导数中双变量问题的几种处理方法讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦导数中双变量问题，系统整合方程转化、同构转化、比值换元等六种核心处理方法，按问题类型构建知识网络。通过方法梳理、例题精讲、分层练习的教学流程，帮助学生突破变量转化难点，体现复习的系统性和针对性。 资料以高考真题为载体，如极值点偏移问题选讲贴合高频考点，通过换元构造、逻辑推理等策略培养学生数学思维与模型观念。设置课堂练习与分层作业，确保复习效果，助力学生提升解题能力，为教师把控复习节奏提供实用指导。

导数中双变量问题的几种处理方法导学案一一2027届高三数学一轮复习 处理方法一：利用方程转化为单变量函数求解 例题1.若e-e'-1=0(x,yeR) 则下列结论错误的有() A.x-y≤ln2 B.2x-y≥2ln2 C.y>Inx D.x-y<ex 处理方法二：利用同构转化为单变量函数求解 例题2.（多选)己知心0，b∈R,e是自然对数的底数，若b+e=+na,则a-b的值可以是( A.-1 B.1 C.2 D.3 处理方法三：利用比值换元转化为单变量函数求解 f(x)=x(x-a)+Inx 例题3：已知函数 )若a=3,求f) 的极值点：(2)若对任意0<x1<x2,都 f()-f()>-x,求a 的取值范围；(3若() 恰有两个极值点m,n(其中m>),求a的取值范围，并证明 2- 处理方法四：利用消元构造转化为单变量函数求解 例思4：已知函数=方r+a-n(ae). (1)求函数 (的单调区间： 2若函数（四有两个极值点，<），求证：4/(）2()1+3血2 处理方法五：利用整体换元转化为单变量函数求解 例题5：已知丽数f)=4-anx(a>0) 2 (1)当a=3时，讨论函数(x)的单调性. 有两个极值点5，<) 2)客 0求“的取值范围②证明： f(x)+f(x)<10-na 六：双变量典型问题：极值点偏移问题（选讲） f(x)=e*-ax 例题6：已知函数 有两个零点5，且<】 (1)求a的取值范围； 2证明：+书>2 课堂练习：已知函数f()=-Inn-l 时论函数的零点个数：2)若函数8)=( 有两个极值点，5，证明：名> 导数中双变量问题的几种处理方法作业 f(x)-f(>2 1.已知f)=ahx+宁a≥0叭若对于任商两个不带的正突数、，都有 2 恒成立，则a的取值范围是( 4.(0,] 8.L,+o∞) c.(0,3] D.1,2e) 2、已知函数f()=xlnx-m2-x(meR), 但诺函数()在Q+m)上是减函数，求实数m的取值范国； ②若函数f四在0+切)上存在两个极值点5,5，且<，证明：血+h5>2 3、已知函数f()的定义域为0，+o,其导函数f)=2x+2-2a(aeR)f0=1-2n 求曲线=（在点，10》处的切线'的方程，并判断是否经过一个定点： a活七，满足0<<5，且()=f()=0.求2()f)的取值范周. 4、已知f(e)=x-olnr号. 若曲线”=（闪在=1处的切线与’=x垂直，求实数“的值：(2若函数'=0存在两个 不同的极值点，5，求)+f( 的取值范围。 导数中双变量问题的几种处理方法导学案（解析版） ——2027届高三数学一轮复习 处理方法一：利用方程转化为单变量函数求解 例题1．若，则下列结论错误的有（ ） A． B． C． D． 答案： A【详解】对于A,令，则，，． ∵，故A错误； 对于B，∵，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，令，则，所以当时，当时， 即在上单调递增，在上单调递减，因此， ∴，当且仅当时取等号，∴，即， 所以，故，故C正确； 对于D，∵，所以，即，所以，故D正确．故选：A． 例题2．（多选）已知a>0，b∈R，e是自然对数的底数，若b+eb=a+ln a，则a-b的值可以是(　　) A.-1 B.1 C.2 D.3 答案　BCD 解析　设函数f(x)=x+ex， 则f(x)在R上是增函数， 所以b+eb-(a+ln a)=b+eb-(ln a+eln a)=f(b)-f(ln a)=0， 所以b=ln a，即a=eb，所以a-b=eb-b， 令g(x)=ex-x，则g'(x)=ex-1， 当x<0时，g'(x)<0，g(x)单调递减；当x>0时，g'(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)≥g(0)=1，从而a-b≥1，结合选项，可得B，C，D符合题意. 处理方法三：利用比值换元转化为单变量函数求解 例题3：已知函数. (1)若，求的极值点； (2)若对任意，都有，求a的取值范围； (3)若恰有两个极值点m，n(其中)，求a的取值范围，并证明. 【答案】(1)极大值点为，极小值点为1 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）求出定义域，求导，得到函数单调性，从而得到极值点； （2）根据，得到的单调性，在上恒成立，即，参变分离得到，由基本不等式求出，得到a的取值范围； （3）在上有两个不同的实数解m，n，由根的判别式和韦达定理得到不等式，求出a的取值范围为，化简得到， 因为，故要证，化简并换元，只需证，令，求导得到其单调性，得到，证明出结论. 【详解】（1）当时，，其定义域为. 则， 令，得或， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值点为，极小值点为1. （2）因为，则 则 设函数，， 可知在上单调递增. 又， 则在上恒成立，即，可得， 因为，当且当时等号成立， 可得，即 所以a的取值范围是. （3）， 因为函数有两个极值点m，n， 所以方程在上有两个不同的实数解m，n， 则，解得， 即a的取值范围为. 所以， 因为，故要证， 只需证， 即证， 则只需证， 设，则只需证， 令， 则， 所以在上单调递增， 所以，得证. 综上所述，. 处理方法四：利用消元构造转化为单变量函数求解 例题4：已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若函数有两个极值点，求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围判断函数的单调性即可. （2）根据函数的极值的个数求出的范围，求出的解析式，根据函数的单调性证明即可. 【详解】（1） 由，得． 令，则， ①当，即时，恒成立，则， ∴在上是减函数． ②当，即时，，则， ∴在上是减函数． ③当，即或． （i）当时，是开口向上且过点的抛物线，对称轴方程为， 则恒成立，从而，∴在上是减函数． （ii）当时，是开口向上且过点的抛物线，对称轴方程为， 则函数有两个零点：（显然）， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，f（x）单调递减． 综上，当时，的减区间是； 当时， 的增区间是，减区间是． （2） 由（1）知，当时，有两个极值点， 则是方程的两个根， 从而．由韦达定理，得． 又，∴． ． 令， 则． 当时，;当时，， 则在上是增函数，在上是减函数， 从而，于是． 处理方法五：利用整体换元转化为单变量函数求解 例题5：已知函数（） (1)当时，讨论函数的单调性. (2)若有两个极值点 ①求的取值范围 ②证明： 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增. (2)①；②证明见解析 【分析】（1）首先求函数的导数，再根据导数和函数单调性的关系，即可求解； （2）①首先求函数的导数，转化为关于一元二次方程有2个不同的正实根，即可求解； ②首先求，再利用韦达定理，转化为关于的函数，再通过不等式构造函数，利用导数判断导函数单调性，再结合零点存在性定理，求函数的最大值，证明函数的最大值小于0，即可证明不等式. 【详解】（1）当时 ，（） ， 令， 如图表示的关系如下， 1 3 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 在上单调递减，在上单调递增. （2）① ， 因为有两个极值点 即：在有两个不相等的实根， 所以， 所以， ②由①得 要证 即证：， 只需证 令 令 则恒成立， 所以在上单调递减 又因为 由零点存在性定理得：，使得，即， 所以，单调递增. 时，，单调递减. 则 因为在上单调递增 所以 所以，即得证. 六：极值点偏移问题 例6：已知函数有两个零点，且． (1)求a的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1)【详解】（1）函数有两个零点，即方程有两个不同的实根， 当时，， 所以在上为增函数，最多只有一个零点，不符合题意， 当时，， 令，解得， 时，，单调递减；时，，单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，且， 因为有两个零点，所以，即，解得， 又当时，，，故； 当时，增长速度远大于，故， 所以，当时，有两个零点， 综上，的取值范围是； (2)由是的零点，得，，所以， 令，则，代入上式得，所以，： 要证，即证， 因为，等价于证明： 令，， 令，， 时，，故在单调递增，所以， 所以在单调递增，故，即， 所以． 课堂练习：已知函数. (1)讨论函数的零点个数； (2)若函数有两个极值点，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）将原问题转化为直线与函数的交点个数.利用导数讨论函数的性质可得，分类讨论求出当或、、时对应的零点个数即可； （2）由极值点的概念可得，进而，利用换元法（令）得，利用导数证明即可证明. 【详解】（1）令得， 设. 要求的零点个数，即求直线与函数的交点个数. 则由得，由得， 函数在上单调递增，在上单调递减，得， 当且无限趋近于0时，；当趋向于正无穷时，且无限接近于0. 故当或即或时，函数只有一个零点； 当即时，函数有两个零点； 当时，函数没有零点. （2）函数有两个极值点. 方程有两个不相同的正根， 不妨设，则有. 要证明， 只需证明 将式两式相加整理得， 将式两式相减整理得， 则，即， 令，则有. 只需证明， 即证 令，则恒成立， 所以函数在上单调递增，则函数成立. 故原不等式成立. 导数中双变量问题的几种处理方法作业 答案 1、已知若对于任意两个不等的正实数、，都有恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】不妨设，可得，可得， 令，则， 所以，函数在上为增函数， 对任意的恒成立，所以，， 当时，，当且仅当时，等号成立， 所以，． 故选：B． 2、已知函数． (1)若函数在上是减函数，求实数m的取值范围； (2)若函数在上存在两个极值点，，且，证明：． 【解析】（1）∵在上是减函数， ∴在定义域上恒成立， ∴，设，则， 由，得，由，得， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴．∴． 故实数m的取值范围是． （2）由（1）知， ∵函数在上存在两个极值点，，且， 则由，两式相加、相减分别可得与， ∴，∴， 设，则，要证， 只需证，只需证，只需证， 构造函数，则， ∴在上单调递增， ∴，即，∴． 3、已知函数的定义域为，其导函数． (1)求曲线在点处的切线的方程，并判断是否经过一个定点； (2)若，满足，且，求的取值范围． 【解析】（1）因为， 所以（c为常数）． 因为，所以， 所以． 又， 所以曲线在点处的切线的方程为， 即， 所以经过定点． （2）令，可得． 因为，满足，且， 所以关于的方程有两个不相等的正实数根， 则， 所以 ， 令函数， 则， 令，得， 因为当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又当时，， 所以的取值范围为， 即的取值范围为． 4、已知. (1)若曲线在处的切线与垂直，求实数的值； (2)若函数存在两个不同的极值点，求的取值范围. 【解析】（1）因为，所以， 又曲线在处的切线与垂直， 所以，解得. （2）因为，， 所以的两个极值点是方程的两正根， 所以，解得， 所以 ， 令，则， 所以在单调递减， 当时，，且， 所以的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $