安徽桐城市第八中学2026-2027学年高三上学期开学检测数学试卷

桐城市第八中学高三开学检测数学试卷 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1．已知复数满足，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 2．设集合，集合，则等于（ ） A． B． C． D． 3．若点在双曲线的一条渐近线上，点在圆上，且的最小值等于1，则等于（ ） A．1 B． C．2 D．3 4．已知向量，满足，，且，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 5．已知，且，则等于（ ） A． B． C． D． 6．设函数的图象与轴相交于点，则该曲线在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 7．跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步的教师分别占该年级教师人数的40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（ ） A．0.35 B．0.32 C．0.45 D．0.36 8．已知函数及其导函数的定义域均为，记，函数的图象关于点对称．若对任意，有，则下列说法正确的是（ ） A．不为周期函数 B．的图象不关于点对称 C． D． 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9．下列说法正确的是（ ） A．一组数5，7，9，11，3，13，15的第60百分位数是11 B．若随机变量，满足，，则 C．一组数据的经验回归方程为，若，则 D．某学校要从12名候选人（其中7名男生，5名女生）中，随机选取5名候选人组成学生会，记选取的男生人数为，则服从超几何分布 10．在棱长为2的正四面体中，过点且与平行的平面分别与棱，交于点，，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A． B．当，分别为线段，中点时，与所成角的余弦值为 C．线段的最小值为 D．空间四边形的周长的最小值为 11．历史上著名的“伯努利错排问题”指的是：一个人有封不同的信，投入个对应的不同的信箱，他把每封信都投错了信箱，投错的方法数为．例如：2封信都投错有种方法，3封信都投错有种方法，通过推理可得．假设每个信箱只投入一封信，则下列结论正确的是（ ） A．某人投6封信，则恰有3封信投对的概率为 B．某人投6封信，则6封信都投错的概率为 C．某人依次投6封信，则前2封信全部投对的情况下恰有4封信投对的概率为 D．某人投6封信，则至少有3封信投对的概率为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知向量，，，若，则在上的投影向量的坐标为________． 13．展开式中的常数项是________． 14．已知不等式恒成立，则实数的最大值为________． 四、解答题（共77分） 15．已知等差数列满足，，公比不为的等比数列满足，． （1）求与的通项公式；（6分） （2）设，求的前项和．（8分） 16．已知函数 （1）讨论在区间上的单调性；（7分） （2）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，求周长的最大值．（8分） 17．在三棱台中，为中点，，，． （1）求证：平面；（6分） （2）若，，平面与平面所成二面角大小为，求三棱锥的体积．（9分） 18．为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复． （1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；（4分） （2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为． ①求；（6分） ②证明：当时，．（7分） 19．已知是一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，且． （1）求动点的轨迹方程；（7分） （2）设，，过点的直线与曲线交于，两点（点在轴上方），为直线，的交点，当点的纵坐标为时，求直线的方程．（10分） 学科网（北京）股份有限公司 $