3.4函数的应用（一）同步练习 -2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数模型应用，通过基础选择、中档填空到综合解答的分层设计，实现从单一模型到实际问题解决的知识巩固，培养数学建模与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|一次/二次函数模型|单选1-3直接应用模型求收入、利润等基本量| |应用提升|分段/对钩函数及图像分析|多选5-6结合图像分析行程、盈利等情境问题| |综合拓展|实际问题建模与最值|解答题10整合成本收益构建函数模型并求解最值|

3.4函数的应用（一）同步练习答案含解析 一、常见几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 (，为常数，) 二次函数模型 (，，为常数，) 分段函数模型 幂函数模型 (，，为常数，) 二、对钩函数（耐克函数） 1.对钩函数（一般模型）：对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：（，）的函数； ①定义域：； ②是奇函数，图像关于原点对称； ③在，上单调递减；在，上单调递增； ④当时，；当时，； 巩固练习 1、 单项选择题 1.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如下图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是(　　) A.310元 B.300元 C.290元 D.280元 【答案】B 【解析】设函数解析式为， 函数图象过点(1，800)，(2，1 300)， 则 解得 所以，当x＝0时，y＝300. 所以营销人员没有销售量时的收入是300元． 答案：B 2. 某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益与年产量的关系式，则总利润最大时，每年生产的产品数量是（ ） A.300 B.400 C.500 D.200 【答案】A 【分析】利用总收益与成本的差可得总利润关于的解析式，利用分段函数的性质，分别求出两段函数的最值，从而可得结果. 【详解】设总成本为元，总利润为元，则， P=R-C=所以= 令，得=300．当0< <300时，；当>300时，．所以当=300时，取得最大值. 故答案为：A 3.某种商品进货价为每件200元，售价为进货价的125%，因库存积压，若按9折出售，每件还可获利 A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【详解】无折扣的售价为：200125%=250（元）， 打折后售价为：2500.9=225(元)， 获利;225-200=25(元)， 所以若按9折出售，每件还可获利25元． 故选C. 4.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应为(　　)． A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15 C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14 【答案】A 【详解】由三角形相似得,得,由0<x≤20得,8≤y<24, ∴,∴当y=12时,S有最大值,此时x=15. 选A 2、 多项选择题 5.甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程(km)与时间(min)的关系，下列结论正确的是（    ） A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 min B．甲从家到公园的时间是30 min C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快 D．当时，与的关系式为 【答案】BD 【详解】在A中，甲在公园休息的时间是10 min，所以只走了50 min，A错误； 由题中图象知，B正确； 甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误； 当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得，D正确. 故选：BD 6.某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为，观影人数记为，关于的函数图像如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后关于的函数图像．给出下列四种说法，其中正确的说法是（    ） A．图（2）对应的方案是：提高票价，并提高固定成本 B．图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本 C．图（3）对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变 D．图（3）对应的方案是：提高票价，并降低固定成本 【答案】BC 【详解】由图（1）可设关于的函数为，，，为票价， 当时，，则为固定成本； 由图（2）知，直线向上平移，不变，即票价不变，变大，则变小，固定成本减小，故A错误，B正确； 由图（3）知，直线与轴的交点不变，直线斜率变大，即变大，票价提高，不变，即不变，固定成本不变，故C正确，D错误； 故选：BC。 3、 填空题 7.上海某工厂以x吨/天的速度匀速生产某种产品，每天可获得的利润是万元，其中．要使生产该产品2天获得的利润不低于30万元，则x的取值范围 。 【答案】 【分析】由题意可得，即得范围. 【详解】根据题意，，得，即解得或， 又，可得． 8.某品牌手机公司的年固定成本为50万元，每生产1万部手机需增加投入20万元，该公司一年内生产万部手机并全部销售完当年销售量x低于40万部时，每销售1万部手机的收入万元；当年销售量x不低于40万部时，每销售1万部手机的收入万元，写出年利润y万元关于年销售量x万部的函数解析式 。 【答案】 【详解】依题意，生产万部手机，成本是（万元）， 故利润，而，故， 整理得，； 9.若等腰三角形的周长为20，底边长是关于腰长的函数，则它的解析式为__________________. 【答案】 【详解】由题意，得2x＋y＝20，∴y＝20－2x. ∵y>0，∴20－2x>0，∴x<10. 又∵三角形两边之和大于第三边， ∴，即，解得x>5， ∴5<x<10， 故所求函数的解析式为. 故答案为： 4、 解答题 10.某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量(单位：千克)与施用肥料(单位：千克)满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为(单位：元) (1)写单株利润(元)关于施用肥料(千克)的关系式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)4千克，480元﹒ 【分析】（1）用销售额减去成本投入得出利润的解析式； （2）根据二次函数的单调性和基本不等式求出的最大值即可． 【详解】（1）依题意，又， ∴． （2）当时，，开口向上，对称轴为， 在上单调递减，在上单调递增， 在上的最大值为． 当时，， 当且仅当时，即时等号成立． ∵，∴当时，． ∴当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是480元． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4函数的应用（一）同步练习答案含解析 一、常见几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 (，为常数，) 二次函数模型 (，，为常数，) 分段函数模型 幂函数模型 (，，为常数，) 二、对钩函数（耐克函数） 1.对钩函数（一般模型）：对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：（，）的函数； ①定义域：； ②是奇函数，图像关于原点对称； ③在，上单调递减；在，上单调递增； ④当时，；当时，； 巩固练习 1、 单项选择题 1.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如下图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是(　　) A.310元 B.300元 C.290元 D.280元 2. 某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益与年产量的关系式，则总利润最大时，每年生产的产品数量是（ ） A.300 B.400 C.500 D.200 3.某种商品进货价为每件200元，售价为进货价的125%，因库存积压，若按9折出售，每件还可获利 A．元 B．元 C．元 D．元 4.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应为(　　)． A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15 C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14 2、 多项选择题 5.甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程(km)与时间(min)的关系，下列结论正确的是（    ） A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 min B．甲从家到公园的时间是30 min C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快 D．当时，与的关系式为 6.某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为，观影人数记为，关于的函数图像如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后关于的函数图像．给出下列四种说法，其中正确的说法是（    ） A．图（2）对应的方案是：提高票价，并提高固定成本 B．图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本 C．图（3）对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变 D．图（3）对应的方案是：提高票价，并降低固定成本 3、 填空题 7.上海某工厂以x吨/天的速度匀速生产某种产品，每天可获得的利润是万元，其中．要使生产该产品2天获得的利润不低于30万元，则x的取值范围 。 8.某品牌手机公司的年固定成本为50万元，每生产1万部手机需增加投入20万元，该公司一年内生产万部手机并全部销售完当年销售量x低于40万部时，每销售1万部手机的收入万元；当年销售量x不低于40万部时，每销售1万部手机的收入万元，写出年利润y万元关于年销售量x万部的函数解析式 。 9.若等腰三角形的周长为20，底边长是关于腰长的函数，则它的解析式为__________________. 4、 解答题 10.某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量(单位：千克)与施用肥料(单位：千克)满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为(单位：元) (1)写单株利润(元)关于施用肥料(千克)的关系式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $