2.4《一元二次方程的应用》同步练习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦一元二次方程的应用，分层设计从基础情境到综合问题，覆盖增长率、几何、利润等场景，培养模型意识与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一情境直接应用|如增长率（第1题）、降价问题（第2题），考查方程建立基本技能| |能力提升|复杂情境多步骤应用|如几何动点（第10题）、分类讨论（第9题），需结合几何直观列方程| |综合拓展|跨知识综合应用|如利润与函数结合（第24题）、运动与几何综合（第21题），培养推理能力与模型构建|

2.4《一元二次方程的应用》同步练习 一、选择题 1．某乡村振兴示范村今年1月份通过直播销售特色农产品，销售额为50万元。响应全国两会“数字赋能乡村振兴”的号召后，该村通过优化直播策略、拓展销售渠道，使销售额逐月增长，且每个月的平均增长率为。已知3月份的销售额达到72万元，根据题意可列方程为（ ） A．50(1 +)= 72 B． C．50(1 + 2)= 72 D． 2．为响应国家惠农政策，某品牌插秧机经过两次降价后，零售价由2000元/台降至1280元/台，假设该品牌插秧机两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（   ） A． B． C． D． 3．根据小明与的对话，在深度思考后，给出的答案是（  ） 有没有这样的数，先算这个数的平方，再减去这个数的3倍，最后加上4，运算结果是这个数的2倍？ A．1 B．4 C． D．1或4 4．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 5．如图是一个简单的数值运算程序．当输出结果为时，输入的值为（   ） A．3或 B．6或 C．1或3 D．48 6．九年级四班“自然之美”研究小组在野外考查时发现了一种植物的生长规律，这个植有1个主干，主干上长出x个枝干，每个枝干又长出个小分支，且这个植物的主干、枝干、小分支数量之和为56，则x的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．某商场销售一款上衣，每件上衣的进价为元，当售价为每件元时，平均每天可售出件．经调查发现，如果每件上衣降价元，平均每天可多售出件．如果商场平均每天想要盈利元，那么每件上衣的售价应为多少元？小安假设“每件上衣的售价为元”，小溪假设“每件上衣应降价元”，下列说法正确的是（   ）． A．按小安的设元方法，则该商场平均每天可售出件上衣 B．按小溪的设元方法，则该商场平均每天可售出件 C．按小安的设元方法，应列方程为 D．按小溪的设元方法，应列方程为 8．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144个人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论错误的是（　　） A．1轮后有个人患了流感 B．第2轮又增加个人患流感 C．依题意可得方程 D．不考虑其他因素经过三轮传染，一共会有1584人患流感 9．如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线将它分成面积相等的两部分，则x的值是（    ） A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6 10．如图，在正方形中，，动点以的速度从点出发，沿向点移动，同时动点以的速度从点出发，沿向点移动．设，两点移动的时间为．在，两点移动的过程中，当的长度为时，的值为（   ） A．2 B．4 C．2或4 D．3或4 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过离地面的高度（单位：）为．根据物理学规律，物体经过______落回地面．（结果保留小数后两位） 12．用一根长的铁丝围成一个斜边长是的直角三角形，则这个直角三角形的面积为________． 13．某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得第三年的产量达到800件．若设这个百分数为x，则可列方程_______________． 14．某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元．调查发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，________．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？根据下面的解题过程，上面横线处空缺的条件应是________________． 解：设每台冰箱降价x元，根据题意，得： ． 15．如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 16．如图，在矩形中，．点从点出发沿以的速度向点运动，同时点从点出发沿以的速度向点运动，点到达终点后，两点同时停止运动．第________秒时，的长为． 三、解答题． 17．把一个足球垂直地面向上踢，（秒）后该足球的高度（米）适用公式． (1)经过多少秒时球的高度为米？ (2)试问球在上升过程中，球的高度能否达到米，若能请求出对应的时间，若不能请说明理由． 18．月历中的奥秘（九年级版）：如图是年月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： (1)用矩形任意圈出的三行三列个数中，若最小的数设为，那么最中间的数可用表示为________，最大的数可用表示为________； (2)若矩形圈出的个数中，最大数与最小数的积为，这个数的和是多少？（请列方程解决） 19．北京时间2025年8月25日凌晨，WTT欧洲大满贯瑞典站女单决赛，孙颖莎战胜王曼昱，夺得WTT欧洲大满贯瑞典站女单冠军．趁此机会，某班举行乒乓球赛，球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），如图是小米和小诚对比赛总场数的统计． (1)小诚的说法有道理吗？请通过计算说明； (2)赛后经查询，小米的统计正确．因为有一人身体不适，参加4场比赛后中途退赛，求原来有多少人参加比赛． 20．在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长的墙建造面积为的矩形区域来养鹌鹑，该单位准备修建长为的篱笆，并提供以下两种方案： (1)如图1，若选取墙的一部分作矩形的边，其他三边用篱笆围成，则在墙上借用的的长度为多少? (2)如图2，若全部借用的长度，并在的延长线上拓展，构成矩形，篱笆由、、和构成，求的长． 21．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止移动． (1)如果分别从同时出发，那么第几秒时，的面积等于？ (2)如果分别从同时出发，那么第几秒时，的长度等于？ 22．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 23．健身运动已成为一种时尚，各种健身俱乐部应运而生，某健身俱乐部2026年有会员200人，其中男、女会员人数之比为． (1)求该健身俱乐部2026年男、女会员各有多少名？ (2)预计今后两年该俱乐部男、女会员的人数每年分别按k人和（）人递增，这样到2028年该俱乐部男、女人数之比将变为． ①求k的值； ②2026年该俱乐部每个男、女会员的年会费分别为1000元和900元，若每个男会员的年会费每年增加300元，每个女会员的年会费每年以相同的百分数递增，这样2028年该俱乐部全体女会员年会费总量将达到2026年全体男会员年会费总量的．问2028年该俱乐部每个女会员的年会费是否与男会员的年会费相等？ 24．问题情境： 八年级（1）班的同学，对石家庄梨膏糖食品厂出产的“梨膏糖”每日生产和销售的情况进行了信息整理，结果如下： 信息1：这款“梨膏糖”日产量x（千克）的范围是． 信息2：这款“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量x（千克）之间关系如下表所示． 信息3：这款“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量x（千克）之间的关系式为：． 日产量x（千克） 30 60 90 120 每千克的生产成本（元） 55 50 45 40 问题解决： (1)根据表格信息，这款“梨膏糖”每千克生产成本是x的一次函数，求此函数关系式； (2)求这款“梨膏糖”每千克的售价的最大值是多少元； (3)若该厂每日生产的“梨膏糖”当天会全部售完． ①该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的日产量应该定为多少比较合理？为什么？ ②该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1500元，能否实现？请通过计算说明理由． 参考答案 一、选择题 1．D 解：设这两个月销售额的月平均增长率为x ，由题意得，. 故答案为：D. 2．B 解：设每次降价的百分率为， 由题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 即每次降价的百分率为． 3．D 解：设这个数为， 则，移项可得， 因式分解可得，解得，． 故有这样的数，为1或4． 4．A 设相遇时间为x，则乙向东行步，甲向南行步后斜向东北行步与乙相遇． ∵ 甲向南行步（直角边），乙向东行步（直角边），甲斜向行步（斜边）， ∴ 由勾股定理，得． 故选：A． 5．B 解：当输出结果为时， 解得：或， 故选：B． 6．B 解：植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干又长出个小分支， 个枝干上共长出个小分支． ∵这个植物的主干、枝干、小分支数量之和为56， ∴， 解得：或（舍去）． 故选：B． 7．D 选项A，按小安的设元方法，每件售价元，降价元，则该商场平均每天可售出件上衣，故选项A错误，不符合题意； 选项B，按小溪的设元方法，每件上衣应降价元，则该商场平均每天可售出件，故选项B错误，不符合题意； 选项C，按小安的设元方法，应列方程为，即，故选项C错误，不符合题意； 选项D，按小溪的设元方法，应列方程为，即，故选项D正确，符合题意． 8．D 解：∵有一人患了流感，且每轮传染中平均每人传染了x个人， ∴1轮后有个人患了流感，结论A不符合题意； ∴第1轮传染中有x人被传染，第2轮传染中有人被传染，结论B不符合题意； 根据题意得：，即，结论C不符合题意； 解得：（不符合题意）， ∴不考虑其他因素经过三轮一共会有人感染，结论D符合题意． 故选：D． 9．D 解：如图，将图形补全为大矩形， ∴， ∵直线将原图形分成面积相等的两部分， ∴， ∴， 解得或6． 10．C 解：在正方形中，， ． 由题意，得，， ，． 如图，过点作于点， 则由勾股定理可得，， ， ． 在中， ， ， 即， 解得，． 故在，两点移动的过程中，当的长度为时， 的值为2或4． 故选：C ． 二、填空题。 11． 解：根据物体落回地面，可得， 解得：（舍去），， 因此物体经过落回地面， 故答案为：． 12．24 解：设一条直角边长为， ∵铁丝总长为，斜边长为， ∴另一条直角边长为， 根据勾股定理得， 解得，， ∴两直角边长分别为和， ∴直角三角形的面积为． 13． 解：∵今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数， ∴明年产量为件， ∴第三年年产量为件， ∵第三年的产量达到800件， ∴． 14．平均每天就能多售出4台 解：设每台冰箱定价元， 由题意得： ， 故答案为：平均每天就能多售出4台． 15． 解：设矩形纸板各角应切去正方形的边长为． 根据题意，得 ． 整理，得 ． 解得 ． 当 时，，不合题意，舍去． 所以 ，即矩形纸板各角应切去正方形的边长为1． 16．或 解：设第秒时，的长为． 由题意，得． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得． 故答案为：或． 三、解答题． 17． （1）当时，， 整理得：， 解得：，； ∴经秒或秒时球的高度为米； (2)不能，理由如下： ∵据题意得，整理得， ∴， ∴一元二次方程无解， ∴球的高度不能达到米． 18．（1）解：∵每行的后一个数比前一个数大，每列的下一个数比上一个数大， ∴中间的数可用表示为， 最大的数可用表示为； （2）解：设最小数为，最大数为，根据题意可列方程：， ， 解得或（舍去）， 最小数为，最大数为， 个数为， 其和为． 19．(1) 解：小诚的说法有道理．理由如下： 设有人报名参赛，由题意，得， 整理得． 解得． 与都不是整数， 方程的解不符合实际，故小诚的说法有道理． (2)原来有9人参加比赛 （2）解：设原来有人参加比赛， 由题意，得， 整理得． 解得（不符合题意，舍去）． 原来有9人参加比赛． 20．（1）解：设的长为，则， 由矩形，得， 整理，得， 解得， ， 舍去； ， ． （2）解：设长为，则， 由矩形，得， 由题意，得， 整理，得， 解得， 由长度不能为负数， 故舍去， 故， 故的长为． 21．（1）解：设第秒时，的面积为，此时， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）， 第1秒时的面积等于； （2）解：设第秒时，的长度等于， ∵， ∴， 解得：， 第0秒或2秒时，的长度等于． 22．（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 23.（1）解：设该健身俱乐部2026年有女会员x人，则有男会员4x人． 依据题意，得， 解得，， ， 答：该健身俱乐部2026年有男会员160人，女会员40人． （2）解：①依据题意得：， 解得：， 经检验是所列方程的根， 故； ②设每个女会员的年会费每年增长的百分数为y， ， 整理得 ， 解得 ，（不合题意，舍去）， 2028年女会员每人年会费：（元）， 2028年男会员每人年会费：（元）． ∴2028年该俱乐部每个女会员的年会费与男会员的年会费相等． 24．（1）解：设与的函数关系式为， 从表格中选取两组数据，即；， 代入得，解得， 则有， 经检验，其余点均满足该解析式，结合的取值范围，得函数关系式为； （2）解：已知 ， 随的增大而减小， 当时，取得最大值，最大值为， 即这款“梨膏糖”每千克的售价的最大值是80元； （3）解：由题意，每日生产的梨膏糖全部售完，设总利润为W， 则， ①当时，得方程， 整理得，解得，均满足， 在获得相同利润时，日产量为60千克比120千克投入的人力和原材料更少，成本更低， 因此选择60千克更合理， 答：当日该产品的日产量应该定为60千克． ②当时，得方程， 整理得，配方得， 任何实数的平方都大于等于0，因此方程没有实数解，即不存在满足条件的日产量，因此不能实现目标利润， 答：不能实现利润为1500元的计划． 学科网（北京）股份有限公司 $