第十三章 三角形中的边角关系命题与证明（8大考点+10易错+易错训练）（知识清单）数学新教材沪科版八年级上册

该初中数学知识清单全面覆盖“三角形中的边角关系”与“命题与证明”核心内容，包含三角形概念、分类、三边关系、高/中线/角平分线、内角和定理、外角性质及定义命题等知识范畴，搭建从基础概念到性质应用再到逻辑证明的递进式学习支架。 清单以“知识点系统梳理+易错点深度剖析”构建知识体系，通过分点标注（如三边关系“两边之和大于第三边”）、特别提示（如“两边之差＜第三边＜两边之和”解题技巧）及10个易错点专项提醒（如等腰三角形求周长需验证三边关系），培养几何直观与推理意识。设计“易错提醒+对点训练”，如判断三边构成三角形仅需验证较短两边之和大于最长边，助力学生自主规避错误，教师可据此精准设计教学，提升复习针对性。

第十三章三角形中的边角关系 命题与证明 知识点一：三角形及其相关概念 1．三角形的概念： 如图：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形．用符号“△”表示．即可表示为△ABC． 2．三角形的要素与关系： （1）三角形的边：组成三角形的_线段叫做三角形的边． （2）三角形的角：三角形的两条边组成三角形的内角，简称三角 形的角． （3）三角形的顶点：三角形相邻两边的公共端点是三角形的顶点． （4）对边与对角： ∠A的对边是BC． BC的对角是∠A ∠B的对边是AC ．AC的对角是∠B． ∠C的对边是AB． AB的对角是∠C 特别提示：在三角形中角越大，它的对边越长．反之边越长，对角越大． 知识点二：三角形的分类 1．按边是否相等分类：                          2．按内角大小分类： 特别提示：等腰三角形相等的两边叫做三角形的腰，另一边叫做三角形的底． 知识点三：三角形的三边关系： 1．内容：三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 2．符号语言：如图，△ABC中，有： 通过移项即可证明任意两边之差小于第三边． 特别提示：考题中常用两边之差＜第三边＜两边之和解题． 知识点四：三角形的高、中线、角平分线： 1．高线： （1）定义如图，从三角形的一个顶点作它对边所在直线的垂线 顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高线． BD是△ABC的高BDAC （2）三角形高线的画法：如下图 图① 图② 图③ （3）垂心： 由（2）中图可知，三角形都有三条高，且三条高都交于同一点．这个交点 叫做三角形的垂心． 由图①可知，锐角三角形的三条高与垂心均在三角形内部． 由图②可知，直角三角形有两条高是直角三角形的边，垂心在三角形的直角顶点． 由图③可知，钝角三角形有两条高在三角形外，垂心也在三角形外部． 特别提示：可以通过高线与垂心所在位置判断三角形的形状． 2.中线 ． （1）定义：如图，连接三角形的一个顶点与它所对的边的中点得到的线段叫做三角形的中线． AM是三角形的中线M是BC的中点_BM=CM=BC （2）中线的性质： ①中线平分三角形的面积．即： ②中线分三角形的周长差等于对应另两边的差．即： （3）重心： 三角形的三条中线都在三角形的内部，且他们交于同一点，这个点叫做三角形的重心． 3．角平分线： （1）定义：如图．三角形的一个内角平分线与这个角对边相交，顶点和交点之间的线段是三角形的角平分线． AD是三角形的角平分线∠1=∠2． 特别提示：三角形的角平分线是线段，角的角平分线是射线． （2）内心：三角形的三条角平分线交于一点，这一点叫做三角形的内心． 知识点五：三角形的内角和定理： 1. 三角形的内角和定理： 三角形的三个内角之和等于 180° ． 2. 三角形内角和的证明： 证明思路：过三角形任意一个顶点作对边的平行线即可证明． 如图：过点A作PQ平行于BC． ∵PQ∥BC ∴∠B＝ ∠PAB ；∠C＝ ∠QAC ． ∵∠PAB＋∠QAC＋∠BAC＝ 180° ． ∴∠BAC＋∠B＋∠C＝ 180° ． 知识点六：直角三角形的性质与判定： 直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形．用表示直角三角形ABC． 1. 性质： 直角三角形的两个锐角 互余 ． 数学语言：∵△ABC是直角三角形，且∠C＝90° ∴∠A＋∠B＝ 90° ． 2. 判定： 有两个角 互余 的三角形是直角三角形． 数学语言：∵∠A＋∠B＝90° ∴△ABC是 直角 三角形 知识点七：三角形的外角及其性质： 1. 外角的定义：如图，三角形的一条边与另一条边的 延长线 构成的夹角叫做三角形的外角． 特别提示：三角形一个顶点只算一个外角． 2. 外角性质： （1）三角形的一个外角等于它 不相邻 的两个内角之和． 即∠1＝ ∠2＋∠3 （2）三角形的外角 大于 它不相邻的任意一个内角． 即∠1 ＞ ∠2，∠1 ＞ ∠3． （3）三角形的外角与它相邻的内角 互补 ． 即：∠1＋∠4＝ 180° ． （4）三角形的外角和：三角形的三个外角之和等于 360° ． 知识点八： 定义与命题 1.定义 对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是定义。 例:两点之间线段的长度，叫做两点间的距离。 2.命题 ①概念:判断一件事情的句子，叫做命题。 注意:疑问句、祈使句、感叹句不是命题。 ②命题结构:条件+结论，一般写成“如果......，那么......”形式。 “如果”后面是条件，那么”后面是结论。 ③互逆命题:将命题如果p 那么q 中的条件与结论互换便得到一个新命题:如果q 那么p我们把这样的两个命题称为互逆命题其中一个叫作原命题,另一个就叫作原命题的逆命题 ④命题分类 真命题:条件成立，结论也成立。 假命题:条件成立，结论不成立 假命题用举反例证明。 3.公理、定理、证明 ·公理(基本事实):公认正确，不需要证明的真命题，作为推理的原始依据。 定理:经过推理证实的真命题，可以作为继续推理的依据。 ·证明:推理的过程叫做证明。 证明每一步都要有依据：定义、公理、定理、已知条件。 易错点1 对三角形三边关系理解不透彻，判断三边能否构成三角形出错 易错提醒 部分同学要么需要逐一验证三组两边之和大于第三边，徒增计算量；要么仅验证一组两边之和大于第三边就得出结论，导致错误。例如线段长1、3、4，虽然满足1+4>3，但1+3=4，无法构成三角形。 判断三条线段能否构成三角形，仅需要验证较短两边的长度之和是否大于最长边，若满足即可构成三角形，反之则不能。 【对点训练】1．下列各组数中不可能是一个三角形的边长的是（　　） A．3，4，5 B．5，7，7 C．5，7，12 D．6，8，10 【答案】C 【分析】判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 【详解】解：A.，∴能组成三角形，故选项正确，不符合题意； B. ，∴能组成三角形，故选项正确，不符合题意； C. ，∴不能组成三角形，故选项错误，符合题意； D. ，∴能组成三角形，故选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题关键是：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边． 易错点2 等腰三角形已知两边长求周长时，遗漏三边关系验证 易错提醒 题目给出等腰三角形两条边长后，很多同学会直接算出两种可能的周长，忽略其中一种情况不满足三边关系，无法构成三角形需要舍去。例如已知等腰三角形两边长为2和5，若腰长为2、底边长为5，2+2<5不满足三边关系，仅有一种情况成立，不少同学会错得出两种结果。 遇到此类问题，先分情况讨论腰长和底边长，再逐一用三边关系验证，舍去不成立的情况后得到最终结果。 【对点训练】2．一个等腰三角形的两边长分别为3 cm和7 cm，则此三角形的周长为（　　） A．13 cm B．17 cm C．7 cm或13 cm D．不确定 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的定义分类讨论、再用三角形的三边关系判断，最后求周长即可； 【详解】解：①当3为底时，则7+3＞7，故腰为7，则周长为7+7+3=17； ②当7为底时，则3+3＜7，不能构成三角形； 故答案为B. 【点睛】本题考查了等腰三角形的概念和三角形的三边关系，掌握分类讨论思想是解答本题的关键. 易错点3 误用三角形外角性质 易错提醒 不少同学会错误认为三角形的外角等于任意两个内角的和，或是外角大于任意一个内角，混淆了相邻内角和不相邻内角的区别。 三角形外角的性质仅针对不相邻的内角：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，且大于任意一个和它不相邻的内角，外角与相邻内角互补。 【对点训练】3．小枣一笔画成了如图所示的图形，若∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理与内角与外角的关系求出，由此得出，进而求出，即可求出∠D+∠E 【详解】解：如图， ∵∠A＝60°，∠B＝40°， ∴∠BGF＝∠C+∠AFC＝∠A+∠B＝100°， ∵∠C＝30°， ∴∠AFC＝100°﹣30°＝70°， ∴∠EFD＝∠AFC＝70°， ∵∠E+∠D+∠EFD＝180°， ∴∠D+∠E＝180°﹣70°＝110°， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理与内角与外角的关系，知道两内角之和为不相邻的外角是解题关键． 易错点4 对三角形的高的理解出错 易错提醒 不少同学对三角形高的定义理解偏差，默认三角形的高一定都在三角形内部，画高时不仅经常漏画钝角三角形位于外部的高，还容易忽略高必须满足垂直于对边的要求，错把顶点到对边端点的连线当成高。 注意：三角形的高定义是“从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段”，高的位置和三角形类型有关：锐角三角形三条高都在三角形内部；直角三角形的两条高分别与两条直角边重合，第三条高在内部；钝角三角形两条高在三角形外部，只有一条高在内部，画高时要注意找准顶点对应的对边，保证线段与对边所在直线垂直，不要漏画。 【对点训练】4．画中边上的高，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的高，熟练掌握三角形高的画法是解题的关键；根据三角形的高可进行排除选项． 【详解】解：由题意可知只有D选项符合的边上的高； 故选D． 易错点5 三角形的中线与周长差和面积问题 易错提醒 很多同学容易混淆中线分割出的周长差对应边，搞不清两个三角形周长的差值来源，误把无关边的长度当成差值；遇到面积问题时，还经常遗忘“中线平分三角形面积”这一性质，导致找不到解题突破口，或是走弯路算错结果。 注意：①处理周长差问题时，先拆分两个三角形的周长，中线本身是公共边、中线分对边得到的两段长度相等，抵消这两部分后，周长差其实就是原三角形中被中线连接的顶点的两条邻边的长度差，明确对应关系后再计算就不会出错；若题目仅给出分周长为两个不同数值，也要分两种情况讨论后，用三角形三边关系验证，舍去不能构成三角形的结果。②处理面积问题时要牢记：三角形的中线一定将原三角形分成面积相等的两部分，遇到需要找等面积关系的题型，可直接用这个性质简化推导过程。 【对点训练】5．（1）等腰三角形一腰上的中线把周长分为和两部分，求该三角形各边的长． （2）已知一个等腰三角形的三边长分别为，求这个等腰三角形的周长． 【答案】（1）或者；（2）周长为或者10 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，列出方程求解，注意分类讨论． （2）分三种情况，进行讨论，结合三角形三边关系得出答案． 【详解】设腰长为2x,底为y，根据题意得： ① 解得： 三边为10,10,7 ② 解得： 三边为8,8,11 故本题答案为：或者 ①当时，解，此时，能构成三角形． 此时周长为10 ②当时，解，此时不能构成三角形． ③当，解得， 此时，能构成三角形，周长为＝7 综上，三角形的周长为7或者10． 【点睛】本题考查等腰三角形性质，以及三角形三边关系，属于基础提高题． 易错点6三角形求角或边时漏解 易错提醒 不少同学遇到未给出明确图形的三角形计算问题时，会下意识按照自己熟悉的图形特征默认其中一种情况，忽略题干中未点明的多种可能性，最终漏掉符合题意的解。常见漏解场景包括：等腰三角形问题中未指明哪个角是顶角、哪个是底角，或是未指明哪条边是腰、哪条是底边；已知三角形两边及其中一边的对角求第三边长；已知三角形两边和第三边上的高求周长等，都容易因只考虑一种情况导致结果不全。 避错关键：遇到无附图形的三角形计算问题，首先要梳理题干中所有未明确限定的条件，凡是存在多种可能位置或大小的情况，都要逐一分类讨论：①遇到等腰三角形相关计算，先判断是否需要分“已知角为顶角/底角”“已知边为腰/底边”两种情况分别计算；②遇到涉及三角形高的计算，先判断高可能在三角形内部还是外部，分情况作图计算；③所有情况计算完成后，都要结合三角形三边关系、内角和定理逐一验证结果是否成立，剔除无法构成三角形的增根，保证结果完整不遗漏。 【对点训练】6．在中，，BD是AC边上的高，，求的度数． 【答案】60°或30° 【分析】分两种情况，首先画出图形，根据三角形高线的定义可得∠ADB＝90°，再根据三角形内角和定理或三角形外角的性质求出∠C的度数即可． 【详解】分两种情况： （1）当为锐角三角形时，如图1所示， 在中，∵BD是AC边上的高， ∴， ∴， 又∵， ∴. ∵， ∴. （2）当为钝角三角形时，如图2所示， 在中，∵， ∴， ∴. ∵， ∴， 综上，∠C的度数为60°或30°. 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质以及等腰三角形的性质，分情况讨论并作出图形是解题关键，注意不要漏解. 易错点7 对命题概念理解有误，无法准确判断语句是否为命题 易错提醒 不少同学混淆了命题的核心特征，会错把没有做出明确判断的疑问句、祈使句、感叹句当成命题，或是将错误的判断句错归为非命题，例如误将“三角形内角和是180°吗？”判断为命题。 避错关键：命题的核心是必须对某件事做出明确的肯定或否定判断，只要是判断句，无论结论正确还是错误，都属于命题；仅提出疑问、发出指令、抒发感叹，没有做出判断的语句，都不属于命题。 【对点训练】7．下列是命题的是（    ） A．作两条相交直线 B．∠和∠相等吗？ C．全等三角形对应边相等 D．若＝4，求a的值 【答案】C 【分析】根据命题的定义对各选项进行判断． 【详解】解：A．“作两条相交直线”为描叙性语言，它不是命题，所以A选项错误； B．“∠和∠相等吗？”为疑问句，它不是命题，所以B选项错误； C．全等三角形对应边相等，它是命题，所以C选项正确； D．“若＝4，求a的值”为描叙性语言，它不是命题，所以D选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 易错点8 拆分非标准句式命题的条件和结论时出错，颠倒语义 易错提醒 对于不是“如果……那么……”形式的命题，很多同学找不到条件和结论的分界，甚至改写后颠倒了原命题的条件与结论，改变了原命题的含义，例如把“对顶角相等”错误改写为“如果两个角相等，那么它们是对顶角”。 避错关键：改写命题时先明确逻辑：原语句中“预先满足的特点”是条件，“推出的性质/结论”是结果，改写时仅调整句式，不能改变原句的逻辑关系，“对顶角相等”正确改写为“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。 【对点训练】8．命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式是（    ） A．如果是同角的余角，那么相等 B．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 C．如果两个角是同角，那么这两个角是余角 D．如果两个角互余，那么这两个角相等 【答案】B 【分析】根据命题由题设和结论组成，把条件“两个角是同角的余角”写在如果的后面，把结论“这两个角相等”写在那么的后面即可． 【详解】命题“同角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是“如果两个角是同角的余角，那么这两个角相等”． 故选B． 【点睛】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题． 易错点9 证明假命题时方法错误，混淆真假命题的证明逻辑 易错提醒 很多同学误以为证明命题为假需要完整的推导过程，不知道举反例即可证明，还有部分同学会错误地把找不到反例的命题直接默认为真命题。 避错关键：证明一个命题是假命题，只需要举出一个满足命题条件、但不满足命题结论的反例即可，不需要复杂推导；若无法举出反例，再通过推理验证命题的真假。 【对点训练】9．对于命题“若，则．”下面四组关于、的值中，能说明这个命题是假命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】如果命题为假命题，即a、b的值满足a2＞b2，但a＞b不成立，把四个选项中的a、b的值分别代入验证即可． 【详解】解：在A中，a2=4，b2=0，且2＞0，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故A选项中a、b的值不能说明命题为假命题； 在B中，a2=4，b2=1，且2＞-1，此时满足a2＞b2，则a＞b，故B选项中a、b的值不能说明命题为假命题； 在C中，a2=4，b2=1，且-2＜-1，此时满足a2＞b2，不满足a＞b，故C选项中a、b的值能说明命题为假命题； 在D中，a2=4，b2=1，且2＞1，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故A选项中a、b的值不能说明命题为假命题； 故选：C． 【点睛】本题考查了假命题的判断，举反例是说明假命题不成立的常用方法，但需要注意所举反例需要满足命题的题设，但结论不成立． 易错点10 证明过程逻辑不严谨，缺少依据或跳步推导 易错提醒 很多同学写证明过程时，会自行把未证明的结论作为推理依据，或是随意跳过关键推导步骤，导致证明过程不符合要求。 避错关键：证明的每一步都必须有明确依据，依据只能是题干给出的已知条件，或是已经公认的定义、公理、定理，不能添加未经证明的结论，也不能随意跳步，保证推导逻辑连贯完整。 【对点训练】10．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 故选C． 【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 一、单选题 1．下列语句中，是命题的是（    ） A．两个相等的角是对顶角 B．在直线上任取一点 C．用量角器量角的度数 D．直角都相等吗？ 【答案】A 【分析】根据命题的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．“两个相等的角是对顶角”做出了判断，是命题； B．“在直线上任取一点”没有做出判断，不是命题； C．“用量角器量角的度数”没有做出判断，不是命题； D．“直角都相等吗？”没有做出判断，不是命题； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了命题的含义和应用，解答此题的关键是要明确：判断一件事情的语句叫命题，许多命题都是由题设和结论两部分组成． 2．将命题“对顶角相等”写成“如果……，那么……”的形式，正确的是 A．如果两个角相等，那么它们是对顶角 B．如果两个角是对顶角，那么它们相等 C．如果对顶角，那么相等 D．如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等 【答案】B 【详解】试题分析：原命题的条件是：“两个角是对顶角”，结论是：“这两个角相等”， 命题“对顶角相等”写成“如果…，那么…”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”． 故选B． 考点：命题与定理． 3．．要说明命题“对于任意自然数n，|n－1|≥1成立”是假命题，可以举反例是（  ） A．n＝0 B．n＝1 C．n＝2 D．n＝3 【答案】B 【分析】根据不等式的性质举出反例即可得出答案． 【详解】命题“对于任意自然数n，|n-1|≥1成立”是一个假命题， 例如；如果n=1，那么当n=1时，|n-1|＜1， 故选：B． 【点睛】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 4．下列长度的三条线段能构成三角形的是（    ） A．4cm，6cm，10cm B．2cm，5cm，8cm C．3cm，4cm，5cm D．5cm，7cm，13cm 【答案】C 【分析】利用三角形的三边关系进行分析即可． 【详解】解：A.4+6=10，不能构成三角形，故此选项不符合题意； B.2+5＜8，不能构成三角形，故此选项不符合题意； C.3+4＞5，能构成三角形，符合题意； D.5+7＜13，不能构成三角形，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形 5．如图，已知∠BOF=120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F为多少度（　　） A．360° B．720° C．540° D．240° 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理和三角形的外角性质，利用已知角求未知角即可. 【详解】如图， 根据三角形的外角性质，∠1=∠A+∠C，∠2=∠B+∠D， ∵∠BOF=120°， ∴∠3=180°﹣120°=60°， 根据三角形内角和定理，∠E+∠1=180°﹣60°=120°， ∠F+∠2=180°﹣60°=120°， 所以，∠1+∠2+∠E+∠F=120°+120°=240°， 即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°． 故选D. 【点睛】本题考查三角形内角和定理和三角形外角的性质.把未知角转化为未知角是解题的关键. 二、填空题 6．下列语句：①同旁内角相等；②如果，那么；③对顶角相等吗？④画线段；⑤两点确定一条直线．其中是命题的有______；是真命题的有______．（只填序号） 【答案】     ①②⑤     ②⑤ 【分析】判断一件事情的语句叫命题，正确的命题叫真命题，根据定义依次分析解答． 【详解】解：①同旁内角相等是命题，是假命题； ②如果，那么是命题，是真命题； ③对顶角相等吗？不是命题； ④画线段不是命题； ⑤两点确定一条直线是命题，是真命题． 故答案为：①②⑤，②⑤． 【点睛】此题考查命题的定义，真命题的定义，熟记相关性质是解题的关键． 7．将命题“等角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，可写成________________，该命题是_________（填“真命题”或“假命题”）． 【答案】     如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等     真命题 【分析】命题由题设和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．命题常常可以写为“如果…那么…”的形式，如果后面接题设，那么后面接结论．题设成立，结论也成立的叫真命题；而题设成立，不保证结论成立的为假命题． 【详解】解：把“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等；这个命题正确，是真命题， 故答案为：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等，真命题． 【点睛】本题考查了命题与定理，命题的“真”“假”是就命题的内容而言，任何一个命题非真即假，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 8．若等腰三角形的两边的长分别是、，则它的周长为___________． 【答案】17或19 【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为时，②当腰长为时，分别进行求解即可． 【详解】解：①当腰长为时，三角形的三边分别为，，，符合三角形的三边关系，则三角形的周长； ②当腰长为时，三角形的三边分别为，，，符合三角形的三关系，则三角形的周长； 故答案为：17或19． 【点睛】本题注意考查对等腰三角形的性质及三角形的三边关系，已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况：分类进行讨论，还应验证各自情况是否能构成三角形． 9．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为 【答案】 【分析】先根据直角三角板的性质得出∠ACD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：如图所示， 由一副三角板的性质可知：∠ECD=60°，∠BCA=45°，∠D=90°， ∴∠ACD=∠ECD－∠BCA=60°－45°=15°， ∴∠α=180°－∠D－∠ACD=180°－90°－15°=75°， 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键． 10．如图，在中，点D，E，F，分别为，，的中点，，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查三角形中线的性质，掌握好三角形的中线平分面积是解题关键． 根据三角形的中线平分面积的性质，，，，计算出答案即可． 【详解】解：∵点F是的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， 同理可得，，． 故答案为：8． 三、解答题 11． 已知等腰，解答以下问题： (1)若有一个内角为，求这个等腰三角形另外两个角的度数； (2)若等腰三角形的周长为27，两条边长分别是a和，求三边的长． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分为等腰三角形的顶角和底角两种情况，根据等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理解答即可； （2）分若两条边长a和都是腰，一条是腰，另一条是底边两种情况，结合等腰三角形的性质、三角形的三边关系和三角形的周长列出方程，求解即可． 【详解】（1）当为等腰三角形的顶角时，则底角为， 所以这个等腰三角形另外两个角的度数为； 当为等腰三角形的底角时，则顶角为， 所以这个等腰三角形另外两个角的度数为； （2）若两条边长a和都是腰，则，解得，不符合题意，舍去； 若两条边长a和一条是腰，另一条是底边，分两种情况： 若a是腰，则为底边，则，解得， 此时三角形的三边长分别是， ∵， 故此时不能构成三角形，舍去； 若a是底边，则为腰，则，解得， 此时三角形的三边长分别是，能构成三角形， 综上，三角形的三边长分别是． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系等知识，全面分类、熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 12．一个等腰三角形的一边长为，周长为，求其他两边的长． 【答案】另外两边长分别为；另外两边长均为 【分析】分两种情况讨论：①腰长为；②底边长为，分别计算出其他两边，注意要满足三角形三边关系． 【详解】解：①若等腰三角形的腰长为， 则： 即另外两边长分别为 ②若等腰三角形的底边长为 则： 即另外两边长均为8cm． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形性质，三角形三边关系，解题关键是掌握等腰三角形两腰相等． 13．如图，已知． (1)画出的三条高（不写画法）； (2)在（1）的条件下，若，，，则______． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）根据三角形的高线的画法画出即可； （2）根据面积相等可得出，代入相关数据计算即可得出． 【详解】（1）如图，即为所画： （2）∵是边上的高，是边上的高， ∴， ∵，，， ∴， 解得，， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了三角形高的画法以及与高有关的面积计算，正确识图是解答本题的关键． 14．等腰三角形一条腰上的中线将三角形的周长分成15和21两部分,求该三角形的腰长和底边的长. 【答案】10,16或14,8 【分析】分腰长与腰长的一半是21和15两种情况，求出腰长，再求出底边，然后利用三角形的任意两边之和大于第三边进行判断即可． 【详解】如图,设AD=CD=x,则AB=2x, ∴AB+AD=3x,BC+CD=BC+x. 若AB+AD=15,则BC+CD=21,可得x=5, ∴腰长AB=10,底边BC=16; 若AB+AD=21,则BC+CD=15,可得x=7, ∴腰长AB=14,底边BC=8. ∴该三角形的腰长和底边的长分别为10,16或14,8. 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判定是否能组成三角形． 15．［定义］若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”．例如，三边长为6，8，10的三角形是“好运三角形”． (1)［概念运用］在中，，若为“好运三角形”，求的长； (2)［变式运用］已知的周长为长为偶数，求出的范围，判断是不是“好运三角形”？ 【答案】(1)4 (2)，是“好运三角形”，理由见解析 【分析】本题考查三角形三边关系，掌握“好运三角形”的定义，是解题的关键． （1）先根据三边关系求出的范围，再根据新定义，确定的长即可； （2）设（为偶数），则，根据三角形的三边关系，列出不等式组求出的取值范围，根据的长为偶数，求出的长，进而求出的长，再根据新定义进行判断即可． 【详解】（1）解：在中，，， ， ， ， 为“好运三角形”， 为偶数， ； （2）解：是“好运三角形”，理由如下： 已知的周长为16，， 设为偶数），则， 依题意得： 解得， 的长为偶数， ， ， ， 是“好运三角形”． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章三角形中的边角关系 命题与证明 知识点一：三角形及其相关概念 1．三角形的概念： 如图：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形．用符号“△”表示．即可表示为△ABC． 2．三角形的要素与关系： （1）三角形的边：组成三角形的线段叫做三角形的边． （2）三角形的角：三角形的两条边组成三角形的内角，简称三角形的角． （3）三角形的顶点：三角形相邻两边的公共端点是三角形的顶点． （4）对边与对角： ∠A的对边是BC． BC的对角是∠A ∠B的对边是AC ．AC的对角是∠B． ∠C的对边是AB． AB的对角是∠C 特别提示：在三角形中角越大，它的对边越长．反之边越长，对角越大． 知识点二：三角形的分类 1．按边是否相等分类：                          2．按内角大小分类： 特别提示：等腰三角形相等的两边叫做三角形的腰，另一边叫做三角形的底． 知识点三：三角形的三边关系： 1．内容：三角形中，任意两边之和____第三边，任意两边之差_____第三边． 2．符号语言：如图，△ABC中，有： 通过移项即可证明任意两边之差小于第三边． 特别提示：考题中常用两边之差＜第三边＜两边之和解题． 知识点四：三角形的高、中线、角平分线： 1．高线： （1）定义如图，从三角形的一个顶点作它对边所在直线的垂线 顶点和垂足之间的_______叫做三角形这条边上的高线． BD是△ABC的高BDAC （2）三角形高线的画法：如下图 图① 图② 图③ （3）垂心： 由（2）中图可知，三角形都有三条高，且三条高都交于同一点．这个交点 叫做三角形的垂心． 由图①可知，锐角三角形的三条高与垂心均在三角形内部． 由图②可知，直角三角形有两条高是直角三角形的边，垂心在三角形的直角顶点． 由图③可知，钝角三角形有两条高在三角形外，垂心也在三角形外部． 特别提示：可以通过高线与垂心所在位置判断三角形的形状． 2.中线 ． （1）定义：如图，连接三角形的一个顶点与它所对的边的中点得到的线段叫做三角形的中线． AM是三角形的中线M是BC的中点_BM=CM=BC （2）中线的性质： ①中线平分三角形的面积．即： ②中线分三角形的周长差等于对应另两边的差．即： （3）重心： 三角形的三条中线都在三角形的内部，且他们交于同一点，这个点叫做三角形的重心． 3．角平分线： （1）定义：如图．三角形的一个内角平分线与这个角对边相交，顶点和交点之间的线段是三角形的角平分线． AD是三角形的角平分线∠1=∠2． 特别提示：三角形的角平分线是线段，角的角平分线是射线． （2）内心：三角形的三条角平分线交于一点，这一点叫做三角形的_______． 知识点五：三角形的内角和定理： 1. 三角形的内角和定理： 三角形的三个内角之和等于 180° ． 2. 三角形内角和的证明： 证明思路：过三角形任意一个顶点作对边的平行线即可证明． 如图：过点A作PQ平行于BC． ∵PQ∥BC ∴∠B＝ ∠PAB ；∠C＝ ∠QAC ． ∵∠PAB＋∠QAC＋∠BAC＝ 180° ． ∴∠BAC＋∠B＋∠C＝ 180° ． 知识点六：直角三角形的性质与判定： 直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形．用表示直角三角形ABC． 1. 性质： 直角三角形的两个锐角______． 数学语言：∵△ABC是直角三角形，且∠C＝90° ∴∠A＋∠B＝ 90° ． 2. 判定： 有两个角____的三角形是直角三角形． 数学语言：∵∠A＋∠B＝90° ∴△ABC是 直角 三角形 知识点七：三角形的外角及其性质： 1. 外角的定义：如图，三角形的一条边与另一条边的________构成的夹角叫做三角形的外角． 特别提示：三角形一个顶点只算一个外角． 2. 外角性质： （1）三角形的一个外角等于它_________的两个内角之和． 即∠1＝ ∠2＋∠3 （2）三角形的外角 大于 它不相邻的任意一个内角． 即∠1 ＞ ∠2，∠1 ＞ ∠3． （3）三角形的外角与它相邻的内角 互补 ． 即：∠1＋∠4＝ 180° ． （4）三角形的外角和：三角形的三个外角之和等于 360° ． 知识点八： 定义与命题 1.定义 对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是定义。 例:两点之间线段的长度，叫做两点间的距离。 2.命题 ①概念:判断一件事情的句子，叫做命题。 注意:疑问句、祈使句、感叹句不是命题。 ②命题结构:条件+结论，一般写成“如果......，那么......”形式。 “如果”后面是条件，那么”后面是结论。 ③互逆命题:将命题如果p 那么q 中的条件与结论互换便得到一个新命题:如果q 那么p我们把这样的两个命题称为互逆命题其中一个叫作原命题,另一个就叫作原命题的逆命题 ④命题分类 真命题:条件成立，结论也成立。 假命题:条件成立，结论不成立 假命题用举反例证明。 3.公理、定理、证明 ·公理(基本事实):公认正确，不需要证明的真命题，作为推理的原始依据。 定理:经过推理证实的真命题，可以作为继续推理的依据。 ·证明:推理的过程叫做证明。 证明每一步都要有依据：定义、公理、定理、已知条件。 易错点1 对三角形三边关系理解不透彻，判断三边能否构成三角形出错 易错提醒 部分同学要么需要逐一验证三组两边之和大于第三边，徒增计算量；要么仅验证一组两边之和大于第三边就得出结论，导致错误。例如线段长1、3、4，虽然满足1+4>3，但1+3=4，无法构成三角形。 判断三条线段能否构成三角形，仅需要验证较短两边的长度之和是否大于最长边，若满足即可构成三角形，反之则不能。 【对点训练】1．下列各组数中不可能是一个三角形的边长的是（　　） A．3，4，5 B．5，7，7 C．5，7，12 D．6，8，10 易错点2 等腰三角形已知两边长求周长时，遗漏三边关系验证 易错提醒 题目给出等腰三角形两条边长后，很多同学会直接算出两种可能的周长，忽略其中一种情况不满足三边关系，无法构成三角形需要舍去。例如已知等腰三角形两边长为2和5，若腰长为2、底边长为5，2+2<5不满足三边关系，仅有一种情况成立，不少同学会错得出两种结果。 遇到此类问题，先分情况讨论腰长和底边长，再逐一用三边关系验证，舍去不成立的情况后得到最终结果。 【对点训练】2．一个等腰三角形的两边长分别为3 cm和7 cm，则此三角形的周长为（　　） A．13 cm B．17 cm C．7 cm或13 cm D．不确定 易错点3 误用三角形外角性质 易错提醒 不少同学会错误认为三角形的外角等于任意两个内角的和，或是外角大于任意一个内角，混淆了相邻内角和不相邻内角的区别。 三角形外角的性质仅针对不相邻的内角：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，且大于任意一个和它不相邻的内角，外角与相邻内角互补。 【对点训练】3．小枣一笔画成了如图所示的图形，若∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 易错点4 对三角形的高的理解出错 易错提醒 不少同学对三角形高的定义理解偏差，默认三角形的高一定都在三角形内部，画高时不仅经常漏画钝角三角形位于外部的高，还容易忽略高必须满足垂直于对边的要求，错把顶点到对边端点的连线当成高。 注意：三角形的高定义是“从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段”，高的位置和三角形类型有关：锐角三角形三条高都在三角形内部；直角三角形的两条高分别与两条直角边重合，第三条高在内部；钝角三角形两条高在三角形外部，只有一条高在内部，画高时要注意找准顶点对应的对边，保证线段与对边所在直线垂直，不要漏画。 【对点训练】4．画中边上的高，正确的是（    ） A． B． C． D． 易错点5 三角形的中线与周长差和面积问题 易错提醒 很多同学容易混淆中线分割出的周长差对应边，搞不清两个三角形周长的差值来源，误把无关边的长度当成差值；遇到面积问题时，还经常遗忘“中线平分三角形面积”这一性质，导致找不到解题突破口，或是走弯路算错结果。 注意：①处理周长差问题时，先拆分两个三角形的周长，中线本身是公共边、中线分对边得到的两段长度相等，抵消这两部分后，周长差其实就是原三角形中被中线连接的顶点的两条邻边的长度差，明确对应关系后再计算就不会出错；若题目仅给出分周长为两个不同数值，也要分两种情况讨论后，用三角形三边关系验证，舍去不能构成三角形的结果。②处理面积问题时要牢记：三角形的中线一定将原三角形分成面积相等的两部分，遇到需要找等面积关系的题型，可直接用这个性质简化推导过程。 【对点训练】5．（1）等腰三角形一腰上的中线把周长分为和两部分，求该三角形各边的长． （2）已知一个等腰三角形的三边长分别为，求这个等腰三角形的周长． 易错点6三角形求角或边时漏解 易错提醒 不少同学遇到未给出明确图形的三角形计算问题时，会下意识按照自己熟悉的图形特征默认其中一种情况，忽略题干中未点明的多种可能性，最终漏掉符合题意的解。常见漏解场景包括：等腰三角形问题中未指明哪个角是顶角、哪个是底角，或是未指明哪条边是腰、哪条是底边；已知三角形两边及其中一边的对角求第三边长；已知三角形两边和第三边上的高求周长等，都容易因只考虑一种情况导致结果不全。 避错关键：遇到无附图形的三角形计算问题，首先要梳理题干中所有未明确限定的条件，凡是存在多种可能位置或大小的情况，都要逐一分类讨论：①遇到等腰三角形相关计算，先判断是否需要分“已知角为顶角/底角”“已知边为腰/底边”两种情况分别计算；②遇到涉及三角形高的计算，先判断高可能在三角形内部还是外部，分情况作图计算；③所有情况计算完成后，都要结合三角形三边关系、内角和定理逐一验证结果是否成立，剔除无法构成三角形的增根，保证结果完整不遗漏。 【对点训练】6．在中，，BD是AC边上的高，，求的度数． 易错点7 对命题概念理解有误，无法准确判断语句是否为命题 易错提醒 不少同学混淆了命题的核心特征，会错把没有做出明确判断的疑问句、祈使句、感叹句当成命题，或是将错误的判断句错归为非命题，例如误将“三角形内角和是180°吗？”判断为命题。 避错关键：命题的核心是必须对某件事做出明确的肯定或否定判断，只要是判断句，无论结论正确还是错误，都属于命题；仅提出疑问、发出指令、抒发感叹，没有做出判断的语句，都不属于命题。 【对点训练】7．下列是命题的是（    ） A．作两条相交直线 B．∠和∠相等吗？ C．全等三角形对应边相等 D．若a2＝4，求a的值 易错点8 拆分非标准句式命题的条件和结论时出错，颠倒语义 易错提醒 对于不是“如果……那么……”形式的命题，很多同学找不到条件和结论的分界，甚至改写后颠倒了原命题的条件与结论，改变了原命题的含义，例如把“对顶角相等”错误改写为“如果两个角相等，那么它们是对顶角”。 避错关键：改写命题时先明确逻辑：原语句中“预先满足的特点”是条件，“推出的性质/结论”是结果，改写时仅调整句式，不能改变原句的逻辑关系，“对顶角相等”正确改写为“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。 【对点训练】8．命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式是（    ） A．如果是同角的余角，那么相等 B．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 C．如果两个角是同角，那么这两个角是余角 D．如果两个角互余，那么这两个角相等 易错点9 证明假命题时方法错误，混淆真假命题的证明逻辑 易错提醒 很多同学误以为证明命题为假需要完整的推导过程，不知道举反例即可证明，还有部分同学会错误地把找不到反例的命题直接默认为真命题。 避错关键：证明一个命题是假命题，只需要举出一个满足命题条件、但不满足命题结论的反例即可，不需要复杂推导；若无法举出反例，再通过推理验证命题的真假。 【对点训练】9．对于命题“若，则．”下面四组关于、的值中，能说明这个命题是假命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 易错点10 证明过程逻辑不严谨，缺少依据或跳步推导 易错提醒 很多同学写证明过程时，会自行把未证明的结论作为推理依据，或是随意跳过关键推导步骤，导致证明过程不符合要求。 避错关键：证明的每一步都必须有明确依据，依据只能是题干给出的已知条件，或是已经公认的定义、公理、定理，不能添加未经证明的结论，也不能随意跳步，保证推导逻辑连贯完整。 【对点训练】10．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 一、单选题 1．下列语句中，是命题的是（    ） A．两个相等的角是对顶角 B．在直线上任取一点 C．用量角器量角的度数 D．直角都相等吗？ 2．将命题“对顶角相等”写成“如果……，那么……”的形式，正确的是 A．如果两个角相等，那么它们是对顶角 B．如果两个角是对顶角，那么它们相等 C．如果对顶角，那么相等 D．如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等 3．．要说明命题“对于任意自然数n，|n－1|≥1成立”是假命题，可以举反例是（  ） A．n＝0 B．n＝1 C．n＝2 D．n＝3 4．下列长度的三条线段能构成三角形的是（    ） A．4cm，6cm，10cm B．2cm，5cm，8cm C．3cm，4cm，5cm D．5cm，7cm，13cm 5．如图，已知∠BOF=120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F为多少度（　　） A．360° B．720° C．540° D．240° 二、填空题 6．下列语句：①同旁内角相等；②如果，那么；③对顶角相等吗？④画线段；⑤两点确定一条直线．其中是命题的有______；是真命题的有______．（只填序号） 7．将命题“等角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，可写成________________，该命题是_________（填“真命题”或“假命题”）． 8．若等腰三角形的两边的长分别是、，则它的周长为___________． 9．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为 10．如图，在中，点D，E，F，分别为，，的中点，，则的值为 ． 三、解答题 11． 已知等腰，解答以下问题： (1)若有一个内角为，求这个等腰三角形另外两个角的度数； (2)若等腰三角形的周长为27，两条边长分别是a和，求三边的长． 12．一个等腰三角形的一边长为，周长为，求其他两边的长． 13．如图，已知． (1)画出的三条高（不写画法）； (2)在（1）的条件下，若，，，则______． 14．等腰三角形一条腰上的中线将三角形的周长分成15和21两部分,求该三角形的腰长和底边的长. 15．［定义］若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”．例如，三边长为6，8，10的三角形是“好运三角形”． (1)［概念运用］在中，，若为“好运三角形”，求的长； (2)［变式运用］已知的周长为长为偶数，求出的范围，判断是不是“好运三角形”？ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $