量为， 则，令，解得，故， ，，设平面的法向量为， 则，令，解得，故， 设二面角的平面角为， ， 则， 综上， 二面角的正弦值为. 例3．（25-26高二下·广西桂林·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，且，是的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)因为底面，底面，所以， 又因为，，且平面， 所以平面， 又平面，所以， 又因为，是的中点，所以， 又，，平面，所以平面； (2) 【分析】（1）证明出和，证明出结论； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用面面角的向量公式进行求解 【详解】（1）略 （2）不妨设， 因为底面，平面，所以，， 且底面是正方形，所以，，三条直线两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 由（1）得是平面的一个法向量， 所以， 平面与平面夹角的余弦值为. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·福建漳州·期末）在正三棱柱中，已知分别是棱的中点． (1)证明：平面平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)如图： 在矩形中，分别为的中点，连接，则， 平面，平面，所以平面. 在与中，因为，，因为，所以， 因为平面，平面，所以平面. 因为平面，且，所以平面平面． (2) 【分析】（1）根据面面平行的判定定理进行证明. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦. 【详解】（1）略 （2）以中点为坐标原点，所在直线为x轴正方向，所在直线为y轴正方向， 过点和平面垂直的直线为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 因， 则，即. 令，则， 设平面的法向量为， 所以， 所以所求二面角的余弦值为． 变式2．（25-26高二下·河南洛阳·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，D是的中点，于E. (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)平面，平面， ，又，，平面， 平面，平面，从而， 又，D是的中点，则， 由，平面，则平面， 由平面，则， 又，，平面， 平面； (2) 【分析】（1）根据已知条件，由线面垂直的性质、判定定理证明结论即可； （2）构建合适空间直角坐标系，标出相关点坐标，进而求出两个平面的法向量，应用向量法求面面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）由平面，平面，则， 由平面，平面，则， 在中，即， 所以，，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意，得，，，，， 即，，设平面的法向量， 由，得，令，得， 由（1）知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 变式3．（25-26高二下·贵州毕节·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面是梯形，，，，E为的中点． (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)连接，在中， 由余弦定理得 ， . 又，. 由侧棱底面，底面， . 又平面，平面 平面，. (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面，从而证得； （2）建立空间直角坐标系，由面面角的向量求法求得平面与平面的夹角的余弦值． 【详解】（1）略 （2）建立空间直角坐标系如图所示，则 ，，，， ， 设平面的法向量为， 则， 令，得平面的一个法向量为. 又底面，平面，所以平面平面. 因为平面平面，平面， 所以平面. 所以平面的一个法向量为 平面与平面的夹角的余弦值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $空间向量与立体几何：线面角的向量求法、面面角的向量求法讲义 空间向量与立体几何：线面角的向量求法、面面角的向量求法讲义 考点目录 线面角的向量求法 面面角的向量求法 考点一 线面角的向量求法 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 定义与取值范围 直线与平面所成的角，是直线与其在平面内的射影所成的角；规定直线平行于平面或在平面内时，线面角为 ；直线垂直于平面时，线面角为 。 取值范围：，恒为非负的锐角或直角。 1. 向量法核心原理 设直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，直线与平面所成角为 。 线面角 与“方向向量-法向量的夹角”互余，即 ，因此有核心公式： 1. 特殊情形验证 · 直线平行平面 / 直线在平面内：，此时 ，，代入得 ，符合定义； · 直线垂直平面：，此时 ，，代入得 ，符合定义。 二、解题思路（标准步骤） 1. 建系写点：利用几何体中的垂直关系建立空间直角坐标系，写出所有关键点的坐标。 1. 求方向向量：在目标直线上任取两点，用终点坐标减起点坐标，得到直线的方向向量 。 1. 求平面法向量 · 在目标平面内找出两个不共线的向量 ； · 设平面法向量 ，根据 、 列方程组； · 对其中一个变量赋值，求解得到法向量的最简坐标。 1. 代入公式计算：分别计算 、、，代入公式求出 的值。 1. 确定角度：结合线面角 的取值范围，确定角的大小（或用反三角函数表示）。 三、关键注意事项 · 方向向量、法向量的正反方向不影响结果：公式带有绝对值，无论向量方向如何， 的值唯一。 · 法向量可使用最简整数形式：数乘不改变向量夹角，能大幅简化计算。 · 线面角是“直线与射影的夹角”，不是“直线与法向量的夹角”，二者互余，切勿混淆公式误用 。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，，，D，E分别在，上，满足，，将沿折起到的位置，使.      (1)求证：平面； (2)若点M满足，求直线与平面所成角的正弦值. 例2．（25-26高二下·甘肃定西·期末）如图，在三棱柱中，平面，，二面角的大小为． (1)若是的中点，证明：平面． (2)若，，求直线与平面所成角的大小． 例3．（25-26高二下·四川凉山·期末）如图，为直角梯形，，，为的中点，现将沿折起使点至点处，得四棱锥，点为中点．    (1)求证：平面； (2)当二面角为直二面角时，求：直线与平面所成角的正弦值． 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·江西南昌·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，E为的中点． (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 变式2．（25-26高二下·贵州贵阳·期末）如图，已知三棱锥与都是边长为2的等边三角形，是中点. (1)证明:平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 变式3．（25-26高二下·河南新乡·期末）如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，． (1)证明：平面平面ABC； (2)若平面ABC，且，连接PD，AD，求直线BP与平面PAD所成角的正弦值． 考点二 面面角的向量求法 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 定义与取值范围 从一条直线出发的两个半平面组成的图形为二面角，其大小用平面角度量。 取值范围：，可为锐角、直角、钝角。 1. 向量法核心原理 设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，二面角 的大小为 。 二面角的平面角与两个法向量的夹角相等或互补： · 两个法向量一个指向二面角内部、一个指向外部时，； · 两个法向量都指向内部，或都指向外部时，。 · 计算公式： · 正负号由二面角的实际锐钝情况决定。 1. 特殊情形：直二面角 二面角为 （面面垂直） 两个平面的法向量垂直 。 二、解题思路（标准步骤） 1. 建系写点：建立空间直角坐标系，写出两个半平面上所有关键点的坐标。 1. 分别求两个平面的法向量：对每个平面，取两个不共线向量，列方程组求解法向量 、。 1. 计算法向量夹角余弦：代入数量积公式，求出 。 1. 判断二面角锐钝 · 直观观察法：结合立体图形，直接判断二面角是锐角还是钝角； · 方向验证法：在棱上取一点，向两个半平面内部作向量，数量积为正则为锐角，为负则为钝角。 1. 确定最终结果：根据锐钝判断给 赋予对应符号，结合 的范围，得到二面角的大小。 三、关键判断技巧 · 若题目明确说明“锐二面角”“钝二面角”，可直接确定余弦值的符号； · 若未说明类型，必须结合几何体的空间结构判断，不能直接对余弦取绝对值； · 棱锥、棱柱等规则几何体的二面角，通常可通过直观观察快速判断锐钝。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·青海西宁·期末）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，，，为的中点．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 例2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，且，，点在线段上，满足：平面 (1)确定点的位置并说明原因； (2)求二面角的正弦值． 例3．（25-26高二下·广西桂林·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，且，是的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·福建漳州·期末）在正三棱柱中，已知分别是棱的中点． (1)证明：平面平面； (2)求二面角的余弦值． 变式2．（25-26高二下·河南洛阳·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，D是的中点，于E. (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 变式3．（25-26高二下·贵州毕节·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面是梯形，，，，E为的中点． (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $