7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系专项训练-2027届高三数学一轮复习（全国通用）

**基本信息** 聚焦空间点线面位置关系，通过分层题型构建从概念辨析到综合应用的认知链条，强化空间观念与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判断|8选择+3填空|以公理、定理为依据的位置关系辨析|从平面基本性质到空间线面关系的概念迁移| |综合应用|3多选+5解答|结合几何体的共面、异面及角度计算|通过中点、截面等几何元素构建空间转化桥梁|

7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三·全国·课后作业）如果，，那么和（   ） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．大小无关 【答案】C 【详解】若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，两个角的关系分两种情况： 若两组边的方向都相同或都相反，两个角相等； 若一组对边方向相同，另一组对边方向相反，两个角互补。 因此和相等或互补. 2．（25-26高三·新疆伊犁·期末）如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断正确的是（    ） A．直线与平行 B．直线与相交 C．A，B，C，D四点中可以有三点共线 D．A，B，C，D四点中不存在三点共线 【答案】D 【详解】若直线与平行或相交，则两条直线确定一个平面，可得四点共面，与题设矛盾，故A、B均错误. 若四点中有三点共线，则这条直线与第四个点确定一个平面，可得四点共面，与题设矛盾，因此四点中不存在三点共线，故C错误，D正确. 3．（25-26高三·河北廊坊·期末）若空间中三条不同的直线两两相交，则这三条直线最多可以确定（    ） A．一个平面 B．两个平面 C．三个平面 D．四个平面 【答案】C 【详解】根据平面基本事实的推论：两条相交直线确定唯一平面，对三条两两相交的不同直线分情况讨论， 当三条直线两两相交于三个不同的点时，三个交点不共线，根据平面基本事实，三个不共线的点确定唯一平面，故三条直线共面，仅能确定1个平面； 当三条直线两两相交于同一点时，每两条直线可确定1个平面，若任意两条直线确定的平面均不重合，共可确定个平面， 综上所述，三条不同的两两相交直线最多可确定3个平面，故选项C正确. 4．（2026高三·全国·专题练习）若直线a不平行于平面，且，则下列结论成立的是（   ） A．内的所有直线与a异面 B．内与a平行的直线不存在 C．内存在唯一的直线与a平行 D．内的直线与a都相交 【答案】B 【详解】由题设可知：直线a与平面相交，设，如图， 在内过点P的直线与a共面，A错； 假设内直线，则， ，与已知矛盾，B对，C错， 在内不过点P的直线与a异面，D错. 5．（25-26高三·广西南宁·期中）如图，三棱柱中，点E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法错误的是（   ） A．E、F、G、H四点共面 B．与是异面直线 C．、、三线共点 D． 【答案】D 【详解】对于A，在三棱柱中，分别为的中点， 连接， 由是的中位线，得， 由，且，得四边形是平行四边形， 则，，因此四点共面，A正确； 对于B，因为平面，平面，， 所以与是异面直线，正确； 对于C，延长，相交于点， 由，平面，得平面， 由，平面，得平面， 而平面平面，则，三线共点，C正确； 对于D，由，且可知，四边形是梯形，则不平行，所以D不正确. 6．（2026高三·全国·专题练习）空间四点A、B、C、D，如果其中任意三点不共线，则经过其中三个点的平面有（   ） A．一个或四个 B．一个或三个 C．一个或两个 D．两个或三个 【答案】A 【详解】情况 1：A、B、C、D 四个点落在同一个平面内，任意三点确定的都是这个平面，因此只有 1 个平面， 情况 2：四点不共面，从 4 个点中任选 3 个确定一个平面，分别是平面 、平面、平面、平面，共4 个不同平面， 综上，平面数量为一个或四个. 7．（25-26高三·山东潍坊·阶段检测）给出下列说法： ①不共面的四点中，任意三点不共线； ②和同一条直线相交的两条直线在同一平面内； ③三条两两相交的直线在同一平面内； ④有三个不同公共点的两个平面重合；⑤依次首尾相接的四条线段不一定共面．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】对于①，假设不共面的四点中，存在三点共线，则该直线与第四点在同一平面内，即四点共面，与已知矛盾，①正确； 对于②，三棱锥中，直线与直线都相交，而直线不在同一平面内，②错误； 对于③，三棱锥的三条侧棱所在直线两两相交，而这三条直线不共面，③错误； 对于④，两个相交平面有无数个不同公共点，而这两个平面不重合，④错误； 对于⑤，空间四边形的四条边首尾相接，因此依次首尾相接的四条线段不一定共面，⑤正确， 所以所给说法正确的个数为2. 8．（25-26高三·陕西咸阳·期末）如图，直三棱柱内接于一个圆柱，AB是底面圆O的直径，，，，则异面直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】将异面直线所成的角转化为相交直线所成角，即可求解. 【详解】因为，所以异面直线与所成角为或其补角， 因为为圆的直径，所以， 因为平面，平面，所以， 且，平面， 所以平面，平面，所以， ,, 所以 所以异面直线与所成角的正切值为3. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·江苏泰州·期中）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法正确的有（    ） A．四点共面 B．三线共点 C．此三棱柱的各面所在的平面将空间分成21部分 D．在空间，到三个顶点距离相等的点的轨迹是一个平面 【答案】ABC 【分析】对于A，利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断；对于B，利用平面公理判断得，的交点在，从而可判断；对于C，先考虑侧面，再考虑两个底面；对于D，到三个顶点距离相等的点的轨迹是一条直线. 【详解】对于A，如图，连接，， 因为是的中位线，所以， 因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，所以四点共面，故A正确； 对于B，如图，延长，相交于点， 因为，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面， 因为平面平面， 所以，所以三线共点，故B正确； 对于C，先考虑侧面，3个侧面将空间分为7部分，再考虑两个底面，两个底面切割后将空间分为个部分，C正确； 对于D，到三个顶点距离相等的点的轨迹是一条经过重心且垂直于平面的直线，D错误. 10．（25-26高三·山西晋中·阶段检测）如图，在长方体中，分别为，的中点，分别为的中点，则（    ） A．四点在同一平面内 B．三条直线有公共点 C．直线与直线相交 D．直线上存在点使三点共线 【答案】BD 【分析】根据题意，由平面的基本性质分析A、B和D，由异面直线的定义分析C，综合可得答案． 【详解】根据题意，如图所示 对于A，假设四点在同一平面内，根据题意，则有或与相交， 因为，而与相交，则不平行，矛盾，说明与是异面直线， 因此，四点不在同一平面内，故A错误； 对于B，延长，，则，相交于点， 又平面，平面，则平面，平面， 且平面平面，所以，即三条直线有公共点，故B正确； 对于C，直线为长方体的体对角线，为的中点，为的中点， 由于不在平面内，在平面内，所以不在平面内， 而直线和点在平面内，假设直线与直线相交，则交点只能是，即在直线上， 由于在底面上，交底面于，所以不在直线上，矛盾， 因此直线与直线不相交，故C错误； 对于D，直线上存在点使三点共线，等价于交于点， 由题意知，，，，均在平面内，连接， 由于分别为，的中点，为的中点，则关于对称，因此在上， 因为为的中点，所以是的中点，即在上，所以直线平面， 因为直线平面，如图所示，设交于点， 所以直线上存在点使三点共线，故D正确. 11．（25-26高三·湖南岳阳·期末）正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（     ） A．三棱锥的外接球表面积为 B．三棱锥的体积为定值 C．平面截正方体所得的截面周长为 D．直线与直线所成角余弦值的最大值为 【答案】BCD 【分析】A易知三棱锥的外接球即为正方体的外接球，根据正方体的对角线长等于球的直径，求出表面积即可判断；B先根据线面平行的判定定理证明平面，则点到平面的距离即为到平面的距离，从而可得为定值，即可判断；C由B可知平面截正方体所得的截面为四边形，分别求出四条边的长度即可判断；D先将直线与直线所成角转化为直线与直线所成角，结合线面所成角的性质，即可求出直线与直线所成角的余弦值的最大值. 【详解】A，三棱锥的外接球即为正方体的外接球，则该外接球的直径为， 因此三棱锥的外接球的表面积，A错误； B，连接，由且， 所以四边形为平行四边形，则， 又，则，四边形为平面截正方体所得的截面图形， 连接，则由均为所在棱的中点，得，， 则四边形为平行四边形，，又平面，平面， 因此平面，点到平面的距离即为到平面的距离， 所以为定值，即三棱锥的体积为定值，B正确； C，由B可知，平面截正方体所得的截面为四边形， 而，，， 所以，C正确； D，由B知，则直线与直线所成角即为直线与直线所成角， 由异面直线所成角的范围为，若所成角余弦值最大，则直线与直线所成角尽可能小， 在正方体中，易知平面，则为与平面所成的角，为， 由线面角的性质可知，平面内任意直线与斜线的夹角不小于线面角，所以直线与直线所成角， 所以，即直线与直线所成角余弦值的最大值为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三·全国·专题训练）已知空间中的两个角和，若,则_____. 【答案】或 【详解】由等角定理可知与相等或互补， 所以或. 13．（26-27高三·全国·一轮复习）给出下列命题：①空间中不同的三点确定一个平面；②空间中两两相交的三条直线确定一个平面；③若两个圆交于两点，则这两个圆确定一个平面；④一条直线与两条平行直线都相交，则这三条直线确定一个平面．其中真命题的序号是______． 【答案】④ 【分析】通过平面的基本性质进行判断. 【详解】当三点共线时，过三点有无数个平面，①是假命题； 当三条直线共点时，不能确定一个平面，②是假命题； 一个圆是平面图形，两个相交的圆不一定在一个平面内，所以③是假命题； 两条平行直线确定一个平面，第三条直线与这两条平行直线都相交，所以第三条直线在这个平面内，所以④是真命题． 14．（25-26高三·陕西咸阳·期末）在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______． 【答案】 【分析】连接、，证明出，则异面直线与所成的角即是直线与所成的角，即或其补角，分析可知是等边三角形，利用等腰三角形三线合一的性质求出的大小，即可得解. 【详解】连接、，在正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，则， 所以异面直线与所成的角即是直线与所成的角，即或其补角， 易知，故是等边三角形，则， 因为为的中点，所以平分，故， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·上海·一轮复习）如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点，求证：，O，M三点共线． 【答案】 证明：由题意得平面， 又，平面， 所以平面， 由基本事实3可得，点在平面和平面的交线上， 所以三点共线． 【分析】由题意得平面，又可证平面，根据基本事实，即可得证． 【详解】略 16．（26-27高三·湖北十堰·开学考试）如图，正方体的棱长为4，为中点．    (1)求三棱锥的体积； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由即可求解； （2）由可得（或其补角）即为异面直线与所成的角，再借助余弦定理即可求解. 【详解】（1）在正方体中，点到平面的距离为． 所以． （2）在正方体中，面对角线， 故（或其补角）即为异面直线与所成的角， 在中，，， ， 由余弦定理： ， 因为，所以， 故异面直线与所成角的大小为． 17．（25-26高三·上海虹口·期中）如图，已知、分别是正方体的棱、的中点． (1)求证：、、、在同一个平面上； (2)求证：与是异面直线并求出异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)连接、，因为是中点，所以是中位线，所以， 正方体中，，由平行传递性，得， 与是两条平行直线，两平行直线确定唯一平面，所以四点在同一个平面上； (2) 假设直线与不是异面直线，则直线与共面， 因为直线和这条直线外的一点能确定一个平面，即为平面， 因为与共面，所以点在平面上， 但是，在正方体中，点不在平面上，矛盾，故假设不成立， 因此与是异面直线； 异面直线与所成的角的大小为. 【详解】（1）略 （2） 设正方体的棱长为2,如图，取的中点，连接、, 因为是棱的中点，是棱的中点，所以 ，， 故就是异面直线与所成的角或其补角, 在中，，, , ，， 由余弦定理，得, 于是, 因此异面直线与所成的角的大小为. 18．（26-27高三·全国·一轮复习）如图，在直三棱柱中，分别为的中点．证明：三线共点． 【答案】由分别为的中点，得，且； 由分别为的中点，得，且， 而，所以不平行； 由分别为的中点，易知，所以确定平面； 因为不平行，延长交于一点，记作点，则，所以平面； 同理平面，即平面. 所以即为平面与平面的公共点. 又平面平面，所以； ， 即三线共点． 【分析】先证明与相交，记交点为，再证明点为平面与平面的公共点，根据平面基本事实可得，从而证得三线共点． 【详解】略 19．（26-27高三·全国·一轮复习）如图，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在棱上，且.证明：四点共面； 【答案】解法一：在正方体中，以点为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 于是，且向量不共线， 所以向量共面，又向量有公共点， 所以四点共面. 解法二：延长交于点，连接交于点； 因为，所以； 又，所以，而，所以点与点重合， 故四点共面. 【分析】解法一：建立空间直角坐标系，用基底向量表示向量，进而可得四点共面； 解法二：延长交于点，连接交于点，再通过比例关系证明点与点P重合，进而可得四点共面. 【详解】略 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三·全国·课后作业）如果，，那么和（   ） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．大小无关 2．（25-26高三·新疆伊犁·期末）如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断正确的是（    ） A．直线与平行 B．直线与相交 C．A，B，C，D四点中可以有三点共线 D．A，B，C，D四点中不存在三点共线 3．（25-26高三·河北廊坊·期末）若空间中三条不同的直线两两相交，则这三条直线最多可以确定（    ） A．一个平面 B．两个平面 C．三个平面 D．四个平面 4．（2026高三·全国·专题练习）若直线a不平行于平面，且，则下列结论成立的是（   ） A．内的所有直线与a异面 B．内与a平行的直线不存在 C．内存在唯一的直线与a平行 D．内的直线与a都相交 5．（25-26高三·广西南宁·期中）如图，三棱柱中，点E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法错误的是（   ） A．E、F、G、H四点共面 B．与是异面直线 C．、、三线共点 D． 6．（2026高三·全国·专题练习）空间四点A、B、C、D，如果其中任意三点不共线，则经过其中三个点的平面有（   ） A．一个或四个 B．一个或三个 C．一个或两个 D．两个或三个 7．（25-26高三·山东潍坊·阶段检测）给出下列说法： ①不共面的四点中，任意三点不共线； ②和同一条直线相交的两条直线在同一平面内； ③三条两两相交的直线在同一平面内； ④有三个不同公共点的两个平面重合；⑤依次首尾相接的四条线段不一定共面．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（25-26高三·陕西咸阳·期末）如图，直三棱柱内接于一个圆柱，AB是底面圆O的直径，，，，则异面直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C．3 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·江苏泰州·期中）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法正确的有（    ） A．四点共面 B．三线共点 C．此三棱柱的各面所在的平面将空间分成21部分 D．在空间，到三个顶点距离相等的点的轨迹是一个平面 10．（25-26高三·山西晋中·阶段检测）如图，在长方体中，分别为，的中点，分别为的中点，则（    ） A．四点在同一平面内 B．三条直线有公共点 C．直线与直线相交 D．直线上存在点使三点共线 11．（25-26高三·湖南岳阳·期末）正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（     ） A．三棱锥的外接球表面积为 B．三棱锥的体积为定值 C．平面截正方体所得的截面周长为 D．直线与直线所成角余弦值的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三·全国·专题训练）已知空间中的两个角和，若,则_____. 13．（26-27高三·全国·一轮复习）给出下列命题：①空间中不同的三点确定一个平面；②空间中两两相交的三条直线确定一个平面；③若两个圆交于两点，则这两个圆确定一个平面；④一条直线与两条平行直线都相交，则这三条直线确定一个平面．其中真命题的序号是______． 14．（25-26高三·陕西咸阳·期末）在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·上海·一轮复习）如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点，求证：，O，M三点共线． 16．（26-27高三·湖北十堰·开学考试）如图，正方体的棱长为4，为中点．    (1)求三棱锥的体积； (2)求异面直线与所成角的大小． 17．（25-26高三·上海虹口·期中）如图，已知、分别是正方体的棱、的中点． (1)求证：、、、在同一个平面上； (2)求证：与是异面直线并求出异面直线与所成角的大小． 18．（26-27高三·全国·一轮复习）如图，在直三棱柱中，分别为的中点．证明：三线共点． 19．（26-27高三·全国·一轮复习）如图，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在棱上，且.证明：四点共面； 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $