第五章 一元一次方程 单元卷 2026—2027学年北师大版七年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦一元一次方程核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，适配初中数学单元复习，融合数学文化与实际情境，培养运算能力、模型意识及创新思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|方程定义、等式性质、解方程步骤|基础概念辨析，如第1题考一元一次方程定义| |填空题|6/18|方程解、利润率、古代数学问题|结合《算法统宗》“百僧分馒头”（第15题），体现文化传承| |解答题|8/72|解方程、错解分析、实际应用、新定义|含“优雅方程”新定义题（23题）及数轴动点问题（24题），培养创新意识与几何直观|

第五章 一元一次方程（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列方程中是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2、根据等式的性质，下列各式变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3、解方程时，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 4、已知关于的方程的解是，则代数式的值为（ ） A. -5 B. 5 C. 7 D. -7 5、下列变形属于移项的有（ ） （1）由，得， （2）由，得， （3）由，得，（4）由，得 A. 1个 B. 2个 C. 3 个 D. 4个 6、若 与 互为相反数，则x的值为（ ） A. B. C. D. 7、某商人一次卖出两件商品，一件赚了，一件赔了，卖价都是480元，在这次买卖过程中，商人（ ） A. 赚了40元 B. 赔了40元 C. 赔了60元 D. 不赚不赔 8、小明在解方程去分母时，方程右边的没有乘以 2，因而求得的解为，则原方程的解为（ ） A. B. C. 0 D. 2 9、有一些苹果和苹果箱，若每箱装25千克苹果，则剩余40千克苹果；若每箱装30千克苹果，则余下20个苹果箱；设这些苹果箱有个，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10、 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“ 三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其大意是：有人要去某关口，路程里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半， 一共走了六天才到达目的地．则此人第三天走的路程为（ ） A. 里 B. 里 C. 里 D. 里 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、若方程是一个一元一次方程，则等于 _______． 12、若是关于x的方程的解，则______． 13、某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打________折． 14、按照如图所示的操作步骤．若输入x的值是5，则输出的值是97，若输入的x的值是，则输出的值为______． 15、程大位《直指算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，依题意列方程得________． 16、对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示 a，b两数中较大的数，例如，按照这个规定，关于x的方程的解为________． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-20，每题8分，21-22，每题9分, 23-24，每题11分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 解下列方程： （1）． （2）． 18、下面是小虎同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应问题． 解：去分母，得．(第一步) 去括号，得．(第二步) 移项，得．(第三步) 合并同类项，得．(第四步) 系数化为1，得．(第五步) 问题1：以上解题过程中，第一步是依据_____进行变形的，第二步是依据_____（运算律）进行变形的； 问题2：第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_______； 问题3：请写出该方程的正确解答过程． 19、已知：关于x的方程与有相同的解，求以y为未知数的方程的解． 20、某学校门口有一个长的长方形电子显示屏，如图所示，学校的有关活动都会在电子显示屏上播出，由于各类活动的名称不同，字数也就不等．为了制作及显示时方便美观，负责播出的教师对有关数据作出了如下规定，边空宽：字宽：字距，请用列方程的方法解决下列问题： 某次活动的字数为15个，求字距是多少？ 21、甲、乙两个加工厂计划为某开发公司加工一批产品，已知甲、乙两个工厂每天分别能加工这种产品16件和24件，且单独加工这批产品甲厂比乙厂要多用20天，已知由甲厂单独做，公司需付甲厂每天费用180元；若由乙厂单独做，公司需付乙厂每天费用220元． （1）求加工的这批产品共有多少件？ （2）若由一个加工厂单独加工完成，选用哪个加工厂费用较低？ 22、为举办校园文化艺术节，甲、乙两班准备给合唱同学购买演出服装(一人一套)，两班共92人(其中甲班比乙班人多，且甲班不到90人)，下面是供货商给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套以上 每套服装的价格 60元 50元 40元 如果两班单独给每位同学购买一套服装，那么一共应付5020元． (1)甲、乙两班联合起来给每位同学购买一套服装，比单独购买可以节省多少钱？ (2)甲、乙两班各有多少名同学？ 23、定义：如果两个一元一次方程的解互为倒数，则称这两个方程互为“优雅方程”．例如：和互为“优雅方程”． (1)方程与方程是“优雅方程”吗？请说明理由； (2)若方程与关于的方程互为“优雅方程”，求的值． 24、 综合与实践：A，B两点在数轴上位置如图所示，其中点A对应的有理数是，点B对应的有理数是6，有一动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒． （1）当时，点P表示的有理数是______，线段的长度为______； （2）当时，求t的值． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元一次方程（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列方程中是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】解：A、未知数的最高次数为2，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； C、不是整式方程，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； D、只含有一个未知数，且未知数的次数为1，是整式方程，是一元一次方程，故该选项符合题意； 2、根据等式的性质，下列各式变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【详解】解：A．若，则，故不正确； B．若，当时，则，故不正确； C．若，则，正确； D．若，则，故不正确； 3、解方程时，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】方程两边同时乘以6得：，即 4、已知关于的方程的解是，则代数式的值为（ ） A. -5 B. 5 C. 7 D. -7 【答案】A 【详解】解：把代入方程， ∴， 解得：， ∴； 5、下列变形属于移项的有（ ） （1）由，得， （2）由，得， （3）由，得，（4）由，得 A. 1个 B. 2个 C. 3 个 D. 4个 【答案】A 【详解】解：（1）由，得，是属于移项； （2）由，得，原来的式子不属于移项； （3）由，得，只是在等号的右边改变位置，不属于移项； （4）由，得，是系数化1，不属于移项； 6、若 与 互为相反数，则x的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解：∵ 与 互为相反数， ∴， ∴， ∴， 解得， 7、某商人一次卖出两件商品，一件赚了，一件赔了，卖价都是480元，在这次买卖过程中，商人（ ） A. 赚了40元 B. 赔了40元 C. 赔了60元 D. 不赚不赔 【答案】B 【详解】解：设赚了的商品进价为元， 则，解得（元）； 设赔了的商品进价为元， 则，解得， ∴（元）， 即这次买卖过程中，商人赔了40元． 8、小明在解方程去分母时，方程右边的没有乘以 2，因而求得的解为，则原方程的解为（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】C 【详解】解：按照小明的错解方法如下所示： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得，系数化为1得：， 错解的结果为， ， 原方程为， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得，系数化为1得：， 9、有一些苹果和苹果箱，若每箱装25千克苹果，则剩余40千克苹果；若每箱装30千克苹果，则余下20个苹果箱；设这些苹果箱有个，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】解：根据题意，有 ； 10、 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“ 三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其大意是：有人要去某关口，路程里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半， 一共走了六天才到达目的地．则此人第三天走的路程为（ ） A. 里 B. 里 C. 里 D. 里 【答案】B 【详解】解：设第一天的路程为里 ∴ 解得 ∴第三天路程为 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、若方程是一个一元一次方程，则等于 _______． 【答案】1 【详解】解：由题意得：， 解得， 故答案为：1． 12、若是关于x的方程的解，则______． 【答案】 【详解】解：把代入方程中得： ， 解得：， ∴， 故答案为：． 13、某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打________折． 【答案】八 【详解】解：设应打x折， 则根据题意得：（180×x×10%-120）÷120=20%， 解得：x=8． 故商店应打八折． 故答案为：八． 14、按照如图所示的操作步骤．若输入x的值是5，则输出的值是97，若输入的x的值是，则输出的值为______． 【答案】 【详解】解：由题意得， ， 解得： ， 若输入的x的值是， 则输出的值为 ． 故答案为： 15、程大位《直指算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，依题意列方程得________． 【答案】 【详解】解：设大和尚有x人，则小和尚有人， 根据题意得：； 故答案为：． 16、对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示 a，b两数中较大的数，例如，按照这个规定，关于x的方程的解为________． 【答案】 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论： 当时，， ， 解得， ∵， ∴符合题意； 当时， ， 解得， ∵， ∴不符合题意． ∴方程的解为． 故答案为： 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-20，每题8分，21-22，每题9分, 23-24，每题11分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【小问1详解】 解：去分母，得 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； 【小问2详解】 解：原方程可变为， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 18、下面是小虎同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应问题． 解：去分母，得．(第一步) 去括号，得．(第二步) 移项，得．(第三步) 合并同类项，得．(第四步) 系数化为1，得．(第五步) 问题1：以上解题过程中，第一步是依据_____进行变形的，第二步是依据_____（运算律）进行变形的； 问题2：第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_______； 问题3：请写出该方程的正确解答过程． 【详解】解：问题1：∵第一步是等式两边同时乘上6， ∴第一步是依据等式的性质2进行变形的； ∵第二步去括号过程中，括号前的数值与括号每项相乘， ∴第二步是依据乘法的分配律进行变形的； 故答案为：等式的性质2，；乘法分配律； 问题2：观察式子，第三步开始出现错误，这一步的错误的原因是移项没变号； 故答案为：三；移项没变号； 问题3： 解：去分母，得．(第一步) 去括号，得．(第二步) 移项，得．(第三步) 合并同类项，得．(第四步) 系数化为1，得．(第五步) 19、已知：关于x的方程与有相同的解，求以y为未知数的方程的解． 【答案】 【详解】解：， 移项合并得：， 解得：， 关于x的方程与有相同的解， 将代入方程，可得， 解得：， 将代入，可得， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化1得：． 20、某学校门口有一个长的长方形电子显示屏，如图所示，学校的有关活动都会在电子显示屏上播出，由于各类活动的名称不同，字数也就不等．为了制作及显示时方便美观，负责播出的教师对有关数据作出了如下规定，边空宽：字宽：字距，请用列方程的方法解决下列问题： 某次活动的字数为15个，求字距是多少？ 【答案】 【详解】解：设字距为，则边空宽为，字宽为， 根据题意得， 解得：． 经检验，符合题意． 答：这次活动的字距是． 21、甲、乙两个加工厂计划为某开发公司加工一批产品，已知甲、乙两个工厂每天分别能加工这种产品16件和24件，且单独加工这批产品甲厂比乙厂要多用20天，已知由甲厂单独做，公司需付甲厂每天费用180元；若由乙厂单独做，公司需付乙厂每天费用220元． （1）求加工的这批产品共有多少件？ （2）若由一个加工厂单独加工完成，选用哪个加工厂费用较低？ 【答案】（1）加工的这批产品有960件；（2）选用乙加工厂费用较低 【详解】解：（1）设加工的这批产品有件，根据题意，得 ， 解这个方程，得：， ∴加工的这批产品有960件； （2）甲单独完成需费用为：（元）， 乙单独完成需费用为：（元）， ∴选用乙加工厂费用较低. 22、为举办校园文化艺术节，甲、乙两班准备给合唱同学购买演出服装(一人一套)，两班共92人(其中甲班比乙班人多，且甲班不到90人)，下面是供货商给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套以上 每套服装的价格 60元 50元 40元 如果两班单独给每位同学购买一套服装，那么一共应付5020元． (1)甲、乙两班联合起来给每位同学购买一套服装，比单独购买可以节省多少钱？ (2)甲、乙两班各有多少名同学？ 【答案】（1）1340元 （2）甲班有50名同学，乙班有42名同学 【详解】（1）（元） 答：甲、乙两班联合起来给每位同学购买一套服装，比单独购买可以节省1340元. （2）设甲班有名同学，根据题意可知，则乙班有名同学，根据题意得 解得 答：甲班有50名同学，乙班有42名同学. 23、定义：如果两个一元一次方程的解互为倒数，则称这两个方程互为“优雅方程”．例如：和互为“优雅方程”． (1)方程与方程是“优雅方程”吗？请说明理由； (2)若方程与关于的方程互为“优雅方程”，求的值． 【答案】(1)是；理由见详解 (2)a的值为 【详解】（1）解：方程与方程是“优雅方程”，理由如下： 解方程得：， 解方程得， 因为和互为倒数． 所以与方程是“优雅方程”； （2）解：解方程得， 因为方程与关于x的方程互为“优雅方程”， 所以关于x的方程的解为， 将代入方程中，得． 解得， 故a的值为． 24、 综合与实践：A，B两点在数轴上位置如图所示，其中点A对应的有理数是，点B对应的有理数是6，有一动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒． （1）当时，点P表示的有理数是______，线段的长度为______； （2）当时，求t的值． 【答案】（1），8 （2）或 【小问1详解】 当时，， ∴点表示的有理数为． 此时， 故答案为：． 【小问2详解】 点从点出发，秒后点表示的数为， 则的长度为的长度为， 当时，即， 分两种情况讨论： 当，即时，，解得； 当，即时，，解得． 故答案为：或． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $