2.1.1　倾斜角与斜率课件-2026-2027学年高二上学期人教A版数学选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线的倾斜角与斜率，涵盖定义、范围、斜率公式及综合应用，通过结合具体图形引导学生探索确定直线位置的几何要素，衔接平面直角坐标系知识，为后续直线方程学习搭建基础支架。 其亮点在于以微思考辨析概念（如倾斜角唯一性），典例涵盖方向向量求斜率、含参数斜率范围等情境，规律总结表格清晰呈现斜率与倾斜角关系，培养数学抽象、逻辑推理和数学运算素养。学生能掌握数形结合方法，教师可借助系统例题与训练提升教学效率。

2.1　直线的倾斜角与斜率 2.1.1　倾斜角与斜率 目 标 素 养 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素,提升数学抽象和逻辑推理等核心素养. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念. 3.经历用代数法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式,提升数学运算的核心素养. 知 识 概 览 课前·基础认知 1.直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义:当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴　正向　与直线l　向上　的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.  (2)倾斜角的范围:当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为　0°　,因此,直线的倾斜角α的取值范围为　0°≤α<180°　.  2.直线的斜率 (1)斜率的定义:一条直线的倾斜角α的　正切　值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=　tan α　.  倾斜角是　90°　的直线没有斜率,倾斜角不是90°的直线都有斜率.  (2)斜率公式:如果直线经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),那么可得斜率公式为k=  　.  (3)倾斜角和斜率的作用:在平面直角坐标系中,倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度. 微思考(1)给定一条直线,其倾斜角是唯一的吗? 提示:直线的倾斜角是唯一的. (2)当一条直线的倾斜角为0°时,这条直线一定与x轴平行吗? 提示:不一定,也可能与x轴重合. 课堂·重难突破 一 直线的倾斜角 C.将倾斜角为120°的直线绕其与x轴的交点逆时针旋转90°,所得直线的倾斜角为30° D.若直线l1与l2的倾斜角分别为α,β,且l1⊥l2,则α-β= 典例剖析 1.(多选题)下列说法正确的是(　　). A.经过A(-2,1),B(-2,3)两点的直线的倾斜角不存在 答案:BC 答案:C 学以致用 1.已知直线l只经过第二、第四象限,则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　). 二 直线的斜率 典例剖析 2.根据下列条件求直线l的斜率: (1)直线l经过两点A(-1,4),B(2,-2); 学以致用 2.(1)已知直线经过两点A(-m,-2),B(1,m2)(m≠-1),则直线的斜率k的取值范围为　　　　　.  (2)已知平面直角坐标系中三点A(-1,1),B(1,1),C(2, +1),求直线AB,BC,AC的斜率和倾斜角. 由倾斜角的范围及正切函数的单调性,得直线AB的倾斜角为0°;直线BC的倾斜角为60°;直线AC的倾斜角为30°. 三 斜率与倾斜角的综合应用 典例剖析 3.已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围; (2)求直线l的倾斜角α的取值范围. (1)要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞). (2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与直线PA的倾斜角之间, 规律总结 1.斜率k与倾斜角θ的关系如下表 直线 与x轴平行或重合 由左向右上升 与x轴垂直 由左向右下降 θ的值或取值范围 θ=0 0<θ< θ= <θ<π 斜率k k=0 k>0,且k随θ的增大而增大 不存在 k<0,且k随θ的增大而增大 2.求解直线与线段有无交点及相应倾斜角、斜率范围问题时,可以采用数形结合的方法,借助图形分析有无交点的条件以及倾斜角、斜率的范围. 学以致用 3.已知点A(3,3),B(-4,2),C(0,-2), (1)求直线AB和AC的斜率; (2)若点D在线段BC上移动,求直线AD的斜率的取值范围. (2)如图,当点D由点B运动到点C时,直线AD的斜率由kAB增大到kAC,故直线AD的斜率的取值范围为 . 随堂训练　 答案:AC 1.(多选题)下列说法正确的是(　　). A.直线的倾斜角α的取值范围是[0,π) B.若直线的斜率为tan α,则该直线的倾斜角为α C.若直线的一个方向向量的坐标为(cos 20°,sin 20°),则其倾斜角为20° D.直线的倾斜角越大,其斜率就越大 2.已知直线l1过原点,其倾斜角α=15°,直线l1与l2的交点为A,且l1与l2向上的方向之间所成的角为75°,则直线l2的倾斜角为　　　　　.  答案:90° 解析:如图,设直线l2的倾斜角为β. 由图可得,β=15°+75°=90°, 故直线l2的倾斜角为90°. 3.已知点A(1,2),若在坐标轴上有一点P,使直线PA的倾斜角为135°,则点P的坐标为　　　　　.  答案:(3,0)或(0,3) 解析:由题意知kPA=-1.若点P在x轴上,则可设点P(m,0),即 =-1,解得m=3,若点P在y轴上,则可设点P(0,n),即 =-1,解得n=3.故点P的坐标为(3,0)或(0,3). 4.求经过下列两点的直线的斜率,并判断其倾斜角是锐角还是钝角. (1)(1,1),(2,4);　　(2)(-3,5),(0,2); (3)(2,3),(2,5);　　(4)(3,-2),(6,-2). (3)由x1=x2=2,得k不存在,故倾斜角是90°, (4)由斜率公式可得k= =0,故倾斜角为0°. 谢谢观看 $