7.2 认识证明 新课预习 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦命题与证明核心概念，通过基础巩固-中档应用-提升拓展三层设计，实现从概念辨析到逻辑推理的递进，适配新授课预习与知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|命题定义、改写及真假判断|单选题1-4题考查命题识别与改写，填空题9-12题强化概念认知，培养抽象能力| |中档|反例构造与证明依据|单选题5-6题训练假命题反例，填空题13题逻辑推理，发展推理意识| |提升|综合证明与逻辑应用|解答题15-18题涉及全等证明、实际情境推理，体现数学思维与表达，提升创新意识|

7.2 认识证明 新课预习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列语句是命题的是（    ） A．过点A作一条射线 B．连接，并延长至点C C．是锐角三角形吗 D．等角的补角相等 2．把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，下面正确的是（    ） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 3．下列命题中，是真命题的是（     ） A．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示 B．0没有平方根 C．若，则 D．实数包括有理数、0和无理数 4．下列选项中a的值，可以作为命题“对于任何实数a，”是假命题的（　　） A． B． C． D． 5．下列各组a，b的值能作为说明命题“，则”为假命题的反例的是（　　） A．， B．， C．， D．， 6．定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的依据是（    ） A．两点之间线段最短 B．边边边公理 C．同位角相等，两直线平行 D．垂线段最短 7．甲、乙、丙、丁四人商量周末出游．甲说：“乙去，我就肯定去．”乙说：“丙去，我就不去．”丙说：“无论丁去不去，我都去．”丁说：“甲乙中至少有一人去，我就去．”以下结论可能正确的是（   ） A．甲一个人去了 B．乙、丙两个人去了 C．甲、丙、丁三个人去了 D．四个人都去了 8．如图A、B、C是固定在桌面上的三根小棒，其中A上有5个大小不同的圆片，从上到下，圆片的直径依次增大．现要将这5个圆片移动到B上，要求：①每次只能移动一个圆片；②圆片只能在A、B、C之间移动；③大圆片不能放在小圆片上面．那么完成这件事情最少要移动圆片（    ）    A．31次 B．33次 C．17次 D．25次 二、填空题 9．下列语句中，属于定义的是_______，是命题的是_______．（请填写序号） ①三角形的内角和等于；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 10．命题“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等”的题设是________，它是________命题（填“真”或“假”）． 11．取一个正数的值，说明命题“正数比它的算术平方根大”是假命题，那么______． 12．把命题“等边三角形三个内角都相等”写成“如果…，那么…”的形式：________________________________________________________________． 13．破译密码：根据下面五个已知条件，可推断出正确的密码是______．    6 2 8 只有一个号码正确且位置正确 6 1 9 只有一个号码正确但位置不正确 8 7 6 只有两个号码正确但位置都不正确 5 3 2 三个号码都不正确 2 5 7 只有一个号码正确但位置不正确 三、解答题 14．下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？ (1)正数大于一切负数吗？ (2)两点之间线段最短． (3)不是无理数． (4)作一条直线和已知直线垂直． 15．卡钳是一个测量工件内槽宽的工具．如图，师傅通常把两根钢条，的中点连在一起，就可以做成一个简易卡钳．只要量得的长度，就可知工件的内径是否符合标准．请结合题意及图示，用符号语言写出已知和求证，并完成证明． 已知： 求证： 证明： 16．证明：全等三角形对应角的平分线相等． 我们在证明文字命题时，通常应遵循这样的步骤： （1）首先，要弄清命题的条件和结论，那么这个命题的 条件是：____________； 结论是：____________． （2）其次，要结合命题的条件和结论，画出符合题意的图形． 如图①所示，线段是的角平分线，请用尺规作图，作出图②中的角平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）． （3）最后，结合所画图形和这个命题的条件和结论写出已知和求证，并进行证明． 已知：如图，______≌______，线段，分别是和的角平分线． 求证：____________． 证明：（要求：证明时写清每一步推理的依据．） 17．已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③． 条件：_______，结论：_______．（填序号） 证明： 18．某居民楼共有8层，电梯在1层时刚好进来了4个人，他们互相都认识，且都准备上楼分别去往4个互不相同的楼层，4人之间开启了一段有趣的对话： 甲：“我是第二个下电梯的，乙说的是假话．” 乙：“我将是最先下电梯的，并且没有人和我在相邻楼层下电梯．” 丙：“我将是最后一个下电梯的，乙说的确实是假话．” 丁：“我是第三个下电梯的，乙才是最后一个下电梯的，并且有人和我在相邻楼层下电梯．” 如果4个人之中有两人始终说真话，他们刚好都在奇数楼层下电梯，而另两人始终说假话，他们刚好都在偶数楼层下电梯．那么甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数是多少？ 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D A C D A C A 1．【答案】D 【知识点】判断是否是命题 【分析】本题考查了命题的定义，解题的关键是理解命题是能够判断真假的陈述句；根据命题的定义逐一分析各选项，判断其是否为可以判断真假的陈述句，从而确定正确选项． 【详解】解：A、“过点A作一条射线”是作图指令，不是判断真假的陈述句，不是命题，此选项不符合题意； B、“连接，并延长至点C”是作图指令，不是判断真假的陈述句，不是命题，此选项不符合题意； C、“是锐角三角形吗”是疑问句，不是判断真假的陈述句，不是命题，此选项不符合题意； D、“等角的补角相等”是可以判断真假的陈述句，是命题，此选项符合题意． 故选：D． 2．【答案】D 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】本题考查了命题，命题是由题设与结论两部分组成．根据把命题的题设写在“如果”后面，结论写在“那么”后面，进而得出结论． 【详解】解：命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式为“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”． 故选：D． 3．【答案】A 【知识点】平方根概念理解、实数与数轴、实数的分类、判断命题真假 【分析】根据数轴与实数的对应关系，平方根定义，绝对值性质，实数分类逐一判断命题真假即可． 【详解】解：对于A选项，∵实数与数轴上的点是一一对应的，∴每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，A是真命题； 对于B选项，∵0的平方根是0，∴B是假命题； 对于C选项，∵若，则或，例如但，∴C是假命题； 对于D选项，∵实数分为有理数和无理数，0属于有理数，该分类存在重复，∴D是假命题． 4．【答案】C 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】本题考查举反例判断假命题，将各选项中的数值分别代入，判断是否成立即可． 【详解】解：A．，即时，成立，不合题意； B．，即时，成立，不合题意； C．，即时，不成立，符合题意； D．，即时，成立，不合题意； 故选：C． 5．【答案】D 【知识点】举反例 【分析】要说明命题为假命题，只需找到满足条件，但不满足结论的反例，逐个验证选项即可． 【详解】解：A选项：，，不满足，不能成为说明命题为假命题的反例； B选项：，，不满足，不能成为说明命题为假命题的反例； C选项：，，满足，也满足，不能成为说明命题为假命题的反例； D选项：，，满足，不满足，能成为说明命题为假命题的反例． 6．【答案】A 【知识点】已知证明过程填写理论依据、定理与证明 【分析】根据三角形的三边关系即可得到答案. 【详解】解：如图，    根据两点之间线段最短，即可判断：， ∴三角形的任意两边之和大于第三边； 故选A. 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟记性质. 7．【答案】C 【知识点】逻辑推理与论证 【分析】先根据四人的表述推出确定结论，再逐一排除错误选项，验证得到正确结果． 【详解】解：∵丙说：“无论丁去不去，我都去．” ∴丙一定去． ∵乙说“丙去，我就不去”，丙去， ∴乙一定不去， A选项，甲一个人去，与丙一定去矛盾，错误，不符合题意． B选项，乙丙两个人去，与丙去则乙不去矛盾，错误，不符合题意． D选项，四个人都去，与乙一定不去矛盾，错误，不符合题意． C选项，甲丙丁三个人去：符合丙去乙不去的结论，甲的表述为“乙去我就肯定去”，乙不去不影响甲去，丁的表述为“甲乙中至少有一人去，我就去”，甲去满足条件，丁去符合要求，所有条件均成立，结论正确，符合题意． 8．【答案】A 【知识点】数字类规律探索、以代数为背景的推理与论证 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，逻辑推理的应用，由题意，一个圆片至少要移动一次，两个圆片至少要移动3次，三个圆片至少要移动7次，从而归纳出五个圆片至少要移动的数量． 【详解】解：移动一个圆片，至少移动1次，而， 移动两个圆片，至少要移动3次，而， 移动三个圆片，至少要移动7次，而， ∴移动五个圆片，至少要移动（次）， 故选：A． 9．【答案】 ②⑥/⑥② ①②⑤⑥ 【知识点】判断是否是命题 【分析】此题考查了定义及命题，根据三角形内角和定理、无理数的定义和对顶角性质、两点间的距离进行判断即可解决． 【详解】解：①三角形的内角和等于，是命题，不是定义； ②无限不循环小数称为无理数，是定义，也是命题； ③你的作业做完了吗？既不是定义也不是命题； ④天空真蓝啊！既不是定义也不是命题； ⑤对顶角不相等；不是定义，是命题； ⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离，是定义，也是命题； 属于定义的是②⑥；是命题的是①②⑤⑥； 故答案为：②⑥；①②⑤⑥． 10．【答案】 两三角形两边分别相等且其中一组等边的对角相等 假 【知识点】判断命题真假、全等三角形综合问题、写出命题的题设与结论 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够将原命题写成“如果…，那么…”的形式． 改写成“如果…，那么…”的形式后即可确定其题设和结论，判断正误后即可确定真假． 【详解】解：命题“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等”改写成“如果…，那么…”为：如果两三角形两边分别相等且其中一组等边的对角相等，那么这两个三角形全等， 所以题设是：两三角形两边分别相等且其中一组等边的对角相等，为假命题， 故答案为：两三角形两边分别相等且其中一组等边的对角相等，假． 11．【答案】（答案不唯一） 【知识点】举反例、平方根概念理解 【分析】本题考查的是真假命题，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 根据算术平方根的概念、假命题的概念解答即可． 【详解】解：∵的算术平方根为，且为正数，与命题“正数比它的算术平方根大”矛盾， ∴时，命题“正数比它的算术平方根大”是假命题． 故答案为：（答案不唯一）． 12．【答案】如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个内角都相等 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】本题考查命题与定理．把题设写在“如果”后面，结论写在“那么”后面即可． 【详解】解：命题“等边三角形三个内角都相等”可改写成“如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个内角都相等”； 故答案为：如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个内角都相等． 13．【答案】798 【知识点】以代数为背景的推理与论证 【分析】先判断出密码中必有数字7且在百位上，再判断出密码中必有式子8且在个位上，最后判断出密码中必有9，即可得出结论． 【详解】解：密码532，三个号码都不正确， 密码中没有数字：2，3，5， 密码257只有一个号码正确但位置不正确， 密码中必有数字7，并且不能在个位， 密码876只有两个号码正确，但位置都不正确， 密码7不能在十位，密码中8，6只有一个正确， 密码中的7只能在百位， 密码628中只有一个号码正确且位置正确， 密码中必有数字8，且在个位， 密码619中只有一个号码正确当位置不正确， 密码中只有数字9，且在十位， 正确的密码为798， 故答案为：798． 【点睛】此题是推理与论证题目，判断出密码中必有数字7且在百位上是解本题的关键． 14．【答案】(1)不是命题 (2)是命题 (3)是命题 (4)不是命题 【知识点】判断是否是命题 【分析】根据命题的定义进行逐一判断即可． 【详解】（1）解：正数大于一切负数吗？不是命题； （2）解：两点之间线段最短，是命题 （3）解：不是无理数，是命题 （4）解：作一条直线和已知直线垂直，不是命题． 【点睛】本题主要考查了命题的定义，一般地，在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 15．【答案】 已知：如图，，为的中点． 求证： 证明：如图，连接， ∵，为的中点， ∴， 又∵， ∴． ∴． 【知识点】写出一个命题的已知、求证及证明过程、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】两边分别对应相等，再加上对顶角相等，可判断出两个三角形全等，且用的是．结合题意及图示，用符号语言写出已知和求证，并完成证明． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 16．【答案】（1）三角形全等；对应角的平分线相等； （2）如图所示： （3）已知：如图，，线段，分别是和的角平分线． 求证：， 故答案为：，； 证明：（已知）， （全等三角形的性质） 线段，分别是和的角平分线（已知）， （角平分线的定义） （等量代换）， ， （全等三角形的性质）． 【知识点】作角平分线(尺规作图)、全等三角形综合问题、写出命题的题设与结论 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）．根据证明全等三角形是解决问题的关键． （1）根据命题判断条件与结论即可； （2）利用基本作图作的平分线即可； （3）根据全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：（1）这个命题的 条件是：三角形全等， 结论是：对应角的平分线相等； 故答案为：三角形全等；对应角的平分线相等； （2）略 （3）略 17．【答案】 解：当条件是①平分，②；结论是③时： 证明：平分， ． ， ，． ； 当条件是①③，结论是②时： 证明：平分， ． ∵， ∴， ∴， ∴； 当条件是②③，结论是①时： ， ，． ， ， ∴平分． 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据给出的论断组命题并证明 【分析】本题考查命题的证明，先选择条件和结论，再根据平行线的性质和判定，角平分线的定义，以及三角形的外角的性质，进行证明即可． 【详解】略 18．【答案】甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数是5672 【知识点】逻辑推理与论证 【分析】根据所给的真假话条件以及楼层奇偶性条件，通过假设甲说真话来逐步推导每个人下电梯的顺序和对应的楼层，进而得出甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数． 本题考查了逻辑推理问题的应用，充分利用题干条件：4个人之中有两人始终说真话，他们刚好都在奇数楼层下电梯，而另两人始终说假话，他们刚好都在偶数楼层下电梯是解题的关键． 【详解】解：假设甲说真话并推导相关信息： 若甲说的是真话，那么甲是第二个下电梯的，且因为“4个人之中有两人始终说真话，他们刚好都在奇数楼层下电梯，而另两人始终说假话，他们刚好都在偶数楼层下电梯”，所以甲在奇数楼层，同时甲说“乙说的是假话”，即乙说的是假话； 因为乙说的是假话，而丙说“乙说的确实是假话”，所以丙说的是真话，那么丙是最后一个下电梯的，且丙在奇数楼层； 由于甲丙说的是真话，所以乙和丁说的是假话．因为乙说“我将是最先下电梯的”是假的，所以乙不是最先下电梯的，那么丁是最先下电梯的． 又因为乙和丁说假话，所以乙和丁都在偶数楼层下电梯，所以丁在2层或4层． 确定每个人可能所在的楼层范围： 因为甲是第二个下电梯且在奇数层，所以甲在3层或5层； 因为乙是第三个下电梯且在偶数层，所以乙在4层或6层； 因为丙是最后一个下电梯且在奇数层，所以丙在5层或7层． 根据假话内容进一步分析： 因为乙和丁始终说假话，所以乙说“没有人和我在相邻楼层下电梯”是假的，即有人和乙在相邻楼层下电梯； 丁说“有人和我在相邻楼层下电梯”是假的，即没有人和丁在相邻楼层下电梯． 分情况讨论丁所在楼层： 若丁在2层，为了满足有人和乙在相邻楼层下电梯且没有人和丁在相邻楼层下电梯，此时甲可以在5层，乙在6层，丙在7层，这种情况是合理的； 若丁在4层，若甲在5层，此时乙无论在6层还是其他偶数层，都无法满足有人和乙在相邻楼层下电梯且没有人和丁在相邻楼层下电梯的条件，所以这种情况无法成立． 综上，甲在5层，乙在6层，丙在7层，丁在2层． 即甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数是5672． 答：甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数是5672． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $