1.1探索勾股定理分层训练 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 分层设计勾股定理应用，涵盖概念理解、原理推导与实际问题解决，突出几何直观与推理能力培养 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|选择1-10/填空11-15/解答16-18|直接应用a²+b²=c²、面积关系验证|从直角三角形边长关系概念，到以正方形/半圆面积强化定理本质| |能力提优|选择19-24/填空25-28/解答29-31|作高转化、动态问题建模、长方体对角线计算|通过折叠/梯子滑动等情境，构建“已知两边求第三边”推理链条| |压轴拓展|32-33|方程思想解决几何最值、折叠对称性质应用|结合函数与几何综合，体现模型意识与应用能力迁移|

八年级数学 · 1.1 探索勾股定理 · 分层训练 探索勾股定理分层训练综合练习 · 夯实基础 · 能力提优 · ★压轴拓展 · 第一部分（必做） 一、选择题（共 10 题） 1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=a，BC=b，AB=c。下列数量关系正确的是（　　） A．a+b=c　　B．a²+b²=c²　　C．a²+c²=b²　　D．(a+b)²=c² 2．如图，在一直角三角形三边外分别作正方形，两个直角边上的正方形面积分别为36和64，则斜边上的正方形面积S为（　　） A．28　　B．50　　C．100　　D．1000 3．如图，一个长28 cm、宽21 cm的长方形木框，需要在一组对角顶点间钉一根木条加固。木条的最短长度为（　　） A．30 cm　　B．35 cm　　C．42 cm　　D．49 cm 4．如图，一棵树在离地5 m处折断，树梢恰好落在离树根12 m处。折断前这棵树高（　　） A．13 m　　B．17 m　　C．18 m　　D．25 m 5．甲、乙两船同时从港口O出发，分别沿东北和西北方向航行，速度依次为8海里/时、6海里/时。1小时后两船相距（　　） A．8海里　　B．10海里　　C．12海里　　D．14海里 6．如图，一架13 m长的梯子斜靠在竖直墙面上，梯脚距墙根5 m，则梯顶离地面的高度为（　　） A．8 m　　B．10 m　　C．12 m　　D．14 m 7．如图，岸高8 m。开始时绳BC长17 m，后来绳CD长10 m，则船从B向岸边移动了（　　） A．6 m　　B．9 m　　C．10 m　　D．15 m 8．如图，无人机从与操作者同高的C点飞到大楼侧面的E点，飞行路程CE=13 m，水平距离5 m，操作者身高CD=1.6 m，则大楼上E点离地高度为（　　） A．12 m　　B．12.6 m　　C．13 m　　D．13.6 m 9．如图，一段楼梯的总高为3 m，斜边长为5 m。若地毯沿每级台阶的水平面和竖直面铺设且无损耗，则至少需要地毯（　　） A．5 m　　B．6 m　　C．7 m　　D．8 m 10．如图，4个全等直角三角形的直角边为a、b（b>a），斜边为c。利用图中面积关系验证勾股定理时，最直接的面积等式是（　　） A．(a+b)²=4×ab/2+c²　　B．c²=(a+b)²　　C．ab=c²　　D．(b−a)²=a²+b² 二、填空题（共 5 题） 11．以一个直角三角形的三边为直径分别作半圆。若两条直角边上的半圆面积分别为9π cm²和16π cm²，则斜边上的半圆面积为________cm²。 12．感应器离地2.5 m，一名身高1.6 m的学生走到距门1.2 m处时感应门刚好打开，则感应器到学生头顶的直线距离为________m。 13．一张长方形纸片长15 cm、宽8 cm，沿一条对角线剪开后得到两个全等三角形，则每个三角形的周长为________cm。 14．在直角三角形中，斜边长为15，一条直角边长为9，则另一条直角边长为________。 15．一个边长为5的正方形，其对角线长为d，则d²=________。 三、解答题（共 3 题） 16．如图，每个小正方形边长为1，△ABC在格点上且∠A=90°。 （1）根据网格分别求AB²、AC²和BC²； （2）若分别以AB、AC、BC为边作正方形，写出三个正方形面积之间的关系，并概括你的发现。 17．如图，用4个全等的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）分别拼成左右两个边长均为a+b的大正方形。 （1）左图中，去掉4个直角三角形后，剩余图形的面积是多少？ （2）右图中，去掉同样的4个直角三角形后，剩余图形的面积是多少？ （3）根据两个大正方形面积相等、4个三角形面积也相等，说明a²+b²=c²。 18．如图，车速检测仪A到道路的垂直距离AC=30 m。一辆汽车从C点沿直路行驶，2 s后到达B点，此时AB=50 m。城市道路限速60 km/h。 （1）求汽车2 s内行驶的路程BC及汽车的速度（km/h）； （2）判断汽车是否超速；若超速，超速多少？ 第二部分（必做） 四、选择题（共 6 题） 19．如图，AB=AC=5，BC=8，AD⊥BC于D，则△ABC的面积为（　　） A．6　　B．10　　C．12　　D．20 20．如图，∠BAD=∠DBC=90°，AD=3，AB=4，BC=12，则CD的长为（　　） A．5　　B．12　　C．13　　D．17 21．在△ABC中，点D在线段AB上，CD⊥AB于D，BC=20，AC=15，BD=16，则AB的长为（　　） A．21　　B．24　　C．25　　D．29 22．如图，旗杆顶端A系有一根绳，绳子自然下垂到地面时还多2 m。把绳下端拉到距旗杆底B点8 m的C点时恰好绷直。旗杆高为（　　） A．12 m　　B．15 m　　C．16 m　　D．17 m 23．消防车平台离地3 m，云梯最长15 m。先救援离地12 m处的B点，再救援离地15 m处的D点，云梯都伸到最长且平台水平移动，则消防车需要向楼房靠近（　　） A．2 m　　B．3 m　　C．4 m　　D．5 m 24．如图，OA=2，AB=BC=CD=1，且∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°，则OD²等于（　　） A．5　　B．6　　C．7　　D．8 五、填空题（共 4 题） 25．一架25 m长的梯子，原来梯脚距墙7 m，梯顶离地24 m。若梯顶沿墙下滑4 m，则梯脚沿地面向外滑动________m。 26．校园内两棵树相距8 m，一棵高13 m，另一棵高7 m，小鸟从一棵树顶飞到另一棵树顶的最短距离为________m。 27．一个长方形电子屏的高为7 dm，对角线为25 dm，则它的宽为________dm。 28．古代算题中有类似“荡秋千”的问题：秋千静止时踏板离地1尺，将踏板水平向前推10尺后，踏板离地5尺，绳索始终拉直，则秋千绳长为________尺。 六、解答题（共 3 题） 29．如图，四边形ABCD是一块绿地，∠ABC=90°，∠ACD=90°，AB=9 m，BC=12 m，CD=8 m。绿化费用为150元/m²。 （1）求四边形ABCD的面积； （2）求绿化这块地的总费用。 30．如图，小巷两侧墙面互相平行且都垂直地面。同一架梯子斜靠左墙时，梯脚P到左墙0.7 m，梯顶离地2.4 m；保持P不动改靠右墙时，梯顶离地2 m。 （1）求梯子的长度； （2）求小巷的宽度。 31．一个无盖长方体盒子的长、宽、高分别为4 cm、3 cm、12 cm。一根20 cm长的细木棒要尽量多地放入盒内。 木棒至少有多少厘米露在盒外？请写出计算过程。 第三部分（选做·附加） 32．如图，铁路AB长25 km，村庄D、C分别在A、B两站同侧，DA⊥AB，CB⊥AB，DA=15 km，CB=10 km。要在AB上建收购站E，使DE=CE。 （1）设AE=x km，用x表示DE²和CE²； （2）根据DE=CE列方程并求x； （3）说明收购站应建在距A站多少千米处。 33．如图，长方形ABCD中，AB=12，BC=8。将纸片折叠，使点A恰好落到点C，折痕EF分别交AB、CD于E、F。 （1）设AE=x，利用折叠性质和勾股定理求AE； （2）求DF，并说明理由。 详细答案与解析 第一部分（必做） 1．答案：B 解析：勾股定理只适用于直角三角形。∠C=90°时，AC、BC是两条直角边，AB是斜边，因此a²+b²=c²。 2．答案：C（100） 解析：以直角三角形三边为边作正方形时，两个直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，所以S=36+64=100。 3．答案：B（35 cm） 解析：长方形的长、宽与对角线组成直角三角形。x²=28²+21²=784+441=1225，所以x=35 cm。 4．答案：C（18 m） 解析：折断处、树根和树梢构成直角三角形。折断部分长为√(5²+12²)=13 m，原树高=5+13=18 m。 5．答案：B（10海里） 解析：东北与西北方向互相垂直。1小时后两船离港分别8、6海里，因此两船距离²=8²+6²=100，距离为10海里。 6．答案：C（12 m） 解析：设梯顶离地h m。墙面与地面垂直，梯子、墙面和地面构成直角三角形，且梯子是斜边。由勾股定理得h²+5²=13²，即h²=169−25=144，因此h=12 m。 7．答案：B（9 m） 解析：开始时船距岸脚√(17²−8²)=15 m；后来为√(10²−8²)=6 m；向岸移动15−6=9 m。 8．答案：D（13.6 m） 解析：CE=13，水平距离为5，所以无人机上升的竖直高度为√(13²−5²)=12 m。C点离地1.6 m，所以E点离地12+1.6=13.6 m。 9．答案：C（7 m） 解析：由直角三角形得楼梯的总水平长度=√(5²−3²)=4 m。地毯沿所有水平面与竖直面铺设，总长度等于总水平长度+总竖直高度=4+3=7 m。 10．答案：A 解析：图中大正方形的边长为a+b，所以面积为(a+b)²。大正方形由4个全等直角三角形和中间一个边长为c的正方形组成，因此(a+b)²=4×ab/2+c²。展开左边得a²+2ab+b²，右边为2ab+c²，两边同时减去2ab，得到a²+b²=c²。 11．答案：25π 解析：半圆面积公式为S=πr²/2=πd²/8，因此以某条边为直径的半圆面积与该边长的平方成正比。直角三角形满足“斜边平方=两直角边平方之和”，所以斜边上的半圆面积等于两个直角边上的半圆面积之和，即9π+16π=25π cm²。 12．答案：1.5 解析：感应器与学生头顶的高度差为2.5−1.6=0.9 m，水平距离1.2 m。距离=√(0.9²+1.2²)=√2.25=1.5 m。 13．答案：40 解析：长方形的一条对角线与长、宽组成直角三角形。对角线长=√(15²+8²)=√289=17 cm。剪开后每个三角形的三边长分别为15 cm、8 cm、17 cm，所以周长=15+8+17=40 cm。 14．答案：12 解析：另一条直角边²=15²−9²=225−81=144，所以边长为12。 15．答案：50 解析：正方形对角线是等腰直角三角形的斜边，因此d²=5²+5²=50。 16．答案：（1）AB²=9，AC²=16，BC²=25；（2）S_AB+S_AC=S_BC，即9+16=25。 解析：（1）由网格可知AB=3，AC=4。因为∠A=90°，所以由勾股定理得BC²=AB²+AC²=3²+4²=25。因此AB²=9，AC²=16，BC²=25。 （2）以一条线段为边的正方形面积等于该线段长度的平方，所以以AB、AC、BC为边的三个正方形面积分别为9、16、25，满足9+16=25。由此可见：直角三角形两条直角边上的正方形面积之和，等于斜边上的正方形面积。 17．答案：（1）c²；（2）a²+b²；（3）见解析 解析：两个大正方形边长都为a+b，因此面积相等；两图中使用的4个直角三角形也完全相同，总面积相等。从两个相等的大正方形中分别减去相同的4个三角形面积，剩余面积必相等。左图剩余中央正方形面积为c²，右图剩余两个正方形面积之和为a²+b²，所以c²=a²+b²。 18．答案：（1）BC=40 m，速度为72 km/h；（2）超速12 km/h。 解析：（1）因为AC⊥CB，所以△ACB是直角三角形。由勾股定理得BC²=AB²−AC²=50²−30²=2500−900=1600，所以BC=40 m。汽车2 s行驶40 m，速度为40÷2=20 m/s，换算为20×3.6=72 km/h。 （2）道路限速60 km/h，而72>60，因此汽车超速，超速72−60=12 km/h。 第二部分（必做） 19．答案：C（12） 解析：等腰三角形的高AD同时平分底边BC，所以BD=4。由勾股定理AD²=5²−4²=9，AD=3。面积=8×3÷2=12。 20．答案：C（13） 解析：先在Rt△ABD中求BD：BD²=3²+4²=25，所以BD=5；再在Rt△DBC中，CD²=5²+12²=169，所以CD=13。 21．答案：C（25） 解析：在Rt△BCD中，CD²=20²−16²=144，所以CD=12；在Rt△ACD中，AD²=15²−12²=81，所以AD=9。因此AB=AD+DB=9+16=25。 22．答案：B（15 m） 解析：设旗杆高h m，则绳长h+2 m。由h²+8²=(h+2)²，化简得64=4h+4，所以h=15。 23．答案：B（3 m） 解析：平台高3 m。救12 m处时竖直高度差为9 m，水平距离=√(15²−9²)=12 m；救15 m处时高度差12 m，水平距离=√(15²−12²)=9 m，所以向楼房靠近12−9=3 m。 24．答案：C（7） 解析：在Rt△OAB中，OB²=OA²+AB²=4+1=5；在Rt△OBC中，OC²=OB²+BC²=5+1=6；在Rt△OCD中，OD²=OC²+CD²=6+1=7。 25．答案：8 解析：梯长始终25 m。新梯顶离地20 m，所以新梯脚距墙=√(25²−20²)=15 m。原来距墙7 m，因此向外滑15−7=8 m。 26．答案：10 解析：两树高度差13−7=6 m，水平距离8 m，最短距离=√(6²+8²)=10 m。 27．答案：24 解析：宽²=25²−7²=625−49=576，所以宽=24 dm。 28．答案：29/2 解析：设秋千绳长为x尺。静止时踏板离地1尺，所以悬点离地x+1尺；踏板被水平推开10尺后离地5尺，此时悬点到踏板的竖直距离为(x+1)−5=x−4尺。绳索、水平位移和竖直距离构成直角三角形，因此10²+(x−4)²=x²。展开得100+x²−8x+16=x²，所以8x=116，x=29/2尺，即14.5尺。 29．答案：（1）114 m²；（2）17100元。 解析：（1）先求公共边AC。因为∠ABC=90°，所以AC²=AB²+BC²=9²+12²=225，故AC=15 m。△ABC的面积为9×12÷2=54 m²。又因为∠ACD=90°，所以△ACD的面积为15×8÷2=60 m²。因此四边形ABCD的面积为54+60=114 m²。 （2）绿化费用为114×150=17100元。 30．答案：（1）2.5 m；（2）2.2 m。 解析：（1）梯子斜靠左墙时，梯脚到墙的距离为0.7 m，梯顶离地2.4 m，两者互相垂直。由勾股定理，梯长=√(0.7²+2.4²)=√(0.49+5.76)=√6.25=2.5 m。 （2）保持梯脚P不动改靠右墙，设P到右墙的距离为x m。梯长不变，所以x²+2²=2.5²，得x²=2.25，x=1.5。小巷宽等于P到左右两墙的距离之和，即0.7+1.5=2.2 m。 31．答案：7 cm。 解析：要使木棒露在盒外的部分最短，应让木棒在盒内的部分尽可能长。先求盒底面对角线：√(4²+3²)=5 cm。再把底面对角线5 cm与盒高12 cm看成一个直角三角形的两条直角边，则盒内两个最远顶点间的距离为√(5²+12²)=√169=13 cm。这就是盒内能容纳的最长直线段。因此20 cm长的木棒至少露出20−13=7 cm。 第三部分（选做·附加） 32．答案：（1）DE²=x²+225，CE²=(25−x)²+100；（2）x=10；（3）距A站10 km。 解析：由DA⊥AB，△DAE是直角三角形，所以DE²=x²+15²=x²+225。由CB⊥AB，BE=25−x，所以CE²=(25−x)²+10²=(25−x)²+100。DE=CE，因此两边平方相等：x²+225=(25−x)²+100。展开得x²+225=625−50x+x²+100，50x=500，x=10。 33．答案：（1）AE=26/3；（2）DF=10/3。 解析：（1）设AE=x。折叠使点A落到点C，因此折痕EF上的点E到A、C的距离相等，即EA=EC。又EB=AB−AE=12−x，且∠EBC=90°。在Rt△EBC中，EC²=EB²+BC²=(12−x)²+8²。由EA=EC得x²=(12−x)²+64。展开：x²=144−24x+x²+64，故24x=208，x=26/3，所以AE=26/3。 （2）长方形关于其中心成中心对称，A与C互为对称点；A、C的垂直平分线（即折痕EF）也经过长方形中心，因此E与F互为中心对称点。于是DF=EB=12−AE=12−26/3=10/3。 分层训练 · 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $