5.1.1从算式到方程 导学案 2026--2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦一元一次方程，涵盖方程概念、列方程方法、方程的解及一元一次方程等核心知识点。课堂以登山队追击情景导入，先引导用算式解决，再过渡到列方程，帮助学生理解从算式到方程的数学进步，搭建前后知识衔接的学习支架。 资料特色突出数学抽象与建模素养，通过追击、销售、几何图形等实际问题引导学生抽象等量关系，明确列方程步骤。融入数学溯源介绍方程发展历史，变式训练与达标检测分层设计，助力学生掌握方法，提升数学运算与推理能力，适合自主学习与教学评估。

姓名: 学科: 日期: 第5章 一元一次方程 5.1.1从算式到方程 导学案（学生版） （ 制作：许 鸥 课时：2课时 日期：2026年9月1日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 1.经历情景问题探究，认识与理解方程的概念，并能运用其解决相关的实际问题.（数学抽象▪重点） 2.经历问题探究，理解与掌握列方程表示相等关系的方法与步骤，并能运用其解决相关的实际问题.（数学抽象、数学建模▪重难点） 3.经历问题探究，认识与理解方程的解、解方程与一元一次方程的概念，并能运用其解决相关的实际问题.（数学抽象、数学运算▪重点） 【学习过程】 一、方程的概念 （一）情景问题 甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向珠穆朗玛峰进发. 甲队从距大本营 的一号营地出发，每小时行进 ；乙队从距大本营 的二号营地出发，每小时行进 试问多长时间后，甲队在途中追上乙队？ 1.思考1 这个问题属于什么问题？它涉及哪些量？这些量之间有什么关系？你能用小学列算式的方法解决这一问题吗？ 探究：解决方案1：列算式 这个问题属于 问题； 它涉及的量有： 、 与 . 路程追击问题的关系为：路程差 = × . ∵路程差 = × ， ∴追击时间 = ÷ ， ∴可列下式 答： 小时后，甲队在途中追上乙队. 2.思考2 你还能用其他的方法解决这一问题吗？ 探究：解决方案2 设小时后，甲队在途中追上乙队， 据题意可作如下行程图， 根据 “ 路程 = × ”， 可得甲队和乙队的行进路程可以分别为和， 从而相遇时甲队距大本营的路程可以分别表示为； 乙队距大本营的路程可以分别表示为. ∵甲队追上乙队时，他们处于 位置， ∴此时 即 这样，我们就根据实际问题中的 关系，得到了一个含有 的等式，通过本章的学习，我们将能够从这个含有未知数的等式中解出未知数的值，从而求出后甲队追上乙队. 3. 思考3 你认为上面两种方法哪种更简单？ 探究：答案见下方温馨提示（3）. （二）方程的概念 像这样， 先设出字母表示 ，然后根据问题中的 关系，列出一个含有 的 ，这样的等式叫作方程（） . 简述为——“含有 的 叫作方程”. 【温馨提示】 （1）方程的本质是 ； （2）方程中含有的字母叫做 ,且方程中必须含有 . 只有同时满足以上2个条件的式子才是方程. （3）比较列算式和列方程 ①列算式：列出的算式表示解题的计算过程，只能用 ，对于较复杂的问题，列算式比较困难. ②列方程：方程是根据题中的 关系列出的等式，既可用 ，又可用 ，解决问题比较方便.从算式到方程是数学的进步！ （三）数学溯源——未知数与方程 1.未知数：在我国古代，一般用“ ”“ ”“ “ ”等表示未知数；17 世纪，法国数学家 最早使用 等字母表示未知数，这种做法一直沿用至今. 2.方程：汉语中“方程”一词源于讨论含多个未知数的等式的问题.我国西汉数学著作《 》中有专门的“方程”章，其中以一些实际应用问题为例，给出了由几个一次方程组成的方程组的解法，称为“ ”. 19 世纪 50 年代，清代数学家 翻译外国数学著作时，开始将 (指含有未知数的等式)一词译为“ ”. （4） 实例运用 例1．下列各式中，属于方程的是（     ） A． B． C． D． （5） 变式训练 【变式】下面（     ）符合等式与方程之间的关系． A． B． C． D． 二、列方程表示相等关系 （一）问题1——销售问题 用买 3 个大水杯的钱，可以买 4 个小水杯，大水杯的单价比小水杯的单价多 5 元，两种水杯的单价各是多少元？ 探究： （1）第一步：审题，找出题目中的 、 和 与相关公式； ①等量关系为： ②销售问题公式为：售价= × . （2）第二步：设未知数.（注：通常设问题中的 为） 解：由题意设小水杯的单价为元，大水杯的单价为 元， （3）第三步：列方程，根据题目中的相等关系列出方程； ∵买3个大水杯的钱 买4个小水杯的钱， ∴可列方程为 （4）第四步：解方程，可以求出大小水杯的单价. （5）第五步：作答. 【注】解方程会在教材后面的内容中学到，这里只要求利用问题中的相等关系列出方程即可. （2） 列方程表示相等关系的方法与步骤 分析实际问题中的数量关系，利用其中的 关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法，这个过程可以表示如下： 列方程解决实际问题的具体步骤为 （1）一 ：审题，找出题目中的 、 和 与相关公式； （2）二 ：设未知数，通常设问题中的 为； （3）三 ：列方程，根据题目中的 关系列出方程； （4）四 ：解方程，求出未知数的值. （5）五 ：作答，作答时有单位的量一定要 . （三）实例运用 例2. 根据下列问题，设未知数并列出方程； （1）某校女生占全体学生数的 ，比男生多 人，这所学校有多少名学生？ 解：（1） 设这所学校的学生数为人， 则女生数为 人，男生数为 人. ∵“女生比男生多 人”， ∴可列方程为 （2）如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽，扩大后的绿地面积是 ，求正方形绿地的边长. 解：(2) 设正方形绿地的边长为， 则扩大后的大长方形绿地长为,宽为， ∵“扩大后的绿地面积是 ”， ∴可列方程为 【思考】如果用分割法，把扩大后的绿地看作一个正方形+小长方形，你还可以怎样列方程 解法二：设正方形绿地的边长为， ∵扩大后的绿地面积=正方形的面积+小长方形的面积 ∴可列方程为 例3. 如图，一枚长方形的庆祝中国共产党成立 100 周年纪念币，其面积是 ，长和宽的比为 （即宽是长的 ）. 试问这枚纪念币的长和宽分别是多少毫米？ 解：设这枚纪念币的长为， 则纪念币的宽为， ∵“其面积是 ”， ∴可列方程为 即 【思考】如果设比例的每一份长度为，又该怎样列方程？ 解法二：设这枚纪念币的长为 ，宽为， ∵“其面积是 ”， ∴可列方程为 即 （四）变式训练 【变式1】小红有35元钱，小华有x元钱，小红给了小华3元钱后，两人的钱同样多，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】钢琴上的黑、白两种琴键共有88个，其中白色琴键的数量比黑色琴键的2倍少20个．如果用表示白色琴键，表示黑色琴键，请根据不同的等量关系写出两个方程： ， . 【变式3】列方程表示： (1) x的2倍与的差是1； (2)y的相反数与x的一半的和是3； (3)x的与3的差等于最大的一位数． 【变式4】根据所设未知数列方程： (1)用一根长的铁丝围成一个长方形，使它的长是宽的2倍，长方形的宽是多少？（设长方形的宽是） (2)如图，有一块长、宽的长方形硬纸板，在4个角截去4个一样的小正方形，折成一个无盖长方体盒子，当小正方形的边长为多少时，所折长方体盒子的底面积为？（设截去的小正方形的边长为） (3)足球表面由黑色五边形和白色六边形共32个皮块围成，其中白色皮块比黑色皮块的2倍少4个．足球表面上有白色皮块和黑色皮块各多少个？（设黑色皮块有x个） 3、 方程的解与解方程 （1） 问题探究 列方程是解决实际问题的重要方法，要想得到实际问题的解，还需要求出方程中未知数的值.那么什么样的未知数的值才能使方程成立呢？ 探究： 对于前面情景问题中列出的方程 可以发现， 当时， 这时方程左、右两边的值 ，即 当时，使得 “”成立 （2） 方程的解与解方程 1.方程的解 像上面问题探究这样， 一般地，使方程左、右两边的值 的未知数的值，叫作方程的解（solution)． 例如， 就是方程的解. 【注】检验一个未知数的值是否是方程的解的方法：把这个未知数的值分别代入方程的左、右两边， ①当左边 右边时，这个未知数的值 方程的解. ②当左边 右边时，这个未知数的值 方程的解. 2.解方程 求方程的解的 ，叫作解方程. 【注】方程的解与解方程的区别及联系 类型 方程的解 解方程 区别 是一个具体的 ，是解方程的结果 求方程的解的 . 联系 方程的解是通过 求得的 （3） 实例运用 例4.（1）是方程的解吗？ （2）是方程的解吗? 解（1）: ∵当时， 方程的左边，右边， 即此时 ∴ 方程的解； 又∵当时， 方程左边，右边， 即此时 ∴ 方程的解. 解（2）: ∵当时， 方程的左边，右边， 即此时 ∴ 方程的解； 又∵当时， 方程左边，右边， 即此时 ∴ 方程的解. （4） 变式训练 【变式1】是下列哪个方程的解（     ） A． B． C． D． 【变式2】若是方程的解，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式3】检验是不是方程的解． 四、一元一次方程的概念 （1） 问题探究 观察方程 它们有什么共同特征？ 探究：经过观察可知，这些方程的共同特征为 ①方程中只含有 未知数；②含有未知数的式子都为 ；③未知数的次数都是 . （2） 一元一次方程的概念 像这样， 一般地，如果方程中只含有 未知数（元），且含有未知数的式子都是 ，未知数的次数都是 ，这样的方程叫作 方程（linear equation with one unknown). 【注】一元一次方程的必须满足3个条件：①方程中只含有 未知数；②含有未知数的式子都为 ；③未知数的次数都是 . 以上三个条件，缺一不可. （3） 溯源 用“ ”表示未知数，源于我国宋元时期的“ ”.天元术指的是用“天元”表示 ，进而列出方程.现存的使用天元术的最早著作是这一时期我国数学家 （1192—1279）于1248年所著的《 》，书中的“立天元一”相当于现在的“设未知数”，后来在研究涉及多个未知数的问题时，又引入“地元”“人元”“物元”等表示多个未知数. （4） 实例运用 例5.下列方程是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 例6.已知方程是关于的一元一次方程，则的值是______． （5） 变式训练 【变式1】下列式子中，一元一次方程的个数为（     ） ； ； ； ； ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】若方程是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)判断是否是方程的解． 4、 达标检测 1．下面式子中，是方程的是（     ）． A． B． C． D． 2．《算法统宗》是中国古代数学名著，“盈亏”卷中有题译文如下：现有一群人共同买一个物品，每人出9钱，还余5钱；每人出8钱，还差3钱，问人数、物价各是多少？设人数为人，根据题意可列出方程（    ） A． B． C． D． 3．解为的方程是（     ） A． B． C． D． 4．下列各式中，属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 5．下列方程中属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 6．下列各式中，属于一元一次方程的共有（     ） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 7．已知是一元一次方程的解，则的值为（   ） A．4 B． C．8 D． 8．如果是关于x的方程的解，求的值为（   ） A．1 B． C．21 D．5 9．若m的2倍与n的倍的和等于6，则可列方程为___________． 10．若是方程的解，则_________． 11．关于的方程的一个解是，则____________． 12．若是一元一次方程，则________． 13．若一个一元一次方程的解是，则这个方程可以是：_________（写出一个即可）． 14.检验下列方程后面大括号内所列各数是否为相应方程的解： (1)； (2)． 15．一张长方形纸片，周长是，长是宽的2倍． (1)设宽为，请列出关于x的方程． (2)说明是该方程的解，而不是它的解． 16．根据下列情境中的等量关系列出一个等式： (1)一个正方形花圃的边长为，若边长增加，则所得新正方形花圃的周长是． (2) 长方形的长为，宽为，面积为； (3)某商品标价为x元，打八折后再降价12元，售价为108元； (4)小华去文具店，买x支铅笔和y本笔记本共花12元，已知一支铅笔2元，一本笔记本3元． 17．只列方程，不必求解： (1)已知某数的倍与的差等于．设某数为； (2)某班级有学生人，其中男生人数比女生人数的倍少．若设女生人数为人． 18．检验下列各数是不是方程的解： (1) (2) 19．若是关于的一元一次方程 (1)求的值，并写出这个一元一次方程； (2)判断是否为方程的解． - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $ 姓名: 学科: 日期: 第5章 一元一次方程 5.1.1从算式到方程 导学案（教用版） （ 制作：许 鸥 课时：2课时 日期：2026年9月1日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 1.经历情景问题探究，认识与理解方程的概念，并能运用其解决相关的实际问题.（数学抽象▪重点） 2.经历问题探究，理解与掌握列方程表示相等关系的方法与步骤，并能运用其解决相关的实际问题.（数学抽象、数学建模▪重难点） 3.经历问题探究，认识与理解方程的解、解方程与一元一次方程的概念，并能运用其解决相关的实际问题.（数学抽象、数学运算▪重点） 【学习过程】 一、方程的概念 （一）情景问题 甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向珠穆朗玛峰进发. 甲队从距大本营 的一号营地出发，每小时行进 ；乙队从距大本营 的二号营地出发，每小时行进 试问多长时间后，甲队在途中追上乙队？ 1.思考1 这个问题属于什么问题？它涉及哪些量？这些量之间有什么关系？你能用小学列算式的方法解决这一问题吗？ 探究：解决方案1：列算式 这个问题属于路程追击问题； 它涉及的量有：路程、速度与时间. 路程追击问题的关系为：路程差 = 速度差 × 追击时间. ∵路程差 = 速度差 × 追击时间， ∴追击时间 = 路程差 ÷ 速度差， ∴可列下式 答：5 小时后，甲队在途中追上乙队. 2.思考2 你还能用其他的方法解决这一问题吗？ 探究：解决方案2 设小时后，甲队在途中追上乙队， 据题意可作如下行程图， 根据 “ 路程 = 速度 × 时间 ”， 可得甲队和乙队的行进路程可以分别为和， 从而相遇时甲队距大本营的路程可以分别表示为； 乙队距大本营的路程可以分别表示为. ∵甲队追上乙队时，他们处于同一位置， ∴此时 即 这样，我们就根据实际问题中的相等关系，得到了一个含有未知数的等式，通过本章的学习，我们将能够从这个含有未知数的等式中解出未知数的值，从而求出后甲队追上乙队. 3. 思考3 你认为上面两种方法哪种更简单？ 探究：答案见下方温馨提示（3）. （二）方程的概念 像这样， 先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，列出一个含有未知数的等式，这样的等式叫作方程（） . 简述为——“含有未知数的等式叫作方程”. 【温馨提示】 （1）方程的本质是等式； （2）方程中含有的字母叫做未知数,且方程中必须含有未知数. 只有同时满足以上2个条件的式子才是方程. （3）比较列算式和列方程 ①列算式：列出的算式表示解题的计算过程，只能用已知数，对于较复杂的问题，列算式比较困难. ②列方程：方程是根据题中的等量关系列出的等式，既可用已知数，又可用未知数，解决问题比较方便.从算式到方程是数学的进步！ （三）数学溯源——未知数与方程 1.未知数：在我国古代，一般用“天元”“地元”“人元“物元”等表示未知数；17 世纪，法国数学家笛卡儿最早使用 等字母表示未知数，这种做法一直沿用至今. 2.方程：汉语中“方程”一词源于讨论含多个未知数的等式的问题.我国西汉数学著作《九章算术》中有专门的“方程”章，其中以一些实际应用问题为例，给出了由几个一次方程组成的方程组的解法，称为“方程术”. 19 世纪 50 年代，清代数学家李善兰翻译外国数学著作时，开始将 (指含有未知数的等式)一词译为“方程”. （4） 实例运用 例1．下列各式中，属于方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】以方程的定义为依据，从是否含未知数、是否为等式两个角度判断各选项． 【详解】解：A、是等式，但不含未知数，不是方程，不符合题意； B、不是等式，不是方程，不符合题意； C、含有未知数，但不是等式，不是方程，不符合题意； D、既含有未知数，又是等式，是方程，符合题意． （5） 变式训练 【变式】下面（     ）符合等式与方程之间的关系． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】根据等式和方程的定义分别分析即可 【详解】解：A.表示有的方程不是等式，即方程不一定是等式，不符合等式与方程的关系，表述错误； B.表示方程是等式中的一部分，即方程一定是等式，符合方程与等式的关系，表述正确； C.表示等式是方程的一部分，即方程不一定是等式，不符合方程的定义，表述错误； D.表示等式和方程没有关系，即方程不是等式，不符合方程的定义，表述错误． 二、列方程表示相等关系 （一）问题1——销售问题 用买 3 个大水杯的钱，可以买 4 个小水杯，大水杯的单价比小水杯的单价多 5 元，两种水杯的单价各是多少元？ 探究： （1）第一步：审题，找出题目中的已知、未知和等量关系与相关公式； ①等量关系为： ②销售问题公式为：售价=单价×销售量. （2）第二步：设未知数.（注：通常设问题中的较小量为） 解：由题意设小水杯的单价为元，大水杯的单价为元， （3）第三步：列方程，根据题目中的相等关系列出方程； ∵买3个大水杯的钱 = 买4个小水杯的钱， ∴可列方程为 . （4）第四步：解方程，可以求出大小水杯的单价. （5）第五步：作答. 【注】解方程会在教材后面的内容中学到，这里只要求利用问题中的相等关系列出方程即可. （2） 列方程表示相等关系的方法与步骤 分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法，这个过程可以表示如下： 列方程解决实际问题的具体步骤为 （1）一审：审题，找出题目中的已知、未知和等量关系与相关公式； （2）二设：设未知数，通常设问题中的较小量为； （3）三列：列方程，根据题目中的相等关系列出方程； （4）四解：解方程，求出未知数的值. （5）五答：作答，作答时有单位的量一定要带单位. （三）实例运用 例2. 根据下列问题，设未知数并列出方程； （1）某校女生占全体学生数的 ，比男生多 人，这所学校有多少名学生？ 解：（1） 设这所学校的学生数为人， 则女生数为 人，男生数为人. ∵“女生比男生多 80 人”， ∴可列方程为 （2）如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽，扩大后的绿地面积是 ，求正方形绿地的边长. 解：(2) 设正方形绿地的边长为， 则扩大后的大长方形绿地长为,宽为， ∵“扩大后的绿地面积是 ”， ∴可列方程为 . 【思考】如果用分割法，把扩大后的绿地看作一个正方形+小长方形，你还可以怎样列方程 解法二：设正方形绿地的边长为， ∵扩大后的绿地面积=正方形的面积+小长方形的面积 ∴可列方程为 例3. 如图，一枚长方形的庆祝中国共产党成立 100 周年纪念币，其面积是 ，长和宽的比为 （即宽是长的 ）. 试问这枚纪念币的长和宽分别是多少毫米？ 解：设这枚纪念币的长为， 则纪念币的宽为， ∵“其面积是 ”， ∴可列方程为 即 【思考】如果设比例的每一份长度为，又该怎样列方程？ 解法二：设这枚纪念币的长为8，宽为， ∵“其面积是 ”， ∴可列方程为 即 （四）变式训练 【变式1】小红有35元钱，小华有x元钱，小红给了小华3元钱后，两人的钱同样多，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】列方程 【分析】根据题意可得等量关系为：小华的钱数小红的钱数，将小红有35元钱，小华有元钱代入等量关系式后求解． 【详解】解：根据题意，得． 【变式2】钢琴上的黑、白两种琴键共有88个，其中白色琴键的数量比黑色琴键的2倍少20个．如果用表示白色琴键，表示黑色琴键，请根据不同的等量关系写出两个方程： ， . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】列方程 【分析】根据等量关系“钢琴上的黑、白两种琴键共有88个”和“白色琴键的数量比黑色琴键的2倍少20个”列出方程即可． 【详解】解：用表示白色琴键，表示黑色琴键， ∵钢琴上的黑、白两种琴键共有88个， ∴； ∵白色琴键的数量比黑色琴键的2倍少20个， ∴． 【变式3】列方程表示： (1)x的2倍与的差是1； (2)y的相反数与x的一半的和是3； (3)x的与3的差等于最大的一位数． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】列方程 【分析】本题主要考查了列方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． （1）x的2倍与的差可表示为，据此建立等式即可； （2）y的相反数与x的一半的和可表示为，据此建立等式即可； （3）根据已知，首先表示出这个数的，再减3，等于最大的一位数9，得出方程即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得； （3）解：根据题意，得． 【变式4】根据所设未知数列方程： (1)用一根长的铁丝围成一个长方形，使它的长是宽的2倍，长方形的宽是多少？（设长方形的宽是） (2)如图，有一块长、宽的长方形硬纸板，在4个角截去4个一样的小正方形，折成一个无盖长方体盒子，当小正方形的边长为多少时，所折长方体盒子的底面积为？（设截去的小正方形的边长为） (3)足球表面由黑色五边形和白色六边形共32个皮块围成，其中白色皮块比黑色皮块的2倍少4个．足球表面上有白色皮块和黑色皮块各多少个？（设黑色皮块有x个） 【答案】(1)； (2)； (3) 【难度】0.85 【知识点】列方程 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． （1）根据题意表示出长方形的长，进而利用矩形周长公式求出即可； （2）长方体底面的长和宽分别是：和，根据长方形的面积公式即可列出方程； （3）根据“足球表面由黑色五边形和白色六边形共32个皮块围成”列方程解答即可． 【详解】（1）解：设这个长方形的宽为，则长为，则可列方程； （2）解：根据题意得； （3）解：设黑色皮块有个，则白色皮块有块，根据题意得． 3、 方程的解与解方程 （1） 问题探究 列方程是解决实际问题的重要方法，要想得到实际问题的解，还需要求出方程中未知数的值.那么什么样的未知数的值才能使方程成立呢？ 探究： 对于前面情景问题中列出的方程 可以发现， 当时， 这时方程左、右两边的值相等，即 当时，使得 “”成立 （2） 方程的解与解方程 1.方程的解 像上面问题探究这样， 一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解（solution)． 例如，就是方程的解. 【注】检验一个未知数的值是否是方程的解的方法：把这个未知数的值分别代入方程的左、右两边， ①当左边=右边时，这个未知数的值是方程的解. ②当左边≠右边时，这个未知数的值不是方程的解. 2.解方程 求方程的解的过程，叫作解方程. 【注】方程的解与解方程的区别及联系 类型 方程的解 解方程 区别 是一个具体的数，是解方程的结果 求方程的解的过程 联系 方程的解是通过解方程求得的 （3） 实例运用 例4.（1）是方程的解吗？ （2）是方程的解吗? 解（1）: ∵当时， 方程的左边，右边， 即此时 ∴不是方程的解； 又∵当时， 方程左边，右边， 即此时 ∴是方程的解. 解（2）: ∵当时， 方程的左边，右边， 即此时 ∴不是方程的解； 又∵当时， 方程左边，右边， 即此时 ∴是方程的解. （4） 变式训练 【变式1】是下列哪个方程的解（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.91 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】根据方程的解的定义，将代入各选项验证，判断左右两边是否相等，同时注意分式分母不能为0，即可得到结果． 【详解】解：将代入各选项逐一验证： ∵ A选项中，左边，右边，，∴ A错误； ∵ B选项中，左边，右边，，∴ B错误； ∵ C选项中，当时，分母，分式无意义，∴ C错误； ∵ D选项中，左边，右边，左边右边，∴ D正确． 【变式2】若是方程的解，则a的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】已知方程的解，求参数 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入方程， 得， 即， 解得． 【变式3】检验是不是方程的解． 【答案】不是方程的解 【难度】0.95 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】将代入方程，判断等式是否成立即可． 【详解】解：当时，左边，右边， 由于左边右边， 则不是方程的解． 四、一元一次方程的概念 （1） 问题探究 观察方程 它们有什么共同特征？ 探究：经过观察可知，这些方程的共同特征为 ①方程中只含有一个未知数；②含有未知数的式子都为整式；③未知数的次数都是1. （2） 一元一次方程的概念 像这样， 一般地，如果方程中只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程（linear equation with one unknown). 【注】一元一次方程的必须满足3个条件：①方程中只含有一个未知数；②含有未知数的式子都为整式；③未知数的次数都是1. 以上三个条件，缺一不可. （3） 溯源 用“元”表示未知数，源于我国宋元时期的“天元术”.天元术指的是用“天元”表示未知数，进而列出方程.现存的使用天元术的最早著作是这一时期我国数学家李冶（1192—1279）于1248年所著的《测圆海镜》，书中的“立天元一”相当于现在的“设未知数”，后来在研究涉及多个未知数的问题时，又引入“地元”“人元”“物元”等表示多个未知数. （4） 实例运用 例5.下列方程是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】从未知数个数、最高次数、是否为整式三个维度逐一判断各选项． 【详解】解：A：只含一个未知数，未知数最高次数为，是整式方程，符合要求． B：含有两个未知数，不符合要求． C：中未知数最高次数为，不符合要求． D：分母含未知数，不是整式方程，不符合要求． 例6.已知方程是关于的一元一次方程，则的值是______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】根据一元一次方程的定义，可得未知数的次数为，据此列出关于的方程求解即可． 【详解】解：方程是关于x的一元一次方程， ， 解得：． （5） 变式训练 【变式1】下列式子中，一元一次方程的个数为（     ） ； ； ； ； ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【难度】0.72 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】根据一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程，逐个判断式子即可得出结果． 【详解】解：根据一元一次方程的定义，逐个判断： ∵是只含一个未知数，未知数次数为1的整式方程，∴是一元一次方程． ∵不是等式，不属于方程，∴不是一元一次方程． ∵中未知数最高次数为2，∴不是一元一次方程． ∵含有两个未知数，∴不是一元一次方程． 对化简得， ∵整理后未知数最高次数为2， ∴不是一元一次方程． 综上，一元一次方程只有1个． 【变式2】若方程是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)判断是否是方程的解． 【答案】(1) (2) 由（1）可知方程为． 把代入方程左边，得左边． 因为右边，所以左边右边．所以不是方程的解； 把代入方程左边，得左边， 因为右边，所以左边右边， 所以不是方程的解； 把代入方程左边，得左边．因为右边， 所以左边右边， 所以是方程的解． 【难度】0.65 【知识点】判断是否是一元一次方程解 【分析】本题考查了一元一次方程方程的定义，一元一次方程的解； （1）根据一元一次方程的定义可得且，即可求解； （2）分别将代入方程，进而判断方程的左右两边是否相等，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知且， 所以且， 所以； （2）略 4、 达标检测 1．下面式子中，是方程的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】判断各式是否是方程 【详解】解：A．含有未知数但是不是等式，不是方程，不符合题意； B．是等式但是不含有未知数，不是方程，不符合题意； C．是等式并且含有未知数，是方程，符合题意； D．含有未知数但不是等式，不是方程，不符合题意． 2．《算法统宗》是中国古代数学名著，“盈亏”卷中有题译文如下：现有一群人共同买一个物品，每人出9钱，还余5钱；每人出8钱，还差3钱，问人数、物价各是多少？设人数为人，根据题意可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】列方程 【分析】两种出钱方式下，物价相等，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意可列出方程为． 3．解为的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，将代入各选项验证左右两边是否相等即可得到结果． 【详解】解：将依次代入各选项： 代入选项A，左边右边，∴A不符合题意； 代入选项B，左边右边，∴B不符合题意； 代入选项C，左边，右边，，∴C不符合题意； 代入选项D，左边，右边，左边右边，∴D符合题意． 4．下列各式中，属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】根据一元一次方程的定义：只含有1个未知数，且未知数的最高次数为1，两边为整式的等式，逐一分析选项． 【详解】解：A.含2个未知数，不符合题意； B.中未知数最高次数为2，不符合题意； C.符合一元一次方程的要求，符合题意； D.不是等式，不属于方程，不符合要求． 5．下列方程中属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】根据一元一次方程的定义判断即可，一元一次方程需满足：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，等号两边都是整式． 【详解】解：A、未知数的最高次数为，不符合条件，不是一元一次方程； B、含有和两个未知数，不符合条件，不是一元一次方程； C、分母含有未知数，不是整式方程，不符合条件，不是一元一次方程； D、只含一个未知数，的最高次数为，且是整式方程，符合一元一次方程的定义，是一元一次方程． 6．下列各式中，属于一元一次方程的共有（     ） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】只含一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：①不是等式，故不是一元一次方程； ②是一元一次方程； ③含有和两个未知数，不是一元一次方程； ④中未知数的最高次数为，不是一元一次方程． 综上所述，只有②是一元一次方程，共1个． 7．已知是一元一次方程的解，则的值为（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、已知方程的解，求参数、判断是否是一元一次方程解 【分析】本题考查一元一次方程的解、代数式求值，理解方程的解满足方程是解答的关键． 将代入方程得到，再提取公因式2即可求解 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即， ∴， ∴． 故选：A． 8．如果是关于x的方程的解，求的值为（   ） A．1 B． C．21 D．5 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、判断是否是一元一次方程解 【分析】本题主要考查一元一次方程的解及代数式的值，熟练掌握一元一次方程的解及代数式的值是解题的关键；将代入方程得到和的关系式，然后整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的解， ， ， 故选：C． 9．若m的2倍与n的倍的和等于6，则可列方程为___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】列代数式、列方程 【分析】将题目中的文字描述转化为代数式，根据等量关系列出方程． 【详解】解：∵ 的倍可表示为，的倍可表示为，二者的和等于， ∴ 可列方程为． 10．若是方程的解，则_________． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】将方程的解代入方程即可． 【详解】解：将代入方程中， 得，解得． 11．关于的方程的一个解是，则____________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、已知方程的解，求参数 【详解】解：∵关于的方程的一个解是， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 12．若是一元一次方程，则________． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】原方程要为一元一次方程，只能含有一个未知数，的系数为，无法为，因此需要让的系数为，即可求出的值． 【详解】解：根据一元一次方程的定义，方程只含有一个未知数，且未知数的次数为， ∵原方程中，的系数为，恒不为， ∴要满足一元一次方程的定义，需的系数为，即， 解得：． 13．若一个一元一次方程的解是，则这个方程可以是：_________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.94 【知识点】已知方程的解，求参数、判断是否是一元一次方程解 【分析】本题考查一元一次方程的解，掌握一元一次方程的定义及其解法是解题的关键． 任写一个符合条件的一元一次方程即可． 【详解】解：这个方程可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 14.检验下列方程后面大括号内所列各数是否为相应方程的解： (1)； (2)． 【答案】(1)不是该方程的解，是该方程的解； (2)是该方程的解，不是该方程的解 【难度】0.72 【知识点】判断是否是方程的解 【详解】（1）解：当时，方程左边， 方程右边， 左边不等于右边， ∴不是该方程的解； 当时，方程左边， 方程右边， 左边等于右边， ∴是该方程的解； （2）解：当时，方程左边， 方程右边， 左边等于右边， ∴是该方程的解； 当时，方程左边， 方程右边， 左边不等于右边， ∴不是该方程的解． 15．一张长方形纸片，周长是，长是宽的2倍． (1)设宽为，请列出关于x的方程． (2)说明是该方程的解，而不是它的解． 【答案】(1) (2) 当时， 代入方程左边：， ∴左边=右边， ∴是该方程的解． 当时， 代入方程左边：， ∴左边≠右边， ∴不是该方程的解． 【难度】0.85 【知识点】列方程、判断是否是方程的解 【分析】本题考查根据实际问题列方程以及验证方程解的能力． （1）利用长方形周长公式和长与宽的关系列出方程； （2）通过代入数值验证是否为方程的解． 【详解】（1）解：∵长是宽的2倍，宽为， ∴长为， ∵长方形的周长(长+宽)，周长为， ∴方程为； （2）略 16．根据下列情境中的等量关系列出一个等式： (1)一个正方形花圃的边长为，若边长增加，则所得新正方形花圃的周长是． (2)长方形的长为，宽为，面积为； (3)某商品标价为x元，打八折后再降价12元，售价为108元； (4)小华去文具店，买x支铅笔和y本笔记本共花12元，已知一支铅笔2元，一本笔记本3元． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.85 【知识点】列方程 【分析】本题主要考查列方程，解题的关键是理解题意； （1）根据正方形的周长公式可进行求解； （2）根据长方形的面积公式可进行求解； （3）根据打折问题可求解； （4）根据题意可直接列方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：由题意得：； （3）解：由题意得：； （4）解：由题意得：． 17．只列方程，不必求解： (1)已知某数的倍与的差等于．设某数为； (2)某班级有学生人，其中男生人数比女生人数的倍少．若设女生人数为人． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】列方程 【分析】本题考查列方程解应用题．根据题意，将文字描述转化为代数方程；需要找到表示某数的变量，并根据条件建立等式． 【详解】（1）解：已知某数的倍与的差等于，设某数为， 可列出方程：， 故答案为：； （2）设女生人数为， ∵班级有学生人，其中男生人数比女生人数的倍少， ∴方程为：， 故答案为：． 18．检验下列各数是不是方程的解： (1) (2) 【答案】(1)不是方程的解 (2)是方程的解 【难度】0.94 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题考查了方程的解，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）把代入运算，对比两边的数是否能使等号成立即可判断； （2）把代入运算，对比两边的数是否能使等号成立即可判断． 【详解】（1）将代入方程左边：，右边， 左边右边， 所以不是方程的解； （2）将代入方程左边：，右边，左边右边，所以是方程的解． 19．若是关于的一元一次方程 (1)求的值，并写出这个一元一次方程； (2)判断是否为方程的解． 【答案】(1)，方程是 (2)是 【难度】0.65 【知识点】判断是否是一元一次方程、判断是否是一元一次方程解 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． （1）根据只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（a，b是常数且），可得m的值； （2）根据方程的解是使方程成立的未知数的值，可得答案． 【详解】（1）解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得：， 则这个一元一次方程为． （2）解：把代入， 得， 故是方程的解． - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $