7.3 空间直线、平面的平行训练-备战2027年高考数学一轮复习精讲精练（全国通用）

**基本信息** 聚焦空间线面平行判定与性质，通过多题型覆盖线线、线面、面面平行逻辑链，强化空间观念与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判定|选择1、9|命题真假判断|线面平行判定定理与性质定理的辨析| |几何体应用|选择2、3、填空12|正方体、三棱柱中平行关系|从线线平行推导线面平行的转化思想| |动态问题|选择7、填空14|动点轨迹与平行条件|空间几何量动态变化中的平行判定| |综合证明|解答15、19|四棱锥、正方体中平行证明|线面平行到面面平行的递进推理|

7.3 空间直线、平面的平行（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三·北京·期中）已知两条直线，，三个平面，，，则下列命题正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则且 C．若，，，，则 D．若，，，则 【答案】D 【详解】A：说明两平面交线为，，此时和是同一平面内的两条直线，它们的位置关系可以是平行，也可以是相交，因此不必然成立，A错误， B：若且，直线有可能在平面内（或平面内），此时不满足（或），B错误， C：面面平行的判定定理要求平面内有两条相交直线都平行于，而不一定是相交直线，若，则两个平面也可能相交，C错误， D：面面平行的性质定理：两个平行平面同时和第三个平面相交，所得的交线互相平行，命题成立，D正确. 2．（25-26高三·新疆巴州·期中）在正方体中，以下直线与平面平行的是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】根据线面平行的判定定理判断即可. 【详解】对于A，，与平面相交，故与平面相交，A错误. 对于B，，与平面相交，故与平面相交，B错误. 对于C，，平面，平面，则平面，C正确. 对于D，，与平面相交，故与平面相交，D错误. 3．（25-26高三·辽宁沈阳·期末）三棱柱中，是棱上靠近的三等分点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点，连接，根据得出，可求出的值，利用线面平行的性质得出，可得出，即可得出的值. 【详解】连接交于点，连接， 在三棱柱中，，所以，， 所以，所以，故， 因为平面，平面，平面平面， 所以，故，故. 4．（25-26高三·广西钦州·期末）如图，正四棱锥的所有棱长均为，M为棱的中点，N为棱上一动点，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等积法进行求解． 【详解】连接交于点，再连接，如图所示： 则点为的中点，得为的中位线，得， 而平面，平面，得平面， 连接，因为在正四棱锥中，所以平面， 则 则． 5．（25-26高三·河北沧州·阶段检测）如图，已知平面平面，点在平面和平面之间，且，，，若，则.（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，同理可得，，所以与相似. 因为，所以，所以， 所以. 6．（25-26高三·重庆·期末）下图是正方体的平面展开图，则在原正方体中，下列命题正确的是（    ） A． B．平面平面BEM C．EF和CD为异面直线 D．平面DEM 【答案】B 【分析】将平面展开图还原为正方体，利用正方体中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一判断. 【详解】将平面展开图还原为正方体，如图， 对于A：与显然是异面直线，A错误； 对于B：因为，，且，且平面， 平面，所以平面平面，B正确； 对于C：显然，C错误； 对于D：因为，与夹角为，所以与夹角为， 所以平面不成立，D错误. 7．（25-26高三上·上海·期中）已知正方体边长为，分别是棱，的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，则平面的一个充分非必要条件是（   ）    A．为 B．为的中点 C．的轨迹长度为 D．为的中点 【答案】D 【分析】取中点、中点，证得平面平面，得到点在正方形内的轨迹即可逐一分析选项. 【详解】取中点、中点，连接、、，则， 又分别是棱，的中点，则，所以， 平面，平面，所以平面， ，，则四边形为平行四边形，有， 平面，平面，所以平面， 平面，，故平面平面， 因此满足平面的点在正方形内的轨迹是线段，该线段长度为； 分析选项： 选项A：若，该点不在轨迹上，不满足条件； 选项B：若为中点，该点不在轨迹上，不满足条件； 选项C：的轨迹长度为不能得到平面，不满足充分性； 选项D：若为中点，则是线段的端点，必然满足平面， 但满足平面的点可以是线段上的任意点，不一定是中点，因此是充分非必要条件.    8．（2026·河北邯郸·一模）在下列四个正方体中，为正方体的顶点，为所在棱的中点，则满足直线平面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于A、B和C，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量和，利用直线与平面位置关系的向量法，即可求解；对D，利用面面平行的性质，即可求解. 【详解】如图1所示，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为， 则，所以 设平面的一个法向量为， 则，取，则，所以， 又易知，则， 又，即与不垂直，所以与平面不平行，故A错误， 对于B，如图2，由选项A知平面的一个法向量为， ，则， 又，即与不垂直，所以与平面不平行，故B错误， 对于C，如图3，由选项A知平面的一个法向量为， ，则， 又，即与不垂直，所以与平面不平行，故C错误， 对于D，如图4，记为正方体所在棱的中点，连接，易得， 又平面，平面，所以平面， 又，平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 又平面，则直线平面，所以D正确， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·辽宁本溪·期末），，是三个平面，，是两条直线，下列四个命题中错误的是（     ） A．若，，，则 B．若，，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】BD 【详解】对A，根据面面平行的性质定理，A正确； 对B，根据面面平行的判定定理，条件中缺少直线，相交，没有这个条件，不能得到，故B错误； 对C，因为，所以平面与平面无公共点，又，所以与平面无公共点，即.故C正确； 对D，仅，，，无法得到.比如在时，也可以有，，.故D错误. 10．（26-27高三上·贵州·阶段检测）如图，在空间四边形中，分别是线段的中点，分别是线段上的动点且，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．、、、四点共面，且平面 C．若，则与的交点在直线上 D．若平面，则 【答案】BCD 【分析】先根据得出，若可判断A；根据线面平行的判定定理判断B；证明三线交于一点判断C；利用线面平行的性质判断D. 【详解】对于A，由，可知，因此，所以， 又由为中点可知，，故，因此点四点共面， 当时，直线相交，此时与平面相交，故A错误； 对于B，因为，平面，平面， 所以平面，故B正确； 对于C，当时，， 因为，所以与相交， 设，则， 因为平面，平面，所以平面平面， 即点在直线上，故C正确； 对于D，因为平面，平面，平面平面， 所以， 同理可得，，则， 又，所以四边形为平行四边形，则， 因为，所以，故D正确． 11．（25-26高三·重庆九龙坡·阶段检测）在棱长为2的正方体中，点是正方体内及其表面上一动点，且面，则线段的长度可能是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】CD 【分析】通过面面平行与线面平行得到点P的轨迹，从而求出线段的取值范围. 【详解】 在正方体中：， 且，，因此平面 平面， 已知平面，且在平面上，根据 “过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行”，所有满足条件的点都在平面上， 平面与正方体的交线为（连接顶点、、），因此的轨迹是等边的内部及边界； 因为（正方形对角线垂直），（正方体侧棱垂直底面），且，所以 平面，又 平面，因此 ， 同理，，，且，所以 平面， 又 平面，因此， 因为，且、 平面，所以平面， 设与平面的交点为，则是等边的重心，且是点到平面的距离，即的最小值； 到等边三个顶点的距离为的最大值， 正方体棱长为 2，体对角线， 等边的重心将体对角线分为两段： （到平面的距离）， 到三个顶点、、的距离相等，均为面对角线长度： 综上，的取值范围是： 选项 A：，不可能 选项 B：，不可能 选项 C：，是最小值，可能 选项 D：，是最大值，可能 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三·全国·课后作业）如图，分别为正方体对应棱的中点，则平面与平面的位置关系是________. 【答案】平行 【分析】根据面面平行的判定定理判断即可. 【详解】如图，分别取，，的中点，，，连接. 在正方体中，易知，. 因为，为中点，所以，，同理，， 所以，. 同理，，，，， 则平面与平面为同一平面. 因为，，且与相交，平面，与相交，，平面， 所以平面平面，即平面平面. 13．（25-26高三·全国·暑假作业）如图，在多面体中，平面平面，，，且，，则下列说法中正确的是_________．（填序号） ①平面； ②平面； ③； ④平面平面． 【答案】① 【分析】根据线面平行、线线平行、面面平行有关定理对四个说法进行分析，从而确定正确答案. 【详解】因为，平面，平面， 所以平面. 因为，平面，平面， 所以平面. 因为，，平面， 所以平面平面． 因为平面， 所以平面，故①正确； 由于， 则四边形是梯形， 的延长线必与直线相交，故④错误； 由于的长度不确定，所以与平面的位置关系不确定，②错误. 由于的长度不确定，所以与的位置关系不确定，③错误. 14．（25-26高三·江苏南通·期末）在棱长为4的正方体中，为棱的中点，是侧面上的动点，且平面，则点在侧面上的轨迹长度为__________ 【答案】 【分析】构造一个过且平行于平面的平面，该平面与侧面的交线即为点的运动轨迹. 【详解】在棱长为4的正方体中，分别取的中点，连接，连接， 由，，得，又，得四边形是平行四边形， 则，平面，平面， 因此平面； 又，，得，平面，平面， 因此平面，又平面，平面，， 则平面平面，而侧面，平面， 于是平面，则点在侧面与平面的交线上， 即点的轨迹为线段，又，所以点在侧面上的轨迹长度为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·甘肃兰州·阶段检测）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，平面平面，是的中点． (1)求证：平面； (2)若是线段上一动点，点是线段的中点，是否有平面？证明你的结论． 【答案】(1)在梯形中，，又平面，平面， 平面，平面，平面面，， 平面，平面，所以平面； (2)为中点时，平面. 证明：连接，， ，分别为，的中点， ，平面，平面， 平面， 取的中点，连接，则，则，且， 所以四边形为平行四边形，则， 因为平面平面， 所以平面，，、平面，平面平面， 是上的动点，平面，平面， 当为中点时，平面. 【分析】（1）在梯形中，，可得平面，从而证明线面平行； （2）连接，，证明平面，从而证明面面平行，得到结论. 【详解】（1）略 （2）当点是线段的中点时，平面， 证明略 16．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，平面内两正方形与，点M、N分别在对角线、上，且，沿折成直二面角． (1)证明：折叠后平面； (2)若，在线段上是否存在一点G，使平面平面?若存在试确定点G的位置． 【答案】(1)如图所示，设直线与交于点H，连结， ， ， ，即， ． 又平面，平面，平面． (2)存在，G在线上且 【详解】（1）略 （2）存在，过M作于点G， 则，平面，平面,平面， 又平面．且，平面, ∴平面平面． 即G在线上，且． 17．（25-26高三·甘肃张掖·期末）如图，在正四棱台中，，，，分别为边，上一点，且，． (1)求四棱台的体积； (2)证明：平面． 【答案】(1) (2)如图，连接， 因为，，所以，且， 因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面， 所以平面. 【分析】（1）由题设得正方形的面积，正方形的面积，连接，，过点作平面于点，求出相关线段长，结合棱台的体积公式求体积； （2）连接，根据已知证明，再由线面平行的判定定理证明结论. 【详解】（1）因为，所以， 则正方形的面积，正方形的面积， 如图，连接，，则，， 过点作平面于点，则点在上，且， 在中． 所以四棱台的体积为 ． （2）略 18．（25-26高三·江苏南通·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，平面，且，点为棱的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)因为平面，平面，且平面平面， 根据线面平行的性质定理，可得：. (2)取的中点，连接.如图： 因为是中点，所以是的中位线，得，且. 由题设，结合（1）中，可得 且， 因此四边形是平行四边形，得. 又平面，平面， 根据线面平行的判定定理，可得：平面. (3)线段上存在点，当是中点时，平面.理由如下： 由，，可得且， 因此四边形是平行四边形，得. 又平面，平面，所以平面. 结合（2）的结论平面，且，平面， 根据面面平行的判定定理，可得平面平面. 因为是上动点，平面， 根据面面平行的性质，可得平面. 因此，线段上存在点，当为中点时满足平面. 【分析】（1）直接由线面平行的性质定理可得； （2）取的中点，构造平行四边形，再由线面平行的判定定理可得； （3）取的中点，由已知条件可得四边形是平行四边形，进而可得 平面，再结合（2）的结论及面面平行的判定定理可得平面，再由面面平行的性质可得. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 19．（25-26高三·北京·期中）如图，正方体中，，，，分别为棱，，，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明：连接，在中，分别是，的中点，由三角形中位线定理，得//， 同理，在中，分别是，的中点，得//，则//， 又平面，平面，所以//平面. (2)证明：由（1）知，//平面. 连接，因为分别是，的中点，且四边形是正方形，所以//且， 所以四边形是平行四边形，所以//，， 又四边形是正方形，所以//，， 所以//，，所以四边形是平行四边形，所以//，， 又平面，平面，所以//平面. 又，平面，，平面，所以平面//平面. (3) 【详解】（1）略 （2）略 （3）不妨设正方体棱长为2. 由（2）知//，，因此异面直线与所成角等于与所成角（或其补角），即求或其补角. 在中，，，， 由余弦定理得，， 异面直线所成角范围为， 故异面直线与所成角的余弦值为. 2 / 18 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3 空间直线、平面的平行（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三·北京·期中）已知两条直线，，三个平面，，，则下列命题正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则且 C．若，，，，则 D．若，，，则 2．（25-26高三·新疆巴州·期中）在正方体中，以下直线与平面平行的是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3．（25-26高三·辽宁沈阳·期末）三棱柱中，是棱上靠近的三等分点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高三·广西钦州·期末）如图，正四棱锥的所有棱长均为，M为棱的中点，N为棱上一动点，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三·河北沧州·阶段检测）如图，已知平面平面，点在平面和平面之间，且，，，若，则.（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三·重庆·期末）下图是正方体的平面展开图，则在原正方体中，下列命题正确的是（    ） A． B．平面平面BEM C．EF和CD为异面直线 D．平面DEM 7．（25-26高三上·上海·期中）已知正方体边长为，分别是棱，的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，则平面的一个充分非必要条件是（   ）    A．为 B．为的中点 C．的轨迹长度为 D．为的中点 8．（2026·河北邯郸·一模）在下列四个正方体中，为正方体的顶点，为所在棱的中点，则满足直线平面的是（    ） A．B．C．D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·辽宁本溪·期末），，是三个平面，，是两条直线，下列四个命题中错误的是（     ） A．若，，，则 B．若，，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 10．（26-27高三上·贵州·阶段检测）如图，在空间四边形中，分别是线段的中点，分别是线段上的动点且，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．、、、四点共面，且平面 C．若，则与的交点在直线上 D．若平面，则 11．（25-26高三·重庆九龙坡·阶段检测）在棱长为2的正方体中，点是正方体内及其表面上一动点，且面，则线段的长度可能是（     ） A．2 B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三·全国·课后作业）如图，分别为正方体对应棱的中点，则平面与平面的位置关系是________. 13．（25-26高三·全国·暑假作业）如图，在多面体中，平面平面，，，且，，则下列说法中正确的是_________．（填序号） ①平面； ②平面； ③； ④平面平面． 14．（25-26高三·江苏南通·期末）在棱长为4的正方体中，为棱的中点，是侧面上的动点，且平面，则点在侧面上的轨迹长度为__________ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·甘肃兰州·阶段检测）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，平面平面，是的中点． (1)求证：平面； (2)若是线段上一动点，点是线段的中点，是否有平面？证明你的结论． 16．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，平面内两正方形与，点M、N分别在对角线、上，且，沿折成直二面角． (1)证明：折叠后平面； (2)若，在线段上是否存在一点G，使平面平面?若存在试确定点G的位置． 17．（25-26高三·甘肃张掖·期末）如图，在正四棱台中，，，，分别为边，上一点，且，． (1)求四棱台的体积； (2)证明：平面． 18．（25-26高三·江苏南通·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，平面，且，点为棱的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由． 19．（25-26高三·北京·期中）如图，正方体中，，，，分别为棱，，，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 2 / 18 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $