奥数培优第13讲 火柴棍游戏——图形变换（讲义）-2026-2027学年三年级上册数学人教版

小学三年级上册 · 奥数培优讲义 第13讲　火柴棍游戏——图形变换 【课程信息】 课程信息项 目 内 容 讲 次 第13讲 专 题 火柴棍游戏（一）——摆图形与图形变换 适用年级 小学三年级（上册） 建议课时 1课时（约60分钟） 难度星级 ★★★★☆ 前置知识 正方形、三角形、长方形的特征；用数方格的方法比较图形大小 核心方法 添火柴法、移火柴法、去火柴法、共用边原理、对称分析法、面积平均分法 【学习目标】 维度 学习目标 知识与技能 掌握“添、移、去”三种操作；理解共用边省火柴的道理；会解决改变方向、增减图形个数、破坏图形等典型问题 过程与方法 经历“观察→分析→操作→验证”的完整解题过程，发展空间想象能力和动手能力 思维品质 学会从边数、共用边、对称性等多角度思考，培养逆向思维和发散思维 情感态度 感受火柴棍游戏的趣味，养成先分析、后动手、动手后验证的好习惯 【前言】 一根根普普通通的小火柴，在数学家的眼里就是“会变身的魔术棒”。它不仅能拼出正方形、三角形，还能通过“添一添、移一移、去一去”，改变形状、改变方向、改变个数。今天，我们就来玩一玩“火柴棍图形变换”这个游戏。 火柴棍游戏一般分两类：一类是“摆图形”，用规定根数的火柴摆出某种图形；另一类是“变换图形”，在已有图形上添、移、去火柴，变成新的图形。本讲我们重点学习第二类——变换图形。 变换图形有三件法宝：添（加火柴）、移（挪动火柴）、去（拿走火柴）。本讲我们沿着三条主线展开：先学“添火柴摆图形”，再学“移火柴变方向、变形状”，最后学“去火柴破坏图形、分图形”。 一、知识导航 在做火柴棍图形变换时，最常用的三件法宝和操作要领如下表所示。 法宝 含 义 什么时候用 关键技巧 添 往原图中加火柴 需要增加图形个数时 新添的图形尽量与旧图形共用一条边 移 把原图中的火柴挪到新位置 需要改变方向或形状时 火柴总数不变，先找“不动”的部分 去 从原图中拿走火柴 需要破坏某些图形时 优先去掉“共用边”上的一根多用的火柴 核心原理 原理一　共用边原理：两个图形共用一条边，就少用一根火柴。图形摆得越紧凑、共用边越多，就越省火柴。这是“添火柴”和“移火柴”类问题最关键的道理。 原理二　面积比较原理：比较两个图形的大小时，可以用“数小方格”的方法。移动火柴不改变火柴的总数，但可以改变图形的形状；要判断“分成两个完全相同的图形”，先数一数、算一算每部分该有几个小方格。 原理三　对称性原理：要改变图形的方向，通常只要动“不对称”（偏在一侧）的部分，对称的部分可以不动。 解题五步法 ① 观察原图 → ② 明确目标 → ③ 分析差异（找共用边、找对称、找“多余”的图形）→ ④ 动手操作（添 / 移 / 去）→ ⑤ 验证结果（数根数、数个数、查方向） 二、典例精讲 例题1　添火柴·认识共用边 【题目】用4根火柴摆1个正方形。再添3根，把它变成2个正方形；再添3根，把它变成3个正方形，如下图。想一想：和“每个正方形都独立摆放”相比，摆2个、摆3个正方形时，各少用了几根火柴？ 图1　用4根、7根、10根火柴分别摆出1个、2个、3个正方形 【分析】独立摆1个正方形用4根；独立摆2个要用4＋4＝8根；独立摆3个要用4＋4＋4＝12根。现在摆2个只用了7根、摆3个只用了10根，为什么能“少用”呢？秘密就在“共用边”上。 【详解】摆2个正方形：两个正方形紧紧靠在一起，中间那1条边被两个正方形同时使用，只需要摆1次。共用1条边就少用1根，所以4＋4－1＝7（根）。 摆3个正方形：3个正方形依次靠在一起，中间有2条共用边，每条少用1根，所以4＋4＋4－2＝10（根）。 比一比：摆2个比独立摆放少1根（8－7＝1），摆3个比独立摆放少2根（12－10＝2）。 图2　独立摆放与共用边摆法的用火柴数量对比 【方法点睛】要让“图形多、用火柴少”，秘诀是“共用边”——一根火柴同时当两条边用。多共用一条边，就少用一根火柴。 例题2　添火柴·巧用共用边 【题目】用12根火柴摆成一个“田”字，如图3左。这时图中共有几个正方形？再添3根火柴，把它变成一个含6个正方形的图形，请说出你的添法。 图3　田字（12根，5个正方形）添3根变成含6个正方形的图形 【分析】“田”字里有4个小正方形和1个大正方形，一共5个。添3根后一共是15根，只要在田字的某个角上再添1个小正方形（它和原来的小正方形共用1条边，所以只需要添3根），新的小正方形会增加1个，还可能出现新的“大正方形”。 【详解】在田字的右上角再添1个小正方形，只需要添3根（因为和下面的小正方形共用1条边）。添好后数一数：小正方形有5个（田字的4个＋新添的1个），大正方形有1个（左边4个小正方形合成的2×2大正方形），一共6个。15根一根不多、一根不少。 【方法点睛】 “添火柴”要找好位置——让新添的小正方形尽量与旧图形共用边，这样最省火柴；添完后要“大、小图形一起数”，可别忘了大正方形。 例题3　移火柴·改变方向 【题目】用8根火柴摆成一面“朝右”的小旗，如图4左。移动2根火柴，使它变成一面“朝左”的小旗。 图4　移动旗面的2根火柴，小旗由朝右变成朝左 【分析】小旗由三部分组成：旗杆（3根竖的火柴）、底座（3根横的火柴）和旗面（2根组成的小三角）。旗杆和底座居中，左右基本对称；只有旗面“偏”在右边。要改变方向，只需要动“偏”的部分——把旗面的2根火柴移到左边。 【详解】第1步，观察对称：旗杆、底座左右对称，可以不动。第2步，找出“偏”的部分：旗面朝右，只动旗面。第3步，把旗面右侧的2根火柴移到旗杆左侧，摆成朝左的旗面。移动后（如图4右），小旗由朝右变成朝左，8根火柴一根不少。 【方法点睛】 “改变方向”类问题，先找对称（可以不动）的部分，再只动“偏”在一侧的部分，答案就清楚了。 例题4　移火柴·改变形状 【题目】用10根火柴摆成3个正方形（一字排开），如图5左。移动3根火柴，把它变成“品”字形（上面1个、下面2个）的3个正方形。 图5　一字形（10根）移动3根变成品字形 【分析】一字形和品字形都是用10根火柴摆3个正方形，火柴数没变、个数没变，变的只是“共用边在哪里”。一字形：3个正方形排成一排，共用边在一条直线上；品字形：1个正方形在上、2个在下，上面的正方形分别和下面两个共用一条边。 【详解】第1步，比较共用边：一字形中，3个正方形依次排列，中间共用了2条边；品字形中，上面1个正方形要同时和下面2个共用边。第2步，把一字形右侧的2根和中间部分的1根火柴重新组合，摆到下方，形成品字形（如图5右）。第3步，验证：移动前后都是10根火柴、3个正方形，一个不多一个不少。 【方法点睛】 移火柴时，火柴总数不变、图形个数不变，变的只是“共用边的位置”。先比一比“原来怎样共用边、目标怎样共用边”，再动手移。 例题5　去火柴·破坏所有正方形 【题目】用12根火柴摆成一个“田”字（5个正方形），如图6左。最少去掉几根火柴，使图中一个正方形也没有？ 图6　去掉3根火柴，田字中不再有正方形 【分析】田字里有4个小正方形和1个大正方形。要去得少，就要找“最忙”的火柴——一根火柴同时是几个正方形的边。田字中间一横的2根火柴，每一根都同时是2个小正方形的边，去掉它们就能一次破坏2个小正方形，做到“一箭双雕”。 【详解】第1步，去掉中间一横的2根火柴，4个小正方形各少了一条边，全部被破坏。第2步，大正方形还在（四边都完好），再去掉大正方形的一条边——外框左边的1根竖线。第3步，验证：现在没有小正方形，也没有大正方形，图中一个正方形也没有。一共去掉3根。 想一想：能不能只去掉2根？只去掉2根的话，最多只能破坏中间的小正方形，外框的大正方形一定还完好，所以2根不够，至少要去3根。 【方法点睛】 “最少去掉几根”类问题，优先去掉“共用边”上的火柴，让一根火柴破坏两个图形；去完再想一想“能不能更少”，用反证法验证“最少”。 例题6　去火柴·分成两个完全相同的图形 【题目】用20根火柴摆成一个“阶梯形”，共7个小正方形，如图7左。去掉几根火柴，使剩下的图形由两个完全相同的图形组成（每部分都是L形）？ 图7　去掉4根火柴，阶梯形分成两个完全相同的L形 【分析】要分成两个“完全相同”的图形，先想一想：剩下几个正方形才能平均分成2份？7－1＝6，6÷2＝3，每部分正好是3个正方形。3个正方形能组成的图形有两种：一字形和L形。 【详解】第1步，算一算：7个小正方形，去掉1个后剩6个，6÷2＝3，每部分3个。第2步，去掉中间下方这1个小正方形的4根火柴（图中蓝色标出）。第3步，验证：剩下的6个小正方形正好分成两个L形——左边一个L形（3个）、右边一个L形（3个），形状一样、大小一样。一共去掉4根，还剩20－4＝16根。 【方法点睛】“分成两个完全相同图形”类问题，先用除法算出每部分该有几个小正方形，再想“这个个数能组成什么形状”，最后动手去火柴并验证。 三、方法总结 题 型 核心方法 关键技巧 验证要点 添火柴·增加图形 共用边原理 新图形尽量与旧图形共用边，一根火柴当两条边 数总根数、数图形个数（大小都要数） 移火柴·改变方向 对称分析法 只动“偏”在一侧的部分，对称部分不动 检查方向是否正确、火柴数是否不变 移火柴·改变形状 共用边重组 火柴数与个数都不变，只改变共用边位置 数移动根数、检查图形是否完整 去火柴·破坏图形 共用边优先法 优先去掉同时属于多个图形的共用边 数去掉根数、确认目标图形全部消失 去火柴·分成相同图形 平均分计算 先算每部分几个图形，再去掉多余部分 两部分个数相等、形状完全相同 四、解题口诀 火柴游戏真好玩，添移去掉记心间。 图形多了想共边，一根火柴顶两边。 方向变了找对称，只动偏的一边沿。 动手之后要验证，个数根数数一遍。 五、习题分层训练 三层练习由易到难：A组巩固基础，B组提升能力，C组挑战思维。建议A组必做，B、C组按自己的能力选做。做火柴棍题时，可以准备一些小棒边想边摆。 A组 · 基础过关（巩固“添”与共用边） A1　用7根火柴摆出2个同样大的正方形，画一画你的摆法。 A2　用10根火柴摆出3个同样大的正方形，至少想出2种不同的摆法。 A3　用5根火柴摆出2个同样大的三角形，尽量让两个三角形共用一条边。 B组 · 能力提升 B1　用13根火柴摆出4个同样大的正方形（要求：摆成的图形中没有更大的正方形）。 B2　用24根火柴摆成一个3×3的“九宫格”（如图8）。数一数：图中一共有多少个正方形？ 图8　3×3九宫格（24根） B3　用10根火柴摆成3个正方形（一字形，如图9）。移动3根火柴，把它变成“品”字形。想一想：为什么火柴根数、正方形个数都没变，图形的形状却变了？ 图9　一字形的3个正方形（10根） C组 · 挑战冲刺 C1　用17根火柴摆成2×3的长方形（如图10），图中一共有8个正方形。去掉4根火柴，使图中一个正方形也没有。答案中的拿法不止一种，请你找出一种与参考答案不同的拿法。 C2　用17根火柴摆成2×3的长方形（如图10）。把这个长方形分成两个完全相同的图形，试着写出2种不同的分法。（提示：先用除法算一算每部分有几个小正方形。） 图10　2×3的长方形（17根，8个正方形） C3　用6根火柴摆成一个大等边三角形，每边用了2根火柴（如图11）。数一数：大三角形里一共有几个同样大的小三角形？其中1个小三角形的面积是大三角形面积的几分之几？ 图11　每边用2根火柴摆成的大三角形（6根） 六、参考答案与详细解析 A1　让2个正方形共用1条边（如图12）。 算式：4＋4－1＝7（根）。 验证：数一数正好7根。 图12　A1答案：2个正方形共用1条边 A2　摆法①一字形：3个正方形排成一排，10根（4＋4＋4－2＝10）； 摆法②L形：3个正方形拐弯排列，也共用2条边，仍是10根（如图13）。 两种摆法都是3个同样大的正方形。 图13　A2答案：一字形与L形两种摆法 A3　让2个三角形共用1条底边（如图14）。算式：3＋3－1＝5（根）。两个三角形一样大。 图14　A3答案：2个三角形共用1条底边 B1　摆成“L形”（如图15）：竖着3个正方形、横着1个正方形，一共4个，共用3条边，用4×4－3＝13（根）。L形不会多出更大的正方形。 图15　B1答案：L形（13根，4个正方形） B2　3×3九宫格里的正方形分三类：①小正方形（1×1）有9个；②中等正方形（2×2）有4个；③大正方形（3×3）有1个。一共9＋4＋1＝14（个）。（参看图8） B3　把一字形右侧的2根和中间部分的1根火柴重新组合，摆到下方，就变成品字形（如图5右）。移火柴只改变“共用边的位置”，所以火柴总数（10根）和正方形个数（3个）都不变，但形状由一字形变成了品字形。 C1　最少要去掉4根。拿法不止一种，这里给出一种（如图16左图中标“×”的4根）：去掉中间一横的2根，再去掉右边竖线、右下横线各1根。去完后，6个小正方形全部被破坏，两个大正方形也各少了一条边，图中一个正方形也没有。想一想：为什么不是3根？因为2×3的长方形里有两个2×2的大正方形，只去掉3根无法同时破坏它们，所以至少要4根。 图16　C1答案：去掉4根火柴，2×3长方形中没有正方形 C2　先算：6÷2＝3，每部分3个小正方形。分法①：用一条横线把长方形分成上、下两个1×3的长方形（如图17），两个部分形状相同、大小相同；分法②：用一条竖线分成左、右两个2×1的长方形；分法③：拐弯分成两个L形。 图17　C2答案：上下分成两个完全相同的1×3长方形 C3　大三角形里一共有4个同样大的小三角形（如图18，蓝色虚线把小三角形分出来）。把大三角形平均分成4份，其中1份就是大三角形面积的¼（四分之一）。 图18　C3答案：大三角形里有4个同样大的小三角形 七、本讲小结 三件法宝：添、移、去。 两大原理：共用边原理（一根火柴当两条边）、面积平均分（分成相同图形，先算每份几个小方格）。 一个技巧：改变方向找对称，只动“偏”的部分。 一种习惯：动手之前先分析，动手之后要验证。 八、易错警示 易 错 点 正 确 做 法 拿到题目就乱移、乱添、乱去 先观察原图、明确目标，再分析差异，想清楚了再动手 移“方向”题时把对称部分也动了 对称（不动）的部分别动，只动“偏”在一侧的部分 去火柴专挑“独立边”去 优先去掉同时属于多个图形的“共用边”，一根火柴破坏多个图形 数正方形只数小的 大、小图形都要数，例如田字有5个正方形（4小＋1大） 移完、去完不验证 数一数根数，查一查个数、方向和形状是否正确 九、学习建议 1．动手摆一摆。准备好火柴或小棒，边想边摆，看得见才记得牢。 2．先想后动。动火柴之前，先在脑中（或纸上）画出目标图形。 3．善用对称。遇到“改变方向”的问题，先找对称轴。 4．一题多解。添、移、去常常不止一种答案，多试几种，答案不唯一。 5．验证到底。做完一定要“数根数、数个数、查方向”，确认答案正确。 ✨ 火柴棍游戏的魅力在于动手和思考的结合，大胆尝试、细心分析，你也能成为火柴棍游戏高手！ ✨ 祝贺你完成了本讲的学习，为努力学习的你点赞！👍 学科网（北京）股份有限公司 $