第五章 二元一次方程组 学情调研-【真题圈】2025-2026学年八年级上册数学试题精选（北师大版·新教材）

真题圈数学 同步调研卷 八年级上12N 狗 8.第五章学情调研 (时间：120分钟满分：120分) 尽 ☒ 10 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.(期中·2024-2025沈阳铁西区)下列是二元一次方程的是( ) A.x+2y=3 B.x2+y=1 C+y=2 D.2x-1=5 2.(期末·2024-2025成都成华区)下列各组数中，不是二元一次方程2x十y=4的解的是( A.x1, 「x=2, x=0.5, x=一2， B. D. y=2 (y=0 y=3 (y=4 x=4 製 3.如果方程x一y=3与下面方程中的一个组成的方程组的解为 那么这个方程是( y=1, A.2(x-y)=3 1 B.4x+2y=5 C.x+2y=6 D.3x-4y=16 3a+b=6, 4.(期中·2023-2024济南历城区)已知方程组 则2a-b的值是( a-3b=3, A- C.-9 D.9 靴 5.(期末·2024-2025深圳罗湖区)在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的3×3 方格内填入了一些代数式，若图中横行、竖行及斜行上的三个数之和都相等，则 x一y的值为( ) A.4 B.6 C.8 D.10 6.数学文化（期末·2023-2024重庆南岸区）《九章算术》中有一题：“今有大器五、 小器一容三斛；大器一、小器五容二斛.问大、小器各容几何？”译文：今有大容器 第5题图 5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容量单位）；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛.问大 容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为x斛，小容器的容量为y斛，则可列方程组 为( 警0 x+5y=3, A. B. 5x+y=3, C 5x=y+3, 5.x=y+2, D. H (5x十y=2 x+5y=2 (x=5y十2 x=5y+3 圈)卓 ax-2by=8,① 7.在解关于x,y的方程组 时，小明由于将方程①中的“一”看成了“十”，得到的解为 2x=by+2② x=2, 则原方程组的解为( y=1, a=2, x=2, Cx=-2, x=2 A. B.〈 D. b=2 (y=2 y=-3 v=1 2 8,（月考·2024-2025河南省实脸中学)如图，一次函数y=是x+号的图象与y=x+b的图象相交于 y=3 yA 点P(一2，n),则关于x,y的方程组 4十2的解是() y=kx+b 「x=-2, （x=-2, A. B. y=3 y=2 0 x=3, x=2, C. D. 第8题图 y=-2 y=-2 9.新知探索用现代高等代数的符号可以将方程组 十y-5的系数排成一个表}1 5 ,这种 2x-y=4 -14 1 1 t 3 由数列排成的表叫做矩阵.矩阵 2 -1 m 2 表示x,y,之三元一次方程组，若4x十y一之为 定值，则t与m的关系为() A.m-2t=-1 B.m+2t=1 C.2m-t=1 D.2t+m=-1 10.已知关于x,y的二元一次方程组 x十3y=4一a,下列结论中正确的是( (x-y=3a, ①当这个方程组的解x,y的值互为相反数时，a=一2； ②当a=1时，方程组的解也是方程x十y=4十2a的解； ③无论a取什么实数，x十2y的值始终不变； ④若用x表示y,则y=一号 2 2· A.①② B.②③ C.②③④ D.①③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） (6x-5y=3,① 11.（期末·2022-2023山西大学附中)关于x,y的二元一次方程组 小华用加减消 3x+y=-15,② 元法消去未知数x,按照他的思路，用②X2一①得到的方程是 x=-2, 12.（期末·2024-2025深圳罗湖区)已知 y=3 '是二元一次方程ax十4y=8的一个解，则a 的值为 13.（月考·2024-2025济南外国语学校改编)若方程x十2y=5,3x一4y=一5与 kx一y=2有公共解，则k= 14.某校“数学建模”社团的同学用五种不同正方形拼成如图所示的无缝隙、不重 叠的长方形，若中间小正方形的边长为1，则正方形B的边长是 [4x+my=12, 15.(期中·2024-2025西工大附中)若关于x,y的方程组 有 第14题图 ((m十n)x-2y=6 无数组解，其中m,n不为0，则mm= 16.(期末·2024-2025青岛市北区)将七个边长为1的正方形按如图方式 摆放在平面直角坐标系中，经过P点的一条直线将这七个正方形分成可 面积相等的两部分，则该直线对应的函数表达式为 第16题图 9 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17.(（月考·2022-2023哈尔滨工业大学附中)(8分)解下列方程组： 、Ja=2b+3,(代人消元法) 3m+b=11, (1) (2) a=3b+20. -4m-b=11. (加减消元法) 18.(期末·2023-2024贵阳南明区)(6分)下面是小华同学解二元一次方程组 3x十2y=1,①的过 4x-y=-6②1 程，请仔细观察并回答下面问题， 解：②X2,得8x一2y=一6，③…第一步 ①+®.得11=-7，解得x二一7…第-步 将红=一7代入②，得y=贺…第三步 x、7 精品图书 119 所以原方程组的解是 38 …第四步星教管 y=11 (1)以上过程有两处关键性错误，第一次出错在第 步，第二次出错在第 步。 (2)请你帮小华同学写出正确的解题过程， 19.(期末·2024-2025青岛市南区)(6分)甲数的2倍与乙数的和是81，乙数比丙数的2倍大5，求甲 数与丙数的和. 20.情境题(6分)小亮求得方程组 ,十2的解为由于不小心，滴上了两滴水，刚刷好遮一 y=★， 住了两个数●和★，请你帮他找回这两个数，“●”“★”表示的数分别为多少？ 爱学子 拒绝盗印 0- 21.方法探索换元法(8分)解方 5(x十)-3(x一》=2，若设x十y=A,c一y=B,则原方程组可 2(x十y)+4(x-y)=6, ● x=1, 属 5A-3B=2 变形为 解方程组得 x十y=1, 解方程组得一'我们把某个式子看成 2A+4B=6, (x-y=1, (y=0. 蝴 一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫做换元法，请用这种方法解方程组 尽 ☒誉 x+y+x义=6， 3 咖咖 2(x+y)-3x+3y=24. 22.（期中·2024-2025合肥五十中改编)(8分)某书店计划同时购进A,B两类图书，已知购进3本A 类图书和4本B类图书共需288元；购进6本A类图书和2本B类图书共需306元. (I)A,B两类图书每本的进价各是多少元？金星教 (2)该书店计划恰好用4500元全部购进这两类图书.已知A类图书每本的售价为38元，B类图 书每本的售价为50元.设购进A类图书x本，若书店全部售完可获利心元，求@关于x的关系 式，并说明当60≤x≤100时，应该如何进货才能使书店所获利润最大？最大利润为多少元？ 警咖 阳图 最 品 5 23.数学建模方程（月考·2024-2025济南外国语学校）(10分)下表是某工厂设计玩具的裁剪方案. 课题 设计裁剪方案 图①是一套豌豆样式的玩具，主要由一个豌豆荚和三个豌豆组成.如图②所示，制作一个豌豆 所需布料的尺寸是40cm×40cm.如图③所示，制作一个豌豆荚所需布料的尺寸是40cm× 140cm.三个豌豆和一个豌豆荚可以组成一套完整的玩具. 素材1 40 cm 40 cm 40cm -140cm ① ② ③ 某玩具加工厂在清点库存时发现仓库有一批80cm×1000cm的布料，于是厂家准备将这批 素材2 布料裁剪成豌豆玩具所需的尺寸（不计剪裁时的损耗） 若要不造成布料浪费，请你将下列方案补充完整. 拟定 方案一：裁剪50张豌豆的布料和0张豌豆荚的布料； 任务一 裁剪 方案二：裁剪8张豌豆的布料和 张豌豆荚的布料； 我是 方案 方案三：裁剪 张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料 裁剪师 解决 若该工厂现要制作800套豌豆玩具，按照方案一裁剪了4张布料，剩下 任务二 实际 按照方案二和方案三的方案裁剪，在没有布料浪费的条件下还需从仓 问题 库拿几张布料 爱学子 拒绝盗印 24.新定义试题(10分)把y=ax十b(其中a,b是常数，x,y是未知数)这样的方程称为“雅系二元一次 方程”.当y=x时，“雅系二元一次方程”y=ax十b中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美 值”.例如：当y=x时，“雅系二元一次方程”y=3x一4化为x=3x一4，解得x=2,故其“完美值” 为2. (1)求“雅系二元一次方程”y=一5x十6的“完美值” (2)若3是“雅系二元一次方程”y=3x十m的“完美值”，求m的值. (3)“雅系二元一次方程”y=kx+1(≠0，k是常数)存在“完美值”吗？ 真题圈 金里教育精品鸣书/ -3 25.探究性试题(10分)【活动回顾】 我们曾探究过“以方程x十y=5的解为坐标(x的值为横坐标，y的值为纵坐标)的点的特性”，了 解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系，发现：以方程x十y=5的解为坐标的所有点 组成的图象与一次函数y=一x十5的图象相同，是同一条直线.结论：一般地，以一个二元一次方 程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线. B(2 草4320123.4.5 5.43201.2.3.4.5.6x A-:- -3 ① ② ③ 第25题图 示例：如图①，我们在画方程x一y=0的图象时，可以取点A(一1，一1)和B(2,2),作出直线AB. 【解决问题】 (1)请你在图②所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组 x-y=1, 中的两个以二元一次 2x+3y=12 方程的解为坐标的点组成的图象（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无须写过程） (2)观察(1)中所画图象，两条直线的交点坐标为 ,由此得出这个二元一次方程 组的解是 【拓展延伸】 (3)已知二元一次方程ax十by=7的图象经过两点A(1,2)和B(4,1),试求a十b的值， (4)在同一平面直角坐标系中，一次函数y=x+3的图象1和一次函数y=x一1的图象12，如图 ③所示，请根据图象，直接判断方程组 x一y=-3, 的解的情况 (不需要说明理由). (x-y=1分析：如图③，过点C作CD⊥OA于点D. 因为∠CAB=90°，所以∠CAD+∠BAO=90° 因为CD⊥OA,所以∠AOB=∠ADC=90°， 所以∠ACD+∠CAD=90°，所以∠ACD=∠BAO. 因为CA=AB,所以△ACD≌△BAO(AAS), 所以AD=OB,CD=OA=3, 则点C在直线y=3上， 点O关于直线y=3的对称点为O(0,6), 连接OC,则CA+OC=CA十OC,其最小值为OA=√62+3 =35.即CA+OC的最小值为35. 8.第五章学情调研 题号12345678910 答案AD CB ABC ADD 1.A2.D3.C 4.B【解析】将原方程组的两个方程相加可得4a一2b=9,两边同 除以2，可得2a-6=号.故选B 5.A【解析】由题意得x一2+0=y十2+0，所以x-y=4.故 选A 6.B 7.C【解析】因为小明将方程中①的“一”看成了“十”，得到的解为 ,所以方程组ax+26y=8,。 x=2 x=2, y=1 2=6y+2"的解为 y=1. 把/2， {y=1代入方程 (a.x+2by=8, (2x=by+2, 2a+2b=8,③ 可得4=b计2.④ 由④可得6=2，把6=2代人③得a=2,所以/a=2, b=2. 把a名代入方程组a68, 2x=by+2, 12x-4y=8,⑤ 可得 2x=2y十2，⑥ 把⑥代入⑤，得y=一3，把y=一3代入⑥得x=一2， 所以方程组的解为x=一2， y=-3. 故选C 8,A【解折]把点P(一2，m的坐标代入y=是+号得n=是× (-2)+号-8，即P(-2,3. 因为一次函数)=十号的图象与y=虹十b的图象相交于点 P(-2,3), 3 9. 所以关于x,y的方程组 =x十'的解为=-2， y=kx+b y=3. 故选A 9D【解析】由题意得z+y十红=3，① (2x-y+mz=2,② ①×2+②得4x+y+(2t+m)z=8, 因为4x十y一z为定值， 所以2t+m=一1.故选D. 7 e 真题圈数学八年级上2N 10.D【解析】关于x,y的二元一次方程组+3=4-Q,① （x-y=3a,② ①十②，得2x+2y=4+2a,即x十y=2+a. 当方程组的解x,y的值互为相反数，即x十y=0时，2十a=0, 所以a=一2，故①正确； 当a=1时，x十y=2十a=3,而方程x十y=4十2a的解满足x 十y=6,因此②不正确； 解方程组 x十3y=4-a得{ x=2a+1, (x-y=3a, \y=1-a, 所以x十2y=2a十1+2-2a=3, 因此③正确； 由方程x十3y=4-a得a=4-x-3y,所以x-y=3a=3(4 x一3，即y=一音+号， 因此④正确.故选D. 11.7y=-33 卫2【解析把二32代人入方程az十=8中，可得-2+12 =8,解得a=2.故答案为2. 13.4【解析解x+2-5, 得红=1则有k-2=2, 3x-4y=-5y=2, 所以=4.故答案为4. 14.7【解析】设正方形A的边长为x,正方形B的边长为y, 根据题意，得2x一1一， 2x+x+1=y+y-1 解得x4, y=7. 故答案为7. 15.-24【解析生x+my=12,① (m十n)x-2y=6,② ②X2,得2(m+n)x-4y=12. 我关于y的方化十公有无数解，且 不为0， 所以2(m十n)=4,m=-4,所以n=6, 所以mn=一4×6=一24. 故答案为一24. 16y=告x一号【解析】设直线与x轴交于点B,如图，由题易 知，PB与MN的交点在原图内部，S总=7，过点P作PA⊥x轴 于点A, 所以Sw=Sa+1=名+1=号， 所以号ABXPA-=号，即ABX2=9, 所以AB=号，则B(3,0): 设PB直线的函数表达式y 为y=kx十b, 又因为P(5,2)， 5k+b=2, M 所以壹+b-0, B k9 4 第16题答图 解得 所以y=。 答案与解析 故答案为)=号。一号 1a=2b+3,① 17.【解(1) a=3b+20.② 把①代人②得2b+3=3b+20,解得b=-17, 把b=-17代入①得a=2×(-17)+3,解得a=-31, /a=-31, 所以原方程组的解为6=一17。 13m+b=11,① (2) 1-4m-b=11.② ①十②得-m=22,解得m=-22, 把m=-22代入①得3×(-22)+b=11,解得b=77, 1b=77, 所以原方程组的解为 (m=-22. 18.【解】(1)一 (2)正确的解题过程为 13x+2y=1,① 4x-y=-6.② ②X2,得8x-2y=-12.③ ①十③，得11x=-11,解得x=-1. 将x=一1代入②，得y=2, 所以原方程组的解为工=一1， (y=2. 19.【解】设甲数为x,乙数为y,丙数为之， 则/2x+y=81,0 y-2z=5,② ①一②得2x+2z=76,则x十之=38， 故甲数与丙数的和为38. 20.【解】方程组 x+y的解为=5 2x-y=12 y=★， 所以把x=5代入2.x-y=12,得2×5-y=12, 解得y=一2. 把x=5,y=-2代人2x十y=●，得2X5+(-2)=●， 即●=8， 所以“●”“★”表示的数分别为8和一2. 21.【解设x十y=A,x一y=B,方程组变形得 2+号-6 2A-3B=24, 3A+2B=36,① 整理得 2A-3B=24,② ①×3+②×2得13A=156,解得A=12, 把A=12代人②得B=0, 所以z+12,解得6· x-y=0, y=6. 22.【解】(1)设A类图书每本的进价为a元，B类图书每本的进价 为b元， 由题意得〈 a十0288解得a=36, 6a+2b=306, 1b=45. 答：A类图书每本的进价为36元，B类图书每本的进价为45元 (2)购进A类图书x本， 则购进B类图书4500536z-(100-号)本， 45 由题意得0=2x十5(100-）=-2x十50， 因为-2<0， 所以心的值随x值的增大而减小， 所以当x=60时，取最大值， 此时0=一2×60+500=380（元）， 故当购进A类图书60本，B类图书52本时，书店所获利润最 大，最大利润为380元. 23.【解】任务一：1236 分析：设一张该布料裁剪m张豌豆的布料和n张豌豆荚的布 料，根据布料尺寸为80cm×1000cm,豌豆所需布料的尺寸是 40cm×40cm,豌豆荚所需布料的尺寸是40cm×140cm,因此 可以先将原始布料对半裁剪，即得到2块40cm×1000cm的 布料，然后裁剪所需布料的长度即可.根据裁剪前后布料长度 相等，可得 40m十140m=2000,即2m+7n=100, 所以m=100,7m,其中m,n为非负整数 2 当m=50,n=0时，即方案一：裁剪50张豌豆的布料和0张豌 豆荚的布料； 当m=8,n=12时，即方案二：裁剪8张豌豆的布料和12张豌 豆荚的布料； 当m=36,n=4时，即方案三：裁剪36张豌豆的布料和4张豌 豆荚的布料. 任务二：设用x张布料按方案二裁剪，用y张布料按方案三裁剪。 8x+36y=800×3-4X50, (x=50, 则 解得 12x+4y=800, y=50. 因为50+50=100， 所以还需从仓库拿100张布料. 答：在没有布料浪费的条件下，还需从仓库拿100张布料. 24.【解】(1)由已知可得x=一5x十6，解得x=1, 所以“雅系二元一次方程”y=一5x+6的“完美值”为1. (2)由已知可得x=3x十m,将x=3代入可得m=一6. （3)令x=kx十1，所以(1-k)x=1, 当=1时，方程无解，不存在“完美值”； 当1且0时，x=亡存在完美值"”己念 25.【解】(1)图象如图所示 2+32y12 2 43211.2.34.56 第25题答图 (2)(3,2) /x=3, (y=2 (3)将点A(1,2)和点B(4,1)的坐标代入二元一次方程a.x+by =7,得0+26=7， 4+=7解得b=3,所以a十64 (4)无解 9.第六章学情调研 题号12345678910 答案A ACBDCDBD B