单元素养测评卷(二)第2章 一元二次函数、方程和不等式 (Word单元测评)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一课后习题（人教A版）

**基本信息** 单元素养测评卷（第二章），120分钟150分，覆盖不等式解法、充分条件、基本不等式等核心知识点，适用于高中数学单元复习，注重基础巩固与实际应用结合，培养数学思维与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|单选含不等式解集（题1）、充分条件（题2），多选涉及不等式性质（题9）|结合旅游加油方案（题7），体现情境时代性| |填空题|3题15分|一元二次不等式参数（题12）、销售问题（题13）|实际应用与代数式最值结合，培养数据意识| |解答题|5题77分|解不等式（题15）、中欧班列建造（题18）、函数不等式综合（题19）|分层设计，从基础到创新应用，发展推理能力与模型观念|

单元素养测评卷(二) 1.B　[解析] 由不等式(x-1)(2-x)>0,得(x-1)(x-2)<0,解得1<x<2.故选B. 2.A　[解析] 当x>1且y>2时,x+y>3成立;当x+y>3时,若x=4,y=0,则不能推出x>1且y>2.所以“x>1且y>2”是“x+y>3”的充分不必要条件.故选A. 3.A　[解析] ∵M-N=2a2-4a-(a2-2a-3)=a2-2a+3=(a-1)2+2>0,∴M>N,故选A. 4.C　[解析] ∵x>2,∴x-2>0,∴x+=x-2++2≥2+2=12,当且仅当x-2=,即x=7时等号成立.故选C. 5.C　[解析] 因为2<a<3,所以4<2a<6,又因为-2<b<-1,所以4-2<2a+b<6-1,即2<2a+b<5,所以2a+b的取值范围是2<2a+b<5.故选C. 6.D　[解析] 因为存在x∈{x|0≤x≤4},使得不等式x2-2x+a>0成立,所以存在x∈{x|0≤x≤4},使得不等式a>-x2+2x成立.令y=-x2+2x,则其图象的对称轴为直线x=1,且开口向下,所以当0≤x≤4时,y的最小值为-42+2×4=-8,所以a>-8,故选D. 7.B　[解析] 任取其中两次加油,假设第一次的油价为m元/升,第二次的油价为n元/升.第一种方案的均价为=≥,当且仅当m=n时取等号;第二种方案的均价为=,因为m+n≥2>0,所以≤,故≤,当且仅当m=n时取等号.综上,第一种方案的均价不低于第二种方案的均价(当且仅当m=n时取等号).结合题干“各地燃油价格高低不一”可知油价会变化,此时第二种方案更划算.故选B. 8.A　[解析] 当x>0,y>0时,因为+≥恒成立,所以(x+y)≥m恒成立,又因为(x+y)=++5≥2+5=9,当且仅当=,即y=2x时,等号成立,所以m≤9,所以实数m的最大值为9.故选A. 9.BC　[解析] 对于A,因为a<b<0<c,所以ac<bc,所以A中不等式不成立;对于B,因为a<b<0,所以>,所以B中不等式恒成立;对于C,因为a<b<0,所以ab>b2,所以C中不等式恒成立;对于D,因为a<b<0<c,所以-a>-b,所以c-a>c-b,所以D中不等式不成立.故选BC. 10.ABD　[解析] 因为关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<3},所以a<0,则函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,所以函数y=ax2+bx+c有最大值,A正确;因为-1<<3,所以5a+b+c>0,B正确;由题知-1,3是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根,则所以则3b=2c,C错误;不等式bx2+a|x|-c>0即为-2ax2+a|x|+3a>0,即2x2-|x|-3>0,解得|x|<-1(舍去)或|x|>,所以x>或x<-,则不等式的解集为,D正确.故选ABD. 11.ABD　[解析] 由ab=3a+b+1,得b=>0,又a>0,所以a-1>0,即a>1,故A正确;由ab=3a+b+1,得(a-1)(b-3)=4,由A选项的分析知a>1,所以b>3,所以a+b=(a-1)+(b-3)+4≥2+4=8,当且仅当a=3,b=5时,等号成立,故B正确;ab=3a+b+1≥2+1,令=t>0,得t2-2t-1≥0,可得t≥2+,即ab≥(2+)2,当且仅当b=3a=3+2时,等号成立,故C错误;+=≥=2,当且仅当a=2,b=7时,等号成立,故D正确.故选ABD. 12.-5　[解析] 因为一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为,所以a<0,且一元二次方程ax2+bx+1=0的两个根为-1和,由根与系数的关系得-1+=-,-1×=,解得a=-3,b=-2,所以a+b=-5. 13.4　[解析] 设该种杂志的单价为x(x≥2.5)元,销售总收入为y元,则由题意得y=x,整理得y=-20 000x2+130 000x.因为提价后的销售总收入不低于20万元,所以y=-20 000x2+130 000x≥200 000,解得2.5≤x≤4,所以该种杂志的单价的最大值为4元. 14.　[解析] 4x2+4y2+3z2=4x2+3y2+y2+3z2≥2+2=2(2xy+yz),所以≤=,当且仅当2x=y=3z时取到等号,故的最大值是. 15.解:(1)不等式-x2+14x-45>0即为(x-5)(x-9)<0,解得5<x<9, 故不等式的解集为{x|5<x<9}. (2)不等式≥1可变形为-1=≥0, 则解得3≤x<5, 故不等式的解集为{x|3≤x<5}. 16.解:(1)由x+2y=2,得+y=1, 因为x,y∈(0,+∞),所以+==2++≥4,当且仅当x=1,y=时,等号成立, 所以+的最小值为4. (2)由x+2y=2,得x=2-2y, 因为-4≤x≤2且-4≤y≤2,所以解得0≤y≤2, 所以T=x2+4y2=(2-2y)2+4y2=8y2-8y+4=8+2. 因为0≤y≤2,所以2≤T=x2+4y2≤20. 17.解:(1)依题意,关于x的不等式ax2+(1-a)x+a≥0有实数解. 当a=0时,x≥0有实数解,符合题意; 当a>0时,取x=0,则ax2+(1-a)x+a=a>0成立, 即关于x的不等式ax2+(1-a)x+a≥0有实数解,符合题意; 当a<0时,二次函数y=ax2+(1-a)x+a的图象开口向下, 只需Δ=(1-a)2-4a2≥0,解得-1≤a≤,所以-1≤a<0. 综上,实数a的取值范围是a≥-1. (2)不等式ax2+(1-a)x+a-2<a-1等价于ax2+(1-a)x-1<0. 当a=0时,解得x<1; 当a>0时,不等式可化为(x-1)<0,解得-<x<1; 当a<0时,不等式可化为(x-1)>0, 当-=1,即a=-1时,解得x∈R且x≠1, 当-<1,即a<-1时,解得x<-或x>1, 当->1,即-1<a<0时,解得x<1或x>-. 综上,当a=0时,原不等式的解集为{x|x<1}; 当a>0时,原不等式的解集为; 当-1<a<0时,原不等式的解集为; 当a=-1时,原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}; 当a<-1时,原不等式的解集为. 18.解:(1)设甲工程队的总报价为y1元, 则y1=7200+3x·150×2+3··400=900x++7200, 由2≤x≤6,得y1≥2+7200=14 400, 当且仅当900x=,即x=4时,等号成立, 所以当左右两面墙的长度均为4米时,甲工程队的总报价最低. (2)由题意可知,不等式900x++7200>对2≤x≤6恒成立, 化简不等式可得>a. 设y2===x+1++6, 当2≤x≤6时,y2≥2+6=12,当且仅当x+1=,即x=2时,等号成立,所以0<a<12. 19.解:(1)①当m+1=0,即m=-1时,原不等式化为2x-2<0,其解集为{x|x<1},不合题意; ②当m+1≠0,即m≠-1时,要使y<0的解集为R, 即(m+1)x2-(m-1)x+m-1<0的解集为R, 只需即解得m<-. 综上,m的取值范围是m<-. (2)由已知可得(m+1)x2-(m-1)x+m-1≥3x+m-2, 即(m+1)x2-(m+2)x+1≥0,即[(m+1)x-1](x-1)≥0. 当m+1=0,即m=-1时,不等式化为-x+1≥0,解得x≤1. 当m+1≠0,即m≠-1时,由[(m+1)x-1](x-1)=0可得x=或x=1. 当0>m>-1时,0<m+1<1, 则>1,解[(m+1)x-1](x-1)≥0,可得x≤1或x≥; 当m<-1时,m+1<0,则<0<1,解[(m+1)x-1](x-1)≥0,可得≤x≤1. 综上所述,当-1<m<0时,不等式的解集为; 当m=-1时,不等式的解集为{x|x≤1}; 当m<-1时,不等式的解集为. (3)不等式y≥x2+2x,即(m+1)x2-(m-1)x+m-1≥x2+2x, 即m(x2-x+1)≥x+1,∵x2-x+1=+>0恒成立, ∴m≥对一切0≤x≤2恒成立. 设1+x=t,∵0≤x≤2,∴1≤t≤3, 则===. ∵t+≥2=2,当且仅当t=时取等号, ∴≤=+1,当且仅当x=-1时取等号, ∴m的取值范围是m≥+1. 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元素养测评卷(二)  第二章 (时间:120分钟　分值:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.不等式(x-1)(2-x)>0的解集是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.{x|x<1} B.{x|1<x<2} C.{x|x<1或x>2} D.{x|x>2} 2.“x>1且y>2”是“x+y>3”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.设M=2a(a-2),N=(a+1)(a-3),则 (　　) A.M>N B.M≤N C.M<N D.M与N的大小关系不确定 4.已知x>2,则x+的最小值为 (　　) A.8 B.10 C.12 D.14 5.[2026·长郡中学高一期中] 已知2<a<3,-2<b<-1,则2a+b的取值范围是 (　　) A.0<2a+b<2 B.0≤2a+b≤2 C.2<2a+b<5 D.2≤2a+b≤5 6.若存在x∈{x|0≤x≤4},使得不等式x2-2x+a>0成立,则实数a的取值范围为 (　　) A.a>-1 B.a>1 C.a>8 D.a>-8 7.[2026·南通高一期中] 旅游博主小胡自驾出行周游世界.已知各地燃油价格高低不一,出行中小胡有两种加油方案:第一种,每次均加a升的燃油;第二种,每次加b元的燃油.下列说法正确的是 (　　) A.采用第一种方案划算 B.采用第二种方案划算 C.两种方案一样划算 D.无法确定哪种方案更划算 8.当x>0,y>0时,+≥恒成立,则实数m的最大值为 (　　) A.9 B.8 C.4 D.1 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.[2026·重庆一中高一月考] 已知实数a,b,c满足a<b<0<c,则下列不等式中恒成立的是 (　　) A.ac>bc B.> C.ab>b2 D.c-a<c-b 10.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<3},则 (　　) A.函数y=ax2+bx+c有最大值 B.5a+b+c>0 C.6b=-5c D.bx2+a|x|-c>0的解集为 11.[2026·浙江9+1联盟高一期中] 已知a>0,b>0,且ab=3a+b+1,则下列结论正确的有 (　　) A.a>1 B.a+b的最小值为8 C.ab的最小值是2+ D.+的最小值为2 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.若一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为,则a+b的值为　　　　.  13.某种杂志原来以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,杂志的单价每提高0.1元,销售量就减少2000本.若提价后的销售总收入不低于20万元,则该种杂志的单价的最大值为　　　　元.   14.[2026·武汉三中高一月考] 若x,y,z均为正实数,则的最大值是　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)解不等式: (1)-x2+14x-45>0; (2)≥1. 16.(15分)已知x+2y=2. (1)若x,y∈(0,+∞),求+的最小值; (2)若-4≤x≤2且-4≤y≤2,求T=x2+4y2的取值范围. 17.(15分)(1)若关于x的不等式ax2+(1-a)x+a-2≥-2有实数解,求实数a的取值范围; (2)解关于x的不等式ax2+(1-a)x+a-2<a-1(a∈R). 18.(17分)[2026·陕西西工大附中高一月考] 中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措,作为中欧铁路在东北地区的始发站,沈阳某火车站正在不断建设.目前车站准备在某仓库外,利用其一侧原有墙体,建造一间高为3 m,底面积为12 m2,且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙,无需建造费用,因此甲工程队给出的报价如下:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体的报价为每平方米150元,屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两面墙的长度均为x m(2≤x≤6). (1)当左右两面墙的长度均为多少时,甲工程队的总报价最低? (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标,其给出的整体报价为元(a>0),若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求a的取值范围. 19.(17分)已知关于x的函数y=(m+1)x2-(m-1)x+m-1. (1)若不等式y<0的解集为R,求实数m的取值范围; (2)当m<0时,解关于x的不等式y≥3x+m-2; (3)若不等式y≥x2+2x对一切0≤x≤2恒成立,求实数m的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $