4.2认识一次函数（课时3） 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦一次函数的方案选择与分段计费应用，通过复习一次函数及正比例函数定义，以租车计费问题为生活情境导入，搭建从概念到实际应用的学习支架，帮助学生衔接新旧知识。 其亮点在于以租车、水费、电费等生活实例为载体，引导学生建立函数模型（模型观念），经历分析计费区间、列关系式、求解比较的推理过程（数学思维），归纳解决步骤形成结构化认知。学生能提升用数学语言表达现实问题的能力，教师可借助丰富实例和清晰步骤提高教学效率。

4.2认识一次函数 （课时3） 第四章 一次函数 北师大版(2024) 1 素养目标 2.学会运用一次函数知识解决租车方案和分段计费的问题，提升模型观念和应用意识. 1.探索生活中利用一次函数解决租车方案和分段计费的问题，并能理解其中的意义； 2 复习导入 1.什么是一次函数？ 如果两个变量x，y间的对应关系可以表示成 y=kx+b (k，b为常数，k≠0)的形式，那么称 y是x的一次函数. 2.特别地，当b=0时，称y是x的 . 正比例函数 y=kx(k为常数，且k≠0). 正比例函数是一种特殊的一次函数. 在实际生活中，能否运用一次函数解决某些问题？ 3 探究新知 某单位需租一辆45座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司. 甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米15元. 乙公司的计费标准：除了每千米10元的里程费外，另有服务费200元(不足1km按1km计算). 如何选择呢？ 4 探究新知 甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米15元. 乙公司的计费标准：除了每千米10元的里程费外，另有服务费200元 解：用车里程为30km时， 甲公司的费用 y甲=15×30=450， 乙公司的费用 y乙=10×30+200=500， ∵450＜500 ， ∴建议租用甲家公司的客车. (1)假设该单位用车里程为30千米，你建议租用哪家公司的客车？ 5 探究新知 甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米15元. 乙公司的计费标准：除了每千米10元的里程费外，另有服务费200元 (2)假设该单位用车里程为52千米，你建议租用哪家公司的客车？ 解：用车里程为52km时， 甲公司的费用y甲=15×52=780， 乙公司的费用y乙=10×52+200=720， ∵ 780＞720， ∴建议租用乙公司的客车. 6 探究新知 甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米15元. 乙公司的计费标准：除了每千米10元的里程费外，另有服务费200元 (3)用车里程为多少千米时，两家出租车公司的收费相同？ 解：设用车里程为x千米，甲公司费用为y甲，乙公司费用为y乙， y甲=15x，y乙=10x+200， 当y甲=y乙时，两家出租车公司的收费相同， 此时15x=10x+200，解得x=40， 所以，当用车里程为40千米时，两家出租车公司的收费相同. 7 探究新知 甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米15元. 乙公司的计费标准：除了每千米10元的里程费外，另有服务费200元 发现：哪家公司比较优惠并不是固定不变的，而是根据用车里程的不同选择不同的公司. 8 归纳总结 解决分段计费问题的一般步骤： 1.确定计费的各个区间及其对应的单价或规则； 2.根据变量所在区间，建立分段函数关系式； 3.计算费用时，代入变量值到相应的区间公式； 4.求解特定费用时，设立方程并检查解是否符合区间条件，可能需要分段讨论. 归纳总结 9 例题练习 为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费.如表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准. 计费档 户年用水量x/m3 单价/(元/m3) 第一档 0<x≤220 3.45 第二档 220<x≤300 4.83 第三档 x>300 5.83 10 例题练习 (1)当220<x≤300时，写出水费y(单位：元)与x之间的关系式； 解：当220<x≤300时，用水量属于第二档. 于是 y=3.45×220+4.83×(x-220)，即 y=4.83x-303.6. 计费档 户年用水量x/m3 单价/(元/m3) 第一档 0<x≤220 3.45 第二档 220<x≤300 4.83 第三档 x>300 5.83 (2)某户一年用水量是250m3，求该户这一年的水费； 解：当x=250时，y=4.83×250-303.6=903.9(元). 11 例题练习 计费档 户年用水量x/m3 单价/(元/m3) 第一档 0<x≤220 3.45 第二档 220<x≤300 4.83 第三档 x>300 5.83 (3)某户去年一年的水费是1000.5元，求该户去年一年的用水量； 解：因为3.45×220=759，4.83×300-303.6=1145.4， 759<1000.5<1145.4，所以该户年用水量属于第二档. 设该户去年一年的用水量为x m3， 则1000.5=4.83x-303.6，解这个方程，得x=270. 因此，该户去年一年的用水量为270 m3. 12 例题练习 计费档 户年用水量x/m3 单价/(元/m3) 第一档 0<x≤220 3.45 第二档 220<x≤300 4.83 第三档 x>300 5.83 当x>300时，你能写出水费y(单位：元)与用水量x之间的关系式吗？ 解：x>300时，年用水量属于第三档， 第一档费用：220×3.45=759，第二档费用：4.83×300-303.6=1145.4， x>300时， y=1145.4+5.83×(x-300)， 即y = 5.83x-603.6. 13 探究新知 像例题这样计费有什么意义，设计计费规则时要注意什么，生活中还有哪些情况用到类似的计费方法？ 意义：体现公平、促进资源合理利用、反映成本差异等. 设计计费规则时要注意：(1)分段的标准要有差异； (2)分段的范围不能间断、重叠. 生活中其他情况：家庭用电电费计费、个人所得税缴纳、快递根据重量和距离分段计费等. 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 小结 分段问题中的一次函数 方案选择问题 分段收费问题 24 谢谢同学们的聆听 25 练习1 “生活即教育,行为即课程”.某校将劳动教育融入立德树人全过程.学校给每个班划分一块地供学生“种菜”,某班现要购买肥料对该地施肥,该班班长与农资店店主商量后,店主给出了两种购买方案(如表),且都送货上门. 方案 运费 肥料价格 方案一 12元 3元 方案二 0元 3.6元 若该班购买x千克肥料,按方案一购买的付款总金额为 元,按方案二购买的付款总金额为 元. (1)请分别写出 , 与x之间的函数关系式； (2)若该班计划用180元钱购买肥料,请问该班选择哪种购买方案购买的肥料较多？ 解：(1) 与x之间的函数关系式为 , 与x之间的函数关系式为 . (2)当 时, ,解得 , 当 时, ,解得 , , 该班选择方案一购买的肥料较多. 练习2 周末，小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩.已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元.为满足游客需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的六折收费； 乙方案：游客进园不需要购买门票，采摘的杨梅质量在10千克以内按原价收费，超过10千克后，超过部分按原价的五折收费. 设采摘量为x千克，按甲方案所需总费用为 元，按乙方案所需总费用为 元. （1）当采摘量超过10千克时，分别求出 ， 与x之间的函数关系式. （2）当采摘多少千克时，两种方案的价格相同？ （3）若采摘量为30千克，选择哪种方案更划算？请说明理由. 解：（1）当采摘量超过10千克时， ， 根据题意，得 ， . （2）令 ，则 ，解得 . 即当采摘42.5千克时，两种方案的价格相同. （3）选择甲方案更划算.理由如下： 当 时， ， . 因为 ，所以选择甲方案更划算. 练习3 为了鼓励市民节约用水,某市采用分档计费的方式计算水费.下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 单价/（元/ ） 第一档 5 第二档 7 第三档 9 (1)当 时,写出水费y（单位：元）与x之间的关系式； (2)某户一年用水量是 ,求该户这一年的水费； (3)某户去年一年的水费是1820元,求该户去年一年的用水量. 解：(1)依题意,当 时, ； (2)由(1)得当 时, 当 时, , 答：该户这一年的水费是1040元； (3)依题意, ； ； EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 水费在第三档, 当 时,可知 , 令 ,即 ,解得 , 答：该户去年一年的用水量是 . 练习4 为鼓励市民节约用电，西安市电力公司对城乡居民用户采取按月用电量分档收费办法.现提供一户居民某月电费发票的部分信息如下表所示： 居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量x（度） 电价（元/度） 第一档： 0.50 第二档： 0.55 第三档： 0.80 本月实用金额：106.5（元） （大写）壹佰零陆元伍角 根据以上提供信息解答下列问题： (1)如果月用电量用x度来表示，实付金额用y元来表示，当 时，写出实付额y元与月用电量x度之间的函数关系式； (2)请你根据表中本月实付金额，计算这个家庭本月的实际用电量； (3)若小强和小华家一个月的实际用电量分别为120度和250度，则实付金额分别为多少元 解：(1)当 时，则 EMBED Equation.DSMT4 ， 答：当 时，y与x之间的函数关系式为 ； 解：(2)∵180度电费为： ，350度电费为： ， ， 该家庭本月用电量属于第二档，令 ，则 ，解的 ， 答：这个家庭本月的实际用电量为210度. (3)当 时，则 ； ， 把 代入 得 元； 当 时，则 ， ， 当 时，则 元. 答：小强和小华家这一个月实付金额分别为60元和128.5元. $