4.1函数 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“函数”核心知识点，涵盖概念、表示方法、自变量取值范围及函数值。通过摩天轮高度随时间变化的生活情境导入，结合物体堆放层数与总数、热力学温度与摄氏温度等实例，搭建从具体到抽象的学习支架，引导学生逐步理解变量关系。 其亮点在于以核心素养为导向，通过多情境探究培养数学抽象能力和应用意识，如用表格、图象、关系式表示函数，结合蜡烛燃烧、碗的高度等实例强化运算能力。小结系统梳理知识要点，学生能深化对函数的理解，教师可高效开展教学。

4.1函数 第四章 一次函数 北师大版(2024) 1 素养目标 2.认识函数的概念及表示方法，能判断两个变量间的关系是否可以看成函数，提升数学抽象能力； 1.结合具体情境，探索简单实例中的数量关系和变化规律； 3.通过结合图象和变化规律，能确定实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值，提高运算能力、发展应用意识. 2 新知导入 你坐过摩天轮吗？想一想，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？ 随着时间的变化，离开地面的高度由低变高，直到到达最顶端，再由高变低，直到到达最底端. 3 探究新知 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 14 36 47 h(米) 4 探究新知 t/min h/m 2 O 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 10 15 20 25 30 35 40 45 如图反映了摩天轮上某一点的高度h (m)与旋转时间t(min) 之间的关系. 请根据图象填表： t/分 0 1 2 3 4 5 …… h/米 …… 36 14 36 47 3 14 5 探究新知 t/min h/m 2 O 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 10 15 20 25 30 35 40 45 对于给定的时间 t ，相应的高度 h 确定吗？ 旋转的时间变化时，摩天轮上某一点的高度也随着变化， 旋转的时间确定时，摩天轮上某一点的高度也随着确定. 对于给定的时间 t，相应的高度 h 随之确定. 6 探究新知 圆柱形的物体常常如下图那样堆放，随着层数的增加，物体的总数是如何变化的. 填写下表： 层数n 1 2 3 4 5 …… 物体总数y …… 6 10 15 1 3 对于给定的层数 n，相应的物体总数 y 确定吗？ 确定！只要给定层数，就能求出物体总数. 7 探究新知 一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到 -273.15 ℃，则气体的压强为零.因此，物理学把 -273.15 ℃ 作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273.15 ，T≥0. (1)当t分别等于-43℃，-27℃，0℃，18℃时，相应的热力学温度T是多少？ 解：当t为-43℃时，T=-43+273.15=230.15(K)； 当t为-27℃时，T=-27+ 273.15 =246.15(K)； 当t为0℃时，T=0+ 273.15 =273.15(K)； 当t为18℃时，T=18+ 273.15 =291.15(K). 8 探究新知 (2)给定一个大于-273.15℃的t值，你都能求出相应的T值吗？ 给定一个大于-273.15 ℃的t值，代入关系式即可以求出相应的T值. 有且只有唯一一个T值. 一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到 -273.15 ℃，则气体的压强为零.因此，物理学把 -273.15 ℃ 作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273.15 ，T≥0. 9 探究新知 上面三个问题都研究了两个变量之间的关系，它们有什么相同点和不同点？与同伴进行交流. T=t+273.15，T≥0. 时间 t 、相应的高度 h t/min h/m 2 O 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 10 15 20 25 30 35 40 45 层数n、物体总数y 摄氏温度t 、热力学温度T 共同特点：1.都有两个变量. 2.给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值. 10 函数 归纳总结 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量. y就是x的函数 一个x值 唯一一个y值 对应 注意：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系. 11 探究新知 层数n 1 2 3 4 5 … 物体总数y … T=t+273.15，T≥0. 这三个问题中，用到了什么方法来表示函数呢？ 列表法 图象法 关系式法(表达式法、解析式法) 表示函数的一般方法有： 图象法、列表法和关系式法. t/min h/m 2 O 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 10 15 20 25 30 35 40 45 12 探究新知 上述的三个问题中，要使函数有意义，自变量能取哪些值？ t/min h/m 2 O 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 10 15 20 25 30 35 40 45 右图反映了摩天轮上某一点的高度h(m)与旋转时间t(min) 之间的关系. 自变量t的取值范围：t≥0 13 探究新知 圆柱形的物体常常如下图那样堆放，随着层数的增加，物体的总数是如何变化的. 自变量n的取值范围：n取正整数. 层数n 1 2 3 4 5 …… 物体总数y …… 6 10 15 1 3 14 探究新知 一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到 -273.15 ℃，则气体的压强为零.因此，物理学把 -273.15 ℃ 作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273.15 ，T≥0. 自变量t的取值范围：t≥-273.15 15 归纳总结 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值. 即：如果y是x的函数，当x=a时，y=b，那么b叫作当x=a时的函数值. 例如，T(K)与t(℃)的函数关系：T=t+273.15，T≥0. 当t=1时，T=1+273.15=274.15(K)，那么，274.15就是当t=1时的函数值. 16 A 17 B 18 C 19 B 20 21 22 23 碗的数量 高度 24 25 小结 函数 表示方法 概念 图象法，列表法，关系式法 函数值 自变量的取值范围 26 谢谢同学们的聆听 27 练习1 下列四个图象中,能表示y是x的函数关系的是( ) A. B. C. D. 解析：A、对于x的每一个值,y都有唯一确定的值与其对应,符合函数定义,故本选项正确； B、对于x的某些值,y有三个值与其对应,不符合函数定义,故本选项错误； C、对于x的某些值,y有两个值与其对应,不符合函数定义,故本选项错误； D、对于x的某些值（ ）,y有两个值与其对应,不符合函数定义,故本选项错误. 练习2 某商店进了一批玩具，其销售数量x（个）与销售额y（元）之间的关系式为 ，则当销售数量为4个时，销售额为( ) A.24元 B.32元 C.40元 D.48元 解析：当 时， （元） ∴当销售数量为4个时，销售额为32元. 练习3 一种食品的总售价y(元)与售出食品的质量x(千克)之间的关系如下表： 售出食品质量x(千克) 0 0.5 1 1.5 2 4 总售价y(元) 0 2.5 5 7.5 10 20 若购买这样的食品5千克,需要( )元 A.15 B.22.5 C.25 D.27.5 解析：根据表格数据,可得 ,∴当 时, , ∴购买这样的食品5千克,需要25元,故选：C. 练习4 往如图所示的容器中注水，下面图象中哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间的关系( ) A. B. C. D. 解析：容器下端较小，上端较大，当均匀地注入水时，刚开始时高度变化较大，随着时间的推移，高度的变化速度开始减小，即高度变化越来越不明显，四个图象中只有选项 符合该特点，故选：B. 练习5 如图是一个蓄水池某天的蓄水量y（单位：吨）随时间x（单位：时）的变化而变化的图象,根据图象回答下列问题. (1)y与x是否构成函数关系？若构成,请写出自变量和函 数分别是什么,若不构成,请说明理由； (2)你还能从图象中获得哪些信息？（写出一条即可） 解：(1)由函数图象可知,对于x的每一个确定的值,y都有唯一的值与之对应, y与x构成函数关系, 自变量是x,函数是y； (2)由图象可得,这个蓄水池该天3时蓄水量最大,最大的蓄水量为9吨.（答案不唯一） 练习6 当蜡烛被点燃后，蜡烛的长度会随燃烧时间发生变化.研究表明，在蜡烛可燃烧长度内，蜡烛剩余的长度y（ ）与燃烧时间x（ ）之间为一次函数关系，某实验小组将得到的数据绘制成如下表格. 燃烧时间x（ ） 0 1 2 3 剩余长度y（ ） 20 17 14 11 （1）求蜡烛剩余长度y（ ）与燃烧时间x（h）之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）当蜡烛燃烧5h后，求蜡烛剩余的长度. 解：（1）观察表中数据可得蜡烛初始长度为20cm，每燃烧1h蜡烛减少3cm， 函数表达式为 . 当蜡烛燃烧完，即 时， ， 自变量的取值范围为 . （2）当 时， . 答：当蜡烛燃烧5h后，蜡烛剩余长度为5cm. 练习7 如图，把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度h(cm)随着碗的数量x(只)变化而变化的情况如下表所示： 碗的数量x(只) 1 2 3 4 … 高度h(cm) 6 7.3 8.6 9.9 … (1)上述两个变量之间的关系中，自变量是 ；因变量是 ； (2)请你写出h与x之间的关系式； (3)若这摞碗的高度为13.8cm，求这摞碗的数量. 解：(1)通过表格所列举的变量可知，碗的数量是自变量，高度是因变量； (2)由表格可知，每增加一只碗，高度增加1.3cm， ∴ ； (3)∵ ， ∴当 时，即 ，解得： ， ∴碗的数量是7只. $