山东聊城市2026-2027学年高三上学期9月学习质量综合评估数学试题

高三年级9月学习质量综合评估 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 题号 1 2 6 8 答案 B C 二、选择题：本题共3小题， 每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 10 11 答案 AC BCD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2:14.8 12.2;13. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【解析】 (1)f(x)为偶函数. …2分 证明：f(x)的定义域为(-m,+w),关于原点对称： f(-x)=cos(-x)+(x)sin(-x)-1=cosx+xsinx-1=f(x), 所以f(x)为偶函数. …5分 (2)xe(0,列，令f")=xCOS=0,得x=刀 …7分 所以当xe0f)>0,当xex,f0: 所以f)在0，乃上单调递增，f)在()上单调递减。 …9分 因为f0)=0f9)>0,f()=-2<0, 所以f(x)在(0，)上只有一个零点. …11分 又因为f(x)为偶函数，且f(0)=0， 所以函数(x)在区间(-兀，)上有3个零点· …13分 16.【解析】 (1)取AC中点为M,连接BM,A1M,AB, 数学试题答案第1页（共5页） 由△ABC和△4AC为正三角形可知MB⊥AC,MA⊥AC,…2分 又MB,MAc平面MBA,且MB∩MA=M. 故AC⊥平面MBA.… …4分 又ABC平面MBA,故AC⊥BA.…6分 (2)由题意可知A1ABC为正四面体，所以点A在平面ABC上的射影ABC的中心，记该 点为H, …8分 所以∠AMH为二面角A-AC-B的平面角，记为日.…9分 在△ABC中，解得4H=S 所以4H=VA4-4-y6 A …11分 又因为M=1HA= 21 6 则m0=4g:25. HM 所以平面AAC与平面ABC夹角的正切值为2√2 15分 17.【解析】 (1)由题意：2b=4,所以b=2. 因为e=c= 2,所以a=3,c=V5, 所以E的方程为，+=1 …4分 (2)证明：由(1)可知A(-3,0),B(0,-2) 直线PA的方程为y=”,c+3),令x=0,得M0,3% x+3 +3 直线PB的方程为y=十2x-2,令y=0,得N 2x0 ,0 …6分 +2 因为四边形ABMN的对角线互相垂直，所以SAsw= 1 |AN|川BM|.…8分 因为1AWF26。+3=2+3%+6 %+2 %+2 IBM作3%+2=2+3%+6 +3 +3 …12分 数学试题答案第2页（共5页） 所以1ANBM=2+3%+O_4+9+126+24+36,+36 (+3)(6+2) xg+2x+3%+6 _12(06+2x+3+) 0+2x+3%+6 =12 1 所以Saw:-2X12=6. 所以四边形ABM的面积为定值，…I5分 18.【解析】 (1)(i)第2次取出的是2号卡牌等价于第1次取出的不是2号卡牌， 所以P= 6… …3分 (i)X的取值为1,3,4,5,6.…4分 当X=3时，可分为第1次取1,4,5,6号卡牌和第1次取2号卡牌两类情况： 所x=)器品动 …6分 因为P(X≠3)=1- 5=,且1,4,5,6四张卡牌等可能被抽取到 所以P(X=1)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)= 111 5420 1 1 1 20 20 20 20 B(X)=1x+3x4+4x} 4 16 +5X +6× …9分 20 5 20 20 205 (2)记盒中装有编号1,2，，n的n张卡牌时，最后一次取出的是n号卡牌的概率为n. 第1次取卡分为三类互斥事件： ①第1次取出1号卡牌，概率为号，后续依次取出2,3，，n-1号卡牌，则最后一次取出 的是n号卡牌； ②第1次取出n号卡牌，概率为二，最后一次取出的不可能是n号卡牌： ③第1次取出m号卡牌，2≤m≤n-1,概率为二：第2，.，m-1次按规则取出2，，m-1, 第m次在剩余n-m+1张卡牌中等概率抽取，该子问题等价规模为n-m+1的原型. n-1 所以2=+∑，整理得21+B, …13分 2 1-2 同理对n-1:(n-1)P-1=1+∑乃， i=2 数学试题答案第3页（共5页） 两式相减nn-(n-1)-1=n-1,nPn=nPn-1→n=卫n-1,所以{n}是常数列， 又=2，片行放对任意整数以≥2，月 2 所以最后一次取出的是n号卡牌的概率为 …17分 2 19.【解析】 (1)TA):4,4,3,1: …1分 B:4,4,3,1.… …3分 (2)由题意知，T(A)中的最大项即为A的项数， 结合T(A)=A,得a1=n, 。。。。。。。。。。 …2分 ∑a≤∑a=n%=4，即4 注意到g∈N,故a1≥46.… …5分 注意到数列4：464545,451①。 44个 满足S(A)=2027,且T(A)=A.存在数列①式满足要求， 故41的最小值为46. …8分 (3)设a=,a=s,则数列A共有r项，且有S项不小于2， 故S(A)=∑g=4+a+∑4+∑4≥r+5+26-2)+0-5)=20+s)-4,…10分 1=1 13 由题意ak≤ak-1,k=2,3,…,n,故r≥g, 从而S(A)≥20+s)-4≥4-4， 注意到seN,故S≤507， …12分 若a≥509，且a2=507,则数列A有且仅有两个1，则 S(4)≥509+507+505×2+2×1=2028，不符合题意；…13分 若a1=508,且a2=507,则数列A有且仅有一个1，则 S(A)=508+507+a3+…+as07+1=1016+a3+…+a507, 故a3+…+as07=1011,注意到a≥2，故只能a3=3,a4=a5=…=a57=2, 此时数列4508,507,32-21满足要求：…15分 504个 数学试题答案第4页（共5页) 若41=507，且a2=507,则数列每一项均不小于2， 此时S(A)=507+507+a3+…+as07=1014+a3+…+a507’ 故3十…+a507=1013,从而a6=a=…=a07=2, 此时数列可能为4507,507,5,2,2 ，4507,507,432…2, 504个 503个 307,507,3.3,3,2,,2,验证只有A507,507,4,2符合题目要求. 503个 故a2取最大值507时，可能的数列有 4:508,507,3,2,21,4507,507.4,3,2…2两种可能.…17分 504个 503个 数学试题答案第5页（共5页）保密★启用并使用完毕前 2026年全市高三年级9月学习质量综合评估 数学 本试卷共4页，19题，全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，监考员将试卷、答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数z=1+i,则z·z= A.√2 B.2 C.2i D.-2i 2.点(N2,1)到抛物线x2=2y的焦点的距离为 A.1 C.2 D.3 3.已知M|表示集合M中的元素个数，若|A=5,|A∩B=3,|AUB=6,则|B= A.5 B.6 C.3 D.4 4.若a,b均为非零向量，则“|a+b曰a-b”是“a⊥b”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知直线y=c+b与曲线y=e-1和y=lnx+1均相切，则k+b= A.1 B.2 C.e D.1 e 6.不全相等的正整数a,b,c,d构成一组数据，若它们的平均数和中位数均为2，则 该组数据的极差为 A.1 B.2 C.3 D.4 7.由透明玻璃制成的正方体密闭容器的棱长为1（玻璃厚度忽略不计)，注入体积为 x(0<x<1)的液体，在正方体自由旋转的过程中，液面形成图形记为T,液体形 成的几何体记为2，则下列说法错误的是 A.2可能是正三棱锥 B.T不可能为直角三角形 C.当x=)时，『的面积最大值为3 4 D.当Q为枝维时，的体积最大值为。 8.若a>0,则关于x的方程|x2-cosx-a=a的实数根的个数为 A.2 B.3 C.4 D.不确定 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.在锐角△ABC中，则 A.sin A>cos B B.cos A>sin B C.sin(A+B)<cos 4+cos B D.存在△ABC,sin(A+B)>sinA+sinB 10.已知点P,A,B,C均在半径为1的球O的表面上，且PO⊥平面ABC,则下列 结论正确的有 A.三棱锥P-ABC为正三棱锥 B.若BA⊥CA,则平面PBC⊥平面ABC C.△MBC面积的最大值为3V5 4 D.三棱锥P-ABC体积的最大值为8V因 27 11.将1,2,3，·，2n(n∈N,n≥3)这2n个连续正整数随机分成A,B两组，每组n 个数，A组最小数为A,最大数为A,；B组最小数为B,最大数为Bn,则下列 结论正确的有 A.若m=3,则4<B的概率为 0 B.若n=3,则4-A=B3-B,的概率为 一5 C.A。=n+1的概率为nn (2n)！ 2n2+n D.E(4,)= n+1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知直线)=-3与双自线C:兰=1行且仅有个公共点，则C约唐心车 为 13.已知函数f(x)=sin(x+p)+cosx(p>0),若f(x)的最小值为-2，则9的最小 值为 14.已知集合A={x∈N|1≤x≤14，BsA,任取m,n,p∈B,m<n<p,都有 m+p≠2n,则集合B中元素个数的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=cosx+xsinx-1. (1)判断f(x)的奇偶性并给出证明； (2)讨论f(x)在区间(-元，π)上的零点个数. 16.（本小题满分15分) B 在三棱柱ABC-AB,C中，∠AAC=∠A,AB=60°， 且棱长均为1. (1)证明：AB⊥AC; (2)求平面AAC与平面ABC夹角的正切值， 17.（本小题满分15分) 已知椭圆E:女+少 a京+京=1(>b>0)的左、右焦点分别为，B,左顶点为4，下 顶点为B,E的短轴长为4，离心率为5.点P心x,)是E上位于第一象限内 的动点，直线PA交y轴于点M,直线PB交x轴于点N. (1)求E的方程； (2)证明：四边形ABNM的面积为定值. 18.(本小题满分17分) 盒内装有n张相同的卡牌，编号分别为1,2,3，…，n.从盒内每次不放回地取出 一张卡牌，直至卡牌全部取出.具体规则如下： ①第1次取卡：从盒内随机取出1张卡牌； ②第k次取卡（2≤k≤n):若k号卡牌仍在盒内，则取出k号卡牌；否则，从盒 内随机取出1张卡牌 （1)若n=6. ()求第2次取出的是2号卡牌的概率； ()设第3次取出的卡牌编号为X,求X的分布列与数学期望： (2)求最后一次取出的是n号卡牌的概率. 19.(本小题满分17分) 已知数列A:a1,a2…,an的各项均为正整数，且a,≤ak-1,k=2,3,…,n.定义 变换T,T将数列A变换为数列T(A):b,b2,,bm,其中m=a,b为数列A中 不小于i的项的个数 (1)若数列A:4,3,3,2,求T(A),并求一个数列B,满足T(B)=A（直接写 出结果即可)： (2)记S(A)为数列A的各项之和，若T(A)=A,S(A)=2027. (i)求a的最小值； (i)求a2的最大值，并求出α，取得最大值时的所有满足条件的数列A.