第3章 一次方程（组） 同步训练 2026-2027学年湘教版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦一次方程（组），分层设计基础巩固、综合应用、拓展探究三阶训练，通过概念辨析、运算训练到实际问题解决，培养抽象能力、运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|方程定义、等式性质、基本解法|通过概念辨析（如二元一次方程判断）和规范运算（解方程步骤）巩固基础，培养符号意识| |中档层|参数问题、简单综合应用|通过解的迁移（方程组解类比）和分类讨论（数轴距离）提升推理能力，发展抽象思维| |提升层|实际问题、规律探究|通过工程问题（甲停工时间）、经济问题（篮球购进）及月历规律探究，强化模型意识与应用能力|

第3章 一次方程（组） 同步训练 一、单选题 1．若方程组的解是，则方程组的解是（     ） A． B． C． D． 2．下列方程中，是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．已知方程组的解满足，则m的值为（     ） A． B． C．1 D．2 4．一项工程，单独做甲需 10 小时完成，乙需 15 小时完成．现在两人合作，中途甲因事停工了一段时间，结果 7 小时才完成，甲停工了（     ）小时． A． B．3 C．18 D．3.5 5．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．若关于、的二元一次方程的解为则的值为（     ） A． B． C．1 D．2 7．若是关于，的二元一次方程组的解，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．解为的方程是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 9．小海在计算时，误将“”看成了“”，所得结果是，那么的正确结果应是_____． 10．A、B、C三点在数轴上对应的数分别是2、4、x，若相邻两点的距离相等，则______． 11．当x取任意一个有理数时，等式都成立，则的值为________． 12．若x，y满足，则的值为_____． 13．已知关于x、y的方程组的解满足，则k的值为________． 三、解答题 14．解下列方程（组）． (1)解方程 (2)解方程组 15．解方程（组） (1) (2) 16．已知：， (1)求的值（结果用化简后含a、b的式子表示）； (2)在（1）的条件下，若是方程的解，求a的值； (3)若的值与a的取值无关，求b的值． 17．如图，是某月的月历． (1)带阴影的十字框中的5个数的和与十字框中间的数有什么关系？ (2)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？说明理由． (3)在该月的月历上用十字框框出5个数，能使这5个数的和为100吗？ 18．某体育用品专卖店准备购进甲、乙两种型号篮球．其中甲、乙两种型号篮球的进价和售价如下表．已知购进6个甲种型号篮球与5个乙种型号篮球共花费1000元． 甲 乙 进价（元/个） 售价（元/个） (1)求的值； (2)店长购进甲、乙两种型号篮球共20个，销售完这20个篮球获得总利润500元，问该专卖店购进甲、乙两种型号篮球各多少个？（利润=售价-进价） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C A A D C A D 1．D 【分析】把第二个方程组的两个方程的两边都乘以5得到方程组，根据方程组的解得到方程组的解满足的条件，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，即 ∵方程组的解是， ∴方程组的解满足， ∴． 2．C 【分析】根据二元一次方程的定义，对各选项逐一判断即可，即含有两个未知数，且含未知数的项的次数都为1的整式方程． 【详解】解：A.只含有1个未知数，不是二元一次方程，故选项不符合题意； B.只含有1个未知数，且未知数的最高次数为2，不是二元一次方程，故选项不符合题意； C.含有两个未知数，且含未知数的项的次数都为1，是二元一次方程，故选项符合题意； D.含有三个未知数，不是二元一次方程，故选项不符合题意． 3．A 【分析】观察方程组中两个方程的系数，将两个方程作差可直接凑出的形式，结合已知条件即可求出的值，无需单独求解，简化计算过程． 【详解】解： 得， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．A 【分析】将工作总量看作单位“1”，先根据工作总量和单独完成时间求出甲乙的工作效率，再根据总工作量等于甲乙工作量之和列方程，即可求出甲停工的时间． 【详解】解：设工作总量为单位“1”，甲停工了小时， ∵甲单独完成需小时，乙单独完成需小时， ∴甲的工作效率为，乙的工作效率为， 甲工作时间为小时，乙工作时间为小时， ∴， 整理得：，解得， 即甲停工了小时． 5．D 【分析】本题考查等式的基本性质，根据等式性质逐一判断变形是否正确即可，等式的性质为：等式两边同时加(或减)同一个数(或式子)，等式仍成立；等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立． 【详解】解： A选项： ∵，等式两边同时加，可得，变形正确，不符合题意； B选项： ∵，等式两边同时乘，可得，变形正确，不符合题意； C选项： ∵，等式两边同时减，可得，变形正确，不符合题意； D选项： ∵，等式两边同时除以，得，变形错误，符合题意. 故选D． 6．C 【详解】解：把代入，得， 即， 解得． 7．A 【分析】将方程组的解代入方程组，可得关于，的方程组，然后解方程组求出，后，代入即可求解的值． 【详解】解：把代入，得， 解得 ． 8．D 【分析】能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，将代入各选项验证左右两边是否相等即可得到结果． 【详解】解：将依次代入各选项： 代入选项A，左边右边，∴A不符合题意； 代入选项B，左边右边，∴B不符合题意； 代入选项C，左边，右边，，∴C不符合题意； 代入选项D，左边，右边，左边右边，∴D符合题意． 9． 【详解】解：小海在计算时，误将“”看成了“”，所得结果是， ， ， ． 10．或或 【分析】先计算数轴上、两点的距离. 再分三种情况讨论的位置：在点左侧，在、两点之间，在点右侧，分别计算得到的值． 【详解】解：数轴上对应数，对应数，两点间的距离为：， 当在点左侧时，由相邻两点距离相等，得，解得； 当在，两点之间时，由相邻两点距离相等，得，解得； 当在点右侧时，由相邻两点距离相等，得，解得； 综上所述，或或． 11．/ 【分析】首先解方程得到，然后根据题意得到，，求出a，b后代入求解即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 根据题意得，， ∴， ∴． 12． 【分析】解题思路为消去参数，整理变形得到的值即可． 【详解】解： 由①得 将代入②得 展开得 移项及合并同类项得 两边同除以得 ． 13．2或−6 【分析】将两个方程相加整理得出．由得，因式分解进而求出k的值． 【详解】解： 由①②得， 即， 把代入， ∴， 整理得， 因式分解得， 解得，． ∴k的值为2或． 14．(1) (2) 【详解】（1）解： 解得． （2） 得，，解得：． 将代入①得，解得：． ∴原方程组的解为 15．(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， 得：， 解得：， 把代入得， 所以． 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据多项式的加减法则，计算即可； （2）根据方程解的定义，把解代入得，求解即可； （3）先计算，根据题意，可得含a的项的系数为0，即，求解即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）， ， 是方程的解， ， ； （3）， 的值与a的取值无关， ， ． 17．(1)带阴影的十字框中的5个数的和是十字框中间的数的5倍 (2)成立；理由如下： 假设中间数为，则上面的数是，下面的数是，前面一个是，后面一个是， (3)不能 【分析】（1）根据所给数据进行计算可得答案； （2）根据图上的数之间的关系可得：中间一个为上面的数是，下面的数是，前面一个是，后面一个是，然后再计算这五个数的和即可； （3）根据题意用未知数表示出框出个数，根据这个数的和为列出方程解答即可． 【详解】（1）解：     答：带阴影的十字框中的5个数的和是十字框中间的数的5倍． （2）略 （3）解：设中间数为． 答：在该月历上，是最后一列上的数，不能成为十字框中间的数． 18．(1) (2)购进甲种型号篮球个，乙种型号篮球个 【分析】（1）根据“购进6个甲种型号篮球与5个乙种型号篮球共花费1000元”，列出一元一次方程，解方程，即可求解． （2）设购进甲种型号篮球个，乙种型号篮球个，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解：设购进甲种型号篮球个，乙种型号篮球个． 解得 经检验，符合题意． 答：购进甲种型号篮球个，乙种型号篮球个． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $