7.4 空间直线、平面的垂直训练-备战2027年高考数学一轮复习精讲精练（全国通用）

**基本信息** 聚焦空间垂直关系判定与性质，整合正方体、棱锥等几何体，覆盖选择填空解答全题型，强化空间观念与逻辑推理。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择|11题（如第1、3、9题）|命题判断、位置关系判定|线线垂直→线面垂直→面面垂直的判定与性质推导链| |填空|3题（如第12、14题）|条件补充、折叠问题|垂直关系在动态与静态几何情境中的应用| |解答|5题（如第15、17题）|证明与存在性探究|空间观念下几何直观与逻辑推理的综合运用|

7.4 空间直线、平面的垂直（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三·山东青岛·期末）已知、是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】B 【分析】根据线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理，对每个选项逐一进行分析判断即可. 【详解】若，，则直线可能平行于平面，也可能在平面内，即或，故A错误； 若，，则或， 当，又因为，根据一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直，可得， 当，平面内必有一条直线与直线平行，又，所以，所以，故B正确； 若，，则或， 又因为，所以直线与平面可能相交、平行或，故C错误； 若，，，则直线与直线可能平行，可能异面，故D错误. 2．（26-27高三·黑龙江·开学考试）如图，在正方体中，为棱的中点，若点满足：平面平面，且平面，则点可以位于（    ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【答案】A 【分析】延长交延长线于点，根据题意确定直线的位置，分析平面求解. 【详解】延长交延长线于点， 因为平面平面，且平面， 所以直线为过点平行于的直线， 又因为，则，所以与共面，即平面， 所以点可以位于点，点都不在平面上. 3．（25-26高三·北京·期末）如图，在正方体中，下列结论错误的是（    ）    A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】C 【分析】根据正方体的几何性质，利用线面平行、面面平行及线面垂直的判定定理与性质定理逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，则. 又因为平面平面，所以平面，故A正确； 对于，在正方体中，侧棱底面，即平面，故正确； 对于C，平面即平面，在正方形中，. 若平面平面，因为平面平面，且平面. 因为，所以平面，因为平面，所以. 但在正方体中，为等边三角形，所以与不垂直， 这与平面矛盾.所以平面不垂直于平面，故错误； 对于D，由A可知，又平面，平面，所以平面， 又因为，平面，平面，所以平面. 因为，平面，所以平面平面，故D正确. 4．（25-26高三·全国·课后作业）已知矩形所在的平面（如图），则图中互相垂直的平面有（    ）    A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】C 【分析】根据面面垂直的判定定理判断． 【详解】因为，，， 且，平面，所以平面， 因为，所以平面， 由题易知平面，且，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面平面， 因为平面，平面平面， 因为平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面平面，共5对. 故选：C. 5．（25-26高三·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，，，平面，垂足在直线上，若上存在一点使得平面平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点、的中点，连接、、，证明出平面，可得出平面平面，可得出点即为所求，进一步可求得的值. 【详解】如下图所示，取的中点、的中点，连接、、， 平面，平面，， ，为的中点， ，为的中点，所以，， 、分别为、的中点，，， 平面，平面，， ，平面， 平面，所以，平面平面， 为的中点，为的中点，，因此，. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：求解线段上的点的位置的探索性问题时，一般先根据条件猜测点的位置，再给出证明，本题中可充分利用等腰三角形三线合一的性质找出点的位置，再利用面面垂直的判定定理给出证明. 6．（25-26高三·江苏镇江·阶段检测）如图，在三棱柱中，侧棱均与底面垂直，侧棱长为2，，，点是的中点，是侧面（含边界）上的动点.要使平面，则线段的长的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取为上靠近的四等分点，确定，的轨迹为线段，计算线段长度的最值得到答案. 【详解】平面，平面，则， ，，故， 取为上靠近的四等分点，则，故，    现在说明此时平面， 平面，平面，故， 又，，平面，故平面， 平面，故，且， 又，，平面，故平面， 故的轨迹为线段，，故的最大值为. 故选：A. 7．（25-26高三下·北京·开学考试）在正方体中，点在正方形内，且不在棱上，则（    ） A．在正方形内一定存在一点，使得 B．在正方形内一定存在一点，使得 C．在正方形内一定存在一点，使得平面平面 D．在正方形内一定存在一点，使得平面 【答案】A 【分析】对于选项A，当是的中位线时，可判断A选项；对于选项B，假设存在，则平面，或者平面，进而与已知矛盾判断B选项；对于选项C，假设存在，则可得到平面平面，进而由矛盾判断C选项；对于选项D，假设存在，则可得到平面平面，进而已知矛盾判断D选项. 【详解】对于选项A，连接、交于点P，连接、交于点Q，连接、， 因为是的中位线，所以，故A项正确； 对于选项B，在正方形内如果存在一点Q，使得，由于平面，所以平面，或者平面，而P、Q在平面的两侧，与平面相交，故B项错误； 对于选项C，在正方形内如果存在一点Q，使得平面平面，由于平面平面，所以平面平面，而平面与平面相交于点，故C项错误； 对于选项D，在正方形内如果存在一点Q，使得平面，由于平面，所以平面平面，而P、Q在平面的两侧，所以平面与平面相交，故D项错误． 故选：A 8．（25-26高三·辽宁大连·期末）如图，在四棱锥中，平面，四边形是边长为的正方形，，，分别是棱，的中点，是侧面内的一个动点，若平面，则动点的轨迹长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取中点 构造平面，通过线面垂直判定证明平面，结合在面内确定轨迹为线段，再由中位线求出 长度得到轨迹长. 【详解】如图，取棱PD的中点G，连接FG，EG． 因为F，G分别是棱AD，PD的中点，所以． 因为平面ABCD，所以平面ABCD． 因为平面ABCD，所以． 由正方形的性质易证． 因为平面EFG，平面EFG，， 所以平面EFG，则平面EFG． 因为M是侧面PCD内的一个动点，所以动点M的轨迹为线段EG． 因为，所以． 因为E，G分别是棱CD，PD的中点，所以， 即动点M的轨迹长度是． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·陕西咸阳·期末）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】结合线面、面面平行与垂直的判定定理和性质定理逐项分析即可. 【详解】对于A，若，则或直线与直线互为异面直线，故A错误； 选项B，若，根据线面垂直的性质与线面平行的性质可得，故B正确， 选项C，若，且，则或平面与平面相交，故C错误； 选项D，若，根据面面垂直的性质定理，线面垂直的性质定理可得，故D正确. 10．（25-26高三·陕西延安·期末）在直三棱柱中，，，，，分别是，，的中点，则（    ） A．平面 B．平面平面 C． D．平面平面 【答案】BCD 【分析】结合直三棱柱的几何性质，利用线面垂直、线面平行、面面平行、面面垂直的判定定理逐一分析选项即可得解. 【详解】对于A，若平面，则必有， 在矩形中，若对角线互相垂直，则矩形为正方形，即，与已知条件矛盾，故A错误； 对于B，分别是的中点，故是的中位线，可得， 又平面，平面，因此平面； 连接交于点，连接，同理可得，平面，平面， 故平面，和是平面内两条相交直线，均平行于平面， 因此平面平面，故B正确； 对于C，直三棱柱中平面，平面，故； 又，为中点，等腰三角形三线合一得， 由于，且平面，因此平面，平面，故，C正确； 对于D，由选项B的推导可知，结合选项C中平面，得平面， 又平面，根据面面垂直的判定定理，可得平面平面，故D正确. 11．（25-26高三·吉林长春·期末）如图，和都垂直于平面，且，，点在上，则（    ） A．平面平面 B．存在点，使得平面 C．存在点，使得平面平面 D．存在点，使得平面平面 【答案】BD 【分析】 A选项，通过线面垂直的性质及面面垂直的判定定理分析，除非，否则不成立； B选项，取的中点，利用中位线及平行四边形性质证明，进而利用线面平行的判定定理证明； C选项，利用反证法，由到平面距离不等可知平面与平面相交；D选项，当为中点时，结合B选项结论及等腰三角形性质，证明平面，进而利用面面垂直的判定定理证明. 【详解】对于A：因为平面，平面，所以，因为平面，平面，则平面. 平面与平面的交线过点且，所以平面.这意味着平面和平面都垂直于平面. 若要平面平面，则需它们在平面内的交线与垂直，即. 题目仅已知，无法推出，故A错误； 对于B：取的中点，连接.若为的中点，则为的中位线， 所以，且. 又因为平面，平面，所以， 已知，即. 所以且， 则四边形为平行四边形，所以. 又平面，平面， 所以平面. 故存在点（即中点）满足条件，故B正确； 对于C：假设存在点使得平面平面. 因为平面，平面， 所以到平面的距离等于到平面的距离. 即， 但这与已知条件矛盾（）.所以假设不成立，故C错误； 对于D：当为的中点时，由选项B可知四点共面，即平面. 因为，为中点，所以. 因为平面，平面，所以. 又，平面， 所以平面. 因为平面， 所以平面平面. 故存在点（即中点）满足条件，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面，且底面各边都相等，是上的一动点，当点满足________时，平面平面．（只要填写一个你认为是正确的条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】首先根据线面垂直的判定定理证明平面，进而得到，所以只需要再垂直于平面内的一条和相交的直线即可满足条件. 【详解】因为底面为菱形，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为平面，，所以平面， 因为平面，所以． 所以当时，平面， ，则平面， 而平面，所以平面平面． 13．（2026高三·全国·专题练习）是正方形，P为平面外一点，且平面，则平面、平面、平面、平面、平面这五个平面中，互相垂直的平面有______对． 【答案】5 【分析】根据题意，利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，证得面面垂直，即求解. 【详解】由平面，且平面，平面， 所以平面平面，平面平面， 又由平面，且平面，所以， 在正方形中，可得， 因为且平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面， 同理可证：平面，且平面，所以平面平面， 由平面，且平面，所以， 在正方形中，可得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面， 综上可得，互相垂直的平面有5对. 14．（2026高三·全国·专题练习）如图，将矩形沿对角线折成直二面角，其中，，则异面直线和所成角的余弦值为______． 【答案】/ 【分析】过点作，使，连接，则是异面直线和所成的角或其补角，再结合几何关系，利用余弦定理求解即可． 【详解】过点作，使，连接， 则是异面直线和所成的角或其补角， 过作于，连接， 由平面平面，平面平面，平面， 所以平面，而平面，则， 在中，，由，得，， 所以，又，则， 由余弦定理得，， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线和所成角的余弦值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·安徽合肥·期末）如图①，在中，，，，，垂足为，将沿折起到的位置，使，如图②． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面．若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明：因为在①中, 折叠后，在②中仍成立， 因为，平面,, 所以平面, 又因为平面,所以, 因为平面,, 所以平面； (2)存在，当为中点时，平面平面，证明如下： 由（1）可知平面， 又平面,所以, 因为，，，， 所以， 所以, 所以为等腰直角三角形， 又因为为中点，所以, 因为平面，, 所以平面， 又因为平面．可得平面平面. 因为为中点，所以. 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面,从而得,再由，即可得证； （2）结合（1），取中点,结合线面垂直的判定定理及性质定理，可证明平面平面，根据为中点，可求得的值. 【详解】（1）略； （2）略. 16．（25-26高三·全国·专题训练）如图，在几何体中，平面，，，，是线段上的动点． (1)当是线段的中点时，求证：平面． (2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 如图，取的中点，连结． 因为是线段的中点，所以， 结合得，所以四点共面． 又因为，所以， 由平面得． 又因为平面，平面，， 所以平面． (2)存在，． 【分析】（1）由线面垂直的性质可得，结合，可得，再根据线面垂直的判定即可证明； （2）将几何体补成三棱锥，过点作交于点，连结，交于点，可证明平面平面，即此时平面平面，再计算的值即可. 【详解】（1）略 （2）如图，将几何体补成三棱锥，过点作交于点，连结，交于点． 由平面得， 结合平面，可得平面， 从而平面平面，即平面平面． 在中，，设，则，，， 所以． 设， 因为三点共线，所以，解得． 所以，故． 17．（25-26高三·甘肃白银·期末）如图，在正三棱柱中，，D，E，F分别是，，的中点． (1)证明：平面． (2)证明：平面． (3)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)证明：连接BD． 因为E，F分别是CD，BC的中点，所以EF是的中位线，所以． 因为平面，平面，所以平面． (2)证明：根据正三棱柱的性质可得平面． 因为平面，所以． 因为为等边三角形，所以． 因为，平面，面， 所以平面． (3)． 【分析】（1）连接BD，由中位线得到，再根据线面平行的判定定理即可证得平面； （2）利用正三棱柱的性质结合线面垂直的性质得到线线垂直，再根据线面垂直的判定定理得到线面垂直； （3）先确定异面直线EF与所成的角即为（或其补角），再根据（2）得，利用勾股定理计算得到，进而求得即可求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（1）得，所以异面直线EF与所成的角即为（或其补角）． 因为平面，所以由（2）可得． 因为，所以，，， 则，所以是以D为顶点的等腰直角三角形， 所以，即异面直线EF与所成的角为． 18．（25-26高三·陕西汉中·期末）如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点．    (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求平行六面体的体积． 【答案】(1)证明：平行六面体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以. 又平面，平面，所以平面. (2)证明：因为底面是正方形，为的中点，所以. 在和中，，，， 所以，所以， 又为的中点，所以. 又，平面，，所以平面. (3) 【分析】（1）根据平行六面体的性质及线面平行的判定定理证明即可. （2）根据全等三角形的判定及性质，线面垂直的判定定理证明即可. （3）根据平行六面体的体积公式，结合面面垂直的判定定理、面面垂直的性质及勾股定理求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）在中，，，，所以为等边三角形， 所以，同理可得. 在等腰中，， 所以. 在中，，，则，所以. 因为平面，平面，所以平面平面. 因为平面平面，所以平面，则即为平行六面体的高. 又，所以. 故平行六面体的体积为. 19．（25-26高三·安徽安庆·期末）如图所示，四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，且平面平面，，分别为的中点. (1)求证：平面平面； (2)若点在棱上，，点在棱上，，证明：平面； (3)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)在等边中，为中点，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 则平面，又因为平面，所以， 在正方形中，，又因为分别为的中点， 所以，所以，且平面，平面，， 所以平面，平面， 所以平面平面. (2)连接 ，设其与 交于点 ， 显然，平面，且 平面， 又因为平面，且 平面，所以平面平面， 设平面， 因为平面，且平面，所以， 因此三点共线， 在中，直线分别交 的延长线于 ， 已知：， 设， 则， 因为三点共线，所以，则， 即， 因为，所以， 所以，所以. 因为平面且平面， 所以平面. (3) 【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，然后由线线垂直得到线面垂直，从而证明面面垂直； （2）作平面,由梅涅劳斯定理求得，然后证明，即可得证； （3）取中点，由中位线得到异面直线与所成角，结合（1）的结论利用勾股定理求出的边长，利用余弦定理求得夹角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）略 （3）取中点，连接， 因为分别为中点，所以且， 所以异面直线与的所成角或其补角， 在等边中， 由（1）可知，在中， 所以，， 所以. 2 / 20 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.4 空间直线、平面的垂直（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三·山东青岛·期末）已知、是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 2．（26-27高三·黑龙江·开学考试）如图，在正方体中，为棱的中点，若点满足：平面平面，且平面，则点可以位于（    ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 3．（25-26高三·北京·期末）如图，在正方体中，下列结论错误的是（    ）    A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 4．（25-26高三·全国·课后作业）已知矩形所在的平面（如图），则图中互相垂直的平面有（    ）    A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 5．（25-26高三·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，，，平面，垂足在直线上，若上存在一点使得平面平面，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三·江苏镇江·阶段检测）如图，在三棱柱中，侧棱均与底面垂直，侧棱长为2，，，点是的中点，是侧面（含边界）上的动点.要使平面，则线段的长的最大值为（    ）    A． B． C． D． 7．（25-26高三下·北京·开学考试）在正方体中，点在正方形内，且不在棱上，则（    ） A．在正方形内一定存在一点，使得 B．在正方形内一定存在一点，使得 C．在正方形内一定存在一点，使得平面平面 D．在正方形内一定存在一点，使得平面 8．（25-26高三·辽宁大连·期末）如图，在四棱锥中，平面，四边形是边长为的正方形，，，分别是棱，的中点，是侧面内的一个动点，若平面，则动点的轨迹长度为（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·陕西咸阳·期末）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 10．（25-26高三·陕西延安·期末）在直三棱柱中，，，，，分别是，，的中点，则（    ） A．平面 B．平面平面 C． D．平面平面 11．（25-26高三·吉林长春·期末）如图，和都垂直于平面，且，，点在上，则（    ） A．平面平面 B．存在点，使得平面 C．存在点，使得平面平面 D．存在点，使得平面平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面，且底面各边都相等，是上的一动点，当点满足________时，平面平面．（只要填写一个你认为是正确的条件即可） 13．（2026高三·全国·专题练习）是正方形，P为平面外一点，且平面，则平面、平面、平面、平面、平面这五个平面中，互相垂直的平面有______对． 14．（2026高三·全国·专题练习）如图，将矩形沿对角线折成直二面角，其中，，则异面直线和所成角的余弦值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·安徽合肥·期末）如图①，在中，，，，，垂足为，将沿折起到的位置，使，如图②． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面．若存在，求的值；若不存在，说明理由． 16．（25-26高三·全国·专题训练）如图，在几何体中，平面，，，，是线段上的动点． (1)当是线段的中点时，求证：平面． (2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 17．（25-26高三·甘肃白银·期末）如图，在正三棱柱中，，D，E，F分别是，，的中点． (1)证明：平面． (2)证明：平面． (3)求异面直线与所成角的大小． 18．（25-26高三·陕西汉中·期末）如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点．    (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求平行六面体的体积． 19．（25-26高三·安徽安庆·期末）如图所示，四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，且平面平面，，分别为的中点. (1)求证：平面平面； (2)若点在棱上，，点在棱上，，证明：平面； (3)求异面直线与所成角的余弦值. 2 / 20 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $