河北承德双滦区圣泉高级中学2026年暑假高二升高三数学专题训练卷（5）--二项式定理

**基本信息** 聚焦二项式定理专题，通过分层题型（单选8题40分至解答题5题77分）系统考查展开式通项、系数计算等核心知识，强化运算推理与模型应用，适配新高三暑假复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|常数项（1）、二项式系数最大项（3）|基础巩固，直接考查定义应用| |多选题|3/18|展开式项数与系数和（9）、二项式系数性质（10）|能力辨析，区分二项式系数与系数| |填空题|3/15|近似值计算（14）、常数项（13）|情境应用，结合实际估值问题| |解答题|5/77|有理项（15）、导数求系数（19）|综合提升，融合函数与二项式定理，贴合高考对数学思维的考查|

河北承德双滦区圣泉高级中学2026年暑假新高三数学专题训练（5） 范围：（选择性必修第三册）二项式定理 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．二项式的展开式的常数项是（     ） A．28 B．56 C．36 D．40 2．已知的展开式的各项系数之和为，则（    ） A． B． C． D． 3．已知二项式的展开式中仅有第3项的二项式系数最大，则的值为（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 4．乘积展开后的项数为（    ） A．27 B．32 C．35 D．60 5．在的展开式中，若常数项为240，则（    ） A． B． C． D． 6．二项式展开式的第3项的二项式系数是（   ） A．15 B． C．20 D． 7．展开式中所有项的二项式系数之和与所有项的系数之和分别为（     ） A．； B．； C．； D．； 8．若，则的值为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．关于的展开式，下列结论正确的是（    ） A．展开式中共有9项 B．第3项为 C．各项系数的和为256 D．二项式系数的最大值为70 10．在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A．二项式系数最大的项是第4项 B．所有项的系数之和为1 C．含的项的系数为 D．常数项为 11．已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．设，那么________． 13．的展开式中，常数项为_______（用数字作答）． 14．的近似值（精确到小数点后第三位）为_________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．本小题分已知的展开式中的所有二项式系数的和为32． (1)求n的值； (2)求展开式中各项系数的和； (3)求展开式中所有的有理项． 16．．本小题分已知的展开式中第3项与第2项的二项式系数之差为20． (1)求； (2)求展开式中第3项与第项的系数的比值； (3)求展开式中的常数项． 17．．本小题分已知． (1)求的值和含的项的系数； (2)求的值； (3)已知，求的值． 18．．本小题分已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为256． (1)求正整数n的值； (2)求展开式中含x的项的系数； (3)求展开式中系数最大的项． 19．．本小题分已知 (1)若，求实数的值. (2)已知展开式的所有二项式系数之和为128，且 （i）求展开式中含项的系数； （ii）设，求除以所得余数. 试卷第2页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D D C A C B ABD BC 题号 11 答案 AD 1．A 【详解】二项式的展开式通项为： , 令，解得， 所以常数项为. 2．A 【详解】在二项式的展开式中，令可得展开式的各项系数之和为， 因此有，解得. 3．D 【详解】已知二项式展开式中，仅有第项的二项式系数最大.第项对应的二项式系数为唯一最大值.由二项式系数性质可知二项式系数唯一最大值出现在为偶数时，位置为.所以有，解得，因此. 4．D 【详解】多项式乘法原理：展开每一项，都是从每个括号里各选一个字母相乘得到， 第1个括号有3种选择，第2个括号有5种选择，第3个括号有4种选择，根据分步乘法计数原理得，所以展开后的项数是60. 5．C 【详解】二项式展开式的通项为， 当时得常数项为，故，，. 6．A 【详解】由 二项式定理得展开式的通项为，其中称为二项式系数.令，则第3项的二项式系数为. 7．C 【详解】展开式中所有项的二项式系数之和是， 令，所以所有项的系数之和是. 8．B 【详解】令，则，令，则， 所以 9．ABD 【详解】对于A，二项式的展开式中共有项，故A正确； 对于B，第3项为，故B正确； 对于C，令，得各项系数的和为，故C错误； 对于D，二项式系数的最大值为，故D正确. 10．BC 【详解】对于A，由，则其展开式共有项，中间为第项， 所以二项式系数最大的项为第项，故A错误；对于B，令，则， 所以所有项的系数之和为，故B正确；对于CD，由， 则其展开式的通项， 令，解得，则含的项的系数为，故C正确； 令，该方程无整数解，则展开式中无常数项，故D错误. 故选：BC. 11．AD 【详解】根据二项式定理，当我们令展开式中时，此时展开式中除了这一项，其余含有的项都为，所以，即，可得，故选项A正确；二项式其展开式的通项公式为， 要求，也就是当时的系数，将代入通项公式中， 先计算组合数， 则，故选项B错误； 令，则， 即，所以 又因为前面已经求得，那么，故选项C错误； 对两边同时求导。 左边求导为，右边求导为，即 令，则 即，所以，故选项D正确.故选：AD. 12． 【详解】在中，取，得，取，得，所以. 13． 【详解】展开式的通项为， 若，解得（舍去）；若，解得， 所以的展开式中，常数项为． 14．726.089 【详解】 15．【详解】（1）由题意有，解得； （2）时，，则展开式中各项系数的和为； （3）二项式展开式的通项为 ，当时，对应项是有理项， 所以展开式中所有的有理项为，，． 16．【详解】（1）由二项式系数的定义，第3项的二项式系数为，第2项的二项式系数为， 根据题意得， 即，化简得， 解得（不符合正整数要求，舍去）. （2）由（1）得，二项式的展开式通项为：， 第3项对应，系数为；第项对应，系数为， 由组合数性质，故展开式中第3项与第项的系数比值为. （3）令展开式通项中x的指数为0，即，解得， 代入通项得常数项为：. 17．【详解】（1）已知， 令，所以，解得， 由于的通项公式为， 当时，， 所以含的项的系数为. （2）令，则． （3）当时，则与矛盾，所以， 令，则， 所以．即，解得，所以. 18．【详解】（1）二项式的展开式所有项的二项式系数之和为，由题意得，解得． （2）由得二项式为，其展开式通项为： ， 令，解得，所以展开式中含x的项的系数为． （3）由展开式的通项为， 假设第项系数最大，则，解得，所以或， 即系数最大项为和. 19．【详解】（1）令得，，令得，， 则，得． （2）展开式的所有二项式系数之和为128，得，得， 则的通项公式为：，得， 得，得， （i）， 则展开式中含项的系数为：． （ii）由得，， 因为，所以余数为． 答案第4页（共5页） 答案第1页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 $