7.9 向量法求空间角专项训练-2027届高三数学一轮复习

7.9 向量法求空间角（精讲） 第一部分：知识复习 1．异面直线所成的角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝. 2．直线与平面所成的角 如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝. 3．平面与平面的夹角 如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝. [常用结论] 最小角定理 如图，若OA为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面α内的射影，OC为平面α内的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，θ1为OA与OB所成的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么cos θ＝cos θ1cos θ2. 第二部分：典型例题 典例一：异面直线夹角的向量求法 1．（25-26高二下·江苏苏州·期中）直三棱柱，，分别是的中点，，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏南京·期中）如图所示，在正方体中，分别是棱的中点. (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 3．（25-26高二下·福建龙岩·期中）在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，均与曲池的底面垂直，且，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽蚌埠·二模）在五棱锥中，，底面五边形中，，，，． (1)求证：； (2)若，，求与所成角的余弦值． 典例二：已知线线角求其他量 5．（25-26高二下·北京·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，，，．E是棱上一点，平面． (1)求证：E为的中点； (2)若直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 6．（25-26高二上·云南楚雄·阶段检测）在直三棱柱中，，且，异面直线与所成的角为，则该三棱柱的侧面积为_______. 7．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）在三棱柱中，平面平面，，，，. (1)证明：平面； (2)若异面直线所成角的余弦值为，求BC. 8．（25-26高二上·全国·课后作业）四棱锥中，底面为矩形，底面为线段上一点，，当异面直线与所成角的正切值为时，三棱锥的体积为______． 典例三：线面角的向量求法 9．（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）（多选）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则下列结论正确的有（    ） A． B．异面直线与所成角余弦值为 C．三棱锥的体积为 D．直线与平面所成角正弦值为 10．（25-26高二下·安徽宿州·期末）如图，已知正方体，其中点为线段上靠近的三等分点，点为直线，的交点． (1)若，求，，的值； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 11．（25-26高二下·海南·期末）如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面．    (1)证明：平面平面； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值． 12．（25-26高二下·广东潮州·期末）四棱锥中，底面，，，且，，是的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 典例四：已知线面角求其他量 13．（2026·山东聊城·二模）如图，在六面体中，底面是边长为2的菱形，，平面，是的中点. (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 14．（2026·北京·三模）如图，在四棱锥中，平面，，为线段的中点，．    (1)求证：平面； (2)若，点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 15．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面ABC，，，点D是棱PA的中点，点E满足，点F是棱BP上的一点（不包含端点）．    (1)若平面ABC，求证：； (2)若直线AF与平面BCD所成角的正弦值为，求三棱锥的体积． 16．（2026·河南周口·三模）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，四边形为等腰梯形，，，，为的中点. (1)若，证明：平面； (2)若直线与平面所成的角为，求的长度. 典例五：面面角的向量求法 17．（25-26高二下·山西大同·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，直线与平面所成角为，为线段的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 18．（2026高一上·广东江门·竞赛）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点M，N分别为BC，PD的中点． (1)证明：平面； (2)若，平面平面，求二面角的正弦值． 19．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，点在侧棱上，且，. (1)求证：直线 (2)若，且三棱锥的体积为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 20．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）已知在三棱柱中，平面，，，，分别是线段，的中点．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 典例六：已知面面角求其他量 21．（2026高三·全国·专题练习）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点E是上的点，且（）． (1)求证：对任意的，都有； (2)若二面角的大小为，求λ的值． 22．（25-26高三上·河北承德·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．    (1)证明：平面平面； (2)求三棱锥的体积； (3)在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 23．（25-26高三上·吉林长春·期末）如图，在四棱锥中，，，，，，点为棱上一点．    (1)证明：平面平面； (2)当点为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)当平面与平面的夹角的余弦值为时，求． 24．（25-26高二下·广东·期末）如图，已知圆台，其中均为母线，四边形为圆台的轴截面，且． (1)求证：； (2)已知二面角的余弦值为，求圆台的高的长． 典例七：空间向量解决夹角的探究性问题 25．（25-26高三上·浙江温州·期末）已知等边的边长为3，，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，使得平面平面，得到四棱锥．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 26．（25-26高二下·江苏盐城·期中）如图，已知四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，是的中点． (1)证明：； (2)求二面角的余弦； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． 27．（25-26高三上·北京·期中）如图，在四棱锥中，是边长为的等边三角形，四边形为菱形，，平面平面，为棱的中点，记平面和平面的交线为.    (1)证明：； (2)求直线与平面的夹角正弦值； (3)在线段（不含端点）上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的位置；若不存在，请说明理由. 28．（2026·北京通州·一模）如图，在三棱锥中，为边长为的等边三角形，，，为棱的中点． (1)求证：平面平面； (2)棱上（端点除外）是否存在一点，使得平面与平面的夹角为．若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 典例八：空间向量解决夹角的最值与范围 29．（25-26高二下·江苏镇江·期中）已知正方体中，P，Q分别为棱，上的动点，则二面角的最大值为（   ） A． B． C． D． 30．（25-26高二上·湖南株洲·期末）如图，在四棱锥中，，，，，平面． (1)若，求点到平面的距离； (2)求与平面所成角的正弦值的最大值． 31．（2026·山东青岛·模拟预测）如图，在圆柱中，是底面圆的直径，和是两条母线，是底面圆上异于，的一动点，是线段的一点，直线平面． (1)求证：为的中点； (2)若，，求二面角的最小值． 32．（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，直三棱柱中，，，． (1)当时，证明：平面平面． (2)当，记平面与平面的夹角为，求的取值范围． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.9 向量法求空间角（精讲） 第一部分：知识复习 1．异面直线所成的角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝. 2．直线与平面所成的角 如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝. 3．平面与平面的夹角 如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝. [常用结论] 最小角定理 如图，若OA为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面α内的射影，OC为平面α内的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，θ1为OA与OB所成的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么cos θ＝cos θ1cos θ2. 第二部分：典型例题 典例一：异面直线夹角的向量求法 1．（25-26高二下·江苏苏州·期中）直三棱柱，，分别是的中点，，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法可求得结果. 【详解】以为坐标原点，的正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， ，，，，，， ，即， 与所成的角为. 2．（25-26高二下·江苏南京·期中）如图所示，在正方体中，分别是棱的中点. (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) 方法一：在正方体中，因为平面， 又平面，所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为，且平面， 所以平面，又因为平面， 所以. 方法二：以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 设正方体棱长为2，则， ，所以 ， 所以，即. (2) 【分析】（1）方法一：根据线面垂直的判定定理以及线面垂直的性质求解即可. 方法二：建立空间直角坐标系，根据向量法求解即可. （2）方法一：根据异面直线所成角的概念以及余弦定理求解即可. 方法二：根据向量法，计算异面直线所成角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）方法一：取的中点，连接， 因为分别为的中点，所以， 而，所以， 所以直线与直线的夹角就是直线与所成的角， 设正方体棱长为，设异面直线与所成的角为， 计算得， 所以由余弦定理得 所以异面直线与所成角的余弦值为. 方法二： 因为分别是棱的中点，所以，所以， 设异面直线与所成的角为， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 3．（25-26高二下·福建龙岩·期中）在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，均与曲池的底面垂直，且，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先建立空间直角坐标系，确定各点坐标，并计算向量，再计算向量的数量积与模长，最后利用向量的点积公式计算异面直线所成角的余弦值即可. 【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，，，如图， 以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 因为， ， ， 所以， 又异面直线所成角的范围为， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 4．（2026·安徽蚌埠·二模）在五棱锥中，，底面五边形中，，，，． (1)求证：； (2)若，，求与所成角的余弦值． 【答案】(1)连接 ，取 中点 ，连接 、， 由 ，，知，， 又， 、 平面，因此 平面． 又 平面，故 ． 在底面内，， ，因此， 又，因此四边形为矩形，因此，故    ； (2) 【分析】（1）连接 ，取 中点 ，连接 、，证明出 平面，可得出 ，再证明出，即可证得结论成立； （2）方法一：推导出，可知直线 与直线 所成角为或其补角，利用余弦定理求出，即可得解； 方法二：连接 、 ，设，连接 ，则 为 中点，推导出底面，然后以点 为原点，、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得结果. 【详解】（1）略 （2）（方法一）由（1）知，，， 在 中，由余弦定理，， 所以， 在矩形中，，故， 所以，故， 所以直线 与直线 所成角为或其补角， 在 中，， ， 由余弦定理可得， 所以 与 所成角的余弦值为． （方法二）连接 、 ，设，连接 ，则 为 中点， 由，知 ，同理， 因为， 、 底面，因此底面． 取 中点为 ，以 为原点，、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图的空间直角坐标系． 易知、、、． 则，， 设直线 与直线 所成角为 ，则． 故直线 与直线 所成角的余弦值为. 典例二：已知线线角求其他量 5．（25-26高二下·北京·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，，，．E是棱上一点，平面． (1)求证：E为的中点； (2)若直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明：如图在中，过点作交于点，连接. 因为，所以.所以，，，四点共面. 因为平面，平面，平面平面， 所以. 所以四边形是平行四边形. 所以. 所以为的中点. (2) 【分析】（1）在中，过点作交于点，利用平面证明即可. （2）取中点，以为原点建立空间直角坐标系，设点的坐标，利用直线与平面所成的角为即可求解点的坐标，从而可计算四棱锥的体积． 【详解】（1）略 （2）取中点，连接. 因为，所以. 因为，，所以四边形为正方形. 所以，. 因为，所以. 又因为，平面，平面， 所以平面.因为平面，所以. 如图，以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. ，，，， 设，. ，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以. 直线与平面所成角为， 所以. 解得. 所以. 所以四棱锥的体积为. 6．（25-26高二上·云南楚雄·阶段检测）在直三棱柱中，，且，异面直线与所成的角为，则该三棱柱的侧面积为_______. 【答案】 【分析】首先以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量表示异面直线所成角的余弦值，即可求解，再代入侧面积公式. 【详解】以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    设，则，，，，，， 因为异面直线与所成的角为， 所以，即，解得， 所以该三棱柱的侧面积为. 故答案为： 7．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）在三棱柱中，平面平面，，，，. (1)证明：平面； (2)若异面直线所成角的余弦值为，求BC. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到⊥，结合得到平面，再由平行关系得到证明； （2）作出辅助线，证明出⊥平面，建立空间直角坐标系，设，写出各点坐标，利用异面直角夹角的余弦值列出方程，求出，得到答案. 【详解】（1）因为平面平面，交线为， ，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，，平面， 所以平面， 又，所以平面； （2）取的中点，连接，因为，所以⊥， 因为平面平面，交线为，平面， 所以⊥平面， 取的中点，连接，则， 因为，所以⊥， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，所以，故， 设，则，设， 由得， 解得，故， ， 因为异面直线所成角的余弦值为， 所以， 解得，故. 8．（25-26高二上·全国·课后作业）四棱锥中，底面为矩形，底面为线段上一点，，当异面直线与所成角的正切值为时，三棱锥的体积为______． 【答案】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点的位置，进而求出三棱锥的体积. 【详解】四棱锥的底面为矩形，且平面，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 设， 则，， 设异面直线与所成角为，即，则，解得， 于是， 整理得，即，而，解得， 因此为的中点，， 所以三棱锥的体积为. 故答案为：    典例三：线面角的向量求法 9．（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）（多选）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则下列结论正确的有（    ） A． B．异面直线与所成角余弦值为 C．三棱锥的体积为 D．直线与平面所成角正弦值为 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，由空间向量的数量积运算判断A；根据空间向量夹角的坐标公式即可判断B；根据三棱锥的体积公式即可判断C；根据线面夹角的坐标公式即可判断D． 【详解】如图以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 对于A，， 所以，所以不成立，故A错误； 对于B，，， 所以，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，取平面的一个法向量为， 所以直线与平面所成角正弦值为，故D正确． 10．（25-26高二下·安徽宿州·期末）如图，已知正方体，其中点为线段上靠近的三等分点，点为直线，的交点． (1)若，求，，的值； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出对应向量坐标，根据向量相等构造方程组求解系数； （2）求出平面法向量，利用线面角的向量计算公式完成求解. 【详解】（1）不妨设正方体棱长为3. 如图所示，以为原点，，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 是、交点，故， 是靠近的三等分点，则， 向量，，，， 因为， 则， 即，解得. 则. （2），，，设平面法向量， 则， 令，得， 设线面角为，满足， 因为， ，， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为. 11．（25-26高二下·海南·期末）如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面．    (1)证明：平面平面； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)因为侧面是正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理证明即可. （2）方法一：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量求法求解即可. 方法二：根据平面平面得到直线在平面内的射影即直线，进而即为所求角，结合正弦定理求解即可. 【详解】（1）略 （2）方法一：如图，以C为坐标原点，CA，，CB所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，    则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为， 则，即，取，得． 设直线与平面所成的角为θ， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 方法二：设与的交点为O，连接OB，    因为平面平面，所以直线在平面内的射影即直线， 则即为直线与平面所成的角． 因为，四边形是正方形，所以，． 又， 所以，． 所以． 在中，由正弦定理可得， 即，解得， 即直线与平面所成角的正弦值为． 12．（25-26高二下·广东潮州·期末）四棱锥中，底面，，，且，，是的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)取中点，连接，， 因为，，所以四边形为平行四边形，则， 因为，所以， 因为，为的中点，所以， 由勾股定理可得，同理可得， 所以，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面． (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，结合线面垂直的性质及勾股定理逆定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为平面，， 如图，以点为原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以，直线与平面所成角的正弦值为． 典例四：已知线面角求其他量 13．（2026·山东聊城·二模）如图，在六面体中，底面是边长为2的菱形，，平面，是的中点. (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 【答案】(1)取的中点，连接，. 因为分别为的中点， 所以，且. 又，所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以. 又平面平面，所以平面. (2) 【分析】（1）取的中点，连接，，结合中点性质和线面平行的判定定理即可证明. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】（1）略 （2）连接， 因为底面是菱形，，所以和均为等边三角形. 因为是的中点， 所以，即, 又平面， 则以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设， 则由题意知，，， 所以，. 设平面的法向量为， 则令， 则. 因为直线与平面所成角的正弦值为， 设直线与平面所成的角为， 则， 解得，所以. 14．（2026·北京·三模）如图，在四棱锥中，平面，，为线段的中点，．    (1)求证：平面； (2)若，点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】(1)作线段中点，因为线段中点，则 且， 又且， 与平行且相等，四边形为平行四边形． ． 平面，平面， 平面． (2) 【分析】（1）利用线面平行判定定理证明； （2）利用向量法求解. 【详解】（1）略 （2）作线段中点，记为． 由题意，垂直平分，且． 又，∴四边形为矩形，． 平面，且． 则可分别以、、所在直线为轴建立空间直角坐标系．    则，可得， 设，可得，， 设平面的法向量为， 因，， 则由，令，则， 设直线与平面所成角为， 可得． 解得或（舍） 所以． 15．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面ABC，，，点D是棱PA的中点，点E满足，点F是棱BP上的一点（不包含端点）．    (1)若平面ABC，求证：； (2)若直线AF与平面BCD所成角的正弦值为，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）利用线面平行性质推得线线平行，结合向量线段比例关系，借助相似三角形比例证得线段倍数关系； （2）依据垂直关系建立空间直角坐标系，求出平面法向量，套用线面角公式列方程求解参数，再利用等体积转化与线段比例，算出几何体体积． 【详解】（1）    在中，点是棱的中点，点满足，所以是的重心， 连接，并延长交于点，连接，如图所示，则， 因为平面，平面平面，平面PEF， 所以，所以，即． （2）因为平面，平面，所以，， 又，，所以， 所以，所以两两垂直， 以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    所以，，，，， 设平面BCD的法向量为， 又，， 所以，令，得， 设， 所以， 所以， 解得，所以， 所以三棱锥的体积． 16．（2026·河南周口·三模）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，四边形为等腰梯形，，，，为的中点. (1)若，证明：平面； (2)若直线与平面所成的角为，求的长度. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）作辅助线，可证，平面，建系并标点，求平面的法向量，利用空间向量证明线面平行； （2）由（1）可得，平面的法向量为，根据线面夹角列式求解即可. 【详解】（1）取，的中点分别为，， 因为为等边三角形，四边形为等腰梯形，则，， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，且，则，， 则，，，，，， 若，即，则，，，，，， 可得，，， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 因为，则， 且平面，所以平面. （2）由（1）可知：，平面的法向量为， 若直线与平面所成的角为， 则， 整理可得，解得， 所以. 典例五：面面角的向量求法 17．（25-26高二下·山西大同·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，直线与平面所成角为，为线段的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明：取中点,连接, 则,, 又因为,, 所以,, 所以四边形是平行四边形， 所以, 又因为平面,平面, 所以平面； (2). 【分析】（1）取中点,连接,由题意可得四边形是平行四边形，从而得,由线面平行的判定定理即可得证； （2）以为坐标原点，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系,利用空间向量求解即可. 【详解】（1）略； （2）因为平面，， 所以以为坐标原点，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系： 又直线与平面所成角为， 即, 又因为， 所以，， 所以， 易知平面的法向量为， 因为, 设平面的法向量为， 则， 则有， 取， 设平面与平面的夹角为， 所以. 18．（2026高一上·广东江门·竞赛）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点M，N分别为BC，PD的中点． (1)证明：平面； (2)若，平面平面，求二面角的正弦值． 【答案】(1)取的中点为，连接， 又为的中点，则且， 又正方形中，为的中点，则且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 故，又因为平面，平面， 所以平面； (2) 【分析】（1）取的中点为，连接，通过证明四边形为平行四边形可证得结论； （2）取的中点为，的中点为，连接，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间坐标系，利用空间向量法求二面角的正弦值. 【详解】（1）略. （2）取的中点为，的中点为，连接， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又四边形为正方形，所以. 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，所以， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， ，令，得， 所以平面的一个法向量为， 所以， 设二面角的大小为， 则， 所以二面角的正弦值为． 19．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，点在侧棱上，且，. (1)求证：直线 (2)若，且三棱锥的体积为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)因为平面，平面， 所以， 因为点分别是的中点，所以， 因为，所以， 所以，且，平面， 所以平面，平面， 所以； (2) 【分析】（1）要证明线线垂直，转化为证明线面垂直，即证明平面； （2）首先根据体积公式求侧棱长，再以点为原点建立空间直角坐标系，根据垂直关系，分别求平面和平面的法向量，再代入向量公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）因为，则，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，即，得， 如图，以点为原点，以为轴的正方向建立空间直角坐标系，连结， 因为平面，平面，所以， 因为，所以， 又因为，且，平面， 所以平面， 所以平面的一个法向量是， 因为 平面平面，且平面平面， 又，点是的中点，所以， 所以平面， 所以平面的一个法向量是， ，，，， ，， 设平面与平面所成锐二面角为， 则, 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 20．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）已知在三棱柱中，平面，，，，分别是线段，的中点．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明：取的中点，连接，． 因为在中，是线段的中点，是线段的中点， 所以，． 又在三棱柱中，，是线段的中点， 所以，． 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面， 平面， 所以平面． (2) 【分析】（1）根据三棱柱的几何性质，结合已知条件，利用线面平行判定定理证明结论； （2）根据三棱柱的几何性质，结合已知条件，建立空间直角坐标系，求出相关点和向量坐标，求出对应平面的法向量，再利用向量夹角余弦公式计算求解． 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接，在四边形中，是的中点，是线段的中点， 所以， 又平面，，平面， 所以，， 又， 所以，， 在中，， 所以是以为底边的等腰直角三角形， 又是线段的中点，所以． 以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，    则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 由得，令，则； 设平面的法向量为，由得， 令，则，     设二面角为，则， 结合图象可知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值是． 典例六：已知面面角求其他量 21．（2026高三·全国·专题练习）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点E是上的点，且（）． (1)求证：对任意的，都有； (2)若二面角的大小为，求λ的值． 【答案】(1)证法1：证明：连接，由底面是正方形可得． 因为平面，平面，所以， 又因为,平面， 所以平面， 因为点E是上的点，所以平面，所以. 证法2：以D为原点，，，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， ，， ，． ， 即对任意的，都有. (2) 【分析】（1）证法1：连接，可证得平面，从而可证得；证法2：以D为原点，，，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量证明； （2）解法1：过点D在平面内作于点F，连接，可得是二面角的平面角，然后在中求解即可；解法2：求出两平面的法向量，利用向量的夹角公式列方程求解即可. 【详解】（1）略 （2）解法1：平面，平面，． 又底面是正方形， 又，平面． 因为平面，所以， 过点D在平面内作于点F，连接， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 故是二面角的平面角，即． 在中，，，， 于是，． 在中，， 即． 由，得解． 解法2：为平面的一个法向量． 设平面的一个法向量为， 则，， ，即 取，得 由，解得. 22．（25-26高三上·河北承德·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．    (1)证明：平面平面； (2)求三棱锥的体积； (3)在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)设中点，连接， ，，，所以， 因为，所以有，则， 因为，为中点，所以， 因为平面平面，平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面. (2) (3)在棱上存在点，为上靠近的三等分点. 【分析】(1) 依托面面垂直性质得到高线，结合勾股逆定理证，证明垂直平面内两条相交直线，使用面面垂直判定定理完成证明； (2) 利用等体积转换，作为三棱锥的高，求出底面三角形面积后代入锥体体积公式直接计算； (3)建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，设，分别求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式列出方程，求得即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，平面，因为，所以， 则. （3）在棱上存在点，使得平面与平面的夹角为30°，为上靠近的三等分点.，证明如下： 由（1）得平面，因为平面，则， 过作的平行线，则以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，    由题意得，则, 因，则，故， 则， 设，由题可知， ， 设平面法向量为， 则，令，则，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，， 因为平面与平面的夹角为30°， 所以， 化简得，即，又，则， 所以为上靠近的三等分点. 23．（25-26高三上·吉林长春·期末）如图，在四棱锥中，，，，，，点为棱上一点．    (1)证明：平面平面； (2)当点为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)当平面与平面的夹角的余弦值为时，求． 【答案】(1)证明：因为， 所以，，所以 又，且平面， 所以平面，又因为平面，所以平面平面. (2)； (3). 【分析】（1）由勾股定理证得，再由线面垂直的判定定理即可证得； （2）由条件如图建立空间直角坐标系，先求平面的法向量，再利用公式求解； （3）设 ，分别求平面的法向量是和平面的法向量，利用公式，求点的位置. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知两两垂直，以为原点，以所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 当点为棱的中点时，． 设平面的一个法向量，    则即取， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． （3）由（2）可知， 设，则， 设平面的一个法向量， 则，即 令，解得，故， 设平面的一个法向量为， 由，得令，解得， 故， 所以， 即，整理，得， 解得或（舍去）． 故． 24．（25-26高二下·广东·期末）如图，已知圆台，其中均为母线，四边形为圆台的轴截面，且． (1)求证：； (2)已知二面角的余弦值为，求圆台的高的长． 【答案】(1)连接，因为直线为圆台的轴，为圆台的母线， 则为直角梯形，其中， 又因为， 所以为等腰直角三角形，所以， 又因为四边形为圆台的轴截面，则，又， 所以， 法一：又因为平面， 所以平面， 又平面， 所以； 法二：所以直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，， 所以， 则，所以， 所以； (2)2. 【分析】（1）可以通过构造直角梯形证明 平面 ，从而 ；也可建立坐标系直接验证 ； （2）建立坐标系，分别求出平面 与 的法向量，利用二面角余弦的绝对值等于法向量夹角余弦的绝对值，解方程求高． 【详解】（1）略． （2）由（1）得，，， 设平面与平面的法向量分别为， 则，即，取，得，， 故平面的一个法向量为， 又，即，取，得， 故平面的一个法向量为， 由二面角的余弦值为， 得，解得， 所以圆台的高的长为2. 典例七：空间向量解决夹角的探究性问题 25．（25-26高三上·浙江温州·期末）已知等边的边长为3，，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，使得平面平面，得到四棱锥．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)等边的边长为3，，. ，. 由余弦定理得，解得； ，，； 为直角三角形，即. . 平面平面，平面平面，平面 平面； 平面，. (2) (3) 【分析】（1）由余弦定理求出，根据三角形三边满足勾股定理，证得，由面面垂直得到线面垂直，再由线面垂直证得线线垂直； （2）由面面垂直得到线面垂直，从而确定线面的夹角，根据直角三角形的边的关系，求得线面夹角的正弦值； （3）以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量，根据异面夹角的计算公式即可求得. 【详解】（1）略 （2）由（1），得. 由折叠得，. 平面平面，平面平面，平面 平面. 为直线与平面所成的角. ，，，，，. 在中，. 即直线与平面所成角的正弦值为 （3）线段上存在一点，使得二面角的大小为，且线段的长度为，理由如下： 平面，平面，平面，，. 平面，平面，. 以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，    则，，，. . 点在线段上，设，得. ，. 平面，平面的法向量可取. 设平面的法向量为，则，即； 令，则，. 平面的一个法向量为. 二面角的大小为， ，解得或. ，. ，则. 即线段的长度为. 26．（25-26高二下·江苏盐城·期中）如图，已知四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，是的中点． (1)证明：； (2)求二面角的余弦； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，位于的中点位置 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点及向量坐标，利用向量数量积为0，证明线线垂直； （2）分别求出两个平面的法向量，利用向量夹角的余弦公式求解； （3）求出平面的法向量，假设存在点，满足，利用向量夹角余弦公式构造方程，解方程求出，进而得出结论． 【详解】（1）已知是正三角形，是中点，则， 以为坐标原点，为轴，为轴，垂直于方向为轴， 建立下图所示空间直角坐标系， 则， ， ， ． （2），设平面的法向量为， 则，令，则； ，设平面的法向量为， 则，令，则， 二面角的余弦值为： ． （3），设平面的法向量为， 则，令，则， 设，则，则， 设直线与平面所成角为，则 ， 化简整理得，解得或（舍去）， 存在点，位于线段的中点位置． 27．（25-26高三上·北京·期中）如图，在四棱锥中，是边长为的等边三角形，四边形为菱形，，平面平面，为棱的中点，记平面和平面的交线为.    (1)证明：； (2)求直线与平面的夹角正弦值； (3)在线段（不含端点）上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，或 【分析】（1）由题意，可得平面，然后利用线面平行的性质可证得； （2）建立适当空间直角坐标系，再求出直线的方向向量与平面的法向量后，利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）设，再求出平面的法向量后，利用空间向量夹角公式计算即可得解. 【详解】（1）∵四边形为菱形，∴， ∵平面，平面，∴平面， ∵平面，平面和平面的交线为，∴； （2）取的中点，连接， ∵是边长为4的等边三角形，∴， ∵四边形为菱形，，∴为等边三角形，， 又为平面内两条相交直线，所以平面， ∵平面平面，平面平面， 平面，，∴平面， 又在平面内，所以，所以两两垂直， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴， 建立如图所示空间直角坐标系，    则、、、、、， 故，，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，即， 设直线与平面的夹角正弦值为， 则； （3）由，则， 设平面的法向量为， 由， 令，则，， 假设在线段（不含端点）上存在一点， 使得直线与平面所成角的正弦值为． 设， 则， ∵平面的法向量为， 直线与平面所成角的正弦值为， ∴， 整理得，解得或， 所以在线段 (不含端点)上存在点， 当或时，直线与平面所成角的正弦值为． 28．（2026·北京通州·一模）如图，在三棱锥中，为边长为的等边三角形，，，为棱的中点． (1)求证：平面平面； (2)棱上（端点除外）是否存在一点，使得平面与平面的夹角为．若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) ∵ 为边长为2的等边三角形，为中点， ∴ ，且. ∵ ，为中点， ∴ ，且，故， ∴ . ∵ ， ∴ ，故. ∵ ，平面， ∴ 平面. ∵ 平面， ∴ 平面平面. (2) 由第一小问，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ，，，，. 设，则，所以点坐标为. ∵，且平面 ∴平面 ∴平面的法向量为. 设平面的法向量为，其中，， ∴ 令，代入解得，， ∴. 已知平面与平面的夹角为， ∴ 代入数据得 两边约去后平方整理得，解得或. ∵， ∴. 因此存在满足条件的点，且. 【分析】（1）利用面面垂直的判定定理，结合等边三角形、等腰三角形的三线合一性质及勾股定理逆定理，证明平面即可完成推导； （2）通过建立空间直角坐标系，引入参数表示点的坐标，求解两个平面的法向量，利用二面角的余弦值列方程求解参数，结合参数范围验证即可    . 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】方法归纳：面面垂直证明核心是找到一个平面内垂直于另一个平面的直线，常结合等腰三角形三线合一、勾股定理逆定理证明线线垂直，再推导线面垂直；空间中的存在性问题可通过建立坐标系，引入参数表示动点坐标，将几何关系转化为代数方程求解，最后验证参数范围即可. 易错归纳：求解平面法向量时需注意坐标运算的准确性，二面角的余弦值等于两法向量夹角余弦的绝对值，避免符号错误；得到参数解后需结合动点的限制条件舍去不满足要求的解. 典例八：空间向量解决夹角的最值与范围 29．（25-26高二下·江苏镇江·期中）已知正方体中，P，Q分别为棱，上的动点，则二面角的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，建系，写出相关点的坐标，设，求出两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式，结合余弦函数的性质即可求得. 【详解】如图，设正方体的棱长为1，则， 设，则，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设二面角的平面角为，由题意，为锐角，则 ， 当时，，则； 当时，， 因在单调递减，故， 此时，则得， 综上，可得， 故二面角的最大值为. 30．（25-26高二上·湖南株洲·期末）如图，在四棱锥中，，，，，平面． (1)若，求点到平面的距离； (2)求与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的法向量，再用点到平面的距离公式计算； （2）先设出点的参数坐标，求出平面的法向量，再写出直线的方向向量，根据线面角的正弦值公式得到关于参数的表达式，再用函数或不等式求最大值. 【详解】（1）由平面，平面，则， 又，由都在面内，则面         过作于，过作，故可构建如下图示空间直角坐标系， 又，，， 则，，，，         所以，，， 若是面的一个法向量，则， 令，则，             所以点到平面的距离； （2）法一：同（1）构建空间直角坐标系，易知是与面所成角的平面角， 显然在以为直径的圆上，令， 显然，可得或， 当时，，， 则， 所以，此时最大值为； 当时，，， 则， 所以，此时最大值为； 综上，与平面所成角的正弦值的最大值为．     法二：取的中点，则平面且，在以为圆心，为半径的圆上， 所以，与平面所成角为，点到平面的距离为， 则，点到平面的距离即到的距离，所以 所以与平面所成角的正弦值的最大值为． 31．（2026·山东青岛·模拟预测）如图，在圆柱中，是底面圆的直径，和是两条母线，是底面圆上异于，的一动点，是线段的一点，直线平面． (1)求证：为的中点； (2)若，，求二面角的最小值． 【答案】(1)连接，设，连接，则是、的中点， 直线平面，平面，平面平面， ．   在中是的中点， 是线段中点．   (2) 【分析】（1）通过平面，得到，结合中位线即可证明； （2）建系，求得平面法向量，由夹角公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）设为圆柱的一条母线，由题意可知两两垂直， 以为原点，，，的方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系． ，设，，则，，其中，，， 设平面的一个法向量为, 则，故可取． 平面的一个法向量为．   由图可知二面角为锐二面角，设二面角的平面角为， 则， ，当且仅当时取等号， 所以,则，故有， 又，则,所以的最小值为， 即二面角的最小值为. 32．（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，直三棱柱中，，，． (1)当时，证明：平面平面． (2)当，记平面与平面的夹角为，求的取值范围． 【答案】(1)证明：设， 因为为直三棱柱，且，所以平面， 又平面，所以， 因为，平面，，所以平面. 又平面，所以. 当时， P为的中点，所以在中，，，则， 因为，平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面． (2)． 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理、线面垂直的性质及面面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，结合面面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，，两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，， 设平面的法向量， 则，即，令，则，所以. 又，，设平面的法向量， 则，即，令，则，所以. 所以． 又，所以，，所以. 故的取值范围为． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $