2.3 有理数的乘法与除法（知识解读） 《知识解读·题型专练》2026-2027学年北师大版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数的乘法与除法核心知识点，系统梳理从乘法法则（同号得正、异号得负，与0相乘得0）、倒数（概念及分数、整数、小数、带分数求法）、乘法运算律，到多个有理数相乘符号法则、除法法则（转化为倒数）、乘除混合运算，再到四则运算顺序的递进脉络，构建从基础运算到综合应用的学习支架。 资料以9大题型为主线，通过“知识点解读+例题示范+变式训练+随堂检测”分层设计，培养运算能力（数学思维）。如题型9结合行程、阅读时间等实际问题，引导用数学语言表达现实世界，倒数知识点中数轴题发展几何直观（数学眼光）。课中助力教师系统授课，课后学生可通过变式题和检测查漏补缺，强化知识应用。

2.3 有理数的乘法与除法（知识解读） 【北师大版2024】 题型归纳 【题型 1··两个有理数的乘法运算】 2 【题型 2·多个有理数的乘法运算】 5 【题型 3·倒数】 10 【题型 4·有理数乘法运算律】 11 【题型 5·有理数的除法运算】 14 【题型 6·有理数乘除混合运算】 17 【题型 7·有理数乘除中的简便运算】 20 【题型 8·有理数四则混合运算】 24 【题型 9·有理数四则混合运算的实际应用】 28 知识点1 有理数乘法法则 1. 正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积为负数；负数乘负数，积为正数．积的绝对值等于各乘数的绝对值的积． 2. 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与0相乘，都得0． 3. 有理数乘法法则也可以表示如下： 设a，b为正有理数，c为任意有理数，则 ； ，； ，． 知识点2 倒数的概念与求法 1. 倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数．即若a与b互为倒数，则． 2. 倒数的求法 类型 方法 真、假分数的倒数 将分子分母交换位置 非0整数的倒数 整数作分母，1作分子 小数的倒数 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除以这个数求倒数 对于除不尽的数，转换为分数，再按照真、假分数求倒数的方法来进行 带分数的倒数 先把带分数化为假分数，然后将分子分母调换位置 知识点3 有理数的乘法运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置,积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 乘法分配率 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 知识点4 多个有理数相乘的符号法则 1. 几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是 2. 几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0． 【题型 1··两个有理数的乘法运算】 【例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式1-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式1-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1 (2) (3) (4)3 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据两个有理数乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式1-3】 计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【题型 2·多个有理数的乘法运算】 【例2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先根据负因数个数确定乘积的符号，再约分计算即可； （2）多个有理数相乘，若有一个因数为，乘积为； （3）先确定乘积的符号，将小数化为分数后约分计算即可； （4）先根据负因数个数确定乘积符号，再约分计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式2-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键；小数转化为分数，带分数转化为假分数是易错点，转化的时候要注意； （1）有三个负数相乘，可将负号提至最前，再将分数相乘，约分即可； （2）几个数相乘，中间有零，根据零乘任何数都得零，可直接得出答案； （3）小数转化为分数，带分数转化为假分数，再计算即可； （4）小数转化为分数，带分数转化为假分数，再计算即可． 【详解】（1） ； （2）∵零乘以任何数都得零 ∴； （3） ； （4） ． 【变式2-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4). (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】（）根据有理数的乘法运算法则计算即可； （）根据有理数的乘法运算法则计算即可； （）根据有理数的乘法运算法则计算即可； （）根据乘法分配律计算即可； （）根据乘法分配律计算即可； （）根据有理数的乘法运算法则和运算律计算即可； （）根据有理数的乘法运算法则和运算律计算即可； （）根据有理数的乘法运算法则和运算律计算即可； 本题考查了有理数的运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ； （7）解：原式 ； （8）解：原式 ． 【变式2-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)700 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，正确处理符号是解题的关键． （1）先确定符号，将其化为假分数，再进行计算； （2）先确定符号，利用交换律和结合律计算； （3）先确定符号，再计算； （4）先确定符号，利用交换律和结合律计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型 3·倒数】 【例3】的倒数是（     ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，计算判断即可； 【详解】解：， 的倒数是． 【变式3-1】下列各组数中，互为倒数的两个数是（     ） A．和7 B．0.6和0.6 C．和 D．0和0 【答案】A 【分析】本题考查倒数的定义，解题关键是掌握互为倒数的两个数乘积为，计算各选项两数的乘积即可判断． 【详解】解： ．∵ ，∴选项符合题意； ．∵ ，∴选项不符合题意； ．∵ ，∴选项不符合题意； ．∵ ，且没有倒数，∴选项不符合题意； 【变式3-2】如图，数轴上点表示的数的倒数是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】先通过数轴读取点P对应的数，再依据“乘积为1的两个数互为倒数”的定义，计算该数的倒数，最后匹配选项即可解题． 解题的关键是先从数轴上确定点P表示的数，再根据倒数的定义求出该数的倒数． 【详解】解：由数轴可知，点表示的数是， 根据倒数定义可知，的倒数是． 【变式3-3】的倒数是（   ） A．2017 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相反数和倒数的基本概念，正确理解相反数是解题的关键．先计算的值，再求其倒数即可． 【详解】解：， ∵ 2017 的倒数为 ， 的倒数是 ， 故选：C． 【题型 4·有理数乘法运算律】 【例4】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可利用乘法分配律展开后简化计算； （2）将带分数拆分为整数加分数的形式，再利用乘法分配律简化计算． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 【变式4-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4-2】简便运算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的乘法运算律． 根据乘法分配律进行简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4-3】我们知道，乘法分配律是，反过来，这就是逆用乘法分配律．逆用乘法分配律可使有些运算简便，例如： ． 逆用乘法分配律计算： (1)； (2)． 【答案】(1)15 (2)0 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干的解题过程，逆用乘法分配律进行简便运算，即可作答． （2）模仿题干的解题过程，逆用乘法分配律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点5 有理数的除法 1. 有理数除法法则 （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即． （2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．若 ，则；若,则． （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0． 2. 有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用 （1）对于除法的两个法则，在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则（1）比较简便，在能整除的情况下，选用法则（2）比较简便． （2）如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则（1)进行计算． 【题型 5·有理数的除法运算】 【例5】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式5-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 【变式5-2】计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）异号两数相除，把除法转化为乘倒数，约分得到结果； （2）两个负数相除，除法变乘法，计算得正数； （3）异号相除得负，把小数化为分数，再乘倒数求值； （4）正数除以，等于求这个数的相反数； （5）异号相除为负，除以分数改写为乘倒数，约分计算； （6）两个负数相除得正，小数换分数，乘倒数后约分． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解：． （6）解：． 【变式5-3】计算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了有理数的除法，掌握有理数的除法法则是本题的关键，除以一个数等于乘以这个数的倒数，一定掌握好运算顺序． （1）按照“两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除”的法则直接计算即可； （2）把除法转化成乘法，再进行约分即可； （3）先把小数转化成分数，再把除法转化成乘法，然后约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 知识点6 有理数乘除混合运算 有理数的乘除混合运算通常是先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后求出结果． 【题型 6·有理数乘除混合运算】 【例6】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将带分数化为假分数，把除法转化为乘法，确定符号后约分计算即可； （2）将小数转化为分数，把除法转化为乘法，约分计算即可； （3）将除法转化为乘法，确定符号后计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式6-1】计算：． 【答案】 【分析】本题为同级乘除运算，所以按照从左到右的顺序计算，再将除法转化为乘法，统一为分数乘法运算即可． 【详解】解： ． 【变式6-2】计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除混合运算法则，是解题的关键．有理数乘除混合运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式6-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握分数的乘除法法则、符号规则以及带分数与假分数的相互转换是解题的关键．解题时需先将带分数转换为假分数，并将除法转换为乘法．注意符号规则：负负得正，最后通过约分简化得到结果． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【题型 7·有理数乘除中的简便运算】 【例7】下列各题，怎样简便就怎样算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)1 (3) (4) 【分析】本题考查运用运算律进行简便运算，掌握算理是解决问题的关键． （1）运用乘法分配律的逆应用将原式化为，进行简便计算即可； （2）运用乘法结合律将原式化为，进行简便计算即可； （3）运用运算律将原式化为，进行简便计算即可； （4）可以先求，再取倒数即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ， ， ， ∴． 【变式7-1】计算：． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数乘除的简便运算，熟练掌握有理数乘除的运算法则是解题的关键．根据有理数乘除的运算法则即可求解． 【详解】解： ． 【变式7-2】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查有理数的四则运算，有理数乘法运算律，有理数加法中的简便计算，有理数除法的简便计算，解题的关键是熟练掌握运算法则和简便计算． （1）按照运算法则计算即可； （2）按照有理数的乘法分配律计算即可； （3）按照有理数的乘法结合律计算即可； （4）按照有理数的乘法分配律计算即可； （5）除数和被除数同时乘，再相除即可； （6）把分成个，分别与另外个数相加，再计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 【变式7-3】28．用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先将式子中写成，通过观察发现可以把公因数提出来，再算出括号里的数，最后与相乘得到最终答案． （2）先把式子中转化成，再提出公因数，再运算得出结果． （3）先把式子中转化成，把公因数提出，再运算得出结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 知识点7 有理数的四则运算 有理数的四则运算：先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号），同级运算，按照从左往右的顺序进行计算． 【题型 8·有理数四则混合运算】 【例8】29．计算下面各题． (1) (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据有理数的加减运算法则计算即可得出结果； （2）根据有理数的混合运算法则以及乘法运算律计算即可得出结果； （3）根据有理数的乘法法则计算即可得出结果； （4）根据有理数的混合运算法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式8-1】30．能简算的要简算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)100 (3) (4)9 【分析】按照四则运算顺序进行计算，然后要注意合理利用乘法分配律和结合律进行简便计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式8-2】31．下面各题，能简便计算的用简便方法计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)8.4 (2)10 (3)2.4 (4) 【分析】本题考查了简单的四则混合运算，计算时先理清楚运算顺序，根据运算顺序逐步求解即可． （1）先同时计算除法和乘法，再算减法； （2）先把除法变成乘法，再根据乘法分配律简算； （3）根据减法的性质计算； （4）先根据乘法分配律简算，再根据加法结合律简算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【变式8-3】32．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算． （1）先计算乘除法，再计算减法即可； （2）先计算乘除法，再计算加法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型 9·有理数四则混合运算的实际应用】 【典例9】33．中考当天，出租车司机小王在东西方向的街道上免费接送学生，规定向东为正，向西为负，当天出租车的行程如下(单位∶)∶，，，，，． (1)将最后一名学生送到目的地时，小王距出发地多少千米？方向如何？ (2)在接送学生过程中，小王最远处离出发点多远？ (3)若汽车耗油量为，则当天耗油多少升？ 【答案】(1)距出发地千米，方向为东； (2)小王最远处离出发点千米； (3)当天耗油升． 【分析】本题考查正负数和有理数的混合运算，能够根据题意列出式子是解题的关键． (1) 求出各个数的和，依据结果的正负即可判断； (2)依次计算每次行驶后的位置，比较各位置绝对值大小即可； (3) 求出汽车行驶的总路程，根据题意列出式子再进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意得向东为正，将所有行程相加： （千米）， 距出发地千米，方向为东； （2）每次行驶后的位置为：，，，，，， 因为绝对值最大的为， 所以小王最远处离出发点千米； （3）总路程绝对值之和为：（千米） ， 油耗量：（升）， 所以当天耗油升． 【变式9-1】34．规定一种新运算：，如：． (1)求的值； (2)______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新运算及有理数的混合运算．解决本题的关键是熟练掌握新运算的规则．有理数的混合运算． （1）根据规定的新运算法则直接计算即可； （2）先求出的值，再进一步计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 故答案为：． 【变式9-2】35．求阴影部分的面积．（单位：）    【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，根据图形，可得阴影部分的面积梯形的面积三角形的面积，据此计算即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：阴影部分的面积 ， ． 【变式9-3】36．“书香浸校园，文化润人生”，为了引导广大师生深入阅读，陕西省西安爱知中学初一某班同学自发组织了一个活动，建议每天读书30分钟．下表是小江同学一周的读书情况：（以30分钟为基准，当天超过30分钟记为正，少于30分钟记为负） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 0 (1)小江同学本周内读书时间最多的一天是星期 ；最少的一天是星期 ；最多的一天比最少的一天多读 分钟． (2)小江同学本周实际平均每天读书多长时间？ (3)该班准备将本班同学的阅读情况换算成量化分，规定：每天阅读时间为标准时间，不得分；超过标准时间，每多1分钟得2分；未达到标准时间，每少一分钟扣1分，若小江同学总分超过70分，便可得到班级的奖励，请通过计算说明小江同学能否得到班级奖励． 【答案】(1)日；五；37 (2)小江同学本周实际平均每天读书34分钟 (3)小江同学能得到班级奖励 【分析】本题主要考查了有理数运算的应用； （1）根据表格中的数据得出读书时间最多的一天和最少的一天，计算出最多的一天比最少的一天多读的时间即可； （2）根据题意列式计算即可； （3）根据得分规则进行计算即可． 解题的关键是根据题意列出算式，准确计算． 【详解】（1）解：小江同学本周内读书时间最多的一天是星期日；最少的一天是星期五；最多的一天比最少的一天多读：（分钟）； 故答案为：日；五；37． （2）解：（分钟）， 答：小江同学本周实际平均每天读书34分钟； （3）解：， 答：小江同学能得到班级奖励． 随堂检测 【随堂检测】 1．计算：的结果是（     ） A． B．12 C． D．1 【答案】A 【详解】解：. 2．内蒙古奶茶，是鄂尔多斯牧民待客的常见饮料，煮一锅内蒙古奶茶，其中牛奶占整锅奶茶质量左右，砖茶汤占左右，如果整锅奶茶的总质量为千克，那么牛奶的质量可能是（     ） A．千克 B．千克 C．千克 D．千克 【答案】C 【分析】结合砖茶汤占比条件先排除牛奶质量过大的选项，再计算牛奶占比时的基准质量，匹配最接近的选项． 【详解】解：砖茶汤占整锅奶茶质量左右，总质量为千克，则砖茶汤质量约千克． 牛奶占比左右，小于砖茶占比，故牛奶质量小于千克，排除A、B选项．（千克），剩余选项中千克更接近千克，C符合要求． 3．如图，数轴上的点，分别对应有理数，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴得出之间的关系． 【详解】解：由数轴可得，，且， ∴，． 4．如果四个数的积为负数，其中有两个数异号，则另外两个数（　　） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定也异号 D．一定同号 【答案】D 【分析】根据有理数的乘法法则可得另外两个数的积为正数，由此即可得． 【详解】解：∵四个数的积为负数，其中有两个数异号（这两个数的积为负数）， ∴另外两个数的积一定为正数， ∴另外两个数一定同号． 5．实数对应的位置如图所示，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴得出a和b的范围，进而得出，，根据有理数运算法则逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可得：，， ∴，， ∴，，，， 故A、B、D错误，C正确． 6．计算：_____． 【答案】 【分析】先将除法转化为乘法，再计算乘法即可． 【详解】解： ． 7．某家纺公司生产四种针织产品，每种产品货源充足，各产品重量及价格如表： 产品 重量（千克） 价格（元） 在某次展销活动中，根据客户需求，现在想将部分产品做成套装礼盒销售，每个礼盒总重量不超过千克． （1）若每个礼盒中只装同一种产品，则一个礼盒的总价值最高是________元； （2）若每个礼盒中同一种产品最多装件，则一个礼盒的总价值最高是________元． 【答案】 【分析】（1）分别计算只装同一种产品时，每个礼盒最多可装的包数，计算对应总价值，比较得到最大值； （2）根据每种产品最多装2件的限制，列举所有符合总重量要求的组合，计算总价值后比较得到最大值． 【详解】解：（1）分别计算每种产品的总价值： 产品A：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 产品B：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 产品C：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 产品D：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 比较得，一个礼盒的总价值最高是元； （2）计算单位重量价值（优先选单价高的）： 、（元）， 、（元）， 、（元）， 、（元）， ∵， 即按照单位重量价值从大到小排序为：， 故优先级为． 按照每种最多件：最多件（），最多件（），最多件（），最多件（）， 先装满优先级高的产品，再用剩余重量搭配次优产品： ①件：，价值（元）， 件：，价值（元）， 已用重量：，剩余重量：， 剩余恰好装件，且只装件，符合限制条件， 此时件件件，总重量：（千克），总价值：（元）； ②件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； ③件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； ④件件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； ⑤件件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； 其余符合重量限制的组合总价均低于元，因此最高总价值是元． 8．定义新运算，则______________． 【答案】 【分析】根据题中新定义的运算规则，结合有理数混合运算法则计算即可求出值． 【详解】解： ． 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用乘法交换律调整计算顺序，简化运算即可； （2）利用乘法分配律展开计算，简化运算即可； （3）利用乘法分配律展开计算，注意符号变化； （4）利用乘法交换律调整计算顺序，约分后计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 10．简便运算： (1)． (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 11．生活部对六年级个班的卫生情况打分，分及以上为达标．若将分记分，分记“”分，分记“”分，则六年级个班的卫生成绩如下表所示． 班级 班 班 班 班 班 班 卫生成绩/分 (1)班和班的卫生成绩相差多少分？ (2)六年级的整体卫生情况达标了吗？请说明理由． 【答案】(1)分 (2)达标，理由如下： 班的卫生成绩：（分）， 班的卫生成绩：（分）， 班的卫生成绩：（分）， 班的卫生成绩：（分）， 班的卫生成绩：（分）， 班的卫生成绩：（分）， 六个班的平均分：（分）， ， 故六年级的整体卫生情况达标． 【分析】（1）先求出班、班的实际分数，用高分减去低分算出分差； （2）算出每个班真实分数，求和除以班级数得到平均分，与分比较判断整体是否达标． 【详解】（1）解：班的卫生成绩：（分）， 班的卫生成绩：（分）， 相差：（分）， 故班和班的卫生成绩相差分． （2）略 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 有理数的乘法与除法（知识解读） 【北师大版2024】 题型归纳 【题型 1··两个有理数的乘法运算】 2 【题型 2·多个有理数的乘法运算】 4 【题型 3·倒数】 5 【题型 4·有理数乘法运算律】 6 【题型 5·有理数的除法运算】 7 【题型 6·有理数乘除混合运算】 8 【题型 7·有理数乘除中的简便运算】 9 【题型 8·有理数四则混合运算】 10 【题型 9·有理数四则混合运算的实际应用】 12 知识点1 有理数乘法法则 1. 正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积为负数；负数乘负数，积为正数．积的绝对值等于各乘数的绝对值的积． 2. 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与0相乘，都得0． 3. 有理数乘法法则也可以表示如下： 设a，b为正有理数，c为任意有理数，则 ； ，； ，． 知识点2 倒数的概念与求法 1. 倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数．即若a与b互为倒数，则． 2. 倒数的求法 类型 方法 真、假分数的倒数 将分子分母交换位置 非0整数的倒数 整数作分母，1作分子 小数的倒数 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除以这个数求倒数 对于除不尽的数，转换为分数，再按照真、假分数求倒数的方法来进行 带分数的倒数 先把带分数化为假分数，然后将分子分母调换位置 知识点3 有理数的乘法运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置,积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 乘法分配率 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 知识点4 多个有理数相乘的符号法则 1. 几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是 2. 几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0． 【题型 1··两个有理数的乘法运算】 【例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-3】 计算： (1)； (2)； (3) ； (4)； (5)； (6)． 【题型 2·多个有理数的乘法运算】 【例2】计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【变式2-1】计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【变式2-2】计算： (1) ； (2)； (2) ； (4). (4) ； (6)； (7)； (8)． 【变式2-3】计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【题型 3·倒数】 【例3】的倒数是（     ） A． B． C．3 D． 【变式3-1】下列各组数中，互为倒数的两个数是（     ） A．和7 B．0.6和0.6 C．和 D．0和0 【变式3-2】如图，数轴上点表示的数的倒数是（    ） A．1 B． C． D． 【变式3-3】的倒数是（   ） A．2017 B． C． D． 【题型 4·有理数乘法运算律】 【例4】计算： (1)； (2)． 【变式4-1】计算： (1)； (2)． 【变式4-2】简便运算． (1)； (2)． 【变式4-3】我们知道，乘法分配律是，反过来，这就是逆用乘法分配律．逆用乘法分配律可使有些运算简便，例如： ． 逆用乘法分配律计算： (1)； (2)． 知识点5 有理数的除法 1. 有理数除法法则 （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即． （2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．若 ，则；若,则． （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0． 2. 有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用 （1）对于除法的两个法则，在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则（1）比较简便，在能整除的情况下，选用法则（2）比较简便． （2）如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则（1)进行计算． 【题型 5·有理数的除法运算】 【例5】计算： (1)； (2)． 【变式5-1】计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【变式5-2】计算 (1) ； (2)； (2) ； (4)； (5)； (6)． 【变式5-3】计算． (1) ； (2)； (3)． 知识点6 有理数乘除混合运算 有理数的乘除混合运算通常是先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后求出结果． 【题型 6·有理数乘除混合运算】 【例6】计算： (1) ； (2)； (3)． 【变式6-1】计算：． 【变式6-2】计算：； 【变式6-3】计算： (1) ； (2)． 【题型 7·有理数乘除中的简便运算】 【例7】下列各题，怎样简便就怎样算． (1) (2) (3) (4) 【变式7-1】计算：． 【变式7-2】 (1) (2) (3) (5) (6) 【变式7-3】28．用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． 知识点7 有理数的四则运算 有理数的四则运算：先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号），同级运算，按照从左往右的顺序进行计算． 【题型 8·有理数四则混合运算】 【例8】29．计算下面各题． (1) (2)； (3)； (4)． 【变式8-1】30．能简算的要简算． (1) (2) (3) (4) 【变式8-2】31．下面各题，能简便计算的用简便方法计算． (1) (2) (3) (4) 【变式8-3】32．计算： (1)； (2)． 【题型 9·有理数四则混合运算的实际应用】 【典例9】33．中考当天，出租车司机小王在东西方向的街道上免费接送学生，规定向东为正，向西为负，当天出租车的行程如下(单位∶)∶，，，，，． (1)将最后一名学生送到目的地时，小王距出发地多少千米？方向如何？ (2)在接送学生过程中，小王最远处离出发点多远？ (3)若汽车耗油量为，则当天耗油多少升？ 【变式9-1】34．规定一种新运算：，如：． (1)求的值； (2)______． 【变式9-2】35．求阴影部分的面积．（单位：）    【变式9-3】36．“书香浸校园，文化润人生”，为了引导广大师生深入阅读，陕西省西安爱知中学初一某班同学自发组织了一个活动，建议每天读书30分钟．下表是小江同学一周的读书情况：（以30分钟为基准，当天超过30分钟记为正，少于30分钟记为负） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 0 (1)小江同学本周内读书时间最多的一天是星期 ；最少的一天是星期 ；最多的一天比最少的一天多读 分钟． (2)小江同学本周实际平均每天读书多长时间？ (3)该班准备将本班同学的阅读情况换算成量化分，规定：每天阅读时间为标准时间，不得分；超过标准时间，每多1分钟得2分；未达到标准时间，每少一分钟扣1分，若小江同学总分超过70分，便可得到班级的奖励，请通过计算说明小江同学能否得到班级奖励． 随堂检测 【随堂检测】 1．计算：的结果是（     ） A． B．12 C． D．1 2．内蒙古奶茶，是鄂尔多斯牧民待客的常见饮料，煮一锅内蒙古奶茶，其中牛奶占整锅奶茶质量左右，砖茶汤占左右，如果整锅奶茶的总质量为千克，那么牛奶的质量可能是（     ） A．千克 B．千克 C．千克 D．千克 3．如图，数轴上的点，分别对应有理数，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 4．如果四个数的积为负数，其中有两个数异号，则另外两个数（　　） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定也异号 D．一定同号 5．实数对应的位置如图所示，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 6．计算：_____． 7．某家纺公司生产四种针织产品，每种产品货源充足，各产品重量及价格如表： 产品 重量（千克） 价格（元） 在某次展销活动中，根据客户需求，现在想将部分产品做成套装礼盒销售，每个礼盒总重量不超过千克． （1）若每个礼盒中只装同一种产品，则一个礼盒的总价值最高是________元； （2）若每个礼盒中同一种产品最多装件，则一个礼盒的总价值最高是________元． 8．定义新运算，则______________． 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．简便运算： (1)． (2)； (3)． 11．生活部对六年级个班的卫生情况打分，分及以上为达标．若将分记分，分记“”分，分记“”分，则六年级个班的卫生成绩如下表所示． 班级 班 班 班 班 班 班 卫生成绩/分 (1)班和班的卫生成绩相差多少分？ (2)六年级的整体卫生情况达标了吗？请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $