3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点教学设计--2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦数学建模活动，以苹果最佳出售时间点为载体，引导学生掌握函数复合关系z=f(h(t))−g(t)的建立。通过果农出售苹果的真实情境导入，分析价格、重量、成本等影响因素，衔接函数知识，搭建从现实问题到数学符号的学习支架。 资料亮点在于完整呈现数学建模流程，从问题发现到模型优化，注重真实情境与数学抽象结合。通过引导学生抽象数量关系（数学眼光）、构建函数逻辑（数学思维）、建立收益模型（数学语言），如例题中复合函数求最值，培养学生建模能力与优化意识，为教师提供可操作的实践课教学框架。

3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点 人教B版 教学设计-2026-2027学年 高一 必修第一册 数学 教材分析 本节内容选自人教B版必修第一册第三章3.4，是函数模型应用的综合实践课。教材以苹果最佳出售时间点为载体，引导学生经历完整的数学建模过程。数学建模是连接数学和现实世界的桥梁，本节的核心价值不在于计算技巧，而在于让学生体会从现实问题中抽象数学关系、用函数语言表达并求解的完整思维路径。 教学重难点 重点：数学建模的完整流程，函数复合关系z=f(h(t))−g(t)的建立。 难点：合理假设与参数确定，模型的检验与优化意识。 教学过程 本节课围绕苹果出售问题，按照引言、研究探讨、概念形成、概念深化、应用举例、归纳总结、课后作业的顺序展开，让学生在真实情境中完成一次完整的数学建模体验。 一、引言 1. 情境引入。教师呈现实际问题：果农采摘苹果后，若立即出售，产量较高但单价偏低；若储存一段时间再出售，单价可能上涨但保鲜成本增加且存在损耗。那么，何时出售才能使收益最大？ 2. 教师提问：在这个问题中，影响最终收益的因素有哪些？预设学生回答：苹果的价格、保鲜成本、出售时的重量或数量。 3. 设计意图：用贴近生活的农业经济问题激发兴趣，让学生感受到数学可以解决真实世界中的优化决策问题，引出数学建模的主题。 二、研究探讨 1. 变量梳理。教师引导学生分析问题结构：设采摘后第t天出售，需要关注三个量——苹果价格p（元/千克）、可出售重量m（千克）、保鲜成本c（元）。最终收益z取决于销售收入与保鲜成本的差值。 2. 教师提问：价格随上市量增大而降低，保鲜成本随时间增大，这两个规律怎样用数学语言刻画？预设学生回答：价格是时间的减函数，保鲜成本是时间的增函数。 3. 关系构建。教师指出：收益=销售收入−保鲜成本。若价格函数为f(x)、保鲜成本函数为g(t)、重量函数为h(t)，则收益可表达为z=f(h(t))−g(t)。这里f(x)中x表示上市量，h(t)将时间转化为上市量，形成复合关系。 4. 设计意图：将文字情境逐步翻译为符号关系，帮助学生理解函数复合与差值结构z=f(h(t))−g(t)的来源，突破建模难点中的关系建立环节。 三、概念形成 1. 建模流程梳理。教师引导学生回顾刚才的思考路径，总结出数学建模全过程：从现实世界发现问题→用数学符号和语言描述问题→合理假设（如设f(x)、g(t)为一次函数，h(t)为二次函数）→收集数据、用待定系数法确定参数→得到关系式z=f(h(t))−g(t)→求最大值解决问题。 2. 教师提问：为什么需要合理假设？预设学生回答：实际问题中变量关系复杂，不假设就无法用已知函数描述，假设能把问题简化为可处理的形式。 3. 参数确定说明。教师指出：怎样才能确定上述f(x)，g(t)，h(t)呢？这可以通过合理假设以及收集数据、确定参数来完成。例如收集到若干组(t, h(t))数据后，用待定系数法代入即可求出参数值。 4. 设计意图：让学生从零散的操作中提炼出系统的方法框架，形成对数学建模全流程的整体认知，落实教学重点。 四、概念深化 1. 模型偏差讨论。教师提问：我们假设f(x)和g(t)都是一次函数，实际情况一定如此吗？预设学生回答：不一定，真实的价格变化可能有波动，保鲜成本也可能不是均匀增长的。 2. 教师总结：实际情况与上面的建模结果可能会出现偏差，因为我们假设f(x)和g(t)都是一次函数等就已经把问题进行了简化。 3. 模型优化方向。教师追问：如果条件容许，怎样改进模型？预设学生回答：先不假设函数的具体形式，在收集尽量多的数据的基础上，通过对数据的分析来最终得出函数的具体形式。 4. 设计意图：培养学生的模型检验与优化意识，使学生认识到模型是对现实的近似而非精确复制，这是突破教学难点的关键环节。 五、应用举例 例题 果农采摘一批苹果共1000千克，采摘当日市场调研数据如下：价格函数f(x)=−x+20（x为上市量，单位千克；f(x)为单价，单位元/千克），保鲜成本g(t)=2t+100（t为采摘后天数，单位天；g(t)为累计保鲜总成本，单位元）。假设苹果可出售重量随时间变化为h(t)=−5t²+50t+1000（单位千克）。问采摘后第几天出售，收益最大？最大收益是多少？ 解析 根据题意，收益z等于销售收入减去保鲜成本。销售收入等于单价乘以可出售重量，即f(h(t))·h(t)；保鲜成本为g(t)。 第一步，先求h(t)的值域范围。h(t)=−5t²+50t+1000=−5(t²−10t)+1000=−5(t−5)²+1125。因为t≥0，所以当t=5时h(t)取最大值1125，h(t)随t增大先增后减。 第二步，将h(t)代入f(x)。f(h(t))=−·h(t)+20=−(−5t²+50t+1000)+20=t²−t−10+20=t²−t+10。 第三步，写出收益函数。z=f(h(t))·h(t)−g(t)=(t²−t+10)(−5t²+50t+1000)−(2t+100)。 第四步，展开整理。先展开乘积部分：(t²−t+10)(−5t²+50t+1000)。逐项计算：t²·(−5t²+50t+1000)=−t⁴+t³+50t²；(−t)·(−5t²+50t+1000)=t³−25t²−500t；10·(−5t²+50t+1000)=−50t²+500t+10000。三项相加：−t⁴+5t³−25t²+0t+10000。再减去g(t)：z=−t⁴+5t³−25t²−2t+9900。 第五步，求z的最大值。对z求导（注：此处用导数法求多项式函数最值，供参考）：z′=−t³+15t²−50t−2。令z′=0，即t³−15t²+50t+2=0。观察t=7附近：343−735+350+2=−40<0；t=0时：0−0+0+2=2>0。因此z′=0的根在t=0与t=7之间。再试t=0.04附近精确求解超出当前工具范围，改用列表法在t=0至t=5范围内取整点比较。 第六步，列表比较。t=0时，z=9900；t=1时，z=−+5−25−2+9900=9877.75；t=2时，z=−4+40−100−4+9900=9832；t=3时，z=−+135−225−6+9900=9783.75；t=4时，z=−64+320−400−8+9900=9748。可见在t=0至t=4范围内，z随t增大而减小，t=0时收益最大。 答案 采摘当日（第0天）出售收益最大，最大收益为9900元。 六、归纳总结 1. 教师引导学生回顾本节建模全过程，提炼关键步骤：发现问题→数学描述→合理假设→收集数据确定参数→建立关系式z=f(h(t))−g(t)→求解最大值→检验与优化。 2. 教师提问：本节中收益的结构是什么？预设学生回答：收益=销售收入−保鲜成本，即z=f(h(t))−g(t)。 3. 教师提问：模型为什么会有偏差？怎样优化？预设学生回答：因为假设把问题简化了，收集更多数据、分析数据可优化模型。 4. 教师总结：对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法解决问题，这就是数学建模的本质。 七、课后作业 1. 某果农采摘苹果500千克，采摘当日测得价格函数f(x)=−x+15（x为上市量，单位千克），保鲜成本g(t)=t+50（t为采摘后天数，单位天），可出售重量h(t)=−3t²+30t+500（单位千克）。写出收益函数z=f(h(t))−g(t)的展开式。 答案 f(h(t))=−(−3t²+30t+500)+15=t²−t−10+15=t²−t+5。z=(t²−t+5)(−3t²+30t+500)−(t+50)。展开乘积：t²·(−3t²+30t+500)=−t⁴+t³+30t²；(−t)·(−3t²+30t+500)=t³−18t²−300t；5·(−3t²+30t+500)=−15t²+150t+2500。三项相加：−t⁴+t³−3t²−150t+2500。再减g(t)：z=−t⁴+t³−3t²−151t+2450。 2. 在第1题条件下，计算t=0和t=5时的收益值，并比较大小。 答案 t=0时，z=2450。t=5时，z=−·625+·125−3·25−151·5+2450=−112.5+450−75−755+2450=1957.5。因为2450>1957.5，所以t=0时收益更大。 3. 简答题：为什么说模型结果可能与实际情况出现偏差？请举一条原因。 答案 因为假设f(x)和g(t)都是一次函数等就已经把问题进行了简化，真实的价格和成本变化可能不是线性关系，所以模型结果与实际有偏差。 学科网（北京）股份有限公司 $