3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦数学建模全流程及函数模型构建，通过复习一次、二次函数知识，结合果农销售苹果的实际问题导入，搭建从已学函数知识到现实应用问题的学习支架，引导学生理解建模核心。 以“决定苹果最佳出售时间点”为真实情境，采用任务驱动与探究式教学，学生经历假设、数据收集、建立利润函数W(t)并求最值的建模全流程，培养数学建模、数据分析素养。作业让学生自主设定数据建模，提升创新意识，助力教师高效开展实践教学，帮助学生体会数学应用价值。

教学设计-2026-2027学年 数学 人教B版 必修第一册 高一 3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点 一、案例名称 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点 项目 具体内容 设计意图 备注 课题名称 决定苹果的最佳出售时间点 明确活动主题 - 授课对象 高一学生 符合学情 - 教材版本 人教B版必修第一册 依据教材 - 课时安排 1课时 合理分配时间 - 教学目标1 理解数学建模全流程 知识与能力 - 教学目标2 掌握函数模型构建方法 过程与方法 - 教学目标3 体会数学应用价值 情感态度价值观 - 教学重点 建模流程与函数关系建立 核心内容 - 教学难点 合理假设与参数确定 突破关键 - 教学方法 任务驱动法、探究法 促进参与 - 教学准备 课件、数据表 辅助教学 - 作业设计 完成建模报告 巩固提升 - 评价方式 过程性评价 多元评价 - 教学反思 课后填写 持续改进 - 二、教材分析 本节课选自人教B版必修第一册第三章3.4节，是数学建模活动专题。教材通过“决定苹果的最佳出售时间点”这一现实问题，引导学生经历数学建模的全过程：从现实世界中发现问题，用数学符号和语言描述问题，通过合理假设、收集数据、确定参数来建立函数模型，最终求解模型并解决实际问题。教材特别强调了数学建模是连接数学和现实世界的桥梁，并指出了模型可能存在的偏差以及优化模型的方法。本节课旨在让学生通过对具体案例的分析，掌握建立函数模型解决实际问题的基本思路和方法，提升数学抽象、数学建模和数据分析等核心素养。 三、教学目标 （1）能够理解数学建模的基本流程，能够根据实际问题情境，合理假设变量之间的函数关系，特别是理解收益=销售收入-保鲜成本这一基本关系。 （2）经历收集数据、利用待定系数法确定参数的过程，能够建立形如 z=f(h(t))-g(t) 的复合函数模型，并能运用二次函数性质求出最大值，从而解决“最佳出售时间”这一优化问题。 （3）在建模过程中体会数学的应用价值，认识到简化假设带来的模型偏差，培养通过收集更多数据、分析数据来优化模型的意识，提升逻辑思维和数学运算能力。 四、教学重难点 教学重点：掌握数学建模的完整流程，能够根据题意建立变量之间的函数关系，特别是构建收益函数 z=f(h(t))-g(t) 的复合关系。 教学难点：如何根据实际情况进行合理的假设（如假设函数为一次或二次函数），以及如何利用数据准确确定函数模型中的参数，并对模型的合理性进行检验与反思。 五、教学方法 本节课主要采用任务驱动法与探究式教学法相结合的方式。教师通过创设苹果销售的问题情境，引导学生主动思考，将实际问题转化为数学问题。在教学过程中，组织学生进行小组讨论，通过合作学习共同完成数据的分析与模型的构建。教师通过启发式提问，帮助学生突破难点，梳理建模思路，最后通过总结归纳，使学生形成系统的数学建模认知结构。 六、教学准备 教师准备：多媒体课件（包含问题情境、数据表格、函数图象演示）、探究任务单。学生准备：计算器、直尺、铅笔、草稿纸。 七、复习导入 （1）教师提问：我们已经学习过哪些基本函数模型？它们的一般形式是什么？预设学生回答：一次函数 y=kx+b（k≠0），二次函数 y=ax²+bx+c（a≠0）。 （2）教师追问：在实际生活中，很多量之间都存在函数关系，比如成本随时间增加、价格随供应量变化。如果我们想知道什么时候卖苹果获利最大，该怎么办？预设学生回答：需要找出利润与时间的关系，求最大值。 （3）教师引入：这就需要用到数学建模。今天我们将通过一个具体的活动——决定苹果的最佳出售时间点，来体验数学建模的全过程。 八、教学过程 环节一：问题情境与提出问题 教师展示情境：某果农种植了优质苹果，采摘后需要决定何时出售。如果采摘后立即出售，此时苹果口感好但上市量大，价格较低；如果储存一段时间再出售，虽然保鲜成本增加，但上市量减少，价格可能上升。果农面临的问题是：什么时候出售可以获得最大利润？ 教师提问：影响利润的主要因素有哪些？它们之间可能存在怎样的关系？预设学生回答：利润取决于销售收入和成本。销售收入取决于价格和销售量（即上市量）。价格随上市量增加而降低，上市量随时间推移而减少（因储存损耗），保鲜成本随时间增加。 环节二：假设与建立模型 教师引导：为了用数学语言描述这个问题，我们需要做一些合理的假设。设采摘后第 t 天出售苹果。 假设1：苹果的日上市量 Q（吨）与时间 t（天）成一次函数关系。根据经验数据，t=0 时，Q=100 吨；t=10 时，Q=150 吨（假设初期上市量因集中采摘而增加，后期减少，此处简化为线性增长段以便计算，或根据题意调整。为简化计算，本例设定为 Q=10t+100）。 假设2：每吨苹果的销售价格 p（万元/吨）与上市量 Q 成一次函数关系。已知当 Q=100 时，p=6；当 Q=200 时，p=4。设 p=aQ+b。 假设3：每天的保鲜成本 C（万元）与时间 t 成一次函数关系。已知 t=0 时，C=0.2；t=10 时，C=0.4。设 C=kt+m。 师生共同推导参数： 由价格模型：{100a+b=6; 200a+b=4}，解得 a=-0.02，b=8。所以 p=-0.02Q+8。 将 Q=10t+100 代入 p 的表达式，得 p(t)=-0.02(10t+100)+8=-0.2t+6。 由成本模型：{0k+m=0.2; 10k+m=0.4}，解得 k=0.02，m=0.2。所以 C(t)=0.02t+0.2。 建立利润模型：设第 t 天的利润为 W(t)。则 W(t)=销售收入-保鲜成本 = p(t)·Q(t)-C(t)。 代入得：W(t)=(-0.2t+6)(10t+100)-(0.02t+0.2)。 化简得：W(t)=-2t²-2t+60t+600-0.02t-0.2 = -2t²+57.98t+599.8。 环节三：求解模型与解释 教师提问：我们得到了利润 W 关于时间 t 的函数表达式，这是什么函数？如何求最大值？ 预设学生回答：这是一个二次函数，开口向下，可以使用配方法或公式法求最大值。 教师板书演算： 对于 W(t)=-2t²+57.98t+599.8，a=-2，b=57.98。 当 t=时，W 取得最大值。 t===14.495≈14.5（天）。 即在第 15 天左右出售，利润最大。 环节四：模型检验与优化 教师提问：我们的模型假设价格与上市量、上市量与时间都是一次函数关系，这符合实际吗？ 预设学生回答：可能不完全符合，实际情况可能更复杂，比如价格受市场波动影响，上市量可能不是线性的。 教师总结：是的，模型是对现实的简化。如果条件允许，我们可以收集更多数据，不预设函数形式，通过散点图分析来选择更合适的函数（如指数函数、分段函数等），从而优化模型。 环节五：巩固练习 练习题：某超市销售一种水果，已知成本价随时间的变化率为每天 0.1 元/kg，第 0 天成本价为 5 元/kg。销售价格 p（元/kg）与时间 t（天）的关系为 p=-0.1t+8。假设每天销售量为 200 kg。求第几天利润最大？ 学生活动：学生独立列式计算。 解析：成本 C(t)=0.1t+5。销售收入 R(t)=p·200=(-0.1t+8)·200=-20t+1600。利润 W(t)=R(t)-C(t)=(-20t+1600)-(0.1t+5)=-20.1t+1595。 由于 W(t) 是一次函数，且 k=-20.1<0，所以函数单调递减。故 t=0 时利润最大。 答案：第 0 天利润最大。 环节六：课堂小结 师生共同回顾：1. 数学建模的一般步骤：现实问题→数学模型→数学解→回归解释。2. 核心思想：将实际问题转化为函数关系式，利用函数性质求最值。3. 注意事项：合理假设是建模的前提，检验与优化是模型完善的必要环节。 九、作业布置 请同学们根据本节课的建模思路，尝试解决以下问题：某奶茶店夏季推出冷饮，销量随气温升高而增加，而原材料成本随时间（因夏季高温保存）略有上升。请自己设定一组合理的数据，建立利润模型，求解最佳销售时间段，并写成一份简要的建模小报告。 学科网（北京）股份有限公司 $